廣東省廣州市2022年高三年級(jí)下冊第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在等差數(shù)列｛4｝中，若S”為前〃項(xiàng)和，2%=%+12,則幾的值是()

A.156B.124C.136D.180

a,a>b11

2.定義沙,,已知函數(shù)/(x)=------^―>=--------—?則函數(shù)￡(%)=/(%)區(qū)g(x)的最小值

b,a<b2-sin-x2-cos-x

為()

24

A.-B.1C.-D.2

33

3.很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明，如“費(fèi)馬

大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于每一個(gè)正整數(shù)，如果

它是奇數(shù)，則將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2；如此循環(huán)，最終都能夠得到1.下圖為研究“角谷猜想”

的一個(gè)程序框圖.若輸入〃的值為10,則輸出i的值為()

A.5B.6C.7D.8

/(m)+/(n-2)>0

4.已知奇函數(shù)/（x）是R上的減函數(shù)，若滿足不等式組/（機(jī)-〃-1）20，則2根—”的最小值為（）

/(m)<0

A.C.0D.4

xx

5.設(shè)ep2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)“力=e-e--l9若〃Q)=1,則/(—〃)=()

A.-1B.1C.3D.-3

6.已知集合A={x|y=lg(4-x2)},B={y|y=3x,x>0}時(shí),AAB=()

A.{x|x>-2}B.{x|l<x<2}C.{x|l<x<2}D.0

x+yV4

則y的取值范圍是（）

7.點(diǎn)尸（x,y）為不等式組y<x所表示的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn),

x—2

y>0

A.一1][1,+°°)C.(—2,1)D.[—2,1]

2\^<0

8.已知函數(shù)()

log3x,x>0

變1

A.B.-C.-log32D.log32

22

9.為了力口強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”，實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國夢”，某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加4B、C三個(gè)貧

困縣的調(diào)研工作，每個(gè)縣至少去1人，且甲、乙兩人約定去同一個(gè)貧困縣，則不同的派遣方案共有（)

A.24B.36C.48D.64

10.已知集合'=｛尤|一14工＜5｝小=卜|國＜2｝,則MN=（)

A.[x\-l<x<2}B.{%|-2<%<5}C.{x|-l<%<5}D.x10<x<2}

11.已知a=logi213,8=log1314,則的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸出的S=2時(shí)，則輸入的S的值為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

..1-

13.已知直角坐標(biāo)系中起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的向量滿足|。|=|切=1,且。為=5,c=1=(〃/—〃)，存

在a,b,對于任意的實(shí)數(shù)以“，不等式|a-c|+|。-d|?T,則實(shí)數(shù)T的取值范圍是.

14.若直線區(qū)-y-%+2=。與直線x+6—2左—3=0交于點(diǎn)P,則。尸長度的最大值為

1

15.若］。(一工2)辦=g,貝!I。=

0

⑹已知X'y滿足約束條件；二一二則二=二-二的最小值為一

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=<zx(2+cosx)-sinx,/'(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)若。=1,證明/(X)在區(qū)間［-gqj上沒有零點(diǎn);

(2)在xe(O,+s)上/(x)>0恒成立，求。的取值范圍.

18.(12分)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S",且滿足［=—l,a“〉0(”22),S“9〃-1篦,各項(xiàng)均為正

6

數(shù)的等比數(shù)列也｝滿足4=2力3=%

(1)求數(shù)列｛4｝,｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若c“=；a」b",求數(shù)列｛c“｝的前〃項(xiàng)和T“

19.（12分）如圖，四棱錐尸-A5CD中，側(cè)面？A3為等腰直角三角形，3C，平面

PAB,PA=PB,AB=BC=2,AD=BD=45.

（1）求證：PA，平面「5C；

（2）求直線PC與平面R4D所成的角的正弦值.

20.（12分）某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級(jí)過濾，使用壽命為十年如圖所示兩個(gè)二級(jí)過濾器采

用并聯(lián)安裝，再與一級(jí)過濾器串聯(lián)安裝.

