2024屆山東省青島市西海岸新區(qū)膠南第一高級中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆山東省青島市西海岸新區(qū)膠南第一高級中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，分別為角的對邊，若的面積為，則的值為（）A． B． C． D．2．已知在中，為線段上一點(diǎn)，且，若，則（）A． B． C． D．3．在數(shù)列中，，且數(shù)列是等比數(shù)列，其公比，則數(shù)列的最大項(xiàng)等于（）A． B． C．或 D．4．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，,=1，若，則＝()A．22019 B．22020 C．22017 D．220185．在ABC中，．則的取值范圍是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）6．圓錐的母線長為，側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐表面積為（）A． B． C． D．7．為了了解某同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對他的6次數(shù)學(xué)測試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出的莖葉圖如圖所示，則下列關(guān)于該同學(xué)數(shù)學(xué)成績的說法正確的是()A．中位數(shù)為83 B．眾數(shù)為85 C．平均數(shù)為85 D．方差為198．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”.其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”，則該人第五天走的路程為（）A．48里 B．24里 C．12里 D．6里9．已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則()A． B． C． D．10．在四邊形中，，，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成三棱錐，如圖，則在三棱錐中，下列結(jié)論正確的是（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面D．平面平面二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．關(guān)于的不等式的解集是，則______．12．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若正項(xiàng)數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列_________也是等比數(shù)列.13．在中，若，則等于__________.14．若函數(shù)的圖象與直線恰有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則的取值范圍是________.15．已知向量（1，x2），（﹣2，y2﹣2），若向量，共線，則xy的最大值為_____．16．如圖，正方體中，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，為棱上一點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：.18．如圖，圓錐中，是圓的直徑，是底面圓上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為半徑的中點(diǎn)，連.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）當(dāng)是邊長為4的正三角形時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.19．已知（1）求的值；（2）求的最小值以及取得最小值時(shí)的值20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)圖象的對稱軸方程;（2）若對于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx.(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍；(2)當(dāng)b＝1時(shí)，若對任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：由已知條件及三角形面積計(jì)算公式得由余弦定理得考點(diǎn)：考查三角形面積計(jì)算公式及余弦定理．2、C【解析】

首先，由已知條件可知，再有，這樣可用表示出．【詳解】∵，∴，，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理，解題時(shí)用向量加減法表示出，然后用基底表示即可．3、C【解析】

在數(shù)列中，，，且數(shù)列是等比數(shù)列，其公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：．可得，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】在數(shù)列中，，，且數(shù)列是等比數(shù)列，其公比，．，．由或8時(shí)，，或9時(shí)，，數(shù)列的最大項(xiàng)等于或．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、累乘法、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．4、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】由題知∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，an≠1（n∈N*），a1+a2019＝1，∴a1+a2019＝a2+a2018＝a3+a2017＝…＝a1009+a1011a1010=1,∴a1010∴f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝41009×（﹣2）＝﹣1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題，注意：若{an}為等差數(shù)列，且m+n=p+q,則，性質(zhì)的應(yīng)用.5、C【解析】

試題分析：由于，根據(jù)正弦定理可知，故．又，則的范圍為.故本題正確答案為C.考點(diǎn)：三角形中正余弦定理的運(yùn)用.6、B【解析】

由圓錐展開圖為半徑為的半圓，得出其弧長等于圓錐的底面圓周長，可得出圓錐底面圓的半徑，然后利用圓錐的表面積公式可計(jì)算出圓錐的表面積.【詳解】一個(gè)圓錐的母線長為，它的側(cè)面展開圖為半圓，半圓的弧長為，即圓錐的底面周長為，設(shè)圓錐的底面半徑是，則得到，解得，這個(gè)圓錐的底面半徑是，圓錐的表面積為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐表面積的計(jì)算，計(jì)算時(shí)要結(jié)合已知條件列等式計(jì)算出圓錐的相關(guān)幾何量，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.7、C【解析】試題分析：A選項(xiàng)，中位數(shù)是84；B選項(xiàng)，眾數(shù)是出現(xiàn)最多的數(shù)，故是83；C選項(xiàng)，平均數(shù)是85，正確；D選項(xiàng)，方差是，錯(cuò)誤．考點(diǎn)：?莖葉圖的識(shí)別?相關(guān)量的定義8、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式列方程，求得首項(xiàng)的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】設(shè)第一天走，公比，所以，解得，所以.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列前項(xiàng)和的基本量計(jì)算，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查中國古典數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】設(shè)公比為，由已知得，即，又因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為正數(shù)，所以，故，故選D.10、D【解析】

