2024屆浙江省金華十校高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3浙江省金華十校2024屆高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試卷選擇題部分一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，故，故選：B.2.（）A B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，故選：A.3.設(shè)，條件，條件，則p是q的（）A.充分不要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由于，若，則，充分性不成立，若，則，必要性成立，故是的必要不充分條件．故選：B．4.設(shè)直線，圓，則l與圓C（）A.相交 B.相切 C.相離 D.以上都有可能〖答案〗C〖解析〗圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，故直線與圓相離．故選：C．5.等差數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，公差為，為的前項(xiàng)和，若，且，，成等比數(shù)列，則（）A.1 B.2 C. D.2或〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，即，所以或，又，，當(dāng)，則，解得（舍去），當(dāng)，則，解得，則.故選：B.6.在中，，，，則的面積為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，，由正弦定理，，即，所以，故選：D.7.金華市選拔2個(gè)管理型教師和4個(gè)教學(xué)型教師去新疆支教，把這6個(gè)老師分配到3個(gè)學(xué)校，要求每個(gè)學(xué)校安排2名教師，且管理型教師不安排在同一個(gè)學(xué)校，則不同的分配方案有（）A.72種 B.48種 C.36種 D.24種〖答案〗A〖解析〗選取一個(gè)學(xué)校安排2名教學(xué)型老師有種不同的方法，剩余2名教學(xué)型老師與2名管理型教師，各取1名，分成兩組共有種，這2組分配到2個(gè)不同學(xué)校有種不同分法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有種不同的分法.故選：A8.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，又，所以，所以．故選：C．二、選擇題9.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)區(qū)間），畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，記直方圖中六個(gè)小矩形的面積從左到右依次為（，2，，6），則（）A.x的值為0.0044B.這100戶居民該月用電量的中位數(shù)為175C.用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為75D.這100戶居民該月的平均用電量為〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，，解得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以中位?shù)落在區(qū)間內(nèi)，設(shè)其為，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，用電量落在區(qū)間，內(nèi)的戶數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，這100戶居民該月的平均用電量為，故D正確.故選：AD．10.已知，，則（）A. B.C D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?所以指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，故A正確，對(duì)于B，取，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，，則，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故D正確．故選：ACD．11.在矩形中，，E為線段的中點(diǎn)，將沿直線翻折成．若M為線段的中點(diǎn)，則在從起始到結(jié)束的翻折過(guò)程中，（）A.存在某位置，使得B.存在某位置，使得C.的長(zhǎng)為定值D.與所成角的正切值的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗如圖，設(shè)的中點(diǎn)，連接，則，若，由，平面，可得平面，平面，則可證出，顯然矛盾，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?dāng)平面，由平面可得，由，平面，即可得平面，再由平面，則有，故B正確；取中點(diǎn)，，，，且方向相同，所以為定值，所以為定值，故C正確；不妨設(shè)，以分別為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，設(shè)與所成角為，則，即與所成最小角的余弦值為，此時(shí)，故D正確.故選：BCD非選擇題部分三、填空題12.已知單位向量，滿足，則與的夾角為_(kāi)_______．〖答案〗（或?qū)懗桑冀馕觥揭驗(yàn)?，所以，所以，．故〖答案〗為?13.已知函數(shù)若在點(diǎn)處的切線與點(diǎn)處的切線互相垂直，則______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，所以，且點(diǎn)不在上，否則切線不垂直，故，當(dāng)時(shí)，，所以，由切線垂直可知，，解得.故〖答案〗為：14.設(shè)橢圓與雙曲線有相同的焦距，它們的離心率分別為，，橢圓的焦點(diǎn)為，，，在第一象限的交點(diǎn)為P，若點(diǎn)P在直線上，且，則的值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗設(shè)橢圓與雙曲線相同的焦距為，則，又，所以，又點(diǎn)在第一象限，且在直線上，所以，又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，整理得，即，解得，因?yàn)?，所以，同理可得點(diǎn)在雙曲線上，所以，即，解得，所以.故〖答案〗為：.四、解答題15.為鼓勵(lì)消費(fèi)，某商場(chǎng)開(kāi)展積分獎(jiǎng)勵(lì)活動(dòng)，消費(fèi)滿100元的顧客可拋擲骰子兩次，若兩次點(diǎn)數(shù)之和等于7，則獲得5個(gè)積分：若點(diǎn)數(shù)之和不等于7，則獲得2個(gè)積分．（1）記兩次點(diǎn)數(shù)之和等于7為事件A，第一次點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)為事件B，證明：事件A，B是獨(dú)立事件；（2）現(xiàn)有3位顧客參與了這個(gè)活動(dòng)，求他們獲得的積分之和X的分布列和期望．（1）證明：因?yàn)閮纱吸c(diǎn)數(shù)之和等于7有以下基本事件：共6個(gè)，所以，又．而第一次點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)且兩次點(diǎn)數(shù)之和等于7的基本事件是共3個(gè)，所以，故，所以事件A，B是獨(dú)立事件．