,__________.級(jí)過濾器

「繳過濾器,）/-

1----------1一級(jí)過濾…器；

其中每一級(jí)過濾都由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn)在使用過程中，一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換（每個(gè)濾芯是否需要

更換相互獨(dú)立）.若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)160元，二級(jí)濾芯每個(gè)80元.若客戶在使用

過程中單獨(dú)購買濾芯則一級(jí)濾芯每個(gè)400元，二級(jí)濾芯每個(gè)200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買濾芯的數(shù)量，為

此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中表1是根據(jù)100個(gè)一級(jí)過濾

器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表，圖2是根據(jù)200個(gè)二級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的條形圖.

表1：一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表

一級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù)89

頻數(shù)6040

圖2：二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖

以100個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯的頻率

代替1個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.

（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16的概率；

（2）記X表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級(jí)濾芯總數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）記私〃分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù).若加+〃=19,且加e｛8,9｝,

以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，試確定7篦，〃的值.

21.（12分）已知等差數(shù)列｛4｝中，%=5,%=14,數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和邑=22一1.

（1）求冊也;

（2）若c”=（-D"a”+%求｛ca｝的前”項(xiàng)和卻

22.（10分）如圖，在四棱柱A3CD-4瓦￡。中，底面ABC。為菱形，AB^CBX.

（1）證明：平面BO,耳，平面ABCD；

（2）若NZMB=60。，ADB】B是等邊三角形,求二面角A-5。-G的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

因?yàn)?+q1=249=〃]]+12,可得%=12,根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和，即可求得答案.

【詳解】

%+41-2a9-au+12,

%=12,

S13=^ty-^=13?7=13x12=156.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求等差數(shù)列前幾項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)定義和等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得F(x)>/(x),F(x)>g(x),則2F(x)>/(x)+g(x)，再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的

形式，可求得函數(shù)的最小值.

【詳解】

依題意得網(wǎng)光)》/(尤)，F(xiàn)(x)>g(x),則2b(x)之/(x)+g(x),

1111199

f(x)+g(x)=-----?~2---1---------2--=-(--------—+---------)[(2-sin%)+(2-cosx)]

2-sinx2-cosx32—sin?x2-cos2%

1c2-cos2x2—sin2%1小cp-cos2x2-sin2%)4(當(dāng)且僅當(dāng)2-cos2x_2-sit?x即

=—(2+--------廠+--------)>-(2+2.

32-sin2x2-cos2x3'/2-sin2%2-cos2%32-sin2x2-cos2x

242

sin2x=cos2x=~時(shí)“=”成立.此時(shí),了(犬)-二g(%)=1?.?2方(元)之耳，???方(元)的最小值為屋

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出2F(x)N/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，屬

于中檔題.

3.B

【解析】

根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結(jié)果.

【詳解】

輸入〃=10,〃=1不成立，”是偶數(shù)成立，則〃=?=5,z=0+1=1；

2

〃=1不成立，”是偶數(shù)不成立，貝！J〃=3x5+l=16,z=l+l=2；

m16

〃=1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃=—=8o,“■=2+1=3

2

E8

〃二1不成立，〃是偶數(shù)成立，貝！）〃=一=44,z=3+l=4；

2

4

〃=1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃=—=2,,=4+1=5；

2

e21

幾=1不成立，”是偶數(shù)成立，則〃=—=1,,=5+1=6；

2

”=1成立，跳出循環(huán)，輸出i的值為6.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.

【詳解】

m<2-n

奇函數(shù)/（九）是R上的減函數(shù)，則/⑼=0,m-n-l<Q,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，

m>Q

z=2m-n,即〃=2m—z,z表示直線與y軸截距的相反數(shù)，

根據(jù)平移得到：當(dāng)直線過點(diǎn)（0,2）,即機(jī)=0.〃=2時(shí)，z=2機(jī)—〃有最小值為-2.

故選：B.

-2Z1^\3

；J\

//-2、

，/，/，

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，線性規(guī)劃問題，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.

5.D

【解析】

利用/(a)與/(—a)的關(guān)系，求得的值.

