河南省八市重點高中2024屆高三4月第一次模擬考試-數(shù)學(xué)含答案

河南省八市重點高中2024屆高三4月第一次模擬考試

數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答

題卡上的指定位置。

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上

的非答題區(qū)域均無效。

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題

卡上作答；字體工整，筆跡清楚。

4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合A={xI0<x<3},B={xlxW2},則人。?3=

A.(2,3)B.[2,3)C.(0,2]D.(-°0,3)

2.若z=l—i,貝！|Iz?+zI=

A.2B.IC.V2D.VH)

3.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長

與短半軸長的乘積.若橢圓c的中心為原點，焦點4B均在X軸上，橢圓C的面積為

品,且橢圓C的離心率為三，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2

22

A.—+y2=1B.x2+—=1

22

222

C.土+匕=1D.二+/=1

423

4.已知a,b均為平面單位向量，若Ia+bI=V3Ia-bI,貝U〈a,b〉=

A.30°B.60°C.120°D.150°

5.甲、乙、丙3名同學(xué)從4門課程中任選一門作為選修課，則3名同學(xué)所選課程不全相同

的概率為

6.函數(shù)/(x)=e、'+Ilnx+1I的最小值為

]_J_

A.eeB.C.聲+ln2D.+2

7.記數(shù)列｛氏｝的前一項和為，，已知為=2,｛nS?｝為等差數(shù)列，若凡+%+&=1，

貝！|幺=

B.—2

8.在正方體ABCD—451Goi中，區(qū)41=4,P為CG的中點，E在棱耳。l上，且45=3切1，

則過E且與4P垂直的平面截正方體ABCD-481GA所得截面的面積為

C.12D.16

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.為提高學(xué)生的消防安全意識，某學(xué)校組織一次消

防安全知識競賽，已知該校高一、高二、高三［A薪頻率

三個年級的人數(shù)之比為1：2：3,根據(jù)各年級人oo4o|_—_____

數(shù)采用分層抽樣隨機抽取了樣本容量為"的部

0.030--------------

分考生成績，并作出如圖所示的頻率分布直方

圖，成績前io%的學(xué)生授予“安全標(biāo)兵”稱號，4—-p

已知成績落在區(qū)間［50,60)的人數(shù)為24,則8,8昨二，口二匚口,

B.估計樣本中高三年級的人數(shù)為75

C.估計安全知識競賽考生的平均分為73

D.估計成績84分以上的學(xué)生將獲得“安全標(biāo)兵”稱號

10.已知函數(shù)/(x)=sin(。％+°)+B(CD>0,0<(p<7i,1),(—,1)為

/(%)的兩個相鄰的對稱中心，則

A./(x)的最小正周期為當(dāng)

B.f〈X)的最大值為1

C.直線》=得是曲線y=/(x)的一條對稱軸

D.將/(x)的圖象向右平移引個單位長度，所得圖象關(guān)于原點對稱

11.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,/(x+y)-/(x-y)=/(x+5)/⑶+弓)，f(0)W

0,則

3

A./(-)=0B.f(0)=-2

C./(x)的一個周期為3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若sin。一2cos6=0,貝!J上匕竺亞=.

l+sin20

13.在正四棱臺44GA—ABCD中，AAX〃平面G3Z),AB=2441=4,則正四棱臺/蜴弓口

-ABCD的體積為.

22

14.已知雙曲線C：?一勺=1(a>0,6>0)的左、右焦點分別為耳月，焦距為2c,A,

ab

B為C上的兩點，AB〃4乃，四邊形耳乙4s的面積為G(2a+c)b,若△耳48的周

長為10a,則C的離心率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

不透明的袋子中裝有3個黑球，2個紅球，1個白球，從中任意取出2個球，再放入1

個紅球和1個白球.

(1)求取球放球結(jié)束后袋子里白球的個數(shù)為2的概率；

(2)設(shè)取球放球結(jié)束后袋子里紅球的個數(shù)為隨機變量X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.

16.(本小題滿分15分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AB〃CD,CDXAD,AB=2,PA=

AD=CD=1,E為PB的中點.

(1)證明：BC_L平面PAC；

(2)求二面角D—EC—B的余弦值.

17.（本小題滿分15分）

記S,,Tn分別為數(shù)列｛a,｝,｛a｝的前"項和，Sn+an=2,a?+6,=2bn+l,2s3=7；.

