廣東省廉江市2023-2024學(xué)年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

廣東省廉江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知向量a=(-l,2),b=(x,x-l),若僅一2a)//a,則尤=()

12

A.-B.yC.1D.3

兀JT

2.已知函數(shù)/'(x)=sin(2019x+i)+cos(2019x-7)的最大值為M,若存在實(shí)數(shù)機(jī),“，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x總有

/(a)</(%)</⑺成立，則“愀一”的最小值為()

兀4乃

A.-------B.-------C.

2019201920194038

1JT

3."sinx=—”是"X=2ATT+—（左eZ）”的（）

26

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.在正方體ABC。-44G。中，E,尸分別為CG，?！ǖ闹悬c(diǎn)，則異面直線A尸，OE所成角的余弦值為()

A】B.孚C.半1

D.-

5

5.某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成績(jī),

并根據(jù)這2000名學(xué)生的成績(jī)畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，則成績(jī)?cè)冢?50,350］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為()

A.800B.1000C.1200D.1600

jr3

6.在直角AABC中，NC=e，AB=4,AC=2,若">=萬45,則()

A.-18B.-673C.18D.6出

7.設(shè)函數(shù)/'(%)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)了>0時(shí)，f'(x)lnx<--f(x),則使得，—1)/(%)〉0成立

x

的X的取值范圍是()

A.(-l,0)J(0,l)B.(-w-l)U(l,^)

c.(-i,o)?(1,?)D.y,-i)“(o,i)

8./(x)=《］在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是()

sinx

OO

ATO'B7TTF

c:DUli

?「'itr

xlnx-2x,x>0

9.已知函數(shù)/(x)=23n的圖像上有且僅有四個(gè)不同的關(guān)于直線y=T對(duì)稱的點(diǎn)在g(x)=kx—l的圖像

XH-X,XU

12

上，則后的取值范圍是()

A.(J$B.(；,：)C.(1,1)D.(g,l)

x+y>-\

10.若實(shí)數(shù)X。滿足不等式組2yW-l，則2x-3y+4的最大值為()

2x-y-l<0

A.-1B.-2C.3D.2

11.我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,

有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.某中學(xué)

擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝

時(shí)期專著的概率為（）

3749

A.-B.—C.—D.—

510510

12.已知非零向量a，人滿足（a—（b-y[2a）1b,則。與人的夾角為（）

71U7T71

A.—B.—C.—D.一

6432

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在△ABC中，a=3,b=2#,B=2A,則cosA=.

14.若“5=40+〃1（*.2）+。2。＞2）2+.??+。5（%-2）5,貝（IQ尸,〃1+〃2+.??+。5=

22

15.如圖，已知圓內(nèi)接四邊形A5CD,其中AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,則二一+--=.

sinAsinB

16.-十〔的二項(xiàng)展開式中，含五項(xiàng)的系數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）記函數(shù)/（x）=x+g的最小值為加.

（1）求加的值；

9

（2）若正數(shù)b,c滿足abc=m,證明：ab+be+ca2--------.

a+b+c

18.（12分）每年的寒冷天氣都會(huì)帶熱“御寒經(jīng)濟(jì)”，以交通業(yè)為例，當(dāng)天氣太冷時(shí)，不少人都會(huì)選擇利用手機(jī)上的打

車軟件在網(wǎng)上預(yù)約出租車出行，出租車公司的訂單數(shù)就會(huì)增加.下表是某出租車公司從出租車的訂單數(shù)據(jù)中抽取的5天

的日平均氣溫（單位：℃）與網(wǎng)上預(yù)約出租車訂單數(shù)（單位：份）；

日平均氣溫（℃）642-2-5

網(wǎng)上預(yù)約訂單數(shù)100135150185210

（1）經(jīng)數(shù)據(jù)分析，一天內(nèi)平均氣溫xC與該出租車公司網(wǎng)約訂單數(shù)V（份）成線性相關(guān)關(guān)系，試建立V關(guān)于x的回歸

方程，并預(yù)測(cè)日平均氣溫為-7。（2時(shí)，該出租車公司的網(wǎng)約訂單數(shù)；

（2）天氣預(yù)報(bào)未來5天有3天日平均氣溫不高于-5P,若把這5天的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)當(dāng)成真實(shí)的數(shù)據(jù)，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，則

從這5天中任意選取2天，求恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于210份的概率.

