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文檔簡介
河南省八市重點高中2024屆高三4月第一次模擬考試
數(shù)學(xué)
全卷滿分150分,考試時間120分鐘。
注意事項:
1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上,并將條形碼粘貼在答
題卡上的指定位置。
2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,寫在試卷、草稿紙和答題卡上
的非答題區(qū)域均無效。
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑;非選擇題用黑色簽字筆在答題
卡上作答;字體工整,筆跡清楚。
4.考試結(jié)束后,請將試卷和答題卡一并上交。
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一
項是符合題目要求的.
1.已知集合A={xI0<x<3},B={xlxW2},則人。?3=
A.(2,3)B.[2,3)C.(0,2]D.(-°0,3)
2.若z=l—i,貝!|Iz?+zI=
A.2B.IC.V2D.VH)
3.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長
與短半軸長的乘積.若橢圓c的中心為原點,焦點4B均在X軸上,橢圓C的面積為
品,且橢圓C的離心率為三,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
2
22
A.—+y2=1B.x2+—=1
22
222
C.土+匕=1D.二+/=1
423
4.已知a,b均為平面單位向量,若Ia+bI=V3Ia-bI,貝U〈a,b〉=
A.30°B.60°C.120°D.150°
5.甲、乙、丙3名同學(xué)從4門課程中任選一門作為選修課,則3名同學(xué)所選課程不全相同
的概率為
6.函數(shù)/(x)=e、'+Ilnx+1I的最小值為
]_J_
A.eeB.C.聲+ln2D.+2
7.記數(shù)列{氏}的前一項和為,,已知為=2,{nS?}為等差數(shù)列,若凡+%+&=1,
貝!|幺=
B.—2
8.在正方體ABCD—451Goi中,區(qū)41=4,P為CG的中點,E在棱耳。l上,且45=3切1,
則過E且與4P垂直的平面截正方體ABCD-481GA所得截面的面積為
C.12D.16
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合
題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.為提高學(xué)生的消防安全意識,某學(xué)校組織一次消
防安全知識競賽,已知該校高一、高二、高三[A薪頻率
三個年級的人數(shù)之比為1:2:3,根據(jù)各年級人oo4o|_—_____
數(shù)采用分層抽樣隨機抽取了樣本容量為"的部
0.030--------------
分考生成績,并作出如圖所示的頻率分布直方
圖,成績前io%的學(xué)生授予“安全標(biāo)兵”稱號,4—-p
已知成績落在區(qū)間[50,60)的人數(shù)為24,則8,8昨二,口二匚口,
B.估計樣本中高三年級的人數(shù)為75
C.估計安全知識競賽考生的平均分為73
D.估計成績84分以上的學(xué)生將獲得“安全標(biāo)兵”稱號
10.已知函數(shù)/(x)=sin(。%+°)+B(CD>0,0<(p<7i,1),(—,1)為
/(%)的兩個相鄰的對稱中心,則
A./(x)的最小正周期為當(dāng)
B.f〈X)的最大值為1
C.直線》=得是曲線y=/(x)的一條對稱軸
D.將/(x)的圖象向右平移引個單位長度,所得圖象關(guān)于原點對稱
11.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,/(x+y)-/(x-y)=/(x+5)/⑶+弓),f(0)W
0,則
3
A./(-)=0B.f(0)=-2
C./(x)的一個周期為3
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.若sin。一2cos6=0,貝!J上匕竺亞=.
l+sin20
13.在正四棱臺44GA—ABCD中,AAX〃平面G3Z),AB=2441=4,則正四棱臺/蜴弓口
-ABCD的體積為.
22
14.已知雙曲線C:?一勺=1(a>0,6>0)的左、右焦點分別為耳月,焦距為2c,A,
ab
B為C上的兩點,AB〃4乃,四邊形耳乙4s的面積為G(2a+c)b,若△耳48的周
長為10a,則C的離心率為.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15.(本小題滿分13分)
不透明的袋子中裝有3個黑球,2個紅球,1個白球,從中任意取出2個球,再放入1
個紅球和1個白球.
(1)求取球放球結(jié)束后袋子里白球的個數(shù)為2的概率;
(2)設(shè)取球放球結(jié)束后袋子里紅球的個數(shù)為隨機變量X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.
16.(本小題滿分15分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA_L平面ABCD,AB〃CD,CDXAD,AB=2,PA=
AD=CD=1,E為PB的中點.
(1)證明:BC_L平面PAC;
(2)求二面角D—EC—B的余弦值.
