【反對(duì)稱矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用探究3900字】

反對(duì)稱矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用研究目錄摘要 1引言 21.預(yù)備知識(shí) 32.反對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì) 63.反對(duì)稱矩陣性質(zhì)的應(yīng)用 163.1反對(duì)稱矩陣在判定矩陣可逆中的應(yīng)用 163.2反對(duì)稱矩陣在求矩陣的秩中的應(yīng)用 173.3反對(duì)稱矩陣在線性變換上的應(yīng)用 18結(jié)束語(yǔ) 19參考文獻(xiàn) 20摘要：本文首先闡明了反對(duì)稱矩陣的相關(guān)定義；其次對(duì)反對(duì)稱矩陣的自身性質(zhì)，反對(duì)稱矩陣秩的性質(zhì)，特征值的性質(zhì)進(jìn)行了歸納和證明；最后介紹了反對(duì)稱矩陣在判定矩陣可逆、利用反對(duì)稱矩陣求矩陣的秩及反對(duì)稱矩陣在線性變換中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：反對(duì)稱矩陣；逆；秩；線性變換引言反對(duì)稱矩陣是較為常見的矩陣之一，在代數(shù)學(xué)中占有著重要的地位.反對(duì)稱矩陣具有若干條特殊的性質(zhì).反對(duì)稱矩陣的這些性質(zhì)在利用反對(duì)稱矩陣判定矩陣可逆及求矩陣的秩中發(fā)揮著重要的作用.反對(duì)稱矩陣也為求解與歐氏空間線性變換相關(guān)的題目提供了新的思路.現(xiàn)如今很多學(xué)者都對(duì)反對(duì)矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用做出了比較深入的研究.文獻(xiàn)[2]介紹了反對(duì)稱矩陣的行列式、秩及特征值等方面的性質(zhì)；文獻(xiàn)[6]借助反對(duì)稱矩陣的定義和性質(zhì)展示了反對(duì)稱矩陣性質(zhì)的應(yīng)用；文獻(xiàn)[7]詳細(xì)闡述了反對(duì)稱矩陣的自身性質(zhì)和特征值的性質(zhì)；文獻(xiàn)[8]對(duì)比說(shuō)明了對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣性質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系.本文基于以上的文獻(xiàn)，進(jìn)一步歸納了反對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，并對(duì)這些性質(zhì)做出比較具體的證明.而且還介紹了反對(duì)稱矩陣在判定矩陣可逆、利用反對(duì)稱矩陣求矩陣的秩以及反對(duì)稱矩陣在線性變換中的應(yīng)用.1.預(yù)備知識(shí)定義1.1[1]設(shè)，若，稱為反對(duì)稱矩陣.定義1.2[1]在行列式中劃去所在的第行與第列，剩下的個(gè)元素按原來(lái)的排法構(gòu)成一個(gè)級(jí)的行列式稱為元素的余子式，記作.定義1.3[1]對(duì)于行列式中元素，稱為的代數(shù)余子式.定義1.4[1]設(shè)是矩陣的行列式中元素的代數(shù)余子式，矩陣稱為的伴隨矩陣.定義1.5[1]設(shè)則稱是的轉(zhuǎn)置矩陣.定義1.6[1]若存在，使，則稱可逆.定義1.7[1]如果矩陣適合，那么就稱為的逆矩陣，記作.定義1.8[1]矩陣的行秩是指其行向量組的秩，矩陣的列秩是指其列向量組的秩.定義1.9[1]如果，則階實(shí)矩陣為正交矩陣.定義1.10[1]設(shè)，為數(shù)域.，有；，有.當(dāng)加法與數(shù)量乘法能夠滿足：；；，，使得（元素0叫做的零元素）；，，使得（稱為的負(fù)元素）；；；；，稱為上的線性空間，且，.