江西省2023-2024學年高三年級下冊2月聯(lián)考數(shù)學試卷

江西省紅色十校2023-2024學年高三下學期2月聯(lián)考數(shù)學

試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.樣本中共有5個個體，其值分別為“、]、2、3、4,若該樣本的中位數(shù)為2,則

。的取值范圍為（）

A.（0,1）B.0,2）C,D.[1,2]

2.若橢圓c：二+上=1（〃?>0）的焦點在‘軸上，其離心率為;，則橢圓0的短軸長

為（）

A.2B.4正C.2石D.8

3.已知數(shù)列,“｝滿足2可+1=a,,+a“+2，數(shù)列｛”"｝的前”項和為S“，S,=6，a3+tz5=10-

則5$=（）

A.至B.10C.11D.9

2

4.設m,〃是不同的直線，a,0是不同的平面，則下列命題正確的是（）

A."m//a,n//fi,a//B,則〃?〃〃B.若。_L夕,〃?J_a,勿JL0，則加〃〃

C.若a_L尸,陽//Q,〃//尸,則加D.若加//〃,〃J_6,機_LQ,則a///?

5.某班級舉辦元旦晚會，一共有&個節(jié)目，其中有2個小品節(jié)目.為了節(jié)目效果，班

級規(guī)定中間的2個節(jié)目不能安排小品，且2個小品不能相鄰演出，則不同排法的種數(shù)是

（）

試卷第11頁，共33頁

A.9A：B-13A：C-22A：D.44A：

6.已知面積為9的正方形N8S的頂點A、8分別在x軸和y軸上滑動，0為坐標原

__2__I__P

點，。尸=產(chǎn)+產(chǎn)，則動點的軌跡方程是（）

A-T+t=1b-44=1

c<4-

a

兀=1,則也至里=(

7?已知為銳角，且tana+tan—+a)

4cos2a

A.1B.-3C.一2

8.已知雙曲線的左、右焦點分別是%點48是

麗虧福卜|布|,則該雙曲線的離心率是（）

其右支上的兩點,=2

B.叵

Ac.2D

-i35-i

二、多選題

.已知I函數(shù)/(x)=sin12x+與

9-2cos2x，則下列結(jié)論正確的是（）

A.〃x）圖象的對稱中心為

墨T'"Z)

71

B./x+1是奇函數(shù)

試卷第21頁，共33頁

C/（x）=1

Jx/max

D.〃x）在區(qū)間管上單調(diào)遞減

10.若zrZ2為復數(shù)，則（）

A.R+印書+同B.Zl+Z2=Z1+Z2

C.z；=|zJ("eN*)

11.已知函數(shù)的X）的定義域為R,對任意實數(shù)X,V滿足/(x+y)=/(x)+/(y)+2，

且/（2）=o，則下列結(jié)論正確的是（）

A./（0）=-2B./（-4）=-6

C.〃x）+2為奇函數(shù)D./（x）為R上的減函數(shù)

三、填空題

12.設集合M={2，-2，T},A/={X||X-?|<1},若"CN的真子集的個數(shù)是1,則正

實數(shù)”的取值范圍為.

13.在正四面體尸_48c中，〃為我邊的中點，過點”作該正四面體外接球的截面，

記最大的截面半徑為凡最小的截面半徑為廠，則二=；若記該正四面體和其外接

R

球的體積分別為匕和%,則a=.

試卷第31頁，共33頁

14.定義min{q,a2，L，《,}表示。|、4'中的瑯小值，max{q,a2,…,"J表不6'

%、*■、q”中的最大值，設0<加<〃<0<2,已知〃23加或加+2〃43,則

min{maxp_〃,2_p}}的值為.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=2ax/nx+36("、b為實數(shù))的圖象在點”了⑴)處的切線方程

為y=x+1.

(1)求實數(shù)a、6的值;

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.有5雙鞋子，每雙標記上數(shù)字-2、3、4'5,從中取3只鞋子?

(1)求取出的3只鞋子都沒有成對的概率；

(2)記取出的3只鞋子的最大數(shù)字為X,求X的分布列和數(shù)學期望x\

17.如圖，在三棱柱中，G4=G81，AC=AB】，平面48C，

AC=3>NC4G=90、〃、E分別是48、的中點?

(1)證明：4c，平面

(2)求ME與平面BB￡C夾角的正弦值.

試卷第41頁，共33頁

18.設拋物線「:V=2px(p＞0)，過焦點廠的直線與拋物線「交于點

B(x2,y2)-當直線42垂直于X軸時,|AB|=4-

(1)求拋物線『的標準方程.