【詳解】

依題意/(a)=e"——1=1,e"—e-〃=2,

所以/(—a)=ea—ea—1=—(ea—ea)—1=—2—1=—3

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】試題分析：由集合A中的函數(shù)二二二」一二，，得到.一二?：“：；，解得：-二u二，二.?.集合

□—《刁,由集合B中的函數(shù)口=10.口＞4,得到口＞」，.?.集合二=(D|0＞；］,貝！I

二「二二｛二二V二,故選B.

考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算.

7.B

【解析】

作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論.

【詳解】

x+y?4

不等式組為工作出可行域如圖：4(4,0),3(2,2),0(0,0),

y..0

z=T的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)尸(x,y)到0(2,-2)的斜率，由圖象可知QA的斜率為1,QO的斜率為：-1,

x-2

則江2的取值范圍是：(-%+8).

x-2

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵.

8.A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得了￥的值,

【詳解】

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

根據(jù)題意，有兩種分配方案，一是3:1:1,二是2:2:1,然后各自全排列，再求和.

【詳解】

當(dāng)按照3:1:1進(jìn)行分配時(shí)，則有C；團(tuán)=18種不同的方案;

當(dāng)按照2:2:1進(jìn)行分配，則有C；蜀=18種不同的方案.

故共有36種不同的派遣方案，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化，還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

10.A

【解析】

考慮既屬于〃又屬于N的集合，即得.

【詳解】

N=[x\-2<x<2^,:.MryN={x\-l<x<2}.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得b最小，利用作差法，結(jié)合對數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較a和c的大小關(guān)

系，進(jìn)而得解.

【詳解】

13

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知0<6=("<],

U3J

由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知。=log"13>1,c=logl314>L所以b最??；

而由對數(shù)換底公式化簡可得a-c=log1213-log1314

Igl3_lgl4

lgl2lgl3

Ig213-lgl2-lgl4

Igl2-lgl3

2

由基本不等式可知lgl2,lgl4V1(lgl2+lgl4)

,代入上式可得

,lg213--(Igl2+lgl4)

域13-?2y14>[

Igl24gl3Igl2-lgl3

/1V

lg213-lgl68

_____12J

Igl2-lgl3

riwiA

Igl3+-lgl68-lgl3—lgl68

Igl2-lgl3

Igl2-lgl3

所以a>c,

綜上可知a>c>Z>,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的化簡變形，對數(shù)換底公式及基本不等式的簡單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.

12.B

【解析】

1313

若輸入S=—2,則執(zhí)行循環(huán)得S=；次=2;S=7,左=3；S=—2,左=4;S=；次=5;S=7次=6;

3232

S=—2次=7;S=—1/=8;S=3三次=9;結(jié)束循環(huán)，輸出S=3‘，與題意輸出的S=2矛盾；

322

若輸入S=—1,則執(zhí)行循環(huán)得S=工次=2;S=2,左=3;S=—1,左=4;S=，K=5;S=2,Z:=6;

22

S=-1/=7;S=工次=8;S=2,左=9;結(jié)束循環(huán)，輸出S=2,符合題意；

2

1212

若輸入S=——,則執(zhí)行循環(huán)得S=—/=2;S=3,左=3;S=——/=4;S=—/=5;S=3,攵=6;

2323

12

S=——/=7;S=—/=8;S=3#=9;結(jié)束循環(huán)，輸出S=3,與題意輸出的S=2矛盾；

23

若輸入S=工，則執(zhí)行循環(huán)得S=2,左=2;S=—1次=3;S=』/=4;S=2#=5;S=—1#=6;

22

S=!水=7;S=2,左=8;S=—1,左=9;結(jié)束循環(huán)，輸出S=—1,與題意輸出的S=2矛盾；

2

綜上選B.

、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

由題意可設(shè)a=(1，O),b=(g,與,由向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及恒成立思想可設(shè)m=1,|a-c|+|6-d|的最小值即為

點(diǎn)(；，f)到直線x+y=l的距離d,求得d,可得T不大于d.