（2）解：設(shè)三位參與這個(gè)活動(dòng)的顧客共獲得的積分為X，則X可取6，9，12，15，，，，，所以分布列為：691215所以.16.設(shè)，．（1）若，求的值域；（2）若存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）若，，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減又，，所以，即的值域?yàn)椋?）．存在極值點(diǎn)，則在上有解，即有解．令，則在上有解．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．17.如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面是矩形，．（1）求證：三棱錐是正三棱錐；（2）若三棱柱的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：分別取AB，BC中點(diǎn)D，E，連接CD，AE交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為正三角形ABC的中心．因?yàn)榈?，又平面，所以平面，又平面，則；取中點(diǎn)，連接，則四邊形是平行四邊形，因?yàn)閭?cè)面是矩形，所以，又，又平面，所以平面，又平面，則；又，平面，所以平面，所以三棱錐是正三棱錐．（2）解：因?yàn)槿庵捏w積為，底面積為，所以高，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA為x軸正方向，EB為y軸正方向，過(guò)點(diǎn)E且與平行的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，因?yàn)椋畡t，取，可得，又，設(shè)直線與平面所成角為θ，所以.18.設(shè)拋物線，直線是拋物線C的準(zhǔn)線，且與x軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，是不在直線l上的一點(diǎn)，直線，分別與準(zhǔn)線交于P，Q兩點(diǎn)．（1）求拋物線C的方程；（2）證明：：（3）記，的面積分別為，，若，求直線l的方程．（1）解：因?yàn)闉閽佄锞€的準(zhǔn)線，所以，即，故拋物線C的方程為（2）證明：如圖，設(shè)l：，，聯(lián)立，消去x得，則，且，又AM：，令得，同理可得，所以，，故.（3）解：由（2）可得：，，由，得：，解得，所以直線l的方程為．19.設(shè)p為素?cái)?shù)，對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)n，記，，其中，如果非負(fù)整數(shù)n滿足能被p整除，則稱n對(duì)p“協(xié)調(diào)”．（1）分別判斷194，195，196這三個(gè)數(shù)是否對(duì)3“協(xié)調(diào)”，并說(shuō)明理由；（2）判斷并證明在，，，…，這個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”；（3）計(jì)算前個(gè)對(duì)p“協(xié)調(diào)”的非負(fù)整數(shù)之和．解：（1）因?yàn)?，所以，，所以，，所以，所?94，196對(duì)3“協(xié)調(diào)”，195對(duì)3不“協(xié)調(diào)”.（2）先證引理：對(duì)于任意的非負(fù)整數(shù)t，在中有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．證明如下：設(shè)，由于pt是p的倍數(shù)，所以，所以，即對(duì)于這一項(xiàng)的系數(shù)為，所以，根據(jù)整除原理可知，中有且僅有一個(gè)數(shù)能被p整除，所以在中有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．接下來(lái)把以上個(gè)數(shù)進(jìn)行分組，分成以下p組（每組p個(gè)數(shù)）：根據(jù)引理可知，在以上每組里恰有1個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”，所以共有p個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．（3）繼續(xù)考慮這個(gè)數(shù)分成p組，每組p個(gè)數(shù)：由（2）的引理可知每一行里有且只有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”，下面證明每一列里有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．證明如下：設(shè)某一列第一個(gè)數(shù)為，則，所以，同理當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，集合中的p個(gè)數(shù)中有且只有1個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．注意到數(shù)陣中每一個(gè)數(shù)向右一個(gè)數(shù)增加1，向下一個(gè)數(shù)增加p，所以p個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”的數(shù)之和為：，進(jìn)一步，前個(gè)對(duì)p“協(xié)調(diào)”的非負(fù)整數(shù)之和為：.浙江省金華十校2024屆高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試卷選擇題部分一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，故，故選：B.2.（）A B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，故選：A.3.設(shè)，條件，條件，則p是q的（）A.充分不要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由于，若，則，充分性不成立，若，則，必要性成立，故是的必要不充分條件．故選：B．4.設(shè)直線，圓，則l與圓C（）A.相交 B.相切 C.相離 D.以上都有可能〖答案〗C〖解析〗圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，故直線與圓相離．故選：C．5.等差數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，公差為，為的前項(xiàng)和，若，且，，成等比數(shù)列，則（）A.1 B.2 C. D.2或〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，即，所以或，又，，當(dāng)，則，解得（舍去），當(dāng)，則，解得，則.故選：B.6.在中，，，，則的面積為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，，由正弦定理，，即，所以，故選：D.7.金華市選拔2個(gè)管理型教師和4個(gè)教學(xué)型教師去新疆支教，把這6個(gè)老師分配到3個(gè)學(xué)校，要求每個(gè)學(xué)校安排2名教師，且管理型教師不安排在同一個(gè)學(xué)校，則不同的分配方案有（）A.72種 B.48種 C.36種 D.24種〖答案〗A〖解析〗選取一個(gè)學(xué)校安排2名教學(xué)型老師有種不同的方法，剩余2名教學(xué)型老師與2名管理型教師，各取1名，分成兩組共有種，這2組分配到2個(gè)不同學(xué)校有種不同分法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有種不同的分法.