（1）求數(shù)列｛a“｝,｛b?｝的通項公式;

(2)設(shè)c,,記｛c“｝的前力項和為若對任意Q<m,求整數(shù)

[b","5,n

m的最小值.

18.(本小題滿分17分)

設(shè)P為拋物線C：/=制準(zhǔn)線上的一個動點，過P作c的兩條切線，切點分別為A,B.

(1)證明：直線AB過定點；

(2)當(dāng)直線AB斜率不為0時，直線AB交C的準(zhǔn)線于M,設(shè)Q為線段AB的中點，求

△QPM面積的最小值.

19.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)/(x)=(l+x)‘一rx—1(x>—1),r>0且rWl.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)比較4岳與臾的大小，并說明理由；

32

數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細(xì)則

題號12345678

答案ACABDBDC

題號91011

答案ABDACABD

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.【答案】A

【解析】因為CRB={I|I>2},所以APICRB={Z|2<￡V3〉,故選A.

2.【答案】C

【解析】?=(l—i)2=—2i,5=l+i,出+引=|1—『=何，故選C.

3.【答案】A

，叵

22Q2'j=歷

【解析】設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+方焦距為2c,則1L解得r一'，橢圓c的

abab=&、[仁1,

“2="+c2,

r2

標(biāo)準(zhǔn)方程為三+：/=1.故選A.

4.【答案】B

【解析】兩邊同時平方得2+2。?6=3(2—2。?方)，則a?b=4=|a|?\b\cos〈a,6〉，解得cos〈a,b〉=■，即

〈a"〉=60°,故選B.

5.【答案】D

【解析】甲、乙、丙3名同學(xué)從4門課程中任選一門有4><4X4=64(種)選法，3名同學(xué)所選課程全相同有4

種，所以3名同學(xué)所選課程不全相同的概率為6笠4—#4=耗15,故選D.

6416

6.【答案】B

【解析】當(dāng)工時，/(幻=1+&]+1"(%)顯然單調(diào)遞增，所以/(%)>之+國工+1=4，當(dāng)0V/V。

eee

時"(1)=1—Inx—1,/'(1)=e"一工Ve譽一e<0,/(久)單調(diào)遞減，所以/(x)〉et—In1—1=，所以

JCe

/(久)的最小值為e譽，故選B.

7.【答案】D

【解析】S4+〃3+a4=S4+S4—S2=l,故4s4—2S2=2,所以數(shù)列{/1S”>是首項為2,公差為1的等差數(shù)列，所

__1_

-

以nSn—2+M—1=%+1,故Sn—1+—，所以當(dāng)"22時，a”=S”一Sn-i——~~-~~有，所以一—"j—--I,故

nnkn-1；a3_4

一T

選D.

數(shù)學(xué)答案第1頁(共6頁)HN

8.【答案】C

【解析】如圖所示，取A[F=3FBI,因為EFJ_平面AAiGC,所以EF±A,P,

取Q為DiD的中點，DH=3HA,則Q且EHJ_PQ,所以EH_L平面4PQ,

EH_LAIP,同理可得BG=3GA,所以等腰梯形HGFE為所得截面，

又HG=7f,EF=39,EH=2宿,則梯形的高為372,

所以等腰梯形HGFE的面積為+X（淄'+3回X3班'=12,故選C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得

6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.【答案】ABD（全部選對得6分，選對1個得2分，選對2個得4分，有選錯的得0分）

94.

【解析】因為z=0.016,則〃=熹=150,人選項正確；

0.1b

估計樣本中高三年級人數(shù)為150X汗Q=75，B選項正確；

該?？忌煽兊钠骄止烙嬛禐?5X0.16+65X0.3+0.4X75+0.1X85+95X0.04=70.6,C選項錯誤；

考生成績的第90百分位數(shù)為80+粵10=84,D選項正確，故選ABD.

0.9610.co

10.【答案】AC（全部選對得6分，選對1個得3分，有選錯的得0分）

【解析】依題意，4=匹=萼一卷=左，所以T="w=3,A選項正確；

za；yyoo

因為3義+無/,即°=無兀一■，所以（p=猙，所以/（1）=sin（31+空）+B的對稱中心為，所

以B=的最大值為2,B選項錯誤；

當(dāng)空=4時，f（①）=sin（3%罌+冬）+L=-1+1=0,所以直線.「=粵是曲線y=f（支）的一條對稱軸,C

選項正確；

將“支）的圖象向右平移,個單位長度所得函數(shù)為產(chǎn)sin[3（z—富）+阻+l=sin3工+1,關(guān)于（0,1）對

稱，D選項錯誤.故選AC.