(2)已知點P(2,0)，直線1尸、8P分別與拋物線r交于點C、D-

①求證：直線C￡)過定點；

②求AP4B與APCD面積之和的最小值,

19.同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容.同余的定義為：設a,6eZ,〃?eN+且切＞L若

向(。-6)，則稱。與b關于模加同余，記作a三伙mod/M)(“廠為整除符號)?

(1)解同余方程：犬+2工三0(1?(?13)；

⑵設(1)中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列｛%｝，其中％＜出＜。3

①若4=*-/(〃eN.)，數(shù)列出｝的前〃項和為Sj求SW

②若C?=tana2n+3-tana2n+I(?eN+)(求數(shù)列｛C“｝的刖"項和T??

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

1.c

【分析】對實數(shù)q的取值進行分類討論，將數(shù)據(jù)由小到大排序，結(jié)合中位數(shù)的定義可得出

實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】若3va?4,則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為1、2'3、“、4,中位數(shù)為3,不

合乎題意；

若0>4,則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為-2、3、4、中位數(shù)為3,不合乎題意；

若24a<3,則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為1、2、°、3、4,中位數(shù)為°=2；

若則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為1、a、2'3、4,中位數(shù)為2；

若則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為°、]、2、3、4,中位數(shù)為2?

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是.8,2].

故選：C.

2.B

【分析】根據(jù)橢圓的離心率求出加，即可求得該橢圓的短軸長.

【詳解】對于橢圓C:4+^=l（機>0），由已知可得h=m,則

機29'1

c=yja2—b2=,9-加2'

橢圓C的離心率為r_c_J9-%2.1,解得〃7=2及，貝心=2/，

a33

因此，橢圓C的短軸長為2b=4及.

故選：B.

答案第11頁，共22頁

3.A

【分析】分析可知，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，設等差數(shù)列｛”“｝的公差為“，根據(jù)己知條件可

得出關于《、"的方程組，解出這兩個量的值，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得品的值.

【詳解】因為數(shù)列｛4,,｝滿足2q川=4+凡,2,則數(shù)列｛〃“｝為等差數(shù)列，設等差數(shù)列｛”“｝的

公差為〃，

則S｝=3q+3；4=3%+3d=6,可得“十"一？，①

a3+a5=at+2d+ax+4d=2at+6d=10>可得3+3"=5,②

聯(lián)立①②可得q=Ld=—,所以，S5=5at+^211=5X—+10x—=—.

225'2222

故選：A.

4.D

【分析】利用線面、面面平行關系判斷A；由B的條件可得機,〃判斷；由直線加、〃都

平行于a4的交線判斷C；由線面垂直的性質(zhì)推理判斷D.

【詳解】對于A,若加//%〃///5,a〃夕，則直線機與〃可能相交、也可能平行、還可能是

異面直線，A錯誤；

對于B,若&_1夕,加_1.%"_1/?，則機_L〃，B錯誤；

對于C,若a_L四加〃a,〃//夕，直線機與"可能平行，

如直線機、”都平行于a,Q的交線，且機（za,〃aP，滿足條件，而機〃〃，C錯誤；

對于D,若加則加_1,夕，又/WJ_Q，因此a///?，D正確.

答案第21頁，共22頁

故選：D

5.C

【分析】先確定2個小品的安排方式，再安排其余6個節(jié)目，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可求

得結(jié)果.

【詳解】用伍⑼表示不安排中間且不相鄰的位置，則有（1,3），（1,6），（⑺，（1,8），（2,6），

（2,7），（2,8），（3,6），（3,7），（3,8），（6,8），共11種情況，

二2個小品有1必；=22種安排方式；再安排其余6個節(jié)目，共有A：種安排方式；

二不同排法的種數(shù)有22人：種?

故選：C.

6.C

8（0,典）P（x,y）[_3

【分析】設點、、，由平面向量的坐標運算可得出與一5.由

7o=2y

x；+=93x；+J/Q=9P

正方形的面積公式可得出"",將飛=5、代入等式0°整理可得出點的軌

7o=2y

跡方程.

【詳解】設點0）、8（0,%）、P（x,y）>

,__2—1__2,1、/21、

由。夕=可。工+B=，（Xo,O）+5（0）。）=￡苫0,不先，

23

=-x

F2

所以,可得V

1、鳧=2y

y=2y°

答案第31頁，共22頁

因為正方形"'CO的面積為1/域=9,即x；+V；=9,即

|+(24=9,

整理可得《+土=1，因此，動點"的軌跡方程為《+今==1.