故選：A8.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，又，所以，所以．故選：C．二、選擇題9.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)區(qū)間），畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，記直方圖中六個(gè)小矩形的面積從左到右依次為（，2，，6），則（）A.x的值為0.0044B.這100戶居民該月用電量的中位數(shù)為175C.用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為75D.這100戶居民該月的平均用電量為〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，，解得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以中位?shù)落在區(qū)間內(nèi)，設(shè)其為，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，用電量落在區(qū)間，內(nèi)的戶數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，這100戶居民該月的平均用電量為，故D正確.故選：AD．10.已知，，則（）A. B.C D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?所以指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，故A正確，對(duì)于B，取，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，，則，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故D正確．故選：ACD．11.在矩形中，，E為線段的中點(diǎn)，將沿直線翻折成．若M為線段的中點(diǎn)，則在從起始到結(jié)束的翻折過(guò)程中，（）A.存在某位置，使得B.存在某位置，使得C.的長(zhǎng)為定值D.與所成角的正切值的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗如圖，設(shè)的中點(diǎn)，連接，則，若，由，平面，可得平面，平面，則可證出，顯然矛盾，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?dāng)平面，由平面可得，由，平面，即可得平面，再由平面，則有，故B正確；取中點(diǎn)，，，，且方向相同，所以為定值，所以為定值，故C正確；不妨設(shè)，以分別為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，設(shè)與所成角為，則，即與所成最小角的余弦值為，此時(shí)，故D正確.故選：BCD非選擇題部分三、填空題12.已知單位向量，滿足，則與的夾角為_(kāi)_______．〖答案〗（或?qū)懗桑冀馕觥揭驗(yàn)?，所以，所以，．故〖答案〗為?13.已知函數(shù)若在點(diǎn)處的切線與點(diǎn)處的切線互相垂直，則______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，所以，且點(diǎn)不在上，否則切線不垂直，故，當(dāng)時(shí)，，所以，由切線垂直可知，，解得.故〖答案〗為：14.設(shè)橢圓與雙曲線有相同的焦距，它們的離心率分別為，，橢圓的焦點(diǎn)為，，，在第一象限的交點(diǎn)為P，若點(diǎn)P在直線上，且，則的值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗設(shè)橢圓與雙曲線相同的焦距為，則，又，所以，又點(diǎn)在第一象限，且在直線上，所以，又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，整理得，即，解得，因?yàn)?，所以，同理可得點(diǎn)在雙曲線上，所以，即，解得，所以.故〖答案〗為：.四、解答題15.為鼓勵(lì)消費(fèi)，某商場(chǎng)開(kāi)展積分獎(jiǎng)勵(lì)活動(dòng)，消費(fèi)滿100元的顧客可拋擲骰子兩次，若兩次點(diǎn)數(shù)之和等于7，則獲得5個(gè)積分：若點(diǎn)數(shù)之和不等于7，則獲得2個(gè)積分．（1）記兩次點(diǎn)數(shù)之和等于7為事件A，第一次點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)為事件B，證明：事件A，B是獨(dú)立事件；（2）現(xiàn)有3位顧客參與了這個(gè)活動(dòng)，求他們獲得的積分之和X的分布列和期望．（1）證明：因?yàn)閮纱吸c(diǎn)數(shù)之和等于7有以下基本事件：共6個(gè)，所以，又．而第一次點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)且兩次點(diǎn)數(shù)之和等于7的基本事件是共3個(gè)，所以，故，所以事件A，B是獨(dú)立事件．（2）解：設(shè)三位參與這個(gè)活動(dòng)的顧客共獲得的積分為X，則X可取6，9，12，15，，，，，所以分布列為：691215所以.16.設(shè)，．（1）若，求的值域；（2）若存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）若，，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減又，，所以，即的值域?yàn)椋?）．存在極值點(diǎn)，則在上有解，即有解．令，則在上有解．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．17.如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面是矩形，．（1）求證：三棱錐是正三棱錐；（2）若三棱柱的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：分別取AB，BC中點(diǎn)D，E，連接CD，AE交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為正三角形ABC的中心．因?yàn)榈?，又平面，所以平面，又平面，則；取中點(diǎn)，連接，則四邊形是平行四邊形，因?yàn)閭?cè)面是矩形，所以，又，又平面，所以平面，又平面，則；又，平面，所以平面，所以三棱錐是正三棱錐．（2）解：因?yàn)槿庵捏w積為，底面積為，所以高，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA為x軸正方向，EB為y軸正方向，過(guò)點(diǎn)E且與平行的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，因?yàn)椋畡t，取，可得，又，設(shè)直線與平面所成角為θ，所以.18.設(shè)拋物線，直線是拋物線C的準(zhǔn)線，且與x軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，是不在直線l上的一點(diǎn)，直線，分別與準(zhǔn)線交于P，Q兩點(diǎn)．（1）求拋物線C的