11.【答案】ABD（全部選對得6分，選對1個得2分，選對2個得4分，有選錯的得0分）

【解析】令z=y=0,則f（0）—f（0）=F（V）,所以/（5）=0,A選項正確；

令了=0,則/(山一/(一》)=/(告)/(y+等)=0,即/(山―》),所以/⑶=/(—3),令a=y=V，則

/(3)—/(0)=/(3),令①=v=—則/(—3)—/(0)=/2(0)=/(3)—/(0),所以/(())=/2(3),所以

(/(0)+/(0))2=尸(0),因為/(0)①0,所以/(0)=-2,f(3)=2,B選項正確；

令)=一^-，則/(i—得)一+弓)=/'(i+5)/(0)=—2/(2+弓)，所以一年)+/(i+5)

=0,/(了+[~)+/(]+彳)=0,所以/(JC-"(1)的一個周期為6,C選項錯誤；

令i=l"(一4)+/(得)=/(+)+/(得)=0,令]=},/(—1)+/(2)=/⑴+/⑵=0,所以

/(十)+/'⑴+/(得)+/(2)+/(￡)+/(3)=2,由/■(攵-得)+J,(攵+得)=0可知"(攵)+/(i+3)

=0,所以/(y)+/(l)+/(4)+/<2>+/(y)+/<3)+/(y)+/(4)+/(^-)+/(5)+/(y)+

數(shù)學(xué)答案第2頁（共6頁）HN

f(6)=0,因為2022=12X168+6,所以爭(￡■)=/⑶=2,D選項正確，故選ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

9

12.【答案及評分細(xì)則】卷(5分,其他結(jié)果均不得分)

■上C71c—r左.rncl+cos2J1+2COS26—12cos2j

【斛析】由sin5-2cos'=0,可知tan'=2,而9=22心皿&os不。為

1Tm(sincos8)2

22

(1+tan”

13.【答案及評分細(xì)則】竽(5分，其他結(jié)果均不得分)

【解析】設(shè)O為底面ABCD的中心,則A,A1,G,O共面，因為AAi〃平面CBD,所以AAi〃3O,所以四邊

形AAiGO為平行四邊形，所以AiG=AO=2質(zhì),Ai3=2,所以A1到底面ABCD的距離為成■，所以正四

棱臺Ai3GDi-ABCD的體積為*X&_X(2;;十『十\/22X42)=空言.

14.【答案及評分細(xì)則】母(5分，如果答案是1.5也可得分,其他結(jié)果均不得分)

【解析】不妨設(shè)A(iooo),則軍一造=1,

ab

6"(2。+(?)。=[~(2]0+2c)、o=(久°+。)J(矍一1)6,解得io=2a,所以|AB|=4a,

又2AB的周長為10a,所以|F2A|+|BB|=6a,根據(jù)對稱性，|BB|=|居A|,

所以|BA|+|F】A|=6a,根據(jù)雙曲線定義，|居A|一|BA|=2a,解得|KA|=4a,

根據(jù)勾股定理，lBA|2=(2a+c)2+G/y6)2,即(3a—2c)(5a+2c)=0,

一c3

所以3a—2c=0,即e=—

aZ

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

97

15.【答案】⑴((2)分布列見解析,E(X)=：

【解析及評分細(xì)則】(1)設(shè)事件A為“取球放球結(jié)束后袋子里白球的個數(shù)為2”，....................1分

設(shè)事件B為“取出2個黑球”,===..............................................2分

C彳155

事件C為“取出2個紅球”,P(C)=^=2，..................................................3分

事件D為“取出1個紅球1個黑球”76)=等=1，.......................................4分

因為事件B,CD互斥，

9

所以P(A)=P(B)+P(C)+P(D)=管，

9

所以取球放球結(jié)束后袋子里白球的個數(shù)為2的概率為5；.....................................5分

(2)依題意，X的取值為1,2,3,

P(X=1)=曰=/，.........................................................................7分

尸(X=2)=yC；—,...............................................................8分

P(X=3)=C[?C；=卷,......................................................................9分

數(shù)學(xué)答案第3頁(共6頁)HN

所以X的分布列為:

X123

182

P

1515T

...................................................................................................................................................................................11分

所以E(X)=1X\+2X"+3X卷=/.....................................................13分

16.【答案】(1)略(2)一尊弓

【解析及評分細(xì)則】(1)證明：取AB的中點F,連接CF,所以AF=CD,................................................1分

因為AF〃CD,所以四邊形AFCD是平行四邊形.

