陜西省商洛市2024屆高三第四次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)（理科）

商洛市2024屆高三第四次模擬檢測(cè)

數(shù)學(xué)試卷（理科）

考生注意：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.

2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.

3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

2-

1.己知復(fù)數(shù)2=——，復(fù)數(shù)Z是復(fù)數(shù)Z的共朝復(fù)數(shù)，則Z-Z=（）

1-i

A.2B.41C.1D.2&

2.已知集合?={xeN|l〈尤48},集合Q={xeR|尤2—%—2W0},則PQ=（）

A.{2}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}

3.1%-寧］的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（）

A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)

4.已知S“是等差數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和，且滿足g=4,S4=22,則$5=（）

A.65B.55C.45D.35

5.近年來商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進(jìn)了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)

k,

量N（mg/L）與時(shí)間小時(shí)）的關(guān)系為N=Noe-（No為最初的污染物數(shù)量）.如果前3小時(shí)消除了20%

的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要（）

A.2.6小時(shí)B.6小時(shí)C.3小時(shí)D.4小時(shí)

6.在八43。中，〃是A6的中點(diǎn)，N點(diǎn)分AC的比為AN:NC=1:2,3N與。0相交于￡.設(shè)

AB=AC=b,則向量A5=（）

11122134

A.-ciH—7bB.—Q,—b7C.—H—7bD.—ciH—b7

32235555

7.已知點(diǎn)M在拋物線C：V=4x上，拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K,線段的中點(diǎn)N也在拋物線

。上，拋物線。的焦點(diǎn)為F,則線段旅的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

8.已知一棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，則該

棱錐的體積為（）

A.8B.16C.32D.48

9.已知函數(shù)/（%）=eX+eT,g（x）=sinx,給出的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（）

g(%)

A.7(x)+g(x)—2B./(%)-g(%)+2C./(x)-g(x)D.

71

10.已知函數(shù)/(%)=sincox~\—3>o）與函數(shù)g（x）=cos(2x+d)

6

的圖像的對(duì)稱軸相同，給出下列結(jié)論:

①0的值可以為4；

②。的值可以為2衛(wèi)；

3

JTJT

③函數(shù)八％）的單調(diào)遞增區(qū)間為—耳+版■，彳+左"（左eZ）；

兀卜兀[[

④函數(shù)八％）的所有零點(diǎn)的集合為xx——I--，左wZ〉?其中正確的為（)

62

A.①②B.②③C.③④D.①④

11.已知P是雙曲線。：/臺(tái)=1右支上的動(dòng)點(diǎn)，身,心是雙曲線。的左、右焦點(diǎn)，貝hn|*+ln］明

的最小值為（）

A.12B.In4C.Inl2D.In32

12.已知丸>0,對(duì)任意的x>l,不等式e?加一In一Y^20恒成立，則2的取值范圍為（）

22

A.［2e,+co)B.——,+cojC.［e,+8)D.—,+ooJ

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在區(qū)間［—2,2］上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,則事件4:%+丁》1的概率為.

14.曲線/(x)=xe、的一條切線方程為y=貝4左=.

15.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角5—AC—。，則四面

體ABCD的外接球的體積為.

16.已知函數(shù)/(%)滿足f^x+^=y/2f(x),f(6)=l,則滿足

/(1)+/(2)++/(?)>/(1)/(2)/(“)的最大正整數(shù)〃的值為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17~21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.(本小題滿分12分)

在"BC中，角A5c所對(duì)的邊分別為"c,且滿足二-r=——

2cos24疝。

2

(1)求角A的大??；

(2)若a=G,c-,求"BC的面積.

2

18.(本小題滿分12分)

現(xiàn)從某學(xué)校高三年級(jí)男生中隨機(jī)抽取50名男生測(cè)量身高，測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生的身高全部介于160cm和

184cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成6組：第1組［160,164),第2組［164,168),…，第6組

［180,1841.如圖，這是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

0.08

0.07

oQ.05

S02

001

(1)試評(píng)估該校高三年級(jí)男生的平均身高；

(2)求這50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人數(shù)；

(3)從這50名身高在172cm以上(含172cm)的男生中任意抽取2人，將這2人中身高在180cm(含

180cm)以上的人數(shù)記為求J的數(shù)學(xué)期望.

