莊浪縣2024屆高三年級下冊第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

莊浪縣紫荊中學(xué)2024屆高三下學(xué)期第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：考號：

一、選擇題

1.已知集合4={—1,124},B={x||x-l|<l),則AB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

2.(2+2i)(l—2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

3.已知圓錐的底面半徑為0,其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.2^2C.4D.4V2

r?sin6^(1+sin20)

4.若tan。二一2,則一^——i=()

sin"+cos"

A6

A.——B.--C.-D.-

5555

5.設(shè)％wR,貝！J“sinx=l”是"cosx=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知數(shù)列｛4｝,若%=a“+a〃+2（〃eN*）,則稱數(shù)列｛叫為“凸數(shù)列”.已知數(shù)列出｝

為“凸數(shù)列，，，且偽=1,2=-2,則也｝的前2024項(xiàng)的和為（）

A.OB.lC.-5D.-1

7.已知兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x,y滿足ln±=3,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.x+y=1B.xy=lC.x+y>2D.x+y>3

8.正四面體ABCD的棱長為1,點(diǎn)P是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA-PD

取得最小值時(shí)，點(diǎn)P到的距離為（）

3A/2—A/6A/6—A/32A/2—A/3A/2

A.--------D.-------c.--------D.----

1212124

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知函數(shù)/（x）=sin（2x+o）（0<0<兀）的圖像關(guān)于點(diǎn)［會(huì)中心對稱，則（）

A./W在區(qū)間單調(diào)遞減

B./U)在區(qū)間［-喂，巖］有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線x=4是曲線y=/(x)的對稱軸

6

D.直線是曲線y=/(x)的切線

10.已知正方體A3CD—AgGR，則()

A.直線BQ與所成的角為90°

B.直線與CA所成的角為90。

C.直線BC］與平面BBRD所成的角為45°

D.直線6a與平面ABCD所成的角為45。

11.已知直線/:+=0與圓C:V+V=/，點(diǎn)人色力)，則下列說法正確的是

()

A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線/與圓C相切

B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線/與圓。相離

D.若點(diǎn)A在直線/上，則直線/與圓C相切

12.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4(cosa,sintz),g(cosQ,-sin，)，

4(cos(a+￡),sin(a+￡)),A(l,0),則()

A.|M=|O閭=|叫

C.OAOF^=OF［O^D.OAO^=OP,OF^

三、填空題

13.已知函數(shù)/(%)=三,2-2-，)是偶函數(shù)，則。=.

14.已知｛a“｝為等比數(shù)列，a2a4a3=。3“6，a9a16=-8,則%=.

15.函數(shù)/(x)=|2x-1|-21nx的最小值為.

16.在△ABC中，AB=2,ZfiAC=60°,BC=娓,。為5c上一點(diǎn)，AD為NBAC

的平分線，則AD=.

四,解答題

17.在△ABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,b=a+l,c=a+2.

(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面積；

（2）是否存在正整數(shù)a,使得△ABC為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存

在，說明理由.

a+1,九為奇數(shù),

18.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,an

n+1+2,〃為偶數(shù)

⑴記包=%〃，寫出偽，b2,并求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式;

⑵求｛4｝的前20項(xiàng)和.

19.在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若45=2,QD=QA=正,

QC=3.

（1）證明：平面QADJ_平面ABCD；

（2）求二面角3-Q￡>-A的平面角的余弦值.

20.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)4（0,-1）,焦點(diǎn)在x軸上，離心率為手.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線y=Ax+加左/0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)〃，N.當(dāng)=時(shí)，求機(jī)的

取值范圍.

21.某冰糖橙是甜橙的一種，以味甜皮薄著稱.該橙按照等級可分為四類：珍品、特

級、優(yōu)級和一級.某采購商打算訂購一批橙子銷往省外，并從采購的這批橙子中隨機(jī)抽

取100箱（每箱有5kg）,利用橙子的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下表：

等級珍品特級優(yōu)級一級

箱數(shù)40301020

（1）若將頻率作為概率，從這100箱橙子中有放回地隨機(jī)抽取4箱，求恰好有2箱是

一級品的概率；

（2）利用樣本估計(jì)總體，果園老板提出兩種方案供采購商參考：方案一：不分等級出

售，價(jià)格為27元/kg；方案二：分等級出售，橙子價(jià)格如下表.

