高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 數(shù)列性質(zhì)常見(jiàn)考題解析版

第二部分

題型方法

用數(shù)列性質(zhì)?；?/p>

題型一:數(shù)列公共項(xiàng)問(wèn)題1

、

【題目11已知集合M={s\s=2n+1,n6Z},N={t\t=4九一1,rzGZ},則TVfDN=()

A.0B.MC.ND.Z

X.___/

【解析】集合7W={s|s=2n+l,nEZ}={奇數(shù)},

N={址=4九一1,九ez}={…,一5,一1,3,7,…},??.NqM,貝IMCN=N.

故選：C

題目也已知無(wú)窮等比數(shù)列｛Q/和｛&｝滿(mǎn)足的=3,⑥=。20，的各項(xiàng)和為9,則數(shù)列｛心｝的各項(xiàng)和為

【解析】設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列｛QJ的公比為q(qW1),

則lim(ai+a2H----Fan)=?-=9,即—=9,所以q=4，

Soo1—q1-qo

?9

所以4=。2=3x區(qū)"=2,

o

由勾=Q2九,知無(wú)窮等比數(shù)列仍九｝的公比為q2=*，

y

所以螞("+勿+…+6n)=/i窿==

1~~9

故答案為：?jiǎn)?

5

'題目|三)已知數(shù)歹］｛冊(cè)｝是公差不為0的等差數(shù)歹!J,從該數(shù)歹!J中抽取某些項(xiàng)：的，&5,如，時(shí)［，皈…，a.組成等

比數(shù)列.

(1)求公比；

(2)求數(shù)列｛kn｝的通項(xiàng)公式,求數(shù)列「半*的最大值項(xiàng).

\__________________________________________________________________________________________________

【解析】(1)設(shè)｛QJ的首項(xiàng)為Q1,

,a5,Qu成等比數(shù)列，,(Qi+4d尸=電(。1+16d).

Qi+4d6d

得出=2d,I.公比q=—

aiQi2d

n1n1—

(2)*.*akn=a[+(kn—l)d,又a1m=a-i,3,=2,31.

.「鼠+1)=九?(2?3-1—1+1)=幾?(2?3九-1)=-3九

[3》(n+l)-3"+1、3(n+1)

3-4n3-4n+1即4

若第n項(xiàng)最大，則滿(mǎn)足：?

n-3n、(n-1)-3n，3ZL>n-l

〔3?4九-3?4”T[4

力>3

二.,?，.3<?2<4,即n=3或？1=4時(shí)，最大.

nW4

跟蹤訓(xùn)練［］已知等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為倒，數(shù)列他｝是公比為2的等比數(shù)列，且的=如=4,$3=21.

(1)求數(shù)列｛斯｝和數(shù)列仍“｝的通項(xiàng)公式；

(2)現(xiàn)由數(shù)列｛a“｝與｛fej按照下列方式構(gòu)造成新的數(shù)列｛品｝.

?1?

①將數(shù)列｛源｝中的項(xiàng)去掉數(shù)列｛fej中的項(xiàng)，按原來(lái)的順序構(gòu)成新數(shù)列｛小｝;

②數(shù)列｛冊(cè)｝與｛0｝中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A與B,將集合AUB中的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成

一個(gè)新數(shù)列｛品｝.

在以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求數(shù)列｛cj的前30項(xiàng)和.

【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列仍”｝為等比數(shù)列，且1=4,g=2,

所以勾=為x（T~2=4x2"7=2",

又因?yàn)镾3—ai+a2+a3—3a2=21,所以a2=7,又的=4,則d—3,

故等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為=4+（n—1）X3=3n+1;

（2）因?yàn)閍“=3n+1,6”=2",

所以瓦=2,62=4,b3—8,bi—Id,i>5—32,b6=64,br-128,

而a30=91,<131=94,a32=97,a33=100<fe7=128,

若選①，

因?yàn)閼c，i>4,%在數(shù)列｛&｝前30項(xiàng)內(nèi)，如b3,氏不在數(shù)列｛a,J前30項(xiàng)內(nèi),

則數(shù)列｛品｝前30項(xiàng)和為：S33—為一區(qū)一瓦=33x4+33產(chǎn)x3-（4+16+64）=1632;

若選②，

因?yàn)槌?，?均在數(shù)列｛冊(cè)｝前30項(xiàng)內(nèi)，瓦,b3,d不在數(shù)列｛a,J前30項(xiàng)內(nèi),

97y

則數(shù)列｛cj前30項(xiàng)和為:$27+瓦+h+園=27x4+—x3+（2+8+32）=1203.

