湖南省衡陽八中2024年高一下數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

湖南省衡陽八中2024年高一下數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在等差數(shù)列中,，則（）A．5 B．8 C．10 D．142．已知為等比數(shù)列，是它的前項和．若，且與的等差中項為，則（）A．31 B．32 C． D．3．甲、乙兩位射擊運動員的5次比賽成績（單位：環(huán)）如莖葉圖所示，若兩位運動員平均成績相同，則成績較穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\動員成績的方差為A．2 B．4 C．6 D．84．設(shè)集合，，若存在實數(shù)t，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．下列命題中正確的是（）A．第一象限角必是銳角； B．相等的角終邊必相同；C．終邊相同的角相等； D．不相等的角其終邊必不相同.6．已知，，，則的最小值是（）A． B．4 C．9 D．57．在等差數(shù)列中，，是方程的兩個根，則的前14項和為（）A．55 B．60 C．65 D．708．若直線：與直線：平行，則的值為()A．-1 B．0 C．1 D．-1或19．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是單調(diào)遞減的是A． B． C． D．10．已知向量，，若，，則的最大值為()A． B． C．4 D．5二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在正四面體中，棱與所成角大小為________.12．已知等差數(shù)列滿足，則____________．13．在正方體中，是的中點，連接、，則異面直線、所成角的正弦值為_______.14．如圖，在中，，，，則________.15．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹進(jìn)行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為__________．16．已知三棱錐，若平面ABC，，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某工廠共有200名工人，已知這200名工人去年完成的產(chǎn)品數(shù)都在區(qū)間（單位：萬件）內(nèi)，其中每年完成14萬件及以上的工人為優(yōu)秀員工，現(xiàn)將其分成5組，第1組、第2組第3組、第4組、第5組對應(yīng)的區(qū)間分別為，，，，，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.（1）選取合適的抽樣方法從這200名工人中抽取容量為25的樣本，求這5組分別應(yīng)抽取的人數(shù)；（2）現(xiàn)從（1）中25人的樣本中的優(yōu)秀員工中隨機選取2名傳授經(jīng)驗，求選取的2名工人在同一組的概率.18．已知向量，滿足，，且.（1）求;（2）在中，若，，求.19．已知圓的方程為．（1）求過點且與圓相切的直線的方程；（2）直線過點，且與圓交于兩點，若，求直線的方程；（3）是圓上一動點，，若點為的中點，求動點的軌跡方程．20．已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）求方程的解構(gòu)成的集合.21．已知數(shù)列滿足，令（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)知，，所以，所以，故選B.考點：等差數(shù)列通項公式.2、A【解析】

根據(jù)與的等差中項為，可得到一個等式，和，組成一個方程組，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，這個方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于和公比的方程組，解這個方程組，求出和公比的值，再利用等比數(shù)列前項和公式，求出的值.【詳解】因為與的等差中項為，所以，因此有，故本題選A.【點睛】本題考查了等差中項的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式以及前項和公式，3、A【解析】

根據(jù)平均數(shù)相同求出x的值，再根據(jù)方差的定義計算即可．【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，甲、乙二人的平均成績相同，即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），解得x=1，所以平均數(shù)為=90；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知甲的成績波動性小，較為穩(wěn)定（方差較?。?，所以甲成績的方差為s1=×[（88﹣90）1+（89﹣90）1+（90﹣90）1+（91﹣90）1+（91﹣90）1]=1．故選A．【點睛】莖葉圖的優(yōu)點是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計總體情況．4、C【解析】

得到圓心距與半徑和差關(guān)系得到答案.【詳解】圓心距存在實數(shù)t，使得故答案選C【點睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計算能力.5、B【解析】

根據(jù)終邊相同的角和象限角的定義，舉反例或直接進(jìn)行判斷可得最后結(jié)果.【詳解】是第一象限角，但不是銳角，故A錯誤；與終邊相同，但他們不相等，故C錯誤；與不相等，但他們的終邊相同，故D錯誤；因為角的始邊在x軸的非負(fù)半軸上，則相等的角終邊必相同，故B正確.故選：B【點睛】本題考查了終邊相同的角和象限角的定義，利用定義舉出反例進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵.6、C【解析】

利用題設(shè)中的等式，把的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成展開后，利用基本不等式求得的最小值．【詳解】∵，，，∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故選：C．【點睛】本題主要考查了基本不等式求最值，注意一定，二正，三相等的原則，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系求出a5+a10，利用等差數(shù)列的前n項和公式及性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】∵，是方程的兩個根，可得，∴.故選D．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的運用，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．8、C【解析】

兩直線平行表示兩直線斜率相等，寫出斜率即可算出答案．【詳解】顯然，，．所以，解得，又時兩直線重合，所以．故選C【點睛】此題考查直線平行表示直線斜率相等，屬于簡單題．9、B【解析】