等級珍品特級優(yōu)級一級

價(jià)格/（元

36302418

/kg）

從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？

（3）用分層隨機(jī)抽樣的方法從這100箱橙子中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機(jī)抽

取3箱，X表示抽取的珍品的箱數(shù)，求X的分布列及均值￡（X）.

22.已知函數(shù)/（x）=xlnx.

（1）判斷“力的單調(diào)性；

（2）設(shè)方程-2x+l=0的兩個(gè)根分別為%，斗，求證：%1+x2>2e.

參考答案

1.答案：B

解析：法一：因?yàn)?={x|0WxW2},故A6={1,2},故選：B.

法二：1=-1代入集合3=卜卜-可得2<1,不滿足，排除A、D；

%=4代入集合3={x||x-1歸1},可得3W1,不滿足，排除C.

故選：B.

2.答案：D

解析：（2+2i）（l-2i）=2+4-4i+2i=6-2i,

故選：D.

3.答案：B

解析：設(shè)圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則

nl=2式義血,解得/=20.故選B.

4.答案：C

解析：將式子進(jìn)行齊次化處理得：

sin6（l+sin2e）sin^fsin*2^+cos2^+2sin^cos^）

=sin8(sin8+cos。)

sin6+cos0sin6+cos6

sine(sin6+cose)_tan26^+tan6^_4-2_2

sin2^+cos201+tan201+45

故選：C.

5.答案：A

解析：方法一：由sinx=l,得x=2左兀+]（左￡Z）,貝iJcos12Z兀+3）=cos/=0,故充

分性成立；由cosx=0,得%=%兀+曰（左￡Z）,而sin，兀+鼻=1或-1,故必要性不成

立.所以“sinx=l”是“cosx=0”的充分不必要條件，故選A.

方法二：由sinx=l,得%=2左兀+烏（左￡Z）,貝！Jcos（2Z兀+^]=cos二=0,故充分性成

2I2）2

立；又cos型=0,sin—=-1,故必要性不成立.所以“sinx=l"是“cosx=。”的

充分不必要條件，故選A.

6.答案：D

解析：因?yàn)椤！?2=?！?1-2，所以4=%-4=一2-1=一3,2=&—4=—3—(―2)=—1,

b5=b^—Z?3=—1—(—3)=2,Z?6—b5—b4=2—(—1)=3,bn=b6—b5=3—2=1,

則數(shù)列出｝是以6為周期的周期數(shù)列，又36=1-2-3-1+2+3=0,

所以^2024—S337X6+2=偽+4=—1，

故選：D.

7.答案：C

解析：因?yàn)閘n±=^--,所以Inx-lny=工一工，BPInx+—=Iny+—,

yxyyxxy

令函數(shù)/(x)=lnx+Lx>Q,則--=

XXXX

xe(O,l)時(shí)尸(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，xe(l,+oo)時(shí)/⑴>0,/(x)單調(diào)遞增.

函數(shù)/(x)在x=1處取得極小值/(I)=1,如圖所示：

依題意/(x)=/(y),x^y,不妨設(shè)x<y,由圖象可知，0<x<l<y,故x+y>l,A

錯(cuò)誤；

假設(shè)孫=1成立，可取x=g,y=2,則/(x)=/］；］=2—ln2,

/(y)=〃2)=；+ln2,易見不滿足題意/⑴=/(y),即B不正確；

如圖取l<yW2時(shí)，設(shè)/(x)=/(y)=/,則由0<%<1知，可有x+y<3,故D錯(cuò)誤；

由函數(shù)/(x)=lnx+L(x>0)中，0<x<l時(shí)，/(x)e(l,+oo),x>l時(shí)，

X

/(x)e(l,+oo),可知/(x)=/(y),xwy時(shí)極值點(diǎn)x=l左偏，即2xlvx+y,即

x+y>2一定成立，C正確.

故選：C.