題型二:數(shù)列插項(xiàng)問(wèn)題

'題目也構(gòu)造數(shù)組，規(guī)則如下:第一組是兩個(gè)1，即（1,1），第二組是（1，2,1）,第三組是（1,3,2,3,1）,…，在每

一組的相鄰兩個(gè)數(shù)之間插入這兩個(gè)數(shù)的和得到下一組.設(shè)第九組中有冊(cè)個(gè)數(shù)，且這冊(cè)個(gè)數(shù)的和為Snde

N）.則$2021—（）

2020202120212020

X____A__._3____+__2______________B_.__3____+_2_______________C_._3____+__1_______________D_.__3___+__1________________

【解析】設(shè)Sn中數(shù)組是（瓦，%…，演），即Sn—b1+62H----1■星，

則S“+1的數(shù)組是（仇，bi+b2,b2,62+63,…，瓦T,瓦T+瓦，瓦），

Sn+l比Sn的數(shù)組中多了這些數(shù)：

bi+》2,慶十b3,…，既一2+既-1,bk-i+bk,

這些數(shù)相加，除瓦，既只出現(xiàn)1次外，戾，與，…，瓦T均出現(xiàn)2次，

而瓦=瓦=1,所以Sn+l=S”+2Sn—2=3Sn—2,

因此Sn+1—1=3（S?-1）,

又g=2,S—1=1WO,所以｛Sn—l｝是等比數(shù)列，公比為3,S“T=3"T,

所以S”=3"T+1,從而5*2021=32020+1,

故選：D.

題目區(qū)在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積,形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”.將

數(shù)列1,2進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列1,2,2；第二次得到數(shù)列1,2,2,4,2；….若第八次“擴(kuò)展”后得到的

數(shù)列為1,電，電，■■■,xt,2,并記％=log2（l?判?電…，?e?2）,其中方=2"—1,?1,6N*,則數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)

和為.

【解析】0n=log2（l?工廠避...Q⑵,

可得a?+i=log2[1?（1-3；1）?a；i?（尤@2）?啊……以2珀?2]=log2c?屑?酒…磅2?）=3a“一L

a-n+i-iy=3（a”--y）?

則｛冊(cè)一2｝是首項(xiàng)為2—4=''公比為3的等比數(shù)列，

n-1n-1

可得冊(cè)一言二"|~,3,an=-3+,

?2?

3n+1+2n-3

?e?S-：QF=

n4

故答案為：3鵬+，—一3

:題目區(qū)在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積,形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”.將,

數(shù)列1,2進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列1,2,2;第二次得到數(shù)列1,2,2,4,2；….設(shè)第n次“擴(kuò)展”后所得數(shù)

列為為，力…，并記（?劣力館?）則數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式為.

X.________1__,_____2_,________2__,_____Q__n_=_l_o_g_2__l___1_?_6_2________2___,_______________________,

【解析】On=log2（l?電,力2/m,2）,

32

可得an+1=log2[l?（1-的）?X1-（力何2）?電,?…Xm（2xm）-2]=log2（l?酒?澧??…x^-2）=3an-l.

設(shè)%垃+1=3（。九+1），即為an+1=3an+2可得力=—.,

則｛斯-1｝是首項(xiàng)為2—5,公比為3的等比數(shù)列，

可得冊(cè)一4=等?3”T,即為5=號(hào)工nGN*.

故答案為：an—3.I,nGN*.

跟藤訓(xùn)練」：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的平均數(shù)，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次

“擴(kuò)展”.將數(shù)列1,2進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列14,2；第二次得到數(shù)列1,告弓,弓,2；第八次得到數(shù)列

1,電，電…，2,則第n次得到的數(shù)列項(xiàng)數(shù)為_(kāi)2"+1.

【解析】設(shè)第n次“擴(kuò)展”得到的數(shù)列項(xiàng)數(shù)為bn,

則瓦=3,匕2=5,.,

第九+1次“擴(kuò)展”后得到的數(shù)列可在第九次“擴(kuò)展”后得到的與項(xiàng)數(shù)中任意相鄰的兩項(xiàng)中取其平均數(shù)，共增

加了勾―1個(gè)數(shù)，

bn+1=2bn-l,：,fen+1-l=2（b?-l）,

又???仇一1=3—1=2片0,

數(shù)列｛第一1｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

n

bn-1=2",：.bn=2+1,

由題意可知,每次“擴(kuò)展”后所得到的數(shù)列均為等差數(shù)列，

則%=⑵+?。+2）=3-2“T+方，

Sn=（3*2°+|-）+（3x2]+5）+……+（3x2”一+=3（二;）+萼=3?2"+萼―3,

故答案為：2"+1,3?2"+萼一3.