附：回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：

〃n

、X（%一元）（%一9）X%%一》一

b----------------=-----------,a-y-bx

元）2Ex，一沅2

1=11=1

19.（12分）在四邊形ABCP中，AB=BC=0/P=%,K4=PC=2；如圖，將上4c沿AC邊折起，連結(jié)P5,

3

使PB=PA,求證：

（1）平面ABC_L平面P4C；

（2）若E為棱上一點(diǎn)，且AP與平面PCV所成角的正弦值為且，求二面角尸―PC-A的大小.

4

20.（12分）如圖，正方形AG/C是某城市的一個(gè)區(qū)域的示意圖，陰影部分為街道，各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等,

A~/處為紅綠燈路口，紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下：先直行綠燈30秒，再左轉(zhuǎn)綠燈30秒，然后是紅燈1分鐘，右轉(zhuǎn)不受紅

綠燈影響，這樣獨(dú)立的循環(huán)運(yùn)行.小明上學(xué)需沿街道從/處騎行到4處（不考慮A/處的紅綠燈），出發(fā)時(shí)的兩條路線

等可能選擇，且總是走最近路線.

FTirTl

rHoa

（1）請(qǐng)問小明上學(xué)的路線有多少種不同可能？

（2）在保證通過紅綠燈路口用時(shí)最短的前提下，小明優(yōu)先直行，求小明騎行途中恰好經(jīng)過E處，且全程不等紅綠燈

的概率；

（3）請(qǐng)你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值，為小明設(shè)計(jì)一條最佳的上學(xué)路線，且應(yīng)盡量避開哪條路線？

21.（12分）如圖，已知橢圓?==.，二為其右焦點(diǎn)，直線二二二二二-二二二v與橢圓交于二二二.二二.二

兩點(diǎn)，點(diǎn)—在上，且滿足-=---1=.（點(diǎn)從上到下依次排列）

（7）試用二表示二二|：

（〃）證明：原點(diǎn)二到直線/的距離為定值.

22.（10分）隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展，我國(guó)對(duì)于環(huán)境保護(hù)越來越重視，企業(yè)的環(huán)保意識(shí)也越來越強(qiáng).現(xiàn)某大型企業(yè)為此建

立了5套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，并制定如下方案：每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用預(yù)算定為1200萬元，日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)

測(cè)系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，則立即檢查污染源處理系統(tǒng)；若有耳氏有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，則

立即同時(shí)啟動(dòng)另外2套系統(tǒng)進(jìn)行1小時(shí)的監(jiān)測(cè)，且后啟動(dòng)的這2套監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，也立

即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個(gè)時(shí)間段（以1小時(shí)為計(jì)量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)的概率均為。（0<p<1）,

且各個(gè)時(shí)間段每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.

（1）當(dāng)p=g時(shí)，求某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；

（2）若每套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)運(yùn)行成本為300元/小時(shí)（不啟動(dòng)則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用），除運(yùn)行費(fèi)用外，所有的環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)

每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要100萬元.現(xiàn)以此方案實(shí)施，問該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用是否會(huì)超過預(yù)算（全年按9000小時(shí)計(jì)

算）？并說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.

【詳解】

由題意得，人一2〃=(2+%,%—5),

(b-2aj//a,

2(2+x)+x-5=0,

解得X=g.

3

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量平行定理，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到〃x)=2sin(2019x+?),進(jìn)而可以得到函數(shù)的最值，區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于

半個(gè)周期，最終得到結(jié)果.

【詳解】

函數(shù)

f(x)=sin^2019x+^+cos^2019x-^=2^(sin2019x+cos2019x+cos2019x+sin2019x)

=V2(sin2019x+cos2019x)=2sin(2019x+?)

則函數(shù)的最大值為2,M=

存在實(shí)數(shù)私"，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x總有/(加卜/⑴4/⑺成立，則區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期，即

m-n>———2\m-n\=27r

20191l,mn2019

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】

這個(gè)題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較綜合.

3、B

【解析】

|jr57r

sinx=—ox=2左"+—(左eZ)或x=2br+——(左eZ),從而明確充分性與必要性.