8.答案：A

解析：因?yàn)樗拿骟wABCD是棱長為1的正四面體,

所以其體積為W1X1X且x^=也.

322312

設(shè)正四面體ABC。內(nèi)切球的半徑為r,

貝lj4x!xLxlxlxxr=,得r=-.

3221212

如圖，取AD的中點(diǎn)為5貝?。菟??。。=（。2+功）,（。石+石。）

22|

=PE+PE（EA+ED）+EAED=PE

顯然，當(dāng)PE的長度最小時(shí)，PAPD取得最小值.

設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為。，可求得。4=0。=逝.

所以球。上的點(diǎn)P到點(diǎn)E的最小距離為d—r=&&=述=用

41212

即當(dāng)PAPD取得最小值時(shí)，點(diǎn)尸到AO的距離為逆二逅.

12

故選：A.

A

與+0]=(),所以4事兀+0=4兀，keZ,

3

Ep(0—----Fkit,左￡Z,

3

又0<0<兀，所以k=2時(shí)，(p=—,/(x)=sin|^2x+—J.

對A,當(dāng)xe[o,|||時(shí)，2x+ge[g,g],由正弦函數(shù)y=sin”圖象知y=/(x)在

上是單調(diào)遞減；

對B,當(dāng)時(shí)，2%+會(huì)e[}5]，由正弦函數(shù)y=sin”圖象知y=/(x)

只有1個(gè)極值點(diǎn)，由2"，手解得.合即.力為函數(shù)的唯一極值點(diǎn);

對C,當(dāng)》=一時(shí)，2/f=3兀，/(—)=0,直線x=—不是對稱軸;

6366

對D,由y=2cos[2x+g)=-1得：cos[2x+g)=一：，

角由2xH----------F2kli2%H-----------\-2klikeZ,

3333

從而得：工=衍1或%=—+左兀，GZ,

3

所以函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)處的切線斜率為k=鞏=°=2COSy=-1,

切線方程為：丁一岑=一(》一0)即>

故選：AD.

10.答案：ABD

解析：如圖，連接用。，BG，因?yàn)椤?gt;4〃與。，所以直線3G與。4所成的角即為直線

BQ與4c所成的角.因?yàn)樗倪呅?用GC為正方形，則與C_L3C],故直線Bq與DA1所

成的角為90。，A正確；

連接A。，因?yàn)?4,平面呂0匚平面呂耳。]。，所以4月，Bq.因?yàn)?/p>

B}C1BCX,A}B}B]C=B],所以30，平面A4c.又4Cu平面，所以

BQ1CA,故B正確；連接AG，設(shè)ACBA=O,連接3。，因?yàn)?用，平面

AGGD，GOU平面A4GD，所以反因?yàn)镚。，與2，BRB}B=B},所

以CXO±平面BBRD,所以NGBO為直線BCi與平面BB.D.D所成的角.設(shè)正方體棱長

為1,則。1。=乎，BC、=亞,sinZQBO=1^=1,所以直線3G與平面BBQQ

所成的角為30。，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫鍭3CD,所以NG3C為直線3G與平面

ABCD所成的角，易得NGBC=45。,故D正確.故選ABD.

11.答案：ABD

解析：由題意知，圓C的圓心為C(0,0),半徑為N，

對于A,若點(diǎn)A在圓C上，則儲(chǔ)+/=產(chǎn)，

,\ax0+bx0-r2\

所以圓心C到直線/的距離d=J~7------------L=|r|,

所以直線/與圓C相切，因此A正確；

對于B,若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則儲(chǔ)+32＜72,

所以圓心C到直線/的距離"L’＞二=|八,

yla2+b2y/a2+b2E

所以直線/與圓C相離，因此B正確；

對于C,若點(diǎn)A在圓C外,則儲(chǔ)+〃＞產(chǎn)，

所以圓心C到直線/的距離d」"。；""?！?="(二=6,

y/a2+b2y/a2+b2獷

所以直線/與圓C相交，因此C不正確；

對于D,因?yàn)辄c(diǎn)A在直線/上，所以儲(chǔ)+匕2=產(chǎn)，所以圓心C到直線/的距離

2

d=,r=\r\,所以直線/與圓C相切，因此D正確.