，跟蹤訓(xùn)練②構(gòu)造數(shù)組，規(guī)則如下:第一組是兩個(gè)1,即（1,1）,第二組是（1,2a,1）,第三組是（1,O（1+2a）,2a,

a（2a+1）,1）…，在每一組的相鄰兩個(gè)數(shù)組之間插入這兩個(gè)數(shù)的和的a倍得到下一組，其中aC（0,J）,設(shè)

第九組有an個(gè)數(shù)，且這冊(cè)個(gè)數(shù)的和為S?（neN*）.

⑴求a”和S”；

的-1a2—la?-1n

（2）求證：§+s,+?一+下—>了.

【解析】（1）由題意可知的=2,

當(dāng)n>2時(shí)，a”=an-i+（a,n-i-1）=2an-i—1,：.（1n—1=2（an_j—1）.

n-1

/.an-l=2~\ai-1）=2j./.an=2"+1.

由數(shù)列的構(gòu)造規(guī)則可知S、=2,Sn=Su+2aSn_i-2a=（2a+1）SOT-2a,

AS?-l=（2a+1）（Ski-1）=（2a+1—-1）=（2a+1尸,

n1

.-.Sn=（2a+l）-+l.

（2）設(shè)bn==（2a+；）"T+i，則圖+i=^a+lY+1'

?3?

?：aE(0,^),l<2a+l<2,A(2a+l)n<2(2a+I)"-1,

/.(2a+l)n+l<2(2a+l)"-1+2,

2n2n2^-1

"(2a+l)"+l>2(2a+l)n-1+2-(2a+l)n-1+1-

即廉是遞增數(shù)列.

bn>fen_j>bn-2>--->b2>br-y.

,,,,,、77,c一Qi-1do—1QJ”-1、ri

bn+bn-i+bn-2-\-----\~b2+仇>-5-，即-Q----1-----Q-----1-----1----Q—>-.

跟蹤訓(xùn)練3j已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為2,前幾項(xiàng)和為Sn，且an+1=2Sn+2.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式;

(2)在“與冊(cè)記之間插入幾個(gè)數(shù)，使這九+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列，若數(shù)列｛cj滿(mǎn)足c.=

生二％”,求數(shù)列｛c.｝的前幾項(xiàng)和.

【解析】(1)當(dāng)九>2時(shí)，an+1=2Sn+2,a“=2S“_i+2,/.an+1-a?=2a?,an+1=3an,

==n-1

且九=1時(shí)，a22ai+2=6,:a23ai也滿(mǎn)足上式，/.a?=2-3;

Q?+]-a^n4?3”T

(2)根據(jù)題意，dn=

n+1n+1

2九一1.4?3“T=/311_

nn+1\n+1n/J

.?.｛c“｝的前九項(xiàng)和黑=4傳一1+看一…+五汩一*)=4(言］—1).

題型三：數(shù)列規(guī)律問(wèn)題/

’題目q0—1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列aQ…4…滿(mǎn)足a,e｛0,l｝(i=L2,…)，且存

在正整數(shù)小，使得ai+m=a,(i=1,2,…)成立，則稱(chēng)其為0—1周期序列，并稱(chēng)滿(mǎn)足ai+m=a,：(i=1,2…)的最

1_小_

小正整數(shù)m為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為恒的0—1序列QQ…％…，C(fc)=一網(wǎng),+』k=L2,

"i=i

m-1)是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0—1序列中,滿(mǎn)足C(fc)＜《國(guó)=1,2,3,4)的序列是

A.11010???B.11011???C.10001???D.11001???

