江蘇鎮(zhèn)江市、南京市聯(lián)盟校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月學(xué)情調(diào)查數(shù)學(xué)試題（解析版）

高一年級(jí)五月學(xué)情調(diào)查數(shù)學(xué)試題2.答題前，考生務(wù)必將姓名、考生號(hào)等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.則cosa,b=abab2.如圖所示直角梯形OABC上下兩底分為()A.2C.4【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)題意，原圖直角梯形OABC中，上下兩底分別為2和4，高為2，其面積S=x2=6，則其直觀圖的面積S,=S=3.353.已知cos2+C=353A.5【答案】D【解析】,則sin2C=()3B.-5151D.-5【分析】利用降冪公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得答案.1+cos(+2C)1-sin2C3==A.若mC，n∥C，則m∥nB.若m」C，n」C，則m∥n【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間直線與平面間的位置關(guān)系判斷.對(duì)于B，若m」C，n」C，由線面垂直的性質(zhì)定理得m∥n，故B正確；5.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CFCG2CD上的點(diǎn)，且==，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為()②EF//平面ADC；③EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上.【答案】C【解析】【分析】利用平面幾何的性質(zhì)及平行公理可得FG//EH，且四邊形EFGH為梯形，結(jié)合公理可得答案.【詳解】依題意，可得EH//BD，F(xiàn)G//BD，故FG//EH，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，故①正因?yàn)镋H=BD，F(xiàn)G=BD，所以四邊形EFGH為梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)M，所以EF不因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB，同理，點(diǎn)M在平面ADC上，所以點(diǎn)M是平面ABC與平面ADC的交點(diǎn)，又AC是平面ABC與平面ADC的交線，所以EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上，故③正確；1A.?B.0C.?12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由向量的線性運(yùn)算法則將用和，由向量數(shù)量積的公式運(yùn)算求出P的位置，222【詳解】作出圖形222設(shè)=λ=(0≤λ≤1)，由圖可得：=+，+2=4+16λ=4，解得λ=0，則點(diǎn)P在D點(diǎn)，---------------所以BP=AP?AB=---------------?=2?θcos(|(θ+=cos2θ,則tan2θ=()3322【答案】D【解析】【分析】先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)整理可得sin2θ=1?cos2θ,然后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos2θ,進(jìn)而得sin2θ,從而由tan2θ=可得結(jié)果.)=2sinθcosθ?sinθ)= 2)=2sinθcosθ?sinθ)= 2化簡(jiǎn)得sinθcosθ?sin2θ=cos2θ,即整理得sin2θ=1?cos2θ.1sin2θ?1?cos2θ=1cos2θ,2+2=1，所以2+2=1.所以10cos2θ-2=0，即cos2θ=2x9于是tan2θ==.則異面直線OM與AP所成角的余弦值為()A.B.C.A.B.C.【答案】D【解析】【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AN∥OM，交圓O于點(diǎn)N，連PA2+AN2-PN24+1-41所以異面直線OM與AP所成角的余弦值為.合題目要求.全部選對(duì)的得得6分分，部分選對(duì)得得部分分，有選錯(cuò)A.若//，則λ=B.若⊥,則λ=2C.若λ<2，則與的夾角為鈍角【答案】BD【解析】接計(jì)算投影向量即可.對(duì)于A，由//，得?2λ=1，解得λ=?，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由⊥,得λ?2=0，解得λ=2，B正確；對(duì)于C，當(dāng)λ=?<2時(shí)，反向共線，夾角為π,此時(shí)與的夾角不為鈍角，C錯(cuò)誤；10.設(shè)z1,z2為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A.若為虛數(shù)，則z1也為虛數(shù)B.若z1+i=1，則z1的最大 C.z1z2=z1z2 D.z1?z2≤z1+z2【答案】ACD【解析】 1 1 =z111 表示及向量三角不等式分析判斷. 1 1 =z111對(duì)于C，設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，則2=2=所以z12==，z12==， 所以z1z2=z1z2，所以C正確， ------------------------對(duì)于D，設(shè)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量分別為OZ1,OZ2，則由向量三角不等式得O------------------------所以z1?z2≤z1+z2恒成立，所以D正確，B.