2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷6（新題型地區(qū)專用）

2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新題型地區(qū)專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。

1.已知數(shù)據(jù)4%+1,4X2+1,4%+1的平均數(shù)和方差分別為4,10,那么數(shù)據(jù)4，巧，…，%的平均

數(shù)和方差分別為（）

A.-I,-B.1,-C.1,-D.-

22248

【答案】D

【解析】設(shè)數(shù)據(jù)占，%,…，%的平均數(shù)和方差分別為〃和$2,

則數(shù)據(jù)4%+1,4無(wú)2+1,4/+1的平均數(shù)為4x〃+l=4,方差為42XS2=10,

/日35

得〃=7，s2=g，

4o

故選：D.

2.大數(shù)據(jù)時(shí)代，需要對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，檢索過(guò)程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象，而笛卡爾積會(huì)產(chǎn)生大量的

數(shù)據(jù)，對(duì)內(nèi)存、計(jì)算資源都會(huì)產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積.兩個(gè)集合A和

B,用A中元素為第一元素，B中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)?，所有這樣的有序?qū)M成的集合叫作A與B的

笛卡兒積，又稱直積，記為AxB.即=且關(guān)于任意非空集合M,N,T,下列說(shuō)

法一定正確的是（）

A.MxN=NxMB.（〃xN）xT=〃x（NxT）

C.Mx（NT）（MxN）（MxT）D.Mx（NT）=（MxN）（MxT）

【答案】D

【解析】對(duì)于A,若〃={1},N={1,2},則知*"={（1,1）,（1,2）}3*”={（1,1）,（2,1）},“><雙片雙*河，A錯(cuò)

誤；

對(duì)于B,若M="N={2},T={3},則MXN={（1,2）},（MXN）XT={（（1,2）,3）},

而Mx（NxT）={（l,（2,3））},（MxN）xTwMx（NxT）,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若M="N={2},7={3},則Mx（NT）={（1,2）,（1,3）},

MxN={(l,2)},MxT={(l,3)),Mx(NT)=(MxN)l(MxT),C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,任取元素(x,y)eMx(NT),貝且yeNT,貝iJyeN且yeT,

于是(x,y)wAfxN且(x,y)層MxT,即(x,y)e(MxN)(MxT),

反之若任取元素(x,y)?MxN)(MxT),貝lj(尤,y)eMxN且(x,y)eMxT,

因止匕xeM,yeN且yeT,即xeM且yeN7,

所以(x,y)eMx(NT),即Mx(NT)=(MxN)(MxT),D正確.

故選：D

3.已知圓。的半徑為2,弦跖V的長(zhǎng)為26，若2Mp=PN，則MO-OP=()

A.4B.2C.2D.4

【答案】B

【解析】如圖，設(shè)MN的中點(diǎn)為Q,連接OQ,則OQLMN.由打。卜|/°|=2,

\MN\=2y/3,得照="儂=1,所以NOMQ.,|四=手，所以閥|=*

所以/尸OQ=F，所以NPOM=±|OP|=2^,

66II3

所以加06=-0加6=一|0刈0小0$巳=-2*￥^等=-2.

故選：B.

4.下表數(shù)據(jù)為2017~2021年我國(guó)生鮮零售市場(chǎng)規(guī)模(單位：萬(wàn)億元)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求得市場(chǎng)規(guī)模y關(guān)

于年份代碼x的線性回歸方程為y=0.34x+a,則°=()

年份20172018201920202021

年份代碼X12345

市場(chǎng)規(guī)模y4.24.44.75.15.6

A.1.01B.3.68C.3.78D.4.7

【答案】C

【解析】由題意得，尤=3，y=4.8,所以a=y—Z?x=4.8—0.34x3=3.78.故選：C.

5.復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yeR,i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(x,y),則下列為真命題的是().