【解析】對(duì)于4選項(xiàng)：序列1101011010

5

。⑴—卷〉7?！辍Ｉ?=]~(1+0+0+0+0)=《,

o1.=1,oo

I2,3,4),故排除A;

i=l

對(duì)于B選項(xiàng)：序列1101111011

5

C⑴==\"(1+0+0+1+1)，不滿(mǎn)足條件，排除;

2=1

對(duì)于。選項(xiàng)：序列100011000110001

5

c⑴—虧2處。升1=4-(0+0+0+0+1)=看,

i=l

。(2)—~^~>^a0Qz+2--7-(0+0+0+0++0)—0,

i=l

。⑶=-y^a^+3=-^-(0+0+0+0+0)=0,

F51r

，符合條件,

。1=1。

于。選項(xiàng)：序列1100111001

?4?

5

。(1)==卷(1+0+0+0+1)=>-p-不滿(mǎn)足條件.

O￡=]333

故選：C.

:題目區(qū)已知T,s"為整數(shù)，集合4={a|a=2「+2'+*0Wr<S<田中的數(shù)從小到大排列,組成數(shù)列{廝},

女口電=7,0-2=11，0121=()

A.515B.896C.1027D.1792

【解析】當(dāng)±=2時(shí)，r只能取0,s只能取1,故符合條件的項(xiàng)有。：=1項(xiàng)；

當(dāng)t=3時(shí)，/和s從0,1,2中取兩個(gè),故符合條件的項(xiàng)有點(diǎn)=3項(xiàng)；

同理，當(dāng)力=4時(shí)，符合條件的項(xiàng)有或=6項(xiàng)；

以此類(lèi)推可知，因?yàn)榫c+C；+以+…+=120;

的21是當(dāng)t=10時(shí)，r,s,t所組成的最小的項(xiàng)，即？-=0,S=1;

110

.-.a121=20+2+2=1027;

故選：C.

題目叵蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形,如圖為一組蜂巢

的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律,以/(n)表示

第九幅圖的蜂巢總數(shù)，則/(4)=()；/(n)=()

C.373n2-3n+1D.383n2+3n-1

【解析】由圖可得/(2)—/(I)=7-1=6,/(3)—f⑵=19—7=2X6,

則/(4)-/(3)=37-19=3x6,7(5)-/(4)=61-37=4x6,-??

因此，當(dāng)n>2時(shí)，有f(n)—f(n—1)=6(n—1),

所以/(n)=[/(n)-f(n-l)]+[/(n-1)-/(n-2)]+-??+[/(2)-/(1)]+/(1)

=6[(n—1)+(n—2)H---1-2+1]+1=3n2—3n+1.

又/⑴=l=3xl2—3x1+1,所以/(n)=3n2—3n+1.

當(dāng)n=4時(shí)，/(4)=3x42—3x4+1=37.

故選：C.

跟蹤訓(xùn)練[1]“0,1數(shù)列”在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用，它是指各項(xiàng)的值都等于0或1的數(shù)列.設(shè)A是一個(gè)有限

“0,1數(shù)列"，f(A)表示把A中每個(gè)0都變?yōu)?,0,1,每個(gè)1都變?yōu)?,1,0,所得到的新的“0,1數(shù)列”，例如

A={1,0},則/(A)={0,1,0,1,0,1}.設(shè)4是一個(gè)有限“0,1數(shù)列”，定義4+i=/(4),%=1,2,3,….

若有限“0,1數(shù)列"4={0,1,0},則數(shù)列A2022的所有項(xiàng)之和為.

【解析】因?yàn)?={0,1,0},

所以4={1,0,1,0,1,0,1,0,1},

A={0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0),

顯然4中有3項(xiàng)，其中2項(xiàng)為0,1項(xiàng)為1,由于每個(gè)0都變?yōu)?,0,1,每個(gè)1都變?yōu)?,1,0,

出中有9項(xiàng)，其中4項(xiàng)為0,5項(xiàng)為1,同理可得4中有27項(xiàng)，其中14項(xiàng)為0,13項(xiàng)為1,

由此可得A”中有3"項(xiàng)，其中0的項(xiàng)數(shù)與1的項(xiàng)數(shù)差的絕對(duì)值是1,

當(dāng)九為奇數(shù)時(shí)，0的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，比1的項(xiàng)數(shù)多1項(xiàng)；當(dāng)八為偶數(shù)時(shí)，0的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，比1的項(xiàng)數(shù)少1項(xiàng)；

因此，數(shù)列4o22有32°22項(xiàng)，0的項(xiàng)數(shù)比1的項(xiàng)數(shù)少1項(xiàng)，

202220222022

所以數(shù)列A2022的所有項(xiàng)之和為-1(3-1)X0+-|-(3+1)X1=-1(3+1).

故答案為：4(32022+1).