19.(本小題滿分12分)

如圖1,在矩形ABCD中，AB=2,BC=26將八45。沿矩形的對(duì)角線應(yīng))進(jìn)行翻折，得到如圖2

所示的三棱錐A-BCD.

(1)當(dāng)ABLCD時(shí)，求AC的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)平面平面BCD時(shí)，求平面ABC與平面ACD的夾角的余弦值.

20.(本小題滿分12分)

已知橢圓C:［+J=1(?！?〉0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)1,

(1)求橢圓。的方程.

(2)設(shè)A是橢圓C的右頂點(diǎn)，P,Q是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，直線的斜率分別為占，k2,且

^2=1.過A作A3，。。，垂足為5,試問是否存在定點(diǎn)M,使得線段9/的長(zhǎng)度為定值?若存在,

求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=2a21nx一；/-ax{aeR).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

2x

e

(2)當(dāng)a>0時(shí)，若函數(shù)g(x)=飛-+ae*和//(X)=2/%的圖像在(0,1)上有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍.

(-)選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)

分.

22.［選修I：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(本小題滿分10分)

%=l+2cos。，/「、\

已知曲線C的參數(shù)方程為｛_.(。為參數(shù))，直線/:9=a(ae［0,?),夕eR)與曲線C相交

<ysin

于以,N兩點(diǎn)，以極點(diǎn)。為原點(diǎn)，x軸的負(fù)半軸為極軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)記線段的中點(diǎn)為。，若恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

23.［選修4—5：不等式選講］(本小題滿分10分)

已知函數(shù)/(九)=|2九一4|+|九+4］的最小值是根.

(1)求加；

⑵若正數(shù)。，仇c滿足a+Z?+c=m,求證：\［a+VF+Vc<3A/2.

商洛市202244屆高三第四次模擬檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題(理科)參考答案及評(píng)分意見

一、選擇題:

123456789101112

ABBDCCCBDBCB

2

|22

1.A.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得z-z=z1+i「=2.故選A.

匚]=ll

2.B.【詳解】X2-X-2=(X+1)(X-2)<0,解得所以Q=崗—1<%<2},所以

Pe={i,2}.故選：B

'__2_^6-33

3.B【詳解】x-I的通項(xiàng)為(+i=C/x6一=C；-(-2)r-x2，令6—：r=0有r=4.故

x-I的展開式中常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng).故選：B

4.D.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d,則S4=(4—d)+4+(4+d)+(4+2d)=22,;.d=3,

5伉+4),,

/=出+d=7,S5=-----------=5%—35.故選：D

5.C.【詳解】由題意可得N0e-3*=gN0,可得"3"=^,設(shè)N。/"=0.64N。=No,

...e/=[-3)2=e-63解得『=6

因此，污染物消除至最初的64%還需要3小時(shí).故選：C.

1_;

6.C.【詳解】由題意瓦及N三點(diǎn)共線,所以存在/leR,使得A石=2A5+(l—X)AN=2A5+飛一AC,

同理C,E,"三點(diǎn)共線，所以存在〃wR，使得AE=〃AC+(1—〃)AM=〃AC+匕4AB,

；_二1一〃

721-21-

由平面向量基本定理可得＜\,解得2=—,〃=—,所以AE=—。+—b.故選：C.

1—Z5555

〃

[=3------

7.C.【詳解】由已知ON是的中位線，可知狼=2ON,過〃,N向準(zhǔn)線做垂線，垂足分別為

MM，同理NN】是4K跖%的中位線，MM、=2NNi，有拋物線定義知=板,=NF,

13

因此，N點(diǎn)橫坐標(biāo)是該一，所以NF=—,MF=3,故選：C.

22

，—1、才=4天

方法二：設(shè)點(diǎn)〃(不切)，則N工丁，^，由已知"％)2斗_],解得苞=2,所以"歹=3,

此二4、

故選：C.

8.B.【詳解】觀察可發(fā)現(xiàn)這個(gè)棱錐是將一個(gè)側(cè)面擺在地面上，而棱錐的真正底面體現(xiàn)在正視圖(梯形)

中，所以S底=；-(4+2>4=12,而棱錐的高為側(cè)視圖的左右間距，即4=4,所以V=gs底?人=16答

案：B

9.D【詳解】對(duì)于〃%)=^+尸，定義域?yàn)镽,滿足/(—%)=b+/=/(%),為偶函數(shù).同理可

得：g(x)=sinx為奇函數(shù).