17.(本小題滿分15分)
記S,,Tn分別為數(shù)列{a,},{a}的前"項和,Sn+an=2,a?+6,=2bn+l,2s3=7;.
(1)求數(shù)列{a“},{b?}的通項公式;
(2)設(shè)c,,記{c“}的前力項和為若對任意Q<m,求整數(shù)
[b","5,n
m的最小值.
18.(本小題滿分17分)
設(shè)P為拋物線C:/=制準(zhǔn)線上的一個動點,過P作c的兩條切線,切點分別為A,B.
(1)證明:直線AB過定點;
(2)當(dāng)直線AB斜率不為0時,直線AB交C的準(zhǔn)線于M,設(shè)Q為線段AB的中點,求
△QPM面積的最小值.
19.(本小題滿分17分)
已知函數(shù)/(x)=(l+x)‘一rx—1(x>—1),r>0且rWl.
(1)討論/(x)的單調(diào)性;
(2)比較4岳與臾的大小,并說明理由;
32
數(shù)學(xué)
參考答案、提示及評分細(xì)則
題號12345678
答案ACABDBDC
題號91011
答案ABDACABD
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.【答案】A
【解析】因為CRB={I|I>2},所以APICRB={Z|2<£V3〉,故選A.
2.【答案】C
【解析】?=(l—i)2=—2i,5=l+i,出+引=|1—『=何,故選C.
3.【答案】A
,叵
22Q2'j=歷
【解析】設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,+方焦距為2c,則1L解得r一',橢圓c的
abab=&、[仁1,
“2="+c2,
r2
標(biāo)準(zhǔn)方程為三+:/=1.故選A.
4.【答案】B
【解析】兩邊同時平方得2+2。?6=3(2—2。?方),則a?b=4=|a|?\b\cos〈a,6〉,解得cos〈a,b〉=■,即
〈a"〉=60°,故選B.
5.【答案】D
【解析】甲、乙、丙3名同學(xué)從4門課程中任選一門有4><4X4=64(種)選法,3名同學(xué)所選課程全相同有4
種,所以3名同學(xué)所選課程不全相同的概率為6笠4—#4=耗15,故選D.
6416
6.【答案】B
【解析】當(dāng)工時,/(幻=1+&]+1"(%)顯然單調(diào)遞增,所以/(%)>之+國工+1=4,當(dāng)0V/V。
eee
時"(1)=1—Inx—1,/'(1)=e"一工Ve譽一e<0,/(久)單調(diào)遞減,所以/(x)〉et—In1—1=,所以
JCe
/(久)的最小值為e譽,故選B.
7.【答案】D
【解析】S4+〃3+a4=S4+S4—S2=l,故4s4—2S2=2,所以數(shù)列{/1S”>是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,所
__1_
-
以nSn—2+M—1=%+1,故Sn—1+—,所以當(dāng)"22時,a”=S”一Sn-i——~~-~~有,所以一—"j—--I,故
nnkn-1;a3_4
一T
選D.
數(shù)學(xué)答案第1頁(共6頁)HN
8.【答案】C
【解析】如圖所示,取A[F=3FBI,因為EFJ_平面AAiGC,所以EF±A,P,
取Q為DiD的中點,DH=3HA,則Q且EHJ_PQ,所以EH_L平面4PQ,
EH_LAIP,同理可得BG=3GA,所以等腰梯形HGFE為所得截面,
又HG=7f,EF=39,EH=2宿,則梯形的高為372,
所以等腰梯形HGFE的面積為+X(淄'+3回X3班'=12,故選C.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得
6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.【答案】ABD(全部選對得6分,選對1個得2分,選對2個得4分,有選錯的得0分)
94.
【解析】因為z=0.016,則〃=熹=150,人選項正確;
0.1b
估計樣本中高三年級人數(shù)為150X汗Q=75,B選項正確;
該??忌煽兊钠骄止烙嬛禐?5X0.16+65X0.3+0.4X75+0.1X85+95X0.04=70.6,C選項錯誤;
考生成績的第90百分位數(shù)為80+粵10=84,D選項正確,故選ABD.
0.9610.co
10.【答案】AC(全部選對得6分,選對1個得3分,有選錯的得0分)
【解析】依題意,4=匹=萼一卷=左,所以T="w=3,A選項正確;
za;yyoo
因為3義+無/,即°=無兀一■,所以(p=猙,所以/(1)=sin(31+空)+B的對稱中心為,所
以B=的最大值為2,B選項錯誤;
當(dāng)空=4時,f(①)=sin(3%罌+冬)+L=-1+1=0,所以直線.「=粵是曲線y=f(支)的一條對稱軸,C
選項正確;
將“支)的圖象向右平移,個單位長度所得函數(shù)為產(chǎn)sin[3(z—富)+阻+l=sin3工+1,關(guān)于(0,1)對
稱,D選項錯誤.故選AC.