4949

故選：C.

7.C

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合兩角和的正切公式可得出關于匕球，的方程，由已知可得出

idncc

tana>0,可得出關于tana的方程，求出tana的值，利用二倍角的正弦和余弦公式可求

得所求代數(shù)式的值.

【詳解】因為a為銳角，則tana>0，

7T1+tana1

tan—+tana=tana+----------=1

tana4-tan—+a=tana+41-tana

則14J,兀

1-tantana

4

整理可得tan2a-3tana=0，解得tana=3,

所以，sin2a+1_cos2a+2sinacosa+sin2a_(cosa+sina)2

cos2acos2a-sin2a(cosa-sina)(cosa+sina)

cosa+sina1+tana1+3_

=----------------=-----------=------——2.

cosa-sina1-tana1-3

故選：C.

8.B

【分析】由題意,根據(jù)雙曲線的定義可得忸用=2a,進而|明|=4a,%K|=|48|=6a，在

△ABF、、鳥中，分別用余弦定理表示cosZ，建立關于。的方程，解之即可求解.

答案第41頁，共22頁

【詳解】由函=2&，得網(wǎng)=3|明，結(jié)合題設有所|=3愿|，

由雙曲線的定義知，卜耳|_卜馬=2〃，忸匐-忸周=2°，又|/耳月/用，

佃￡-|/閭=2〃\BF2\=2a忸&=4“,|/用=|/川=6“

由."6=3|陽‘得‘得‘

謁=2\BF2\

在中，由余弦定理，得」/「+陽|2T明『36a2+36a2-16a?=7,

2\AF^AB\2-6a-6a9

在中，由余弦定理，得co,/」'4『耳"『_36/+161-62_7,解得

2Ml叫2-6a-4a9

3而

a=-------，

11

_c_3_底

所以雙曲線的離心率為"5=5?￡=亍

9.BC

【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)/(x)的解析式，利用余弦型函數(shù)的對稱性可判斷A選

項；利用誘導公式結(jié)合正弦型函數(shù)的奇偶性可判斷B選項；利用余弦型函數(shù)的最值可判斷

C選項；利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項.

答案第51頁，共22頁

【詳解】/(x)=sinl2x+—l-2cos2x=一cos2x-(1+cos2x)=-2cos2x-l>

對于A選項，由2瓦=攵+](%EZ)可得工=:專](%￡2),

所以，1為奇函數(shù)，B對；

對于C選項，f(\2-1=1?C對；

J\x/max=

對于D選項，當工32x<_時，砥2x<—,，=2COS2X單調(diào)遞減,

7777

所以，/(x)在區(qū)間與上單調(diào)遞增，D錯.

故選：BC.

10.BD

【分析】利用特殊值法可判斷AC選項；利用共施復數(shù)的定義、復數(shù)的加法可判斷B選項;

利用復數(shù)的模長公式、共匏復數(shù)的定義以及復數(shù)的乘法可判斷D選項?

【詳解】對于A選項，取4=l—i，z2=l+i>貝L+Z2=2，1+1=2,

所以，4=l+i,Z2=l-i,所以，同="卜友,

所以，目+㈤=2&,1*2卜2,故k+z?卜目+㈤，A錯;

對于B選項,設Z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,deR)，

答案第61頁，共22頁

則Z]+z?=(a+c)+(/>+d)i，Z]+z2=(a+c)-(Z>+rf)i'

z}=a-bi'z2-c-d\'則4+Z2=(a+6)_(c+d)i，所以，z1+z2=+z2'B對；

對于C選項，不妨取Z|=l+i，"=2，則z；=(l+i)2=2i，匕|=日邸=2，

所以，z；w|z『，故Z；H|ZJ'(〃€N)c錯；

對于D選項，設4=a+bi(a,，€R),則馬=”"所以，㈤=同=,

所以，z「Z|=S+6i)(q_6i)=/+62=|訃同，D對.

故選：BD.

11.ABC

【分析】令x=y=O，解得/(0)=-2即可判斷A；令x=2,y=-2求得/(-2)=-4,令

x=y=2求得/(4)=2,令x=4,y=-4求得/(_4)=一6即可判斷B；令y=-x可得

/(x)+2+/(-x)+2=0,即可判斷C；由AB即可判斷D.