?5-

題型四：絕對(duì)值數(shù)列問(wèn)題/

’題目E普林斯頓大學(xué)的康威教授發(fā)現(xiàn)了一類(lèi)有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”，該數(shù)列的后一項(xiàng)由前一項(xiàng)的

外觀產(chǎn)生.以1為首項(xiàng)的“外觀數(shù)列”記作4,其中4為1，11，21,1211,111221,…，即第一項(xiàng)為1,外觀上

看是1個(gè)1,因此第二項(xiàng)為11；第二項(xiàng)外觀上看是2個(gè)1,因此第三項(xiàng)為21；第三項(xiàng)外觀上看是1個(gè)2,1個(gè)1,

因此第四項(xiàng)為1211,…,按照相同的規(guī)則可得4其它項(xiàng)，例如4為3,13,1113,3113,132113,…若4；的

第九項(xiàng)記作an,Aj的第九項(xiàng)記作b”,其中i,/C[2,9]，若品=此一6/,則｛品｝的前幾項(xiàng)和為（）

A.2n|i-j|B.n（i+j）C.n|i-j|D.y|i-j|

【解析】由題意得，ai=i,a2—li,a3=Illi,a4=311i,…，a"=…峰

bi=j,b2=lj,b3=lllj,b4=311j,…，bn=---j-,

由遞推可知，隨著71的增大，斯和屋每一項(xiàng)除了最后一位不同外，其余各位數(shù)都相同，

所以品=\an-br\=|i—H,所以｛c?｝的前幾項(xiàng)和為3i-/|,

故選：C.

‘彈也侈選題）對(duì)于數(shù)列｛冊(cè)｝,若存在正整數(shù)可上二2）,使得切>四_「網(wǎng)>%i，則稱(chēng)內(nèi)是數(shù)列｛aj的“峰

值”，k是數(shù)列5｝的“峰值點(diǎn)在數(shù)列｛漏中，若冊(cè)=q,下面哪些數(shù)不能作為數(shù)列｛冊(cè)｝的“峰值

點(diǎn)”？（）

A.1B.3C.6D.12

=ja

因?yàn)樗?,+旦一9|,所以ai=0,a2=3,a3^-,?4=3,a5=^-,a6=-1-7=

ITLIJ0O（

an=普,o12=用,。13=瞿，只有。3>。2,。3>。4,所以"3"是"峰值點(diǎn)”，其它選項(xiàng)不是.

-L-LO1O

、故選：4CD.

’題目區(qū)侈選題）對(duì)于數(shù)列｛冊(cè)｝,若存在正整數(shù)秘二2）,使得&VQi，&Va/，則稱(chēng)功是數(shù)歹（J｛冊(cè)｝的“谷

值”，k是數(shù)列｛冊(cè)｝的“谷值點(diǎn)”，在數(shù)列｛冊(cè)｝中，若冊(cè)=卜+,—,則數(shù)列｛冊(cè)｝的“谷值點(diǎn)”為（）

A.2B.3C.5D.7

【解析】<=卜+.—81,

???Q1—-9N,電_一A彳，_9N—4，恁_一百6_，a6_~~x29_—2彳，

Q

當(dāng)九>7,7ZCN時(shí)，72+：—8>0,

a”=ri+旦一8,此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，

n

又a2V5,a2<a3,a7<a6,c^Vag,所以數(shù)列｛%｝的“谷值點(diǎn)”為2,7,

故選：AD.

mH]J已知等差數(shù)列｛aj的前?1項(xiàng)和為S”，<13=5,<17=—3.

（1）當(dāng)n為多少時(shí)S”取最大值？

（2）若數(shù)歹（!｛4｝的每一項(xiàng)都有0=|冊(cè)],求數(shù)列｛0｝的前n項(xiàng)和Tn.

【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,

由a3=5,&7=-3,知d=4*=—2,所以飆=<13+（九-3）d=11—2n,

令a“>0,則14九45,即數(shù)列｛冊(cè)｝的前5項(xiàng)均為正數(shù)，從第6項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，

所以當(dāng)n為5時(shí)，S”取最大值.

（2）由⑴知,Sn=（3[an）九="a。_喻,.=%=|11—2箱,

當(dāng)時(shí)，Tn—Sn—n（10—n）——Th+lOn;

,2

當(dāng)九>6時(shí)，7；=S5-（Sn-S5）=2S5-Sn=50-n（10-n）=n-10n+50,

,6?