A.若|z+l|=|z-l|,則點(diǎn)Z在圓上

B.若|z+l|+|z-l|=2,則點(diǎn)Z在橢圓上

C.若|z+l|-|z-l|=2,則點(diǎn)Z在雙曲線上

D.若|x+l|=|z-l|,則點(diǎn)Z在拋物線上

【答案】D

【解析】|z+l|=厭+丁+）表示點(diǎn)（x,y）與（-1,0）之間的距離，

2-1|=亞丁丁表示點(diǎn)（x,y）與（1,0）之間的距離，記以-1,0）,6（L0）,

對(duì)于A,|z+l|=|z-l|,表示點(diǎn)z（x,y）到片、B距離相等，則點(diǎn)Z在線段月區(qū)的中垂線上，故A錯(cuò)誤；

或由（尤+lp+y2=（尤_iy+y2,整理得了=0,所以點(diǎn)Z在x=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由|z+l|+|z-1|=2得|Z￡|+|Z閭=|耳閭=2,這不符合橢圓定義，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若|z+l|Tz-1|=2,|Z周-|Z閭=|耳耳=2,這不符合雙曲線定義，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若|x+l|=|z-l|,則（了+丁式彳-丁+丁，整理得『=4無(wú)，為拋物線，故D正確.

故選：D.

6.比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)不相切的球與一個(gè)圓錐面都相切，若一個(gè)平面在圓錐內(nèi)部與兩個(gè)球都相

切，則平面與圓錐面的交線是以切點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓.如圖所示，這個(gè)結(jié)論在圓柱中也適用.用平行光源照

射一個(gè)放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影區(qū)域內(nèi)（含邊界）有一點(diǎn)A,若平行光與桌面夾角為30,

球的半徑為火，則點(diǎn)A到球與桌面切點(diǎn)距離的最大值為（）

A.（4-石）RB.3RC.2y/3RD.（2+g）R

【答案】D

【解析】解：由題意，如圖所示，

貝1JNBAC=3O,NBAO=15,NAOB=15,

所以A到球與桌面切點(diǎn)距離的最大值為：

|AB|=tan75-R=tan（30+45）R,

tan45+tan30

=---------------------------R,

1-tan45-tan30

1+W

」R=fR,

1------

3

故選：D

7.已知一個(gè)玻璃酒杯盛酒部分的軸截面是拋物線，其通徑長(zhǎng)為1,現(xiàn)有一個(gè)半徑為廠（廠＞。）的玻璃球放入該

玻璃酒杯中，要使得該玻璃球接觸到杯底(盛酒部分)，貝卜的取值范圍是()

A.(0,2]B.],2C.^0,—D.^0,—

【答案】C

【解析】解：以軸截面拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

當(dāng)玻璃球能夠與杯底接觸時(shí)，該玻璃球的軸截面的方程為，+。-「)2=/位>0).

因?yàn)閽佄锞€的通徑長(zhǎng)為1,則拋物線的方程為y=x2,

代入圓的方程消元得：尤2[f+(l-2r)]=0,

所以原題等價(jià)于方程x?1+(1_23=0在f網(wǎng)上只有實(shí)數(shù)解x=0.

因?yàn)橛蒮，+(l_2r)]=0,得x=0或爐=2-1,

所以需2r-lW0或2廠一1>/，即rvg或(r-l><0.

因?yàn)閺S>。，所以0<rv[,

故選：C.

8.如圖，圓錐的高5。=若，底面直徑AB=2,C是圓。上一點(diǎn)，且AC=1,若S4與3C所成角為。，則

20

sin2--cos）

22

A.叵

bCD?瑞

4-4-I

【答案】B

【解析】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系得：A(0,-1,0),8(0,1,0),

、

1兀71

5（0,0,A/3）,C-,0,而AS,BC的夾角為aovew：

2，

72

ASBC_是

則cos0=

|A5||BC|4

由于sin2，-cos2g=-cose=一^^,故選：B.

224

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

2

9.已知復(fù)數(shù)Z=l-3i,=（2-i）,z3,則（）

1+1

，，的實(shí)部依次成等比數(shù)列

A.Zj+z2=4+7iB.ZZ2Z3

，的虛部依次成等差數(shù)列

c.710^1=2|Z2|D.Z],Z2Z3

【答案】ABC

【解析】因?yàn)閆2=（2-i）2=3-4i,Z3=[2（8+10i）（l-i）_____

人.J：.J=9+i,所以4+Z2=4-7i,所以z+z2=4+7i,

l+iI-

故A正確;

因?yàn)閦-z2,Z3的實(shí)部分別為1,3,9,所以4,z2,Z3的實(shí)部依次成等比數(shù)列，故B正確;

因?yàn)閆，z2,Z3的虛部分別為-3,-4,1,所以4,z2,Z3的虛部依次不成等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤;

^/i0|z1|=^/10x^/i+9=2|z2|=2x5=10,故C正確.