266

【詳解】

由sin%=—可得：冗=2k?！ㄅ闦）或%=2ki+——GZ）,

266

JT1

即%=2k?！鲆唬ǎァ闦）能推出sinx=—,

62

1JT

但sin%=—推不出冗=2左〃+—（左wZ）

26

171

“sinx=—”是“x=2左乃+—（左eZ）”的必要不充分條件

26

故選3

【點(diǎn)睛】

本題考查充分性與必要性，簡(jiǎn)單三角方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

連接跳，BD,因?yàn)?E//AF,所以/BED為異面直線AF與OE所成的角（或補(bǔ)角），

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,取3。的中點(diǎn)為G,連接EG,在等腰AB團(tuán)中，求出cos/BEG=生=型，在利用

BE6

二倍角公式，求出cos/班。，即可得出答案.

【詳解】

連接BE,BD,因?yàn)锽E//AF,所以/BED為異面直線AF與所成的角（或補(bǔ)角），

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則BE=DE=BBD=272-

在等腰AB田中，取BD的中點(diǎn)為G,連接EG,

_____h

則EG—《5—2=y/3>cos/BEG=-----=—產(chǎn),

BE45

所以cosABED=cos2NBEG=2cos2ZBEG-1,

31

即：cosABED=lx——1=-,

55

所以異面直線AF,OE所成角的余弦值為g.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式，還考查空間思維和計(jì)算能力.

5^B

【解析】

由圖可列方程算得“，然后求出成績(jī)?cè)冢?50,350］內(nèi)的頻率，最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)x頻率可以求得成績(jī)?cè)冢?50,350］內(nèi)的

學(xué)生人數(shù).

【詳解】

由頻率和為1,得(0.002+0.004+2a+0.002)x50=l,解得a=0.006,

所以成績(jī)?cè)冢?50,350］內(nèi)的頻率=(0.004+0.006)x50=0.5,

所以成績(jī)?cè)冢?50,350］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)=2000x0.5=1000.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

Ar1

在直角三角形ABC中，求得cosN0LB=—=-,再由向量的加減運(yùn)算，運(yùn)用平面向量基本定理，結(jié)合向量數(shù)量

AB2

積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求值.

【詳解】

JT

在直角AABC中，NC=一,AB=4,AC=2,,

2

AC1

cosZCAB=-----=—,

AB2

3

若AD=5AB,則C￡)(8=04。-AC).(AB-AC)=AOAB-A。AC-ACAB+AC?

3232351

=-AB--ABAC-ACAB+AC=-xl6--x4x2x-+4=18.

22222

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

7、D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)，令g(x)=lnx"(x)(x>0),貝!Jg'(x)=ln礦⑴+

X

由廣(X)/加〈一工“X)可得g'(九)<0,

則g(x)是區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)遞減函數(shù)，

且g⑴=lnlx/⑴=0,

當(dāng)工￡(0,1)時(shí)Znx<0,/(x)<0,(x2-lV(^)>0；

2

當(dāng)x￡(1,+co)時(shí),g(x)v0,:lnx>09?'?/(x)<0,(x-l)/(x)<0

??VG)是奇函數(shù)，當(dāng)(工0)時(shí)於)>0,(xMM?v0

:.當(dāng)(?oo,?l)時(shí)次r)>0.

綜上所述，使得(X24)/(X)>O成立的X的取值范圍是(―,一1)。(0,1).

本題選擇。選項(xiàng).

點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似

乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、

化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)

題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解

決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.

8、A

【解析】

分析函數(shù)y=/(x)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間(0,句上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).