定義1.11[1]對(duì)中任意向量，定義二元實(shí)函數(shù)，若滿足：,；；；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)稱為歐氏空間.定義1.12[1]如果，，都有，，則線性空間的一個(gè)變換稱為線性變換.定義1.13[1]設(shè)是歐氏空間，和的線性變換.若對(duì)，有則稱為的反對(duì)稱變換.定義1.14[1]如果對(duì)階矩陣和存在可逆，使，那么稱與合同.2.反對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)性質(zhì)2.1任意矩陣都能表示成對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣的和.證明令.因?yàn)椋?故是對(duì)稱矩陣，是反對(duì)稱矩陣.性質(zhì)2.2若為反對(duì)稱矩陣，則.性質(zhì)2.3[2]若是反對(duì)稱矩陣，為任意數(shù)，，則，，為反對(duì)稱矩陣；為反對(duì)稱矩陣的充要條件為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為反對(duì)稱矩陣；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為對(duì)稱矩陣.證明因?yàn)?，所以，，?故，，為反對(duì)稱矩陣.因?yàn)椋?若為反對(duì)稱矩陣，則有.反之，若有成立，則有.即為反對(duì)稱矩陣.故為反對(duì)稱矩陣的充要條件為.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有.性質(zhì)2.4奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣行列式的值為0.證明假設(shè)有奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣.因?yàn)?，所?性質(zhì)2.5偶數(shù)階反對(duì)稱矩陣的伴隨矩陣是反對(duì)稱矩陣，奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣的伴隨矩陣是對(duì)稱矩陣.證明設(shè)是階反對(duì)稱矩陣，是伴隨矩陣，由伴隨矩陣定義可知.且對(duì)任意數(shù)，有.又因?yàn)闉榉磳?duì)稱矩陣，所以.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即為反對(duì)稱矩陣.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.即為對(duì)稱矩陣.性質(zhì)2.6對(duì)有必為反對(duì)稱矩陣.證明因?yàn)?，所以為反?duì)稱矩陣.性質(zhì)2.7如果有階反對(duì)稱矩陣和階對(duì)稱矩陣，那么是階反對(duì)稱矩陣.證明因?yàn)?，，所?故是階反對(duì)稱矩陣.性質(zhì)2.8是反對(duì)稱矩陣對(duì)任意維列向量，都有.證明充分性記，，其中表示第個(gè)分量是1，其余分量是0的元列向量.則有所以.從而為反對(duì)稱矩陣.必要性因?yàn)槭欠磳?duì)稱矩陣，所以.從而.性質(zhì)2.9[3]若為反對(duì)稱矩陣，則與如下展示的矩陣合同.證明因?yàn)槭且粋€(gè)反對(duì)稱矩陣，可設(shè)，現(xiàn)在對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明.當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)時(shí)，若，結(jié)論顯然成立.若，取，則.即與合同.如果對(duì)階數(shù)小于的反對(duì)稱矩陣結(jié)論成立.現(xiàn)在證對(duì)階為的反對(duì)稱矩陣結(jié)論也成立.若的第一行全為零，即時(shí)，則，是階反對(duì)稱矩陣.由歸納法可知，存在一個(gè)階可逆矩陣使.