故選：ABC.

10.函數(shù)/(x)=sin2口與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，F(xiàn)(x)=/(x)+g(x),則()

A.函數(shù)g(x)的圖象可由函數(shù)、=cos2也向右平移|個(gè)單位長(zhǎng)度得到

B.函數(shù)g(x)的圖象向右平移，個(gè)單位長(zhǎng)度為偶函數(shù)的圖象

C.函數(shù)尸(%)的圖象關(guān)于直線尤=g對(duì)稱

D.尸(》)=0(段-1-5)的所有實(shí)根之和為2

【答案】BCD

【解析】由題意知g(x)=-/[g-x)=-sin[g-2"[=sin127tx-m),

又函數(shù)y=cos2m向右平移得個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=cos12存-gj=cos12/+三卜sin127LT_；］,所以A錯(cuò)

誤；

函數(shù)g（無(wú)）的圖象向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到V=sin12心-TJ=-cos2TUC,

由于y=-cos2也是偶函數(shù)，所以B正確；

F（x）=/（x）+g（x）=sin（2TLV）+sinlux_=VSsin^ZTLv-^,

717cKI

令2?=kn+—,kGZ,解得力=—+一,左cZ,

6223

4

當(dāng)左=2時(shí)，x=-,所以C正確；

當(dāng)％=0時(shí)，可得網(wǎng)無(wú)）的圖象關(guān)于X=g對(duì)稱，曲線y=G（|3尤-1|-5）也關(guān)于x=；對(duì)稱，

尸（x）與曲線y=W（|3x-1|-5）的簡(jiǎn)圖如下,

尸，］=6<=若13*：1-5］=石,當(dāng)轉(zhuǎn)3時(shí)，尸⑴的圖象與曲線>=君（|3無(wú)一1|一5）有三個(gè)交點(diǎn)，

所以方程/（尤）=6（段-1|-5）的所有實(shí)根之和為3、^=2,所以D正確.

故選：BCD.

11.已知四面體ABCD的各個(gè)面均為全等的等腰三角形，且C4=CB=2AB=4.設(shè)E為空間內(nèi)任一點(diǎn)，且

A,B,C,D,￡五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則（）

A.AB1CD

B.四面體A3CD的體積為

C.當(dāng)AE=2有時(shí)，點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度為4兀

D.當(dāng)三棱錐E-ABC的體積為整時(shí)，點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度為30兀

【答案】AC

【解析】對(duì)于A,依題意，可知QA=CB=O3=AC=4,OC=Ag=2,

設(shè)廠為AB的中點(diǎn)，連接CEDE,則CA民AB,

而cw。歹=產(chǎn),cr,r）Pu平面crz）,故ABJ,平面CFD,

CDu平面CEO,故ABLCD,A正確；

對(duì)于B,將四面體A3CD放入長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為x，Xz,

則x2+y2=4,x2+z2=16,j2+z2=16,解得x=y=-s/2,Z=y/14,

由于z=Ji?，即異面直線AB和CD的距離為&I，且平面CFD,,

所以四面體ABCD的體積為』SDckAB=』xLx2xMx2=￡m,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由以上分析可知，四面體ABCD的外接球半徑為+:+z?=述

22

由4石=2石，知點(diǎn)石的軌跡為一個(gè)圓，設(shè)軌跡圓的半徑為小

則=(2A/3)2,解得r=2,

所以E的軌跡長(zhǎng)度為271T=4兀，C正確;

對(duì)于D,由題意可得是尸=J4?—1=JI?,.?.sin/A5C=d—.

4

_1x_4_——_.8

故,.ABC的外接圓半徑為2岳一岳,

~T~

所以球心到ABC所在平面的距離為_(kāi)1,：=噌，

設(shè)三棱錐E-ABC的高為兒

由三棱錐E-ABC的體積為恒時(shí)，可得.h=-x-x2xy/42-lxh=—,

62ABC326

不

故，=

730

又由笆，故E點(diǎn)軌跡為外接球上平行于平面ABC且到平面ABC的距離為M的兩個(gè)截面圓,

2V30V30

其中一個(gè)圓為外接球的大圓，

所以點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度大于2”還=3后兀，D錯(cuò)誤，

2

故選：AC.