11.【答案】ABD(全部選對得6分,選對1個得2分,選對2個得4分,有選錯的得0分)
【解析】令z=y=0,則f(0)—f(0)=F(V),所以/(5)=0,A選項正確;
令了=0,則/(山一/(一》)=/(告)/(y+等)=0,即/(山―》),所以/⑶=/(—3),令a=y=V,則
/(3)—/(0)=/(3),令①=v=—則/(—3)—/(0)=/2(0)=/(3)—/(0),所以/(())=/2(3),所以
(/(0)+/(0))2=尸(0),因為/(0)①0,所以/(0)=-2,f(3)=2,B選項正確;
令)=一^-,則/(i—得)一+弓)=/'(i+5)/(0)=—2/(2+弓),所以一年)+/(i+5)
=0,/(了+[~)+/(]+彳)=0,所以/(JC-"(1)的一個周期為6,C選項錯誤;
令i=l"(一4)+/(得)=/(+)+/(得)=0,令]=},/(—1)+/(2)=/⑴+/⑵=0,所以
/(十)+/'⑴+/(得)+/(2)+/(£)+/(3)=2,由/■(攵-得)+J,(攵+得)=0可知"(攵)+/(i+3)
=0,所以/(y)+/(l)+/(4)+/<2>+/(y)+/<3)+/(y)+/(4)+/(^-)+/(5)+/(y)+
數(shù)學(xué)答案第2頁(共6頁)HN
f(6)=0,因為2022=12X168+6,所以爭(£■)=/⑶=2,D選項正確,故選ABD.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
9
12.【答案及評分細(xì)則】卷(5分,其他結(jié)果均不得分)
■上C71c—r左.rncl+cos2J1+2COS26—12cos2j
【斛析】由sin5-2cos'=0,可知tan'=2,而9=22心皿&os不。為
1Tm(sincos8)2
22
(1+tan”
13.【答案及評分細(xì)則】竽(5分,其他結(jié)果均不得分)
【解析】設(shè)O為底面ABCD的中心,則A,A1,G,O共面,因為AAi〃平面CBD,所以AAi〃3O,所以四邊
形AAiGO為平行四邊形,所以AiG=AO=2質(zhì),Ai3=2,所以A1到底面ABCD的距離為成■,所以正四
棱臺Ai3GDi-ABCD的體積為*X&_X(2;;十『十\/22X42)=空言.
14.【答案及評分細(xì)則】母(5分,如果答案是1.5也可得分,其他結(jié)果均不得分)
【解析】不妨設(shè)A(iooo),則軍一造=1,
ab
6"(2。+(?)。=[~(2]0+2c)、o=(久°+。)J(矍一1)6,解得io=2a,所以|AB|=4a,
又2AB的周長為10a,所以|F2A|+|BB|=6a,根據(jù)對稱性,|BB|=|居A|,
所以|BA|+|F】A|=6a,根據(jù)雙曲線定義,|居A|一|BA|=2a,解得|KA|=4a,
根據(jù)勾股定理,lBA|2=(2a+c)2+G/y6)2,即(3a—2c)(5a+2c)=0,
一c3
所以3a—2c=0,即e=—
aZ
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
97
15.【答案】⑴((2)分布列見解析,E(X)=:
【解析及評分細(xì)則】(1)設(shè)事件A為“取球放球結(jié)束后袋子里白球的個數(shù)為2”,....................1分
設(shè)事件B為“取出2個黑球”,===..............................................2分
C彳155
事件C為“取出2個紅球”,P(C)=^=2,..................................................3分
事件D為“取出1個紅球1個黑球”76)=等=1,.......................................4分
因為事件B,CD互斥,
9
所以P(A)=P(B)+P(C)+P(D)=管,
9
所以取球放球結(jié)束后袋子里白球的個數(shù)為2的概率為5;.....................................5分
(2)依題意,X的取值為1,2,3,
P(X=1)=曰=/,.........................................................................7分
尸(X=2)=yC;—,...............................................................8分
P(X=3)=C[?C;=卷,......................................................................9分
數(shù)學(xué)答案第3頁(共6頁)HN
所以X的分布列為:
X123
182
P
1515T
...................................................................................................................................................................................11分
所以E(X)=1X\+2X"+3X卷=/.....................................................13分
16.【答案】(1)略(2)一尊弓
【解析及評分細(xì)則】(1)證明:取AB的中點F,連接CF,所以AF=CD,................................................1分
因為AF〃CD,所以四邊形AFCD是平行四邊形.