折疊過程中，仍有，根據(jù)平面平面可證得平面，從而得到正確的選項(xiàng).【詳解】在直角梯形中，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，故，所以，故，折起后仍然滿足.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以平面，因平面，所?又因?yàn)?，，所以平面，因平面，所以平面平?【點(diǎn)睛】面面垂直的判定可由線面垂直得到，而線面垂直可通過線線垂直得到，注意面中兩條直線是相交的．由面面垂直也可得到線面垂直，注意線在面內(nèi)且線垂直于兩個(gè)平面的交線.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用二次不等式解集與二次方程根的關(guān)系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到和的值，得到答案.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以關(guān)于的方程的解是，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式解集和二次方程根之間的關(guān)系，屬于簡單題.12、【解析】

利用類比推理分析，若數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列也是等比數(shù)列．【詳解】由數(shù)列是等差數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列也是等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，若數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列也是等比數(shù)列．故答案為：【點(diǎn)睛】類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．13、；【解析】

由條件利用三角形內(nèi)角和公式求得，再利用正弦定理即可求解.【詳解】在中，，，，即，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

作出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，作出函?shù)的圖像，由圖可知故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的圖像，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由題意利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，可得，再利用基本不等式，求得的最大值．【詳解】向量，，若向量，共線，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取等號．故的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算和基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

根據(jù)題意得到直線MP運(yùn)動(dòng)起來構(gòu)成平面，可得到面，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)O連接，，根據(jù)題意可得到直線MP是一條動(dòng)直線，當(dāng)點(diǎn)P變動(dòng)時(shí)直線就構(gòu)成了平面，因?yàn)镸O均為線段的中點(diǎn)，故得到，四邊形為平行四邊形，面，故得到，又面，進(jìn)而得到.故夾角為.故答案為.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是異面直線的夾角的求法；常見方法有：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)化為平面角的問題；或者證明線面垂直進(jìn)而得到面面垂直，這種方法適用于異面直線垂直的時(shí)候.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)連、相交于點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，得到，證明平面(2)證明平面推出【詳解】證明：(1)如圖，連、相交于點(diǎn)，，，，，，，∴四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，…(2)連因?yàn)槿庵侵比庵?，底面，平面，，，，，，平面，平面?【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行，線線垂直，線面垂直，意在考查學(xué)生的空間想象能力.18、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由平面，證得，再由為等邊三角形，得到，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；（Ⅱ）利用等體積法，即可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（Ⅰ）證明：在圓錐中，則平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，所以，又，所以為等邊三角形，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又，所以平面；（Ⅱ）依題意，，因?yàn)闉橹睆剑?，又，所以，中，邊上的高為，的面積為，又，，則面積為，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定與證明，以及利用等體積法求解點(diǎn)面距，其中解答中熟練線面位置關(guān)系的判定定理，以及合理運(yùn)用等體積法的運(yùn)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.【解析】

（1）將代入函數(shù)計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)降次公式和輔助角公式化簡函數(shù)為，當(dāng)時(shí)取最小值.【詳解】(1)(2)由可得，故函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)取得最小值.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的計(jì)算，三角函數(shù)的最小值，將三角函數(shù)化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.20、（1）（2）【解析】

(1)通過三角恒等變形，化簡為的形式，方便我們?nèi)パ芯颗c其相關(guān)的任何問題；（2）恒成立，可轉(zhuǎn)化，我們只需要求出最大值從而完成本題.【詳解】（1）令得，所以的對稱軸為（2）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，即恒成立故，解得【點(diǎn)睛】在研究三角函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)（值域、對稱中心、對稱軸、單調(diào)性……）我們都是將其化為（或者余弦、正切相對應(yīng)）的形式，利用整體思想，我們能比較方便的去研究他們相關(guān)性質(zhì).21、（1）5≤f(－2)≤10；（2）[－2,0).【解析】

(1)用和表示，再根據(jù)不等式的性質(zhì)求得.(2)對進(jìn)行參變分離，根據(jù)和求得.【詳解】解(1)方法一?∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.方法二設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，比較兩邊系數(shù)：?∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，下同方法一．(2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，－1≤f(x)≤1，即－1≤ax2＋x≤1，即當(dāng)x∈