第口卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)非空集合。a”,當(dāng)。中所有元素和為偶數(shù)時(shí)（集合為單元素時(shí)和為元素本身），稱。是"的偶子

集，若集合”={1,2,3,4,5,6,7},則其偶子集。的個(gè)數(shù)為.

【答案】63

【解析】集合。中只有2個(gè)奇數(shù)時(shí)，則集合。的可能情況為：｛1,3｝、｛1,5｝、｛1,7｝、｛3,5｝、｛3,7｝、｛5,7｝,

共6種,

若集合。中只有4個(gè)奇數(shù)時(shí)，則集合。=｛L3,5,7｝,只有一種情況，

若集合。中只含1個(gè)偶數(shù)，共3種情況；

若集合。中只含2個(gè)偶數(shù)，則集合?？赡艿那闆r為｛2,4｝、｛2,6｝、｛4,6｝,共3種情況;

若集合。中只含3個(gè)偶數(shù)，則集合。=｛2,4,6｝,只有1種情況.

因?yàn)椤Ｊ荕的偶子集，分以下幾種情況討論：

若集合。中的元素全為偶數(shù)，則滿足條件的集合。的個(gè)數(shù)為7；

若集合。中的元素全為奇數(shù)，則奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，共7種；

若集合。中的元素是2個(gè)奇數(shù)1個(gè)偶數(shù)，共6x3=18種；

若集合。中的元素為2個(gè)奇數(shù)2個(gè)偶數(shù)，共6x3=18種；

若集合。中的元素為2個(gè)奇數(shù)3個(gè)偶數(shù)，共6x1=6種；

若集合。中的元素為4個(gè)奇數(shù)1個(gè)偶數(shù)，共1x3=3種；

若集合。中的元素為4個(gè)奇數(shù)2個(gè)偶數(shù)，共1x3=3種；

若集合。中的元素為4個(gè)奇數(shù)3個(gè)偶數(shù)，共1種.

綜上所述，滿足條件的集合。的個(gè)數(shù)為7+7+18+18+6+3+3+1=63.

故答案為：63.

13.第33屆奧運(yùn)會(huì)于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行，某高校需要選派4名大學(xué)生去當(dāng)志

愿者，已知該校現(xiàn)有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有2名女生的選法有種

（用數(shù)字作答）.

【答案】105

【解析】由題意可得恰有兩名女生人選的選法有C；xC；=60種，

恰有3名女生人選的選法有C；xC：=40種，

恰有4名女生人選的選法有C；xC；=5種，

所以至少有兩名女生人選的選法有60+40+5=105（種），

故答案為：105

14.畢達(dá)哥拉斯樹(shù)，也叫“勾股樹(shù)”，是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理畫(huà)出來(lái)的一個(gè)可以無(wú)限重復(fù)的樹(shù)形圖形（如

圖1).現(xiàn)由畢達(dá)哥拉斯樹(shù)部分圖形作出圖2,—ASC為銳角三角形，面積為1,NACB=$7T,以一ABC的三邊為

邊長(zhǎng)的正方形中心分別為陷，以，加3,則|必叫「+|險(xiǎn)的最小值為.

【答案】22-40

JT

【解析】由題意知，S=1,Z.ACB——,

6

111

XS^=—absin^ACB,Wfll=—abx—,得ab=4,

由余弦定理，^c2=a2+b2-2abcosZACB=〃+/_4^,

在M2AM3中，|AM2\=^b,\AM3\=^c,ZM2AM3=ABAC+],

由余弦定理可得

IM.A/J2=-c2+-b2-2x—cx—bxcos(ABAC+巴]=b+C+bcsinZBAC,

12312222I2)2

1?22

又sMC=2bcsin^BAC=1,所以bcsmZBAC=2,貝U2M3/="7+2.

同理MM廣=dj^+2，MM『=《f^+2，

2222

故幽幽2「+MM「+\M3M^=a+b+c+6=2(a+〃)+6-4技

因?yàn)?+從22"=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立，

2

故1MM?+|Af2M3|+|M3M/>22-4A/3.

故答案為：22-46.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=x3+a/+6x+c在x=-l和x=3處取得極值.

⑴求a,b的值及/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若對(duì)任意xe[l,5],不等式/(x)<c2恒成立，求c的取值范圍.

【解析】(1)f'(x)=3x2+2ax+b,

'''函數(shù)/(%)=V+ox?+萬(wàn)龍+。在工=-1和尤=3處取得極值.

f'(3)=21+6a+b=0,/'(-l)=3-2a+b=0,

聯(lián)立解得：a=—3,b=—9.