因為AB_LAD,AD=CD,所以四邊形AFCQ是正方形，..........................................2分

貝1」48，。9,。9=4。=1,所以入。=8。=9，.................................................................................................3分

得至ljAC2^BC2=AB2,

所以BCLAC..........................................................................................................................................................4分

因為PA_L平面ABCD,

所以PA_LBC,.........................................................................................................................................................5分

因為PADAC=A,

所以BC_L平面PAC；................................................................................................................................................6分

(2)因為PA_L平面ABCD,PA，AD,PA，AB,J!!JPA,AD,AB兩兩垂直，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-久股.............................................................7分

則A(0,0,0),P(0,0,l),B(0,2,0),C(l,l,0),D(l,0,0),E(0,l,y),......................................................8分

所以虎=(0,1,0)6=(—1,0,+)6=(—1,1,0),............................................................................10分

設(shè)平面CDE的法向量為〃=(x,;y，N),

In?DC=0,7—。，(？=0,

則一所以<?z即

\n?CE=0,［一］+5=0,屋=2%,

令1=1,則2=2,

所以平面CDE的法向量為〃=(1,0,2),..........

設(shè)平面CBE的法向量為n1=(帆,〃，/?),

,,,.7^p_f—m+7?=0,,

?i*C8—n0,m=n,

則_>所以《p即

(zii?CE=0,—m+—=0,Ip=2m,

令帆=1,則p=2,n=l,

所以平面CBE的法向量為%=(1,1,2),..........................................................................................................14分

5

所以COS〈〃1,〃〉=

V6XV5

因為二面角D-EC-B為鈍角，

所以二面角D-EC-B的余弦值為—等..............15分

6

17.【答案】(l)a“=(十)“‘，4=斜(2)3

【解析及評分細(xì)則】(1)當(dāng)n=l時，Si+m=2,所以m=1,

數(shù)學(xué)答案第4頁(共6頁)HN

當(dāng)？222時，4=S〃-S〃_]=2-a”一（2-a”—i）=a”T-4,............................................................................1分

所以2a3=a“T，4=數(shù)列｛a.是以1為首項上為公比的等比數(shù)列，所以“『（J）”...........2分

因為4=24+1—,所以2"T"=2*“+1—1,即2"6?+1—2”T4=1,

所以數(shù)列｛2"-”“｝是公差為1的等差數(shù)列，.......................................................5分

所以2”-%,=仇+"—1,所以4......................................................................................................6分

因為2ss=2（2一■，所以八=與+仇=仇+"二=（，

所以bi=2,b?=彳=；;.........................................................................7分

1.

2?-i，"<4,

（2）依題意,g

%+1

當(dāng)時，Q〃=S“=2—a”=2--=,.....................................................................................10分

ZZo

M+1〃+2〃+3

時，因為h分

當(dāng)m>5n2^9.......................................................13

#匚i、1c一15,78?89.???+2??+311_??+3

所以Q"=至十方一^十目■一方-1^所方―0=F7一2"-1

其中，當(dāng)+8時,j甘f0,?\Q”<￥，Q〃無限接近乎,

所以整數(shù)m的最小值為3.15分

18.【答案】（1）略（2）絲產(chǎn)

【解析及評分細(xì)則】⑴證明：設(shè)直線AB：y=k^m9

與拋物線聯(lián)立可得力-4根=0,..................................................................................................................1分

所以11+/2=44,iii2=一4加，................................................................2分

設(shè)A（4號"（S,著），

22

過點A處的切線方程為y—*=蓑（%—?），即尸節(jié)匚手，

同理可得，過點B處的切線方程為？=詈一半，.................................................4分

JC1X_JC1

聯(lián)立兩直線方程k2"可得牛），..........................................6分

比2%_冠\Z4/

亍一了，

依題意，；2=—1，所以11%2=—4m——4,解得m=1

所以直線AB過定點（0,1）；....................................................................................................................................7分

（2）由（1）可知，直線AB：y=丘+1（人工0）,81+l2=43了1生=—4,

所以P（2K—1）,Q（2M2公+1）,...........................................................................................................................9分

對于直線AB：y=/z+l,令y=—1,解得L—[■，即M（一看,一1）,..................................................10分

點Q到直線V=—1的距離為以2+2,..............................................................................................................11分

數(shù)學(xué)答案第5頁（共6頁）