【詳解】A：令x=y=0，代入/'(x+y)=/(x)+/(y)+2，

得/(0)=2/(0)+2,解得/(0)=-2,故A正確；

B：令》=2,了=-2，代入/(*+川=/(*)+/(刈+2，

得/(0)=/⑵+/(-2)+2,又“2)=0,所以/(—2)=-4;

令x=y=2，代入/(x+>)=/(*)+/(y)+2，

得〃4)=2〃2)+2=2,

答案第71頁，共22頁

令x=4,y=-4，代入/(x+j，)=/(x)+/(y)+2，

得y(0)=/(4)+/(-4)+2,所以/(-4)=-6,故B正確；

C：^y=-x,代入/(x+y)=f(*)+/(『)+2,

得/(O)=fM+/(-X)+2'則/(x)+2+/(-x)+2=0'

所以函數(shù)/(x)+2為奇函數(shù)，故C正確；

D：由選項AB知，/(0)=-2,f(-2)=-4，則/(O)>/(-2)，

所以函數(shù)/(X)不為R上的減函數(shù)，故D錯誤.

故選：ABC

⑵{印<0<3}

【分析】解出集合汽，分析可知，集合/小汽的元素個數(shù)為1，確定集合McN，可得出

關于實數(shù)〃的不等式，解之即可.

【詳解】由卜_司<]可得，解得a-l<x<a+l'

因為a>(T則a-l>T且a+l>「

因為“cN的真子集的個數(shù)為1，設MCN的元素個數(shù)為〃，則=解得〃=「

因為M={2,-2,-1}，則A/cN={2}，所以'a-l<2<a+l>解得1<"3，

因此，實數(shù)。的取值范圍是{a[i<q<3}.

故答案為：{a|l<a<3}?

答案第81頁，共22頁

13.旦也瓜3百兀

332

【分析】把正四面體p_/8c放置于正方體中，利用正四面體與正方體有相同的外接球，

結(jié)合球的截面小圓的性質(zhì)、體積公式計算即得.

【詳解】將正四面體尸放置于正方體中，可得正方體的外接球即為該正四面體的外

接球，如圖,

外接球球心0為正方體的體對角線的中點，設正四面體的棱長為2a，則正方體棱

長為缶，

由外接球直徑等于正方體的體對角線，得正四面體p_48c外接球半徑

R=—>/3x41a=^-a'

22

當過口中點河的正四面體外接球截面過球心0時,截面圓面積最大，截面圓半徑為氏，

當該截面到球心。的距離最大時，截面圓面積最小，此時球心。到截面距離為

2

可得最小截面圓半徑-ON?=”,因此2="；

R3

答案第91頁，共22頁

正四面體尸一"C外接球體積匕=竽"_.（《4=將加，

正四面體的體積匕=（及a）3_4x；x；x（及43=乎“3,因此,=孚.

故答案為：顯;述E

32

【分析】設〃一加=工，Pf=y,2-p=z,可知x>0,y>0,N>0，可得出

〃=2-y_z,設M:!m*"http://},分〃23加「+2〃43兩種情況討論，結(jié)合不等式

m=2-x-y-z

的基本性質(zhì)可求得M的最小值.

【詳解】設〃-機=x,p-n=y,2-p=z>E.0<m<n<p<2,則x>0，y>0,z>0.

所以，\n=2-y-z,

[m=2-x-y—z

若〃23加，貝lJ2_y-z_N3（2_x-y_z），故3x+2y+2zN4，

M=max{x,^,z}3M>3x7A/>3x+2y+2z>4^>—

設，因此，<2A/22尸故，即7,

2M>2z

若m+2〃?3，則2_x_y_z+2（2-y_z）W3，即x+3y+3zN3，

M>x7A/>x+3^+3z>3x=3v=32=2

則3MN3y，故，當且僅當亍時，等號成立，

3M>3z

答案第101頁，共22頁

綜上所述,min{max{〃_"p_〃,2_p}}的最小值為3

7

故答案為：

7

【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于換元〃-機=x,P~n=y,2-p=z

M=max{x,y,z}＞將加、"用工、八z表示，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解―

1

a=-

15-⑴；

b=-

3

⑵減區(qū)間為增區(qū)間為g+，j,極小值為/1%一52,無極大值.

【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義可得出關于0、6的方程組，即可得出實數(shù)0、人的值;

(2)利用導數(shù)分析函數(shù)/(x)的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義可得結(jié)果.

【詳解】(I)解：因為/(x)=2ax/nx+3Z)，該函數(shù)的定義域為(0,+s)，

/r(x)=2a(l+lnx)?