記/z(x)=/(x)+g(x)—2,則/z(T)=/(T)+g(f)-2=/(x)-g(x)-2

所以7/(-無)豐//(%)且力(-X)w-h^x)，所以/(x)+g(x)-2為非奇非偶函數(shù);

駕a為奇函數(shù).

同理可證:/(九)一g(%)+2為非奇非偶函數(shù)；/(x)?g(%)和

“X)

由圖可知，圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，且0</(1)<1.顯然選項(xiàng)A,B對(duì)應(yīng)的函數(shù)都不是奇函數(shù)，故排除;

對(duì)C：y=/(x)?g(x)=(e*+er卜inx,為奇函數(shù).

當(dāng)工=1時(shí)，fe+->1sinl>fe+—^sin—>fe+-^x>ex>~^=>,故錯(cuò)誤；

IejIej4Iej220

對(duì)D,y=^4=S11U,為奇函數(shù).當(dāng)x=l時(shí)，「嗎、<1.故正確.故選：D.

小)^+一

10.B.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)閮珊瘮?shù)圖像的對(duì)稱軸相同，且兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離等于周期的一半，所

以兩函數(shù)的周期也相同，

27r

因此一=兀，解得刃=2,故①錯(cuò)誤；

G)

對(duì)于②，因?yàn)?=2,所以〃x)=sin卜x+工],當(dāng)6=女時(shí)，

g(x)=cos2x+胃=-sin2x+/,此時(shí)與g(x)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱,則它們的對(duì)稱軸相

同，故②正確;

77"TT7Trrrr

對(duì)于③，令----FIkn<2x+—<——F2k兀(k￡z)得,----\-krc<x<——卜k7i(ksz),故/(%)的單調(diào)

26236

遞增區(qū)間為——+k7V,—+k7T(左ez),故③正確;

36

JT7ikn7

對(duì)于④，/(另的所有零點(diǎn)滿足21+不=左肛左wz,解得所有零點(diǎn)的集合為xX------1------，左￡2>,

122

故④錯(cuò)誤.

11.C.【詳解】由雙曲線C定義，|尸耳|一|尸用=4,|%怕［2,+00)

2

ln|Pf；|+ln|P^|=ln(|P^||P^|)=ln|PF2(4+|P7^|)=(ln|p^1+4|),當(dāng)且僅當(dāng)歸可=2取得最

小

值如12.故選：C

12.B.【詳解】由題意2>0,不等式即2笈2加之1皿，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為22一加上Inx*令g(x)=x",

則g'(x)=(x+l)e",當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增

則不等式等價(jià)于g(2九。2g(lnt)恒成立因?yàn)?>0,尤>1,所以2/U>0,hw>0,

1n_y

所以2；UNlnx對(duì)任意x>l恒成立，即222—恒成立

x

設(shè)〃?)=受?>1),可得當(dāng)1</<6〃(7)>0,//?)單調(diào)遞增

當(dāng)f>e,〃⑺<0,//⑺單調(diào)遞減.所以f=e,/i⑺有最大值"e)=L于是"2工解得彳之上.

故選：B

二、填空題：本題共4小題.

9125

13.—14.115.-----7116.12

326

9^x3x39

13.答案：二.【詳解】事件A概率為p=2------.

321632

14.答案：k=l【詳解】/,(x)=(x+l)e\切線為y=x,斜率為左=1,

1255125

15.答案：—7T【詳解】因?yàn)锳C的中點(diǎn)是球心，所以該球的半徑為二，所以外接球的體積為,乃.

626

16.答案：12【詳解】fL+1j=V2f(x).-./(x+l)=V2/L+1j=2f(x),

所以數(shù)列｛/⑺｝是公比為2的等比數(shù)列，則有1/(6)=l.-./(n)=2n-6

/⑴+義2)++/W=^(2n-1)

n｛n—\1)

/(1)/(2)”“)=2—5+(Y)++("-6)=2丁

1（\"（T）^1+5

所以所解不等式為:—（2,!-l）>22o2”—1〉22

n~-11??+1021nc

2">22on>-----------------0n-13〃+10<0

2

口n13+V129

可解得：0<〃<-------------

2

neN\\n的最大值為12

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題

考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：

jr

17.答案：（1）—⑵苧

3

【詳解】(1)在八45。中，，由正弦定理得：

sinAsinC2cos2AsinC

2

a

所以,

1+cosAsinA

所以，百sinA=1+cosA,即由sinA-cosA=1,即sin[A-

2

715萬

又Ae(O,〃)，所以A—ge‘所以即

~6'~63

（2）在AABC中，a=A/3,c—b=―A=—

23

.?%=1+叵

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即3=（c—）了+6c.