因為AB_LAD,AD=CD,所以四邊形AFCQ是正方形,..........................................2分
貝1」48,。9,。9=4。=1,所以入。=8。=9,.................................................................................................3分
得至ljAC2^BC2=AB2,
所以BCLAC..........................................................................................................................................................4分
因為PA_L平面ABCD,
所以PA_LBC,.........................................................................................................................................................5分
因為PADAC=A,
所以BC_L平面PAC;................................................................................................................................................6分
(2)因為PA_L平面ABCD,PA,AD,PA,AB,J!!JPA,AD,AB兩兩垂直,
如圖,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-久股.............................................................7分
則A(0,0,0),P(0,0,l),B(0,2,0),C(l,l,0),D(l,0,0),E(0,l,y),......................................................8分
所以虎=(0,1,0)6=(—1,0,+)6=(—1,1,0),............................................................................10分
設(shè)平面CDE的法向量為〃=(x,;y,N),
In?DC=0,7—。,(?=0,
則一所以<?z即
\n?CE=0,[一]+5=0,屋=2%,
令1=1,則2=2,
所以平面CDE的法向量為〃=(1,0,2),..........
設(shè)平面CBE的法向量為n1=(帆,〃,/?),
,,,.7^p_f—m+7?=0,,
?i*C8—n0,m=n,
則_>所以《p即
(zii?CE=0,—m+—=0,Ip=2m,
令帆=1,則p=2,n=l,
所以平面CBE的法向量為%=(1,1,2),..........................................................................................................14分
5
所以COS〈〃1,〃〉=
V6XV5
因為二面角D-EC-B為鈍角,
所以二面角D-EC-B的余弦值為—等..............15分
6
17.【答案】(l)a“=(十)“‘,4=斜(2)3
【解析及評分細(xì)則】(1)當(dāng)n=l時,Si+m=2,所以m=1,
數(shù)學(xué)答案第4頁(共6頁)HN
當(dāng)?222時,4=S〃-S〃_]=2-a”一(2-a”—i)=a”T-4,............................................................................1分
所以2a3=a“T,4=數(shù)列{a.是以1為首項上為公比的等比數(shù)列,所以“『(J)”...........2分
因為4=24+1—,所以2"T"=2*“+1—1,即2"6?+1—2”T4=1,
所以數(shù)列{2"-”“}是公差為1的等差數(shù)列,.......................................................5分
所以2”-%,=仇+"—1,所以4......................................................................................................6分
因為2ss=2(2一■,所以八=與+仇=仇+"二=(,
所以bi=2,b?=彳=;;.........................................................................7分
1.
2?-i,"<4,
(2)依題意,g
%+1
當(dāng)時,Q〃=S“=2—a”=2--=,.....................................................................................10分
ZZo
M+1〃+2〃+3
時,因為h分
當(dāng)m>5n2^9.......................................................13
#匚i、1c一15,78?89.???+2??+311_??+3
所以Q"=至十方一^十目■一方-1^所方―0=F7一2"-1
其中,當(dāng)+8時,j甘f0,?\Q”<¥,Q〃無限接近乎,
所以整數(shù)m的最小值為3.15分
18.【答案】(1)略(2)絲產(chǎn)
【解析及評分細(xì)則】⑴證明:設(shè)直線AB:y=k^m9
與拋物線聯(lián)立可得力-4根=0,..................................................................................................................1分
所以11+/2=44,iii2=一4加,................................................................2分
設(shè)A(4號"(S,著),
22
過點A處的切線方程為y—*=蓑(%—?),即尸節(jié)匚手,
同理可得,過點B處的切線方程為?=詈一半,.................................................4分
JC1X_JC1
聯(lián)立兩直線方程k2"可得牛),..........................................6分
比2%_冠\Z4/
亍一了,
依題意,;2=—1,所以11%2=—4m——4,解得m=1
所以直線AB過定點(0,1);....................................................................................................................................7分
(2)由(1)可知,直線AB:y=丘+1(人工0),81+l2=43了1生=—4,
所以P(2K—1),Q(2M2公+1),...........................................................................................................................9分
對于直線AB:y=/z+l,令y=—1,解得L—[■,即M(一看,一1),..................................................10分
點Q到直線V=—1的距離為以2+2,..............................................................................................................11分
數(shù)學(xué)答案第5頁(共6頁)
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