因為函數(shù),(x)=2辦.[口工+36(。、b為實數(shù))的圖象在點(]j⑴)處的切線方程為y=x+l，

)=2a=lfJ_

=36=2,解得，2

Bb=-

3

(2)解：由(1)可得/(%)=xlnx+2，該函數(shù)的定義域為(o,+8)，/r(x)=1+lnxJ

答案第111頁，共22頁

由r（x）=°可得x=L列表如下:

e

X1

e

—+

J0

J減極小值增

所以，函數(shù)“X）的減區(qū)間為（0,1）,增區(qū)間為g,+8）,極小值為/（5=-』+2,無極大

值.

16.(1)|

1q

（2）分布列答案見解析，E（X）=￡

【分析】（1）分析可知，只需在指定三雙鞋子，每雙鞋子各取一只，利用組合計數(shù)原理結(jié)

合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）分析可知，隨機變量x的可能取值有2、3、4、5,計算出x在不同取值下的概率，

可得出隨機變量X的分布列，進而可求得/（x）的值.

【詳解】（1）解：取出的3只鞋子都沒有成對，只需在指定三雙鞋子，每雙鞋子各取一只,

所以，取出的3只鞋子都沒有成對的概率為2=或2=迎=2.

C：）1203

（2）解：由題意可知，隨機變量x的可能取值有2、3、4'5'

則/（X=2）=C；+f；C；=J_,p（x=3）=C?：C泣

Jo30Go15

答案第121頁，共22頁

產(chǎn)”=4產(chǎn)戶二,p（x=5）=CC：C；Gj

Ci。ioGo15

所以，隨機變量Y的分布列如下表所示:

7?R1q

所以，￡（%）=2x—+3x—+4x—+5x—=—

v,301510153

17.（1）證明見解析

⑵正

6

【分析】(1)由線面垂直的性質(zhì)可得出/耳L/C，由已知條件可得出/C_L/G，結(jié)合線

面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)以c為坐標原點，以五、CA'函的方向分別為X、y、z軸的正方向，建立如圖

所示的空間直角坐標系C-"，利用空間向量法可求得ME與平面BB,C、C夾角的正弦值?

【詳解】(1)證明：因為"J_平面Z8C，/Cu平面/8C，所以，AB,±AC'

因為ZCJC,=90°，則AC1AC,'

又/qu平面14G，/C|U平面/8￡，所以，/C_L平面48c「

(2)解：以C為坐標原點，以3、CA'福的方向分別為X、》、z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系C-切，

答案第131頁，共22頁

則C（0,0,0）、8（300）、4（0,3,0）、用（0,3,3）、G（-3,3,3）、f,3,3）、喉|，。）,

所以，血=134,3），5=（3，°，°），西=（°，3,3）,

BBC。萬=（x,y,z）[MCS=3X=0

設平面的法向量為，則「示2,八

nCD.=3y4-3z=0

得x=0，令y=l，得z=-l，故方=(O,l,T>

3

MEH3V2

所以cosME,n=V

2

故""與平面'8CC夾角的正弦值為

6

18.（1）y2=4x

⑵①證明見解析；②[0.

【分析】（1）利用弦長求解p,即可求解拋物線方程；

（2）①設直線方程，與拋物線聯(lián)立，韋達定理找到坐標關系，表示出直線方程，即可求出

定點；

答案第141頁，共22頁

②利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得與APC。面積之和的最小

值.

ADXARn

【詳解】（1）解：由題意，當直線垂直于軸時，直線的方程為'=等,

pa=2p2P=4P=2

X=

聯(lián)立2可得2，則，所以，即

y2=2pxJ=±P

所以拋物線「的方程為/=4x.

（2）證明：①若直線與x軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，

同理可知，直線8也不與x軸重合，易知點尸（i,o），

設。（七,%）、。卜4，居），設直線N8的方程為x=〃沙+1，

聯(lián)立Jx=叼+1彳導y?-4〃沙-4=0A=16m2+16>0

jy2=4x、.

因此必+%=4m，yxy2=-4?

設直線/C的方程為x=〃y+2,聯(lián)立卜=號+2得V-4,沙-8=0,

[y2=4x

則A16〃幻O>,因此必+%=4〃，必為=-8,貝|]必=』，同理可得%

斗力

答案第151頁，共22頁

k-%一?_%-1_4_4一必％一1

所以,。Xy-x4貨_因%+以_A_A2（,+%）2m.

44必先

因此直線8的方程為》=2〃?壯_乃）+'3，

由對稱性知，定點在x軸上，

令°得，->_V,C-81（-8）16m16

v1

寸x=-2my3+x3=-2my3+—=-2m——+———=-----+—

4yt41y"乂乂

=lKtZJ+N=4+4但+之］