:.f\x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),

令/''(x)=0,解得x=3和x=-l,

xw(-oo,-l)時(shí)，函數(shù)/5)單調(diào)遞增；xw(T,3)時(shí)，/,(x)<0,函數(shù)/5)單調(diào)遞減；xe(3,+8)時(shí)，

刊㈤>0,函數(shù)/'(x)單調(diào)遞增.

故x=—1和x=3是/(x)的極值點(diǎn)，

故函數(shù)Ax)單調(diào)遞增區(qū)間為(3,-1),(3,+8)；函數(shù)/5)單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,3).

(2)由(1)知/(x)=丁-3x?-9x+c在(1,3)單調(diào)遞減，在(3,5)單調(diào)遞增，

要使得對(duì)任意％且1,5],不等式/(x)<c2恒成立，則需/⑴VC?且/(5)<°2,

i^/(l)=-ll+c<c2_a/(5)=5+c<c2,

的汨1+721-1->/21

解得c>------,或c<------,

22

c的取值范圍是S,匕圖)5匕且，+8).

22

16.某個(gè)足球俱樂(lè)部為了提高隊(duì)員的進(jìn)球水平，開(kāi)展罰點(diǎn)球積分游戲，開(kāi)始記。分，罰點(diǎn)球一次，罰進(jìn)記2

分，罰不進(jìn)記1分.已知該俱樂(lè)部某隊(duì)員罰點(diǎn)球一次罰進(jìn)的概率為罰不進(jìn)的概率為上，每次罰球相互獨(dú)

立.

(1)若該隊(duì)員罰點(diǎn)球4次，記積分為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

⑵記點(diǎn)球積〃分的概率為P..

(i)求Pi,A，P3的值；

(ii)求P”.

【解析】(1)由題意得，X的所有可能取值為4,5,6,7,8,

;.P(X=4)=用=[,尸(X=5)=8

27

P(X=7)=C：f|Jx|=||,P(X=8)

\JJJO1

：.x的分布列為

X45678

1883216

p

8181278181

L/v-1u8/8r32cl620

/.E(X)—4x--F5xF6x---F7x---1-8x—=—.

v781812781813

/八/?、百日否上陽(yáng)12門(mén)丫7C21/1丫13

(2)(i)由忌,Pi=_9P2=—H—=—,P3=2x_x—F_=—.

1323(3J9戶333⑶27

(ii)由題意得，要得〃分，必須滿足以下情形：先得"-1分，再點(diǎn)1個(gè)球不進(jìn)，此時(shí)概率為:P“7,

2

或先得九-2分，再點(diǎn)1個(gè)球進(jìn)球，此時(shí)概率為:P-，

122

這兩種情況互斥,Pn=~Pn-X+］，〃一，2，P〃-P〃-l=—§(P〃-「P〃-2),

.??{%+「P”}是首項(xiàng)為0-口=gT=。公比為-1的等比數(shù)列，

17.如圖，AB,CO是圓錐底面圓。的兩條互相垂直的直徑，過(guò)CO的平面與尸8交于點(diǎn)E,若NBOE=45。,

點(diǎn)P在圓。上，PA±PB.

⑴求證：平面CDE；

(2)若NAB廠=30。，24=2,求三棱錐尸-3OE的體積.

【解析】(1)連接尸。，則P01圓。所在平面，而CO在圓。所在平面內(nèi)，

?.PO1.CD,

又CDA.AB,ABP0=0,AB,尸Ou平面

CD_L平面又PBu平面RW,.IP3_LCD,

由B4_LPB,且R4=PB可得NPAB=45。，

又NBOE=45°,：.OE//PA,

E為PB的中點(diǎn)，且BE_LOE,

又O0CD=O,OE,CDu平面CDE,

尸3_L平面CDE；

(2)由題意得，PA=PB=2,AB=2A/2，

由/45/=30°可得4歹=0，BF=瓜,

：.S&ABF=3*也義底=6'S^BOF=：SAABF=與,

乙LL

點(diǎn)E到底面的距離等于點(diǎn)尸到底面距離的一半，即為走，

2

...三棱錐尸—3OE的體積/BOE=VEBOF=」x走xY2=Y6.

r—DULLr,—DUr322]2

18.已知橢圓C：