—TL+10n,7245

綜上，黑=

n2—10n+50,九>6

題型五:數(shù)列中存在性、任意性問(wèn)題g

:題目UJ設(shè)｛冊(cè)｝是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“｛冊(cè)｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)No,當(dāng)九〉No時(shí)，冊(cè)>0”

的()

,A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛冊(cè)｝是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，當(dāng)｛an｝為遞增數(shù)列時(shí)，公差d>0,

令0n=電+(n—l)d>0,解得?i>1一號(hào)，［1—詈］表示取整函數(shù)，

所以存在正整數(shù)N)=l+［1—詈］，當(dāng)九>凡時(shí)，冊(cè)>0,充分性成立;

當(dāng)n>N)時(shí)，a?>0,a”T<0,則d=a“一0,必要性成立；

是充分必要條件.

故選：C.

’題目區(qū)對(duì)于數(shù)列｛冊(cè)｝,定義4=的+2a2+…+2-%為數(shù)列｛斯｝的“加權(quán)和”，已知某數(shù)列｛%｝的“加權(quán)和”

4="?2"+i,記數(shù)列｛an+9｝的前幾項(xiàng)和為7；,若黑W￡對(duì)任意的九eN*恒成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為

()

,A.［-卷，-［］B.［—?一］］C.■，—第D.［—孚號(hào)］____________

n1n+1

【解析】由題意可得：Qi+202H-----H2"2a九t+2an=n,2,

/.n2時(shí)，?+2a2+…+2n2aj1=(n-1),2n,

n-1

相減可得：2an=n-2"i—(九一1)?2'化為：Q九=2九+2,

n=l時(shí)，QI=2?=4,滿(mǎn)足上式，

an=2n+2,GN*.

.F=a1+a2+…+a“+p(l+2+…+九)=皿等±^+2?嗎匚1="(九+3)+「?嗎也，

???9對(duì)任意的…*恒成立，人益，即3：黑梵樵，解彳T*。

故選：A.

’題目區(qū)定義:首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“小一數(shù)列”.已知數(shù)列｛&｝是首項(xiàng)和公差均為1的等差

數(shù)列.設(shè)館為正整數(shù)，若存在-數(shù)列”｛勾｝,對(duì)任意的正整數(shù)%,當(dāng)％Wm時(shí),都有與W念Wbk+1成立,則

m的最大值為

-1

【解析】由題意知，bn=g",a?=1+(n—1)=n,

k,mEN+,k^m,q—WkW/恒成立,

當(dāng)A;=l時(shí)，1=/Twiwq,

當(dāng)％=2時(shí)，q<2<q2,即血<q&2,

當(dāng)k>3時(shí)，兩邊取對(duì)數(shù)，可得舉<1114<41咚對(duì)后《小有解,

即［嚕］《皿式理與］,

Lk」maxLk一1Jmin

令/Q)=畢3>3),則f'(⑼=上粵,

xX

當(dāng)①>3時(shí)，［Q)=i—產(chǎn)<o,此時(shí)，/Q)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)%>3時(shí)，1里］=粵,

LK」maxO

31---Ino;

令gQ)=T爸3>)，則9'3)=(3)23)3)，

-7?

令(p[x)—1—--lnx(x>3),則(pf(力)=——j(%>3),

1---1---I1nx

x

當(dāng)力>3時(shí)，“（力）=-鏟V0,即g'（劣）=<0,

Lx(f2

所以g（rc）在［3,+oo）上單調(diào)遞減,

即當(dāng)k>3時(shí)』J嗎］Innz貝”ln3<]nm

L用一1」minzn—l'、3m—1

化簡(jiǎn)，得31nm—(m—l)ln3>0,

令h(m)—31nm—(m—l)ln3,則hf(m)=2—ln3,

由k>3,得?ri>3,則九'(m)=*—ln3<0,

所以無(wú)(力)在[3,+oo)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)榫泞啥?1n5-(5-l)ln3=lnl25-ln81>0,

無(wú)⑹=31n6—(6—l)ln3=ln216—ln243<0,

所以存在m0E(5,6),使得ftz(m0)=0,

所以整數(shù)小的最大值為5,此時(shí)”[3\5斗(%>3).

故答案為：5.

跟蹤訓(xùn)練1：已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為&,為=—1■，且4sl+i=3S“—9.