令，則.再令，是階單位矩陣，則.取，則.若矩陣的第一行不全為零，不妨設(shè)，這時(shí)與合同，是階的反對(duì)稱矩陣.即存在可逆矩陣，使.因?yàn)槭请A的反對(duì)稱矩陣，故由歸納假設(shè)，存在階的反對(duì)稱矩陣，使.令，是2階單位矩陣，則.令，結(jié)論得證.性質(zhì)2.10[3]設(shè)為階矩陣，那么證明當(dāng)時(shí)，有，故.當(dāng)時(shí)，至少存在一個(gè)不為0的階子式.即.因?yàn)椋?故.即，.在時(shí)，的任意行全部線性相關(guān)，故它的任意級(jí)子式都是0.即.性質(zhì)2.11當(dāng)反對(duì)稱矩陣的所有階與階主子式全部為0時(shí)，則.證明在時(shí)，由題可知的對(duì)角元素和2階主子式全為0，故對(duì)任意，有.但，所以時(shí)結(jié)論成立.假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立.則當(dāng)?shù)乃须A與階主子式均為0時(shí)，.即在時(shí)，由于的所有階與階主子式均為0，此時(shí)若的所有階主子式也為0.由歸納法假設(shè)可得.若存在一個(gè)階主子式，則根據(jù)已知得所有含有的階與階主子式都為0.于是，結(jié)論成立.綜上，根據(jù)歸納法可得結(jié)論對(duì)成立.性質(zhì)2.12秩為的反對(duì)稱矩陣至少存在一個(gè)不為0的階主子式.證明設(shè)是秩為的反對(duì)稱矩陣因?yàn)?，故的所有階子式皆為0，進(jìn)而的全部階主子式皆等于0.因此的所有階主子式全等于0，即.與矛盾，所以至少存在一個(gè)不為0的階主子式.性質(zhì)2.13[3]如果是階反對(duì)稱矩陣，中存在一個(gè)階主子式，含的階主子式皆為0，則.證明若中存在，那么必為偶數(shù)，進(jìn)而的所有階主子式全為0.如果位于的左上角，記對(duì)加中第行和第列元素組成的行列式.考慮階主子式.是含的一個(gè)階主子式.由已知得，進(jìn)而知，從而的2階主子式.與均是的含的階主子式，即；又因?yàn)?故.綜上所述，.性質(zhì)2.14反對(duì)稱實(shí)矩陣的特征值為零或純虛數(shù).證明設(shè)是實(shí)反對(duì)稱矩陣，有.為特征向量，則有，從而.故.綜上為純虛數(shù)或0.性質(zhì)2.15若實(shí)矩陣為反對(duì)稱矩陣，則可逆.證明由性質(zhì)2.14可知不是的特征值，所以.故可逆.性質(zhì)2.16設(shè)是反對(duì)稱矩陣的特征值，則也是的特征值.證明因?yàn)槭欠磳?duì)稱矩陣的特征值，所以有，.從而.故也是的特征值.性質(zhì)2.17若有階可逆反對(duì)稱矩陣，那么必為偶數(shù).證明因?yàn)?，所?故由性質(zhì)2.4得為偶數(shù).性質(zhì)2.18若反對(duì)稱矩陣可逆，則也是反對(duì)稱矩陣.證明設(shè)為反對(duì)稱矩陣，則.故也是反對(duì)稱矩陣.性質(zhì)2.19反對(duì)稱矩陣的合同矩陣也是反對(duì)稱矩陣.證明存在可逆，使.故.即為反對(duì)稱矩陣.性質(zhì)2.20上兩個(gè)階反對(duì)稱矩陣與合同，當(dāng)且僅當(dāng).證明充分性若，則存在可逆矩陣和，使，.又有，因此和主對(duì)角線上的分塊矩陣具有的塊數(shù)一樣.即.故與合同，與合同，根據(jù)合同的傳遞性可知與合同.必要性若與合同，則有與合同，故有.性質(zhì)2.21如果對(duì)實(shí)反對(duì)稱矩陣和實(shí)對(duì)稱矩陣可逆，有，那么可逆.證明因?yàn)榭赡媲?，所?故.即是實(shí)反對(duì)稱矩陣.又因?yàn)榈奶卣髦凳腔蚣兲摂?shù).顯然不是的特征值.故.即.因此是可逆矩陣.3.反對(duì)稱矩陣的應(yīng)用3.1反對(duì)稱矩陣在判定矩陣可逆中的應(yīng)用根據(jù)上面的討論，可以總結(jié)在判定一個(gè)矩陣可逆時(shí)有兩條途徑：只有零解或；在求解與反對(duì