【詳解】

令sinx/O,可得上心左eZ},即函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椴凡?左左,左wZ},定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

cos(-%)cos%

?=.=■__=_/(x),則函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，排除C、D選項(xiàng)；

sin(—x)sinx

cosx

當(dāng)Ovxv兀時(shí)，68sx>0,sinx>0,貝!!/(%)=---->0,排除B選項(xiàng).

sinx

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào)，考查分

析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

9、D

【解析】

根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為/(%)與丁=-履-1有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究/(X)的單調(diào)性從而得到

“X)的圖象；由直線y=-日-1恒過定點(diǎn)4(0,-1),通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定—左€(左ACAB)；利用過某一點(diǎn)曲

線切線斜率的求解方法可求得心。和心B，進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】

g(x)=^—1關(guān)于直線y=-l對(duì)稱的直線方程為：y=-kx-l

原題等價(jià)于/(%)與y=-日-1有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)

由y=—6―1可知，直線恒過點(diǎn)A(0,—1)

當(dāng)尤>0時(shí)，/'(%)=lnx+l-2=lnx-l

???〃力在(0,e)上單調(diào)遞減；在3”)上單調(diào)遞增

由此可得/(%)圖象如下圖所示：

其中A3、AC為過A點(diǎn)的曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為民C

由圖象可知，當(dāng)—左e（七c，L）時(shí)，/（%）與丁=-履-1有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)

、“—/，―、“mInm-2/TJ+I”0

設(shè)C。%和Inm—2加），m>0,貝!I左起=也加一1=-----------,解得：m=l

m—0

??^AC~—1

231

=2Cn+,—3=---2--，解得：7Z=—1

2n-Q

本題正確選項(xiàng)：D

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的問題；涉及到過某一點(diǎn)的曲線切線斜率的求解問題；解題關(guān)鍵是能

夠通過對(duì)稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，通過確定直線恒過的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.

10、C

【解析】

作出可行域，直線目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線/,平移該直線可得最優(yōu)解.

【詳解】

作出可行域，如圖由射線A3,線段AC,射線CD圍成的陰影部分（含邊界），作直線/：2x-3y+4=0,平移直線

I,當(dāng)/過點(diǎn)C（U）時(shí)，2=2X一3丁+4取得最大值1.

故選：C.

D

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，解題關(guān)鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個(gè)封閉圖形.

11>D

【解析】

利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結(jié)果.

【詳解】

《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝

時(shí)期.記這5部專著分別為a,4c,d,e,其中”,dC產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)

學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,共10種情況，所選2部專著中至少有一部

是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有a）,ac,ad,ae,A/d/e,cd,ce,,共9種情況，所以所選2部專著中至

mQ

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為「=一=;;;.故選D.

n10

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的

關(guān)鍵，基本事件的探求方法有⑴枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；⑵樹狀圖法：適合于較

為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先（4，用），（4,2）….（4,反），

再（4,4）,⑷也）..…（4,凡）依次（4,瓦）（4,不）.…⑷,紇）…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.

12、B

【解析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡(jiǎn)，即可由平面向量數(shù)量積定義求得a與人的夾角.

【詳解】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得（a-6b\a=J-應(yīng)a.b=。,

（b—yf2a^-b=b—yf2a-b=0,

IIFI

所以j=6a-b，即。，

由平面向量數(shù)量積定義可得/卜閭"Wcos”），

所以cos（a0=等，而,，。卜［0,句，

TT

即。與5的夾角為：.

4

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，平面向量夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、逅

3

【解析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解.

【詳解】

解：b=2a,B=2A,

...由正弦定理可得：三n=——h=——h--

sinAsinBIsinAcosA

.Ab2瓜瓜

??cosA--------?

2a2x33

故答案為逅.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14、80211

【解析】

由尤5=[2+(x—2)],利用二項(xiàng)式定理即可得%,分別令x=3、％=2后，作差即可得Qi+o2"1----

【詳解】

由題意％5=[2+(x—2升二則q=小24=80,

令x=3,得%+a1+。2H----F%=3，=243,

令％=2,得〃0==32,

故+tz9+■■■+為=243—32=211.

故答案為：80,211.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

15、巫

3

【解析】

由題意可知A+C=〃，B+D=TC,在AABD和A6CD中，利用余弦定理建立

方程求cosA,同理求cos8,求sinA,sin5,代入求值.

【詳解】

由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NC=180°—NA,N￡>=180°—N反連接RD,在AABZ)中，

222

有皮J?=.2+0cosA.在ABCD中，BD=BC+CD-2BCCDcosC.