2

cc.°1,..2,y/3+3A/5

所以SAABC=-bcsinA=---------

18.【詳解】(1)由頻率分布直方圖，經(jīng)過計(jì)算該校高三年級(jí)男生平均身高為

57X22I

162x—+164x——+170x—+174x——+178x——+182x—x4=168.72,

100100100100100100

平均值為168.72,高于全市平均值168.

(2)由頻率分布直方圖知，后3組頻率為(0.02+0.02+001)x4=0.2,人數(shù)為0.2x50=10,即這50

名男生身高在172cm以上（含172cm）的人數(shù)為10.

（3）由已知50人中180cm以上的有2人.

「2，只1A

隨機(jī)變量占可取0,1，2,于是〃（J=o）===三,.（4=1）=上警=、,

Go45Qo45

r11

PC太=石，

.-.E（^=0）=0x—+lx—+2x—=-

''4545455

19.【詳解】（1）由ABLCD,3CLCD,且AB3C=5,AB,3Cu平面ABC,

可得CD，平面ABC,

又ACu平面ABC,則ACLCD,

在RtAACD中，根據(jù)勾股定理，AC=S/AD2-CD2=7（2A/3）2-22=272.

（2）如圖，過A點(diǎn)作49,5。于點(diǎn)。，

111-

由=580x40=548x4。代值易得：AO=6.

由平面ABD_L平面3c。，平面ABD'平面BCD=8D,AOu平面ABD,

可知AOJ_平面3co.

在平面BCD中，過。點(diǎn)作BD的垂線為x軸，OD,OA所在直線分別為y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則

4（0,0,73）,5（0,-1,0）^（73,2,0）,0（0,3,0）,

有AB=（0,—1,—G）,5c=（A3,0）,CD=（-73,1,0）,AD=僅,3,—百）.

m-AB=-gz]=0

設(shè)平面ABC的法向量加=（xi，x，zj,則＜

m-BC=+3yl=0

令4=1,解得其中一個(gè)法向量m=（3,―6/]

n-CD=-A/3X2+y=0

設(shè)平面ACD的法向量〃=（%，%*2）,貝卜2

n-AD=3%-A/3Z2=0

令々=1，解得其中一個(gè)法向量”=（1,6,3）.

十日m-n

于是，cosm,n=?-n—i,——----1==——>0

V13xV1313

3

故平面ABC和平面ACD夾角的余弦值為—.

13

20.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，所以〃=3人,

則橢圓C的方程為二+工=1.

9b2b2

又橢圓C經(jīng)過點(diǎn)[1,迪1Q

所以帝+該二1,

解得人=1,a=3,所以橢圓C的方程為芯+/=1.

（2）

設(shè)「（七,%）,Q（W，%），若直線P。斜率為。，不妨設(shè)。。：、=/,?工0,-1</<1），

2

此時(shí)再,％2是方程石"+/二1的兩根，所以％]+々=。，%%=9卜之—1）,

---—,-=---------------------=----------------二—W-不滿足題意;

%1-3x2-3xxx2-3(%1+X2)+99(/一1)一0+993

若直線尸。斜率不為0,直線尸。的方程為x=zny+〃，且〃。3,

x=my+n

聯(lián)立方程組]好,消去得(加

X2+9)丁+2mny+H2-9=0,

——+y=1

[9'

由A>0,m2-M2+9>0,

—2mnn2—9

所以M+%加2+9''乃加2+9

又因?yàn)樗鸍，所以△?含=3整理得町%=（%—3）5—3）,

即3%%=(陽(yáng)1+〃-3)(陽(yáng)2+"-3)，

產(chǎn)

函數(shù)g(x)=了+成和/z(x)=2片1皿的圖像在(l,e)上有交點(diǎn)，即

函數(shù)g(%)=5+〃％和/z(%)=2a21wc的圖像在(1,e)上有交點(diǎn)，等價(jià)于/