對(duì)任意的點(diǎn)P，總有PE與CC1是異面直線D.異面直線PF與AB所成角的正切值的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用正方體的相關(guān)性質(zhì)，即可判斷A,B，對(duì)于C需要利用作延長(zhǎng)線,來作出與各面的交線,再來判【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，對(duì)于選項(xiàng)B，由點(diǎn)E與CC1確定唯一平面B1C1CB，而點(diǎn)P在與平面B1C1CB平行的平面A1D1DA內(nèi)，所以PE與CC1不是共面直線，再取BC的中點(diǎn)為M，可知ME//CC1，根據(jù)過一點(diǎn)有且只有一條直線與所以PE一定與CC1不平行，則既不平行又不相交的兩直線一定是異面直線，故B正確；延長(zhǎng)直線EF分別與CC1,CB延長(zhǎng)線相交于I,J，連接DI,DJ分別與D1C1,AB相交于N,G，再連接NE,GF，可得截面五邊形DNEFG，故C錯(cuò)誤；取AA1的中點(diǎn)為H，可知HF//AB，即異面直線PF與AB所成角為∠PFH或其補(bǔ)角，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則tan∠PFH==PH，而PH的最小值就是點(diǎn)H到直線A1D的距離，224412.已知復(fù)數(shù)z滿足zi2023=1+i，其中i是虛數(shù)單位，則z=.【解析】【分析】利用虛數(shù)單位的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)的除法可求z，再利用公式求出其模.故?zi=1+i即z==(1+i)i=?1+i，故z==，【答案】3【解析】【分析】根據(jù)三角形相似可推得=，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理推出PC∥FG，即可得APAC AFAG由于E為AD的中點(diǎn)，故AE=AD=BC,因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形，故AD∥BCAGAE1AG1故==，所以=，GCBC2AC3故PC∥FG,所以AP=AC=3,即有λ=3，AFAGAB=BC=40米，則云臺(tái)閣的高度為米.【解析】【分析】設(shè)OP=h，利用三角函數(shù)分別表示OA,OB,OC,然后分別OBA,OBC中利用余弦定理表示【詳解】設(shè)OP=h在RtOPC中，=tan∠OCP=tan45。, 222=222222 h+40?3h+h+40?h222222共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（1）求復(fù)數(shù)z；【解析】z、z2，得到A、B、C的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積.z2=2=a2?b2+2abi，z2=a2+b2，2+b2=2又因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，所以z=1?i.z=1?i，z=1+i，z2=(1?i)2=?2i，16.已知銳角α,β滿足cosα=，sinβ=.2====2====（2）求α+β的大小.（2）α+β=【解析】4【分析】（1）由題意求出sinα,cosβ,解出sin2α、cos2α,進(jìn)而解出sin(2α?β)即可；（2）由α,β均為銳角，先解出α+β的取值范圍；再解出cos(α+β)=?，進(jìn)而解出α+β的值即可.∵cosα=，sinβ=，∵0<α<，0<β<，∴sinα、cosβ均為正數(shù).sinα=11?cos2α25,cosβ=11?sin2β,2?1=?. π ∵0<∵0<α< 2π0< 2π∴0<α+β<π,又∵cos(α+β)=cosαcosβ?sinαsinβ=×?×=?，.417.如圖，某海域的東西方向上分別有A，B兩個(gè)觀測(cè)塔，它們相距5海里，現(xiàn)A觀測(cè)塔發(fā)現(xiàn)有一艘輪船在D點(diǎn)發(fā)出求救信號(hào)，經(jīng)觀測(cè)得知D點(diǎn)位于A點(diǎn)北偏東45，同時(shí)B觀測(cè)塔也發(fā)現(xiàn)了求救信號(hào)，經(jīng)觀測(cè)【解析】（2）在ΔBCD中，由余弦定理解出BD即可.BD ABBD 2【小問2詳解】222222答：B點(diǎn)到D點(diǎn)的距離為10海里，且救援船能夠在1小時(shí)內(nèi)E為棱PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱PB上一點(diǎn).（1）若點(diǎn)F為PB中點(diǎn)，求證：EF//平面PAD；（2）若點(diǎn)F滿足EF」PB，（ii）求直線PD與平面DEF所成角的正切值.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可得EF∥AD，從而證得EF//平面PAD2i）首先證明DE」平面PBC，從而證明PB」平面DEF，即可得到DF」PBii）由（i）可知經(jīng)PDF即為直線PD與平面DEF所成 BDPD BDPDPBC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱PC，PB的中點(diǎn)，∴EF平面PAD.（i）在四棱錐P?ABCD中，：DE?平面PCD：BC⊥DE，PC∩BC=C，PC?：PB?平面PBC又EF⊥PB，DEnEF=E，DE?平面DEF，EF