所以AB?+池？—2Ag?0cosA=BO?+CD?+2BC.o)cosA,

A§2+A￡>2—BC?-CD?62+52—32—42I，所以sinA=Jl—cos2A=Jl—*

則cosA=

2(AB-AD+BC-CD)2(6x5+3x4)

AB?+BC2-AD?—CD?62+32—52—421

連接AC,同理可得cosB=

2(AB-BC+AD-CD)2(6x3+5x4)19

~6A/10g”22142x194屈

所以sin3=-cos2B==------?所以-------1-----=--7=H---7=^=----

19sinAsinB2^106^103

故答案為：生叵

3

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理解三角形，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，意在考查方程思想，計(jì)算能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是

熟悉圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，對(duì)角互補(bǔ).

16、-160

【解析】

寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，然后取x的指數(shù)為:求得廠的值，則五項(xiàng)的系數(shù)可求得.

【詳解】

5丫1

由3-2-=—,可得r=3.

62

含G項(xiàng)的系數(shù)為(-1)3-26-3-^=-160.

故答案為：-160

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理展開式、需熟記二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)m=l(2)證明見解析

【解析】

(1)將函數(shù)/(九)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行求解；

(2)利用基本不等式或柯西不等式證明即可.

【詳解】

11

—3xH—,Jc<——

22

31

解法一：(1)f(x)=<-x+-,-一<xw

2

C11

5x—,x>——

、22

當(dāng)g時(shí)，2,

當(dāng)十W，…導(dǎo)

1,

當(dāng)X〉:時(shí)，/(x)>/Q^|=l,

所以"=/min(X)=l

—3xH—,X<—

22

311

解法二：(1)/(%)=<一%+^,—5<xK]

c11

3x—,x>一

[22

如圖

K!/

|V

--?-?一

當(dāng)X=1■時(shí)，根=￡in(x)=l

解法三：(1)/(%)=X+—+X-—+X-—>|x+—|+%--

222I2)12)2

,1,

=1+X——>1

即》=,時(shí)，等號(hào)成立.

當(dāng)且僅當(dāng)

2

當(dāng)X=1■時(shí)機(jī)=Xnin(X)=l

解法一(2)由題意可知，cib+be+CCL——I---1—9

cab

9

因?yàn)椤?gt;0,b>0,c>0,所以要證明不等式〃b+bc+co2--------

a+b+c

只需證明|-H---F—|(a+Z?+c)>9,

\cab)

因?yàn)?，+4+工](〃+/?+。)23：/^—3^^=9成立，

cab

所以原不等式成立.

解法二：(2)因?yàn)閍>0，Z?>0,c>0,所以

a+b+c>3y/abc>0,

又因?yàn)?c=l,

所以(a+Z?+c)(ab+Z?c+ac)23月abc?3,〃252c2=9，

(ab+bc+ac\a+b+c)>9

9

所以ab+bc+caN-------,原不等式得證.

a+b+c

補(bǔ)充：解法三：(2)由題意可知，ctb+be+cu=—I---1—,

cab

9

因?yàn)椤?gt;0,Z?>0,c>0,所以要證明不等式ab+bc+caN-------，

a+b+c

只需證明|—H—+—|(a+Z?+c)>9,

\abc)

/111\(11]\2

由柯西不等式得：—I--1■—(tz+Z?+c)>y[a?—=+y[b?—j=+y/c-—j==9成立，

bcjIyja<c)

所以原不等式成立.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了絕對(duì)值函數(shù)的最值求解，不等式的證明，絕對(duì)值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用，考查

了學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力.

3

18、(1)y=-9.5x+165.5,232；(2)-

【解析】

(1)根據(jù)公式代入求解；

(2)先列出基本事件空間O,再列出要求的事件，最后求概率即可.

【詳解】

解：(1)由表格可求出于=1,9=156,X%，=20,5R9=780,X%；=85代入公式求出B=—9.5，

Z=1Z=1

所以a=]_/^=165.5,所以,=_9.5x+165.5

當(dāng)x=-7時(shí)，y=(-9.5)x(-7)+165.5=232.

所以可預(yù)測(cè)日平均氣溫為-7P時(shí)該出租車公司的網(wǎng)約訂單數(shù)約為232份.

(2)記這5天中氣溫不高于-5。(3的三天分別為AB,c,另外兩天分別記為。，石，則在這5天中任意選取2天有

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10個(gè)基本事件，其中恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于210份的有

AD,AE,BD,BE,CD,CE,共6個(gè)基本事件，

所以所求概率=*=|，即恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于20份的概率為1.