故選ABD.

12.答案：AC

解析：方法一：對于選項(xiàng)A,因?yàn)?(coso,sina),OP2=(cos/?,-sinp),所以

2222

=yjcosa+sina=1,\pP21=^cos(3+{-sin/?)=1,則|oq|二|。且，故A正

確；對于選項(xiàng)B,因?yàn)樵６?cosa-l,sin。)，AP2=(cos/3-\,-sin/3),

所以阿卜/cosa-1)2+sin2a=j2-2cosa,

22

|AP21=y1(cos-1)+(-sin/3)=^2-2cosP,當(dāng)cos2wcos/7時(shí)，|A7]||A/^|,故B

錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C,04=(1,0),C%=(cos(a+力),sin(a+/)),所以

OA-OP^=cos(a+/?),OROR=cosacos/3-sinasinJ3=cos(a+p),

所以Q4?OA=Oq?OR,故C正確；對于選項(xiàng)D,Q4?O《=cosa,

OROR=cos13cos(6Z+6)一sin(3sin(a+分)=cos[#+(a+/?)]=cos(a+2/3),當(dāng)￡w左兀

且左兀—"(AwZ)時(shí)，OAORwOgO鳥,故D錯(cuò)誤.故選AC.

方法二：如圖，由圖可知=|四=1,故A正確；當(dāng)且僅當(dāng)cosa=cos分時(shí)，

,用=|阿成立，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?。4,0丹=。+/，?P],OP)=a、B,且

|0A|=|0^|=|c>^|=|0^|,故C正確；3,0P)=a，(OP2,OP3)=a+2j3,因?yàn)?/p>

cos(QA,。為與cos(O￡,O年不一定相等，故D錯(cuò)誤.故選AC.

解析：因?yàn)椤ㄓ?=三(。2-2-，，故/(-尤)=-丁(小2--2，),

因?yàn)椤榕己瘮?shù),故/(r)=/(￡),

時(shí)%3(a-T-2-x)=-x\a-2-x-2V),整理得到(a-1)(2X+2~X)=0,

故a=l,

故答案為：L

14.答案：-2

解析：解法一：設(shè)等比數(shù)列｛」“｝的公比為式4。0),則由題意，

“3425

,日aiq-a^q-a^q-axqqq,

行489

axqqq=-8,

5

解得<'所以%=%q6=a1q-q=-2.

q=-2,

解法二：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得。4。5=。3幺。0，所以。2=1.因?yàn)椤?%0=-8，所以

a2cf=-8,所以如=一2,所以％=%/.

15.答案：1

解析：由題設(shè)知：/(x)=|2x-1|-21口]定義域?yàn)?0,+8),

.?.當(dāng)0<犬《：時(shí)，f(x)=l-2x-2]nx,止匕時(shí)了(%)單調(diào)遞減；

12

當(dāng)一<九V1時(shí)，f(x)=2x-l-2lnx,有/(%)=2——<0,此時(shí)/(%)單調(diào)遞減;

2x

當(dāng)1>1時(shí)，/(x)=2x-l-21nx,有/(%)=2——>0,止匕時(shí)/(%)單調(diào)遞增；

又/(X)在各分段的界點(diǎn)處連續(xù),

.?.綜上有：0<xWl時(shí)，/(x)單調(diào)遞減，1>1時(shí)，/(x)單調(diào)遞增；

故答案為：L

16.答案:2

解析：由余弦定理可得，22+Z72-2X2XZ7XCOS60°=6,因?yàn)閆?>0,解得:b=l+Q,

由正弦定理可得，4—=—竺=:—，解得:sinB=C+忘,sinC=Y2,

sin60°sinBsinC42

因?yàn)?+百>6>應(yīng)，所以。=45。，B=180o-60°-45o=75°,

又N&l￡)=30。，所以ZADB=75。,即A。=AB=2.故答案為:2.

