專(zhuān)題. 整式的乘法（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（北師大版）

專(zhuān)題1.8整式的乘法（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）【知識(shí)點(diǎn)一】單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘單項(xiàng)式乘法法則單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其與字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的步驟確定積的系數(shù)，積的系數(shù)等于各項(xiàng)系數(shù)的積;同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；只在一個(gè)單項(xiàng)式里出現(xiàn)的字母，要連同它的指數(shù)寫(xiě)在積里.3.單項(xiàng)式乘法法則的實(shí)質(zhì)是乘法交換律、乘法結(jié)合律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合運(yùn)用.特別提醒單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的結(jié)果仍是單項(xiàng)式；只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，寫(xiě)積時(shí)不要遺漏；單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)及三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用.【知識(shí)點(diǎn)二】單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.用字母表示為m（a+b+c）=ma+mb+mc（m,a,b,c都是單項(xiàng)式）.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的幾何意義大長(zhǎng)方形的面積可以表示為p（a+b+c）；因?yàn)榇箝L(zhǎng)方形的面積等于三個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和，所以大長(zhǎng)方形的面積也可以表示為pa+pb+pc.所以p（a+b+c）=pa+pb+pc.特別提醒單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，要把單項(xiàng)式和多項(xiàng)式里的每一項(xiàng)都相乘，不要漏乘、多乘.【知識(shí)點(diǎn)三】多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.用字母表示為（a+b）·（m+n）=am+bm+an+bn（m,n,a,b都是單項(xiàng)式）.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的幾何解釋大長(zhǎng)方形的面積可以表示為（a+b）（p+q），也可以將達(dá)長(zhǎng)方形的面積表示為四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和，即ap+aq+bp+bq.所以（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq.特別提醒多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則的實(shí)質(zhì)是將多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)化為幾個(gè)單項(xiàng)式相乘的和的形式.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的結(jié)果仍為多項(xiàng)式，再合并同類(lèi)項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該是兩個(gè)多項(xiàng)式的訂數(shù)之積.計(jì)算結(jié)果一定要注意合并同類(lèi)項(xiàng).【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)1】單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式；【考點(diǎn)2】單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；【考點(diǎn)3】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；【考點(diǎn)4】整式乘法的化簡(jiǎn)求值；【考點(diǎn)5】整式乘積中不含問(wèn)題；【考點(diǎn)6】整式乘法與面積問(wèn)題.【考點(diǎn)1】單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式【例1】（2023下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：（1）； （2）；（3） （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）先計(jì)算積的乘方，再計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式即可；（2）先計(jì)算積的乘方，再計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算和積的乘方的逆運(yùn)算法則求解即可；（4）先計(jì)算積的乘方，再計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式即可．（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點(diǎn)撥】本題主要考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，積的乘方，積的乘方的逆運(yùn)算，同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【變式1】（2022下·江蘇徐州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出答案即可．解：．故選：A．【點(diǎn)撥】此題主要考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，正掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式2】（2019下·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘積為，則．【答案】-5【分析】根據(jù)已知條件可求得，約分可得，根據(jù)單項(xiàng)式相乘的原則：底數(shù)不變，指數(shù)相加可得求解即可.解：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式的乘積為，即兩邊約分后可得根據(jù)底數(shù)不變，指數(shù)相加原則可得可求得.故答案為-5.【點(diǎn)撥】此題考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.【考點(diǎn)2】單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式【例2】（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算下列各題．（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【分析】本題主要考查單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；（2）先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)．（1）解：原式；（2）解：原式．【變式1】（2023上·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為，另一邊比它長(zhǎng)，則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了整式乘法的運(yùn)用，熟練掌握長(zhǎng)方形的面積公式以及整式乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．解：由題意得，長(zhǎng)方形的另一邊長(zhǎng)為：，所以長(zhǎng)方形的面積為：，故A正確．故選：A．【變式2】（2023上·四川內(nèi)江·七年級(jí)四川省內(nèi)江市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則代數(shù)式．【答案】【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，求代數(shù)式的值．先計(jì)算乘法，再合并，然后把代入，即可求解．解：∵，∴故答案為：【考點(diǎn)3】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式【例3】（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算；（2）根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算．解：（1）（2）【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．【變式1】（2022下·湖南懷化·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若，，則的值是（