【詳解】

-，1

解：|a|=|〃1=1,且。?/?二],

、：(15

可設(shè)。=(1,0),b=—,

I227

c=9d=(〃,1—〃),

可得Ia—c|+1b—d|=J(1—+(1—m#+[[n—g]>

可得C,d的終點(diǎn)均在直線x+y=l上，

由于加,“為任意實(shí)數(shù)，可得m=1時(shí)，|a-c|+|。-d|的最小值即為點(diǎn)，當(dāng)j到直線x+y=l的距離d,

,13—1

可得22

a-----------7=-------=----------------

應(yīng)4

對于任意的實(shí)數(shù)加，“，不等式|a-c|+|6-d|2T,可得TV通一衣,

瓜-3

故答案為:

-4~

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的模的求法，以及兩點(diǎn)的距離的運(yùn)用，考查直線方程的運(yùn)用，以及點(diǎn)到直線的距離，考查運(yùn)算能力,

屬于中檔題.

14.272+1

【解析】

根據(jù)題意可知，直線/-y-左+2=0與直線為+6一2左—3=0分另U過定點(diǎn)，且這兩條直線互相垂直，由此可知，其交

點(diǎn)尸在以AB為直徑的圓上，結(jié)合圖形求出線段0P的最大值即可.

【詳解】

由題可知,直線依一y_k+2=0可化為％(x_l)+2_y=0,

所以其過定點(diǎn)A(l,2),

直線無+@—2左一3=0可化為％—3+左(y-2)=0,

所以其過定點(diǎn)5(3,2)，且滿足左?1+(―1)?左=0,

所以直線依一,一七+2=。與直線％+外一2左一3=0互相垂直,

其交點(diǎn)P在以A6為直徑的圓上，作圖如下：

結(jié)合圖形可知，線段OP的最大值為|。。|+1,

因?yàn)镃為線段A3的中點(diǎn)，

所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得。(2,2),

所以線段OP的最大值為2血+1.

故答案為：20+1

【點(diǎn)睛】

本題考查過交點(diǎn)的直線系方程、動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系;考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力;根據(jù)圓的定

義得到交點(diǎn)P在以為直徑的圓上是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.

15.2

【解析】

直接利用關(guān)系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù)，進(jìn)一步求出。的值.

【詳解】

解：若，（a-尤2）15fc=g,貝!][辦-卜卜=_|,

即o-g=g，所以a=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：定積分的應(yīng)用，被積函數(shù)的原函數(shù)的求法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,

屬于基礎(chǔ)題.

16.§

【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再由_表示直線在y軸上的截距最大即可得解.

【詳解】

-5

x,y滿足約束條件.，畫出可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)------，即

,□+口一

IJC+/N。

平移直線—-—-?4一U_J-，截距最大時(shí)即為所求.

?_點(diǎn)4（,）,

I二一二-7=05~1

z在點(diǎn)A處有最小值：z=2,

故答案為：.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決此類問題的基本方法.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析(2)1,+co

【解析】

(1)先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出了'(X),再由函數(shù)/'(X)的導(dǎo)數(shù)可知,

函數(shù)/(X)在［-別上單調(diào)遞增，在。弓上單調(diào)遞減，而尸子〉O,r|>0,可知/'(幻>0在區(qū)間

上恒成立，即/(X)在區(qū)間上多3上沒有零點(diǎn)；

cinVcinV

(2)由題意可將/(%)>0轉(zhuǎn)化為以-一吧，>0,構(gòu)造函數(shù)方(幻=以-一吧'

2+cosx2+cosx

利用導(dǎo)數(shù)討論研究其在X￡(0,+8)上的單調(diào)性，由4nhi>。，即可求出。的取值范圍.

【詳解】

(1)若a=l,貝!|/(x)=x(2+cosX)—sinx,/f(x)=2-xsinx,

設(shè)/z(x)=fr(x)=2-xsinx,貝！|"(%)=-sinx-xcosx,/z'(0)=0,

"(一X)=sin%+%cosX=一〃(%),故函數(shù)"(九)是奇函數(shù).

當(dāng)時(shí)，sinx>0,xcosx>0,這時(shí)〃(x)<0,

又函數(shù)〃'(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)xe'go］時(shí)，〃(x)>0.

綜上，當(dāng)xe［go］時(shí)，函數(shù)/'(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xe,⑤時(shí)，函數(shù)/'(x)單調(diào)遞減.

故/'(幻>0在區(qū)間卜會(huì)上恒成立，所以/‘(X)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).