17.答案：(1)受互

4

(2)存在，且a=2

解析：(1)因?yàn)?sinC=3sinA,則2c=2(a+2)=3a,則a=4,故b=5,c=6,

cosC，+"一/J,所以，。為銳角，則sinC=Jl—cos2C=￡Z,

lab88

ra,.k°J7?<377_1577

因止匕，SARC=—cibsinC——x4x5x-----=-------.

△AABC2284

(2)顯然c〉Z?〉a,若△ABC為鈍角三角形，則C為鈍角，

由余弦定理可得cosC==十/一°2=/+S+；)2―(：+2)2==丁一：<0,

解得-貝！JOv〃v3,

由三角形三邊關(guān)系可得Q+Q+1>Q+2,可得Q>1,故〃=2.

18.答案：(1)4=2,4=5,bn=3n-l

(2)300

解析：(1)由題設(shè)可得4=%=%+1=2,

b2=g—+1—+2+1=5,

又a2k+2=a2k+\+1，％左+1=2k+29

故。2*+2=%+3，即％=2+3，%1-2=3,

所以也｝為等差數(shù)列，

故2=2+(〃-1)x3=3〃一1.

(2)設(shè)｛〃〃｝的前20項(xiàng)和為S20，

貝!J5*2Q=4+%+生++〃20，

因?yàn)閍3=aA-X,???，tz19=<220-1,

所以52Q=2(%+%++《8+%0)-1。

=2(4+4++4+/?］。)_10

(9x10\

=2x10x2+^—x3-10=300.

19.答案：(1)證明見解析

⑵-

3

解析：(1)取A。的中點(diǎn)為。，連接QO,CO.

因?yàn)?4=QD,OA=OD,則QOLAD,

而A￡>=2,QA=y/5,故。。=7^=2.

在正方形ABCD中，因?yàn)锳O=2,故￡>0=1,故CO=逐，

因?yàn)镼C=3,故呢2=。。2+。。2,故△QOC為直角三角形且QO,OC,

因?yàn)镺CAD=O,故QO_L平面ABCD,

因?yàn)镼Ou平面QAD,故平面QADL平面ABCD.

(2)在平面ABC。內(nèi)，過。作O77/CD,交BC于T,則

結(jié)合(1)中的QOL平面ABCD,故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.

z

A

y

則￡>(0,1,0),g(0,0,2),5(2,—1,0),故BQ=(—2,1,2),BD=(-2,2,0).

設(shè)平面QBD的法向量"=(羽y,z),

[n-BQ=0口口j-2x+y+2z=0口1

則〈*即4),取x=l,則nry=l,z=-,

n-BD-0[—2x+2y-02

而平面040的法向量為加=(1,0,0),故cos(私〃)=——-=—.

lx-3

2

二面角B-QD-A的平面角為銳角，故其余弦值為三.

20.答案：(1)—+y2=i

4

⑵(1,3)

22

解析：⑴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=+2=1(?！?〉0),

ab

b=l

則<=解之得：a=2,b=l9c=y/3.

a2

a2=b2+c2

2

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+y2=i.

4

(2)設(shè)尸(%,%)弦腦V的中點(diǎn)，設(shè)“(%,%),N(%2，%)，

y=kx+m

22

V得（4左2+l）x+8bnx+4（m-1）=0,

由X221

—+y=1

14'

2

—8km4（m-l

因?yàn)橹本€與橢圓相交，所以石+馬=

4公+1'為”2-4左2+1

2

A=（8—2）2—16（4左2+l）（m—1）>0n<1+4左2,①

m

x+x94km匚匚J”7

x=-------"（）+9?

0，/TT以％=加=—2

°24左2+1%04k+1

_%+1m+l+4k2

??KAD=~，

xQ4km

又|皿=|訓(xùn)，APLMN,

貝1]_加+1+4,2=_1,即3m=4左2+1,②

4kmk

把②代入①得m2＜3m,解得0V加＜3,

由②得42=網(wǎng)二1〉0,解得相＞L

43

綜上可知機(jī)的取值范圍為31

21.答案：（1）受

625

（2）方案一

（3）分布列見解析，|

解析：（1）設(shè)“從這100箱橙子中隨機(jī)抽取1箱，抽到一級品”為事件A,