）A．

B．1 C．5

D．【答案】D【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代值求解即可．解：，∵，，∴原式=；故選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2016·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）若，則代數(shù)式的值為．【答案】0【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算，求出的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．解：∵，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查代數(shù)式求值．熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，正確進(jìn)行計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4】整式乘法的化簡(jiǎn)求值【例4】（2023上·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶一中?？计谀┫然?jiǎn)，再求值：，其中【答案】，【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m、n的值，最后代值計(jì)算即可．解：，∵，，∴，∴，∴，∴原式．【點(diǎn)撥】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2021上·湖北黃岡·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）化簡(jiǎn)代數(shù)式結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】按照多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則展開(kāi)，合并同類(lèi)項(xiàng)即可．解：故選：A【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式的乘法，關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，注意去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前是“?”，去掉括號(hào)后括號(hào)里的各項(xiàng)一定要變號(hào)．【變式2】（2019下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若規(guī)定一種運(yùn)算＝ad－bc，則化簡(jiǎn)＝．【答案】-5x【分析】根據(jù)新運(yùn)算=ad-bc，可知該運(yùn)算式表示了兩對(duì)角相乘的差，注意a、b、c、d的位置，再利用完全平方公式和合并同類(lèi)項(xiàng)計(jì)算即可.解：根據(jù)題目的新規(guī)定知，=（x-1）x-（x+4）x=x2-x-x2-4x=-5x.故答案：-5x.【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目信息列出算式.【考點(diǎn)5】整式乘積中不含問(wèn)題【例5】（2023上·河北廊坊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知展開(kāi)的結(jié)果中，不含和項(xiàng)．（，為常數(shù)）（1）求，的值；（2）在（）的條件下，求的值．【答案】（1），；（2），．【分析】（）先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則展開(kāi)，再合并同類(lèi)項(xiàng)，然后根據(jù)題意得出關(guān)于的方程，解之即可求解；（）先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則展開(kāi)，再合并同類(lèi)項(xiàng)，再代入值計(jì)算即可；本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式不含某項(xiàng)問(wèn)題、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡(jiǎn)求值，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）解：原式，，∵展開(kāi)的結(jié)果中，不含和項(xiàng)，∴，，∴，；（2）解：，，把，代入得，原式，，．【變式1】（2023上·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┑某朔e中不含和項(xiàng)，則的值為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則先把要求的式子進(jìn)行整理，再根據(jù)多項(xiàng)式展開(kāi)后不含和的項(xiàng)，得出，求出的值即可．解：∴，解得：故選：C．【變式2】（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若的計(jì)算結(jié)果不含和x項(xiàng)，則．【答案】【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、無(wú)關(guān)項(xiàng)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，合并同類(lèi)項(xiàng)后，根據(jù)結(jié)果不含和x項(xiàng)，即可求出m與n的值，最后求出的值即可．解：,∵計(jì)算結(jié)果不含和x項(xiàng)，∴，解得：．∴．故答案為．【考點(diǎn)6】整式乘法與面積問(wèn)題【例6】（2023上·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形被分?成7塊，除陰影部分的和外，其他5塊空白部分是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形，且小長(zhǎng)方形的寬為．（1）由圖可知：每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為_(kāi)_____；（用含或的代數(shù)式表示）（2）用含或的代數(shù)式表示陰影部分和的周長(zhǎng)之和；（結(jié)果化為最簡(jiǎn)形式）（3）當(dāng)時(shí)，用含的代數(shù)式表示陰影部分與的面積之和．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本題考查了列代數(shù)式以及整式的混合運(yùn)算；（1）觀察圖形，由大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于小長(zhǎng)方形的寬的3倍與小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的和計(jì)算即可．（2）設(shè)陰影A的長(zhǎng)為m，寬為n，陰影B的長(zhǎng)為p，寬為q，根據(jù)，，，，根據(jù)題意計(jì)算即可．（3）設(shè)陰影A的長(zhǎng)為m，寬為n，陰影B的長(zhǎng)為p，寬為q，根據(jù)，，，，根據(jù)題意計(jì)算即可．解：（1）根據(jù)題意，得，故，故答案為：．（2）設(shè)陰影A的長(zhǎng)為m，寬為n，陰影B的長(zhǎng)為p，寬為q，根據(jù)，，，，∴陰影部分的周長(zhǎng)為，陰影部分的周長(zhǎng)為，∴陰影部分和的周長(zhǎng)之和為．（3）設(shè)陰影A的長(zhǎng)為m，寬為n，陰影B的長(zhǎng)為p，寬為q，根據(jù)，，，，∴陰影部分的面積為，陰影部分的面積為，∴陰影部分和的面積之和為．當(dāng)時(shí)，．【變式1】2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)給出了四種表示該長(zhǎng)方形面積的算式：（

）

①；

②；③；

④．你認(rèn)為其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】此題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的幾何意義，利用面積正確列出代數(shù)式是解本題的關(guān)鍵．①大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，利用長(zhǎng)方形的面積公式，表示即可；②長(zhǎng)方形的面積等于左邊，中間及右邊的長(zhǎng)方形面積之和，表示即可；③長(zhǎng)方形的面積等于上下兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和，表示即可；④長(zhǎng)方形的面積由6個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和，表示即可．解：①根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，得，故①正確；②根據(jù)長(zhǎng)方形的面積等于左邊，中間及右邊的長(zhǎng)方形面積之和，得，故②正確；③根據(jù)長(zhǎng)方形的面積等于上下兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和，得，故③正確；④根據(jù)長(zhǎng)方形的面積由6個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和，得，故④正確，則正確的有①②③④，共4個(gè)．故選：D．【變式2】（2023上·江蘇南京·七年級(jí)校考階段練習(xí)）裝裱在我國(guó)具有悠久的歷史和鮮明的民族特色，是我國(guó)特有