【點(diǎn)睛】

考查線性回歸系數(shù)的求法以及古典概型求概率的方法，中檔題.

19、(1)證明見詳解；(2)當(dāng)

6

【解析】

(1)由題可知，等腰直角三角形ABC與等邊三角形PAC,在其公共邊AC上取中點(diǎn)。，連接08、OP,可得

OB±AC,OP±AC,可求出OP=JL在中，由勾股定理可證得03,結(jié)合。PcAC=O,可證明

OB，平面PAC.再根據(jù)面面垂直的判定定理，可證平面ABC，平面PAC.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,由點(diǎn)尸在線段上，設(shè)AF=〃2A8(0(根＜1),

得出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面PbC的一個(gè)法向量〃.用向量法表示出AP與平面PC尸所成角的正弦值，由其等于

B,解得〃.再結(jié)合為平面P4C的一個(gè)法向量，用向量法即可求出〃與的夾角，結(jié)合圖形，寫出二面角

4

廠一PC—A的大小.

【詳解】

jr

證明：(1)在AR4C中，PA=PC=2,NP=—

3

.?.34C為正三角形，且AC=2

在ABC中，AB=BC=拒

ABC為等腰直角三角形，且

取AC的中點(diǎn)。，連接03,0。

:.OB±AC,OP±AC

OB=1,OP=?PB=PA=2,

:.PB2=OB2+OP2，

：.OPLOB

OPAC=O,AC,OPu平面PAC

05,平面PAC

03u平面ABC

..平面ABC±平面PAC

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,則

A(0,-l,0),B(l,0,0),C(0,l,0),尸(0,0,幣),

AB=(l,l,0),AP=(0,l,^)>

CP=(0,-1,0),CA=(0,-2,0),

設(shè)AR=mAB(0<m<1).貝！ICF=CA+AF=(m,m-2,0)

設(shè)平面PFC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).則

n-CF=0

n-CP=0

nvc+y(m-2)=0

-y+-j3z=0'

2—772[T

,r-x=------73

令y=6,解得Sm

z=1

AP與平面PFC所成角的正弦值為旦,

4

n-AP273_y/3

\n\\AP\2-"+3+」彳

Vm

整理得3-+4m—4=0

2人

解得加=§或加二一2(含去)

/.n=(2A/3,1)

又OB為平面PAC的一個(gè)法向量

n-OB_y/3

/.cos〈氏OB)=HM=T

jr

二面角F-PA-C的大小為.

o

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解決線面角、二面角的問題，屬于中檔題.

20、(1)6種；(2)—；(3)/一尸—CfA.

64

【解析】

(1)從4條街中選擇2條橫街即可；

(2)小明途中恰好經(jīng)過E處，共有4條路線，即OfA,ITHTETBTA,IfFfEfDfA,

IfFfEfBfA,分別對(duì)4條路線進(jìn)行分析計(jì)算概率；

(3)分別對(duì)小明上學(xué)的6條路線進(jìn)行分析求均值，均值越大的應(yīng)避免.

【詳解】

(1)路途中可以看成必須走過2條橫街和2條豎街，即從4條街中選擇2條橫街即可，所以路線總數(shù)為C：=6條.

(2)小明途中恰好經(jīng)過E處，共有4條路線:

1313

①當(dāng)走EfOfA時(shí),全程不等紅綠燈的概率A=-x-x-xl=—；

②當(dāng)走/fHf石f8fA時(shí)，全程不等紅綠燈的13概1率1忘3;

③當(dāng)走/—＞尸—＞石—-A時(shí)，全程不等紅綠燈的概率23=5'1、］、1=瓦；

④當(dāng)走廠.石f時(shí)，全程不等紅綠燈的概率P4=；x；x；x；=W，

所以途中恰好經(jīng)過E處，且全程不等信號(hào)燈的概率

331311

p=PT+p2+Pa+PA=-----'--------1----1----=--

1234321283212864

(3)設(shè)以下第i條的路線等信號(hào)燈的次數(shù)為變量X”則

①第一條：則E(Xj=|；

②第二條：/-尸-C-Bf