/sinx?

(2)/(x)=(2+cosx)ax---------,由cos%￡[—1,1],所以2+cos%>0恒成立,

I2+cosx)L」

升「/、八esinx八5?、sinx

右/(x)>。，貝!)辦---------->0,F(x)=ax-------------,

2+cosx2+cosx

2cosx+l_23(1n21

(2+cosx)2+cosx(2+cosx)(2+cosx3J3

故當(dāng)a2工時(shí)，尸'(幻三0,又/(0)=0,所以當(dāng)尤>0時(shí)，F(xiàn)(%)>0,滿足題意;

3

(n\n1

當(dāng)時(shí)，有/［耳)=5義。一5<0,與條件矛盾，舍去；

當(dāng)0<a<g時(shí)，令g(x)=sinx—3依，則g'(x)=cosx-3a,

又3a<1,故g'(x)=cosx—3a=0在區(qū)間(0,+co)上有無窮多個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)最小的零點(diǎn)為X1,

則當(dāng)xe(O,xJ時(shí)，g'(x)>0,因此g(x)在(0,石)上單調(diào)遞增.

g(%)>g(o)=o,所以sinx>3ax.

▼口"/八\…sinxsinx加sinx八一行,“力工

于是，當(dāng)X￡(0,芯)時(shí)，-------->----->ax9得依----------<0,與條件矛盾.

故。的取值范圍是；，+°0)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論思想和

放縮法的應(yīng)用，難度較大，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于較難題.

n

18.(1)=3/2-4；bn=2(2)1=(3"—7).2"+7

【解析】

(1)由S,,=9〃—1化為=6S“+9〃+1,利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和前“項(xiàng)和的關(guān)系，得到｛4｝是首項(xiàng)為1,

6

公差為3的等差數(shù)列求解.

(2)由(1)得到cn=(3〃—4)?2"T,再利用錯(cuò)位相減法求解.

【詳解】

(1)S”=—9〃T可以化為=6s.+9〃+1,

6

2

.-.an=6S?_1+9(?-l)+l,

-'-an+i-a,^=6an+9(n>2),

?'?=(%+3)?

又Q〃》2時(shí)，an>0

，4+i=4+3（〃22）

二數(shù)列｛?｝從％開始成等差數(shù)列，

；q=,代入S=----------

n"6

得。2=2,a2—ax—3

.??｛4｝是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，

an=3咒一4,

-4=%=2也=%=8,d=2".

（2）由⑴得C"=（3〃—4>2"T,

7；=-1-2°+2-21+?--+（3?-4）-2"-1,

27；,^-1-^-22-22+?+（n-）?”,

，兩式相減得

-7；,=-1+3（21+22+?--+2"-1）-（3H-4）-2",

=-1+6（2"1—1）—（3“—4）?2",

:.Tn=（3〃-7）2+7.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和的關(guān)系和錯(cuò)位相減法求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

19.（1）見解析（2）顯

9

【解析】

（1）根據(jù)3cL平面？/山，利用線面垂直的定義可得5CLK4,再由根據(jù)線面垂直的判定定理即可證

出.

（2）取A5的中點(diǎn)。，連接0P,。。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。。,。8,。？分別為％%2正半軸建立空間直角坐標(biāo)系

O-孫z,求出平面R4D的一個(gè)法向量，利用空間向量法即可求解.

【詳解】

⑴因?yàn)?C，平面上4u平面R45,

所以

由AR4B為等腰直角三角形，

所以

又PBcBC=B,故PA_L平面

（2）取A3的中點(diǎn)。，連接。P。。，

因?yàn)镻A=PB,AD=BD,

所以P0J_AB,O0，AB,

因?yàn)?CL平面R45,

所以平面ABCD,

所以PO_L平面ABCD,PO1OD,

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，ORO&OP分別為羽％z正半軸建立空間直角坐標(biāo)系o-孫z,

則40=50=尸0=1，DO=y/AD--AO2=2,

又BCLAB,。。，PA,

所以O(shè)D//BC且。。=BC,于是

P（0,0,l）,A（0,-l,0）,D（2,0,0）,C（2,l,0）

PC=（2,l,-l）,AP=（0,l,l）,AD=（2,l,0）,

設(shè)平面QAD的法向量為“=（九,y,z）,貝！I

n-AP=y+z=O

<

n-AD=2x+y=Q

令x=1得平面PAD的一個(gè)法向量n=（1,-2,2）

設(shè)直線尸C與平面B4D所成的角為。,

PC.nV6

則sma=cos(PC,n

|PC|.|M|V6.3

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面垂直的定義、判定定理以及空間向量法求線面角，屬于中檔題.