（1）求數(shù)列｛詼｝的通項(xiàng)；

（2）設(shè)數(shù)列｛&?）滿(mǎn)足3bn+（n-4）a?=0（nCN*）,記｛6?｝的前九項(xiàng)和為黑.

①求方；

②若黑WAbn對(duì)任意neN*恒成立,求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

Q9797

【解析】當(dāng)九二1時(shí)，4（Qi+。2）=3a1—9,4a2=3—9=—“,a2=―記,

當(dāng)n>2時(shí)，由4szi+1=35九一9①，得4s八=3Sx—9②，

①一②得4an+1=3an,a2手。，

???4片0,.?.皿=［■，又收=3，

.,.｛飆｝是首項(xiàng)為一!■，公比為年的等比數(shù)列，-（-|-）=—31;

⑵①由30+（?1-4）冊(cè)=0,得幻=-用:生冊(cè)=（九一4乂1）”，

所以式=-3x菖―2x信1―1x得）3+0x得）4+…+（九—4）?信）:

和=-3x信7-2x借丫-1x信）4+…+（n-5）-4）”+（九—4）?信）”，

兩式相減得》;=—3x1+（打+借丫+借）4+…借）”—（九―4）.信）2

=-葛+—（J，-（n-4）（j）n+1=-f+f-4借）…一（九—4）.（f）n+1=-n-借）

1-丁

所以黑=-4段信）"+i

②由T?&機(jī)，得—4n-</l（n—4）-（菖）"恒成立，

即A（n—4）+34>0恒成立,

當(dāng)n二4時(shí)，不等式恒成立；

當(dāng)九<4時(shí)，有--缶=-3-得后1；

當(dāng)Q4時(shí)，有心-9=-3-碧，得心-3;

綜上，實(shí)數(shù)4的取值范圍為［-3,1］.

?8?

［跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列｛a?｝中，的=1,&2=2,且冊(cè)+2=2an+l+3M,設(shè)數(shù)列bn—an+1+an.

(1)求證:數(shù)列｛b,J是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛b,J的通項(xiàng)公式；

JI1

⑵若數(shù)列｛0｝的前n項(xiàng)和為又,數(shù)列的前九項(xiàng)和為北,求證：北<%

、D九D九十14

==

【解析】證明：⑴Q九+22%+1+3a九,/.。打+2+。九+13azi+i+3a燈,

又勾=an+1+an.：.bn+1=30，仇=Qi+。2=1+2=3,

?,?數(shù)列｛bj是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3,公比為3,?,.勾=3n.

⑵數(shù)列｛b｝的前幾項(xiàng)和為S“=3(；1)=3(3；1).

n、

_9_,

=_3"=X(________1___］

nn+1n+1

Sn-Sn+1~(3-l)(3-l)――3-l''

/.數(shù)列］Q：Q—1的前71項(xiàng)和為

(*^n*^n+lj

+5_+……+j_.1)=XM_11vJ_

“2K3-132-132-l33-l3n-l3"+i-i)2V23n+1_］/4'

黑V

題型六:奇偶性問(wèn)題

(題目|1］已知數(shù)歹U｛aj滿(mǎn)足斯+1+(—1)%九=2n—L若01=1,貝！。3=，前60項(xiàng)和為?:

n

【解析】數(shù)歹U｛&｝滿(mǎn)足Qn+i+(―l)an=2幾一1,Qi=1,。2—1=1,解得02=2.

0,3+2=3,解得a3=1.

o-n+i+(一1)%九=2n—1,

0>2—Qi—1,Q3+。2=3,。4―。3=5,0-5+。4=7,Q>Q―0-5=9,。7+。6=11，,…。50-。49=97.

從而可得。3+Q1=2,。4+。2=8,。7+。5=2,。8+。6=24,。9+Q11=2,。12+。10=40,。13+=2,。16+。14

=56,…

從第一項(xiàng)開(kāi)始，依次取2個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于2,從第二項(xiàng)開(kāi)始，依次取2個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以8

為首項(xiàng)，以16為公差的等差數(shù)列.

｛冊(cè)｝的前60項(xiàng)和為15x2+(15X8+有尸x16)=i83o,

故答案為：1,1830.