可先確定奇偶性，再確定單調(diào)性．【詳解】由題意A、B、C三個函數(shù)都是偶函數(shù)，D不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，排除D，A中在上不單調(diào)，C中在是遞增，只有B中函數(shù)在上遞減．故選B．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，解題時可分別確定函數(shù)的這兩個性質(zhì)．10、A【解析】

設(shè)，由可得點的軌跡方程，再對兩邊平方，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，即可得答案.【詳解】設(shè)，，∵，∴，整理得：.∵，∴，當(dāng)時，的最大值為，∴的最大值為.故選：A.【點睛】本題考查向量模的最值、模的坐標(biāo)運算、一元二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意坐標(biāo)法的運用.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征，取中點，連，，利用線面垂直的判定證得平面，進(jìn)而得到，即可得到答案.【詳解】如圖所示，取中點，連，，正四面體是四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等，所以，，且，所以平面，又由平面，所以，所以棱與所成角為.【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，以及直線與平面垂直的判定及應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.12、9【解析】

利用等差數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)求解即可【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，則．所以.故答案為：9【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題13、【解析】

作出圖形，設(shè)正方體的棱長為，取的中點，連接、，推導(dǎo)出，并證明出，可得出異面直線、所成的角為，并計算出、，可得出，進(jìn)而得解.【詳解】如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為，取的中點，連接、，為的中點，則，，且，為的中點，，，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，所以，異面直線、所成的角為，在中，，，.因此，異面直線、所成角的正弦值為.故答案為：.【點睛】本題考查異面直線所成角的正弦值的計算，考查計算能力，屬于中等題.14、【解析】

先將轉(zhuǎn)化為和為基底的兩組向量，然后通過數(shù)量積即可得到答案.【詳解】，.【點睛】本題主要考查向量的基本運算，數(shù)量積運算，意在考查學(xué)生的分析能力和計算能力.15、.【解析】分析：由題意結(jié)合古典概型計算公式即可求得題中的概率值.詳解：由題意可知了，比賽可能的方法有種，其中田忌可獲勝的比賽方法有三種：田忌的中等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的中等馬，結(jié)合古典概型公式可得，田忌的馬獲勝的概率為.點睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.16、【解析】

過B作，且，則或其補角即為異面直線PB與AC所成角由此能求出異面直線PB與AC所成的角的余弦值．【詳解】過B作，且，則四邊形為菱形，如圖所示：或其補角即為異面直線PB與AC所成角．設(shè).，，平面ABC，，．異面直線PB與AC所成的角的余弦值為．故答案為．【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）第1組：2；第2組：8,；第3組：9；第4組：3；第5組：3（2）【解析】

（1）根據(jù)頻率之和為列方程，解方程求得的值.然后根據(jù)分層抽樣的計算方法，計算出每組抽取的人數(shù).（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】（1）：，.用分層抽樣比較合適.第1組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第2組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第3組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第4組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第5組應(yīng)抽取的人數(shù)為.（2）（1）中25人的樣本中的優(yōu)秀員工中，第4組有3人，記這3人分別為，第5組有3人，記這3人分別為.從這6人中隨機選取2名，所有的基本事件為：，，，，，，，，，，，，，，，共有15個基本事件.選取的2名工人在同一組的基本事件有，，，，，共6個，故選取的2名工人在同一組的概率為.【點睛】本小題主要考查補全頻率分布，考查分層抽樣，考查古典概型的計算，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)(2)【解析】

（1）將展開得到答案.（2），平方計算得到答案.【詳解】解：（1）因為所以，，所以，，又夾角在上，∴；（2）因為，所以，，所以，邊的長度為.【點睛】本題考查了向量的夾角，向量的加減計算，意在考查學(xué)生的計算能力.19、（1）和；（2）或；（3）【解析】

（1）分斜率存在和不存在兩種情況討論，利用直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑求解；（2）根據(jù)弦長，可求圓心到直線的距離，利用距離公式，可求直線斜率；（3）利用求軌跡方程的方法(代入法)求解.【詳解】（1）當(dāng)斜率不存在時，過點的方程是與圓相切，滿足條件，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程：，直線與圓相切時，，解得：，.所以，滿足條件的直線方程是或.（2）設(shè)直線方程：，設(shè)圓心到直線的距離，，解得或，所以滿足條件的直線方程是或.（3）設(shè)，那么，將點代入圓，可得.【點睛】本題考查了直線與圓相切，相交的問題，屬于基礎(chǔ)題型，這類求直線的問題，需分斜率不存在和存在兩種情況討論，當(dāng)直線與圓相切時，利用圓心到直線的距離等于半徑求解，當(dāng)直線與圓相交時，可利用弦長公式和圓心到直線的距離求解直線方程.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用二倍角公式化簡函數(shù)，再逆用兩角和的正弦公式進(jìn)一步化簡函數(shù)，代入最小正周期公式即可得解；（Ⅱ）由得，則，求解x并寫成集合形式.【詳解】（Ⅰ），所以函數(shù)的最小正周期.（Ⅱ）由得，，解得因此方程的解構(gòu)成的集合是：.【點睛】本題考查簡單的三角恒等變換，