52

20.(1)0.024；(2)分布列見解析，EX=—；(3)m=8,n=ll

【解析】

(1)由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過

濾器需要更換8個(gè)濾芯，兩個(gè)二級(jí)過濾器均需要更換4個(gè)濾芯，而由一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表和二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條

形圖可知，一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6,二級(jí)過濾器需要更換4個(gè)濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可

求出概率；

(2)由二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖可知，一個(gè)二級(jí)過濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,

而X的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率，可得到X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)由m+〃=19,且加e{8,9},可知若加=8,則〃=11,或若機(jī)=9,則〃=10,再分別計(jì)算兩種情況下的所

需總費(fèi)用的期望值比較大小即可.

【詳解】

(1)由題意知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過濾

器需要更換8個(gè)濾芯，兩個(gè)二級(jí)過濾器均需要更換4個(gè)濾芯，設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)

恰好為16”為事件A,

因?yàn)橐粋€(gè)一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6,二級(jí)過濾器需要更換4個(gè)濾芯的概率為0.2,所以

P(A)=0.6x0,2x0,2=0.024.

(2)由柱狀圖知，一個(gè)二級(jí)過濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意X的可能取

值為8,9,10,11,12,

從而p(X=8)=0.2x0.2=0.04,P(X=9)=2x0,2x0.4=0.16,

P(X=10)=2x0.2x0.4+0.4x0,4=0.32,P(X=H)=2x0.4x0.4=0.32,

P（X=12）=0.4x0.4=0.16.

所以X的分布列為

X89101112

P0.040.160.320.320.16

￡X=8x0.04+9x0.16+10x0.32+11x0.32+12x0.16=10.4（個(gè)）.

或用分?jǐn)?shù)表示也可以為

X89101112

14884

P

2525252525

EX=8x—+9x—+10x—+llx—+12x—=—（個(gè)）.

25252525255

（3）解法一：記y表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用（單位：元）

因?yàn)楦?〃=19,且me{8,9},

1°若加=8,則〃=11,

EYX=160x8+400x0.4+80x11+200x0.16=2352（元）；

2。若m=9,貝1I〃=10,

=160x9+80x10+200x0.32+400x0.16=2368（元）.

因?yàn)镋X<EE，故選擇方案：機(jī)=8,“=11.

解法二：記分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯所需費(fèi)用（單位：元）

1°若加=8,則〃=n,

〃，的分布列為

712801680

P0.60.4

48801080

P0.840.16

該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買的各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為

E/7I+=1280x0.6+1680x0.4+880x0.84+1080x0.16=2352（元）；

2°若加=9,貝!1〃=10,

的分布列為

80010001200

P0.520.320.16

+%=160x9+800x0.52+1000x0.32+1200x0.16=2368(元).

因?yàn)镋q+E《＜E%+E&2

所以選擇方案：加=8,〃=11.

【點(diǎn)睛】

此題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，考查古典概型，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

3

2"+士〃一1,〃為偶數(shù)

4=2'i；(2)4=2

21.(1)an=3n-l,

2"—n—,〃為奇數(shù)

22

【解析】

=a,+d=5fa.=2,、

（1）由條件得出方程組一心。，可求得｛4｝的通項(xiàng)，當(dāng)“22時(shí)，可得

%=q+4d=14[d=3

b"=2b“_i，當(dāng)〃=1時(shí)，3=4=24-1,,得出也｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，可求得也｝的通項(xiàng)；

（2）由⑴可知，c“=（—l）"（3〃—l）+2"T,分"為偶數(shù)和"為奇數(shù)分別求得.

【詳解】

%=q+d=5