〔題目0已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和S“滿(mǎn)足S”—S“-2=3x(—~(71>3),且S1=1,$2=—"!"，求數(shù)列｛。九｝

、_的通項(xiàng)公式._y

【解析】先考慮偶數(shù)項(xiàng)，有：S2“一522=3X(―,廣=_3X仁產(chǎn),

$2九-2-S2n_4=—3X(—)，…,$4-$2=—3X

2nX2n

：.S2n=S2-3［^+(y)口+…2+4廣；

同理考慮奇數(shù)項(xiàng)有52n+1=3x(：廣風(fēng)-1=3x［廣，…，$3—8=3X,

產(chǎn)g+3G7+(9廠+…+(打］=2—6廣.n>l,

；?電九+1=S2九+1—S2Tl=4—3x(5)，?1>1,出九二$2九一$2所1=-4+3x(Q-i—Si—1,

4—3x(4)"1,九是奇數(shù)

—4+3X(十)，72為偶數(shù)

「題目區(qū)已知數(shù)列｛Q/的前幾項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn=20九+(-1)Jn>1.

?9?

(1)寫(xiě)出數(shù)列｛%｝的前三項(xiàng)的，。2,。3；

⑵試判斷數(shù)列｛an+是否為等比數(shù)列，如果是，求出｛冊(cè)+的通項(xiàng)公式;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明

理由；

⑶證明:對(duì)任意的整數(shù)加＞4,有工+工+…+工＜].

04a1nO

【解析】⑴當(dāng)九=1時(shí)，有：Si=Qi=2。1+(-1)n&=1;

當(dāng)71=2時(shí)，有：S2=+。2=2a2+(—1)20電=0；

當(dāng)n=3時(shí)，有：S3=Q1+。2+03=2。3+(—1)3=＞。3=2;

綜上可知Ql=l,&=0,。3=2；

⑵｛%+y(-ir)是等比數(shù)列，理由如下：

nn-1

由已知得：an=Sn—Sn-i=2Q九+(—l)—2^-i—(—l)

化簡(jiǎn)得：=2每t+2(-l)n-1

上式可化為：Q九+~|~?(-1)"=2&_1+看,(—1廣]

故數(shù)列｛冊(cè)+*D"｝是以5+年?(-1)1=]■為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.

⑶由⑵可知：%=等[21一(一1廠),

所以_|1__—-2_—±111-----------------------------

叼人十&5十十*2l22-l23+12m-2-(-l)m

—21.3+9+15+33+63++2m-2-(-l)mJ

=9["+;+《+擊+…]<｝("+;+%+擊+…)

13X(1尸J13=1041105=7

UF,團(tuán)15-120120-T'

跟蹤訓(xùn)練1J已知｛an｝為等差數(shù)列,｛鼠｝為等比數(shù)列，出=瓦=1,口5=5(a《一&3)，氏=4為一的.

⑴求｛冊(cè)｝和也J的通項(xiàng)公式；

—;—，九為奇數(shù)，

(2)對(duì)任意的正整數(shù)設(shè)c"=:"+2求數(shù)列｛品｝的前2九項(xiàng)和.

善紅，九為偶數(shù).

°n+l

【解析】⑴由題意，設(shè)等差數(shù)列｛冊(cè)｝的公差為d,

貝Iai~a3—d,a,5=1+4d,

：a$=5(a4—CI3),1+4d=5d,解得d=1,

an=1+1,(n—1)=n,nEN*,

3l

設(shè)等比數(shù)列｛bn｝的公比為q,則b3=q,b4=Q,b5=q,

---65=4(64-63),.?./=4(/—q2),化簡(jiǎn)整理，得g2—4勺+4=0,解得9=2,

n1n1

/.bn^l-2~^2-,nEN*.

，九為奇數(shù),‘萩%為奇數(shù)___-),n為奇數(shù)

Q九Q71+221n九+2

(2)由(1),可得品=，

廝+i力為偶數(shù).畤L,n為偶數(shù)嘮工"為偶數(shù)

°hn+l，/"

設(shè)數(shù)列｛cn｝的前幾項(xiàng)和為1，

幻。

貝Un=Ci+C2+3+c4H------Fc2n-i+c2n

?10.

=氏(1—+)+*借T)+…+9,(27T=T—1^1)]+借+卷+…+^1)

1,11,,11\,<3,5,,2n+l\

=T^1-y+y-J+",+2^T_2^+rH^+^+-+^^;

+小卷+…n,(3?5?|2九+11

而不r+(下+了+…

令人八峪〃=/3+,5夏,+…+.了2n+「l，

,2n+l

則看跖=卷+*+-“+等9十22九+2'

兩式相減,

3,._3,2,2,,22n+l_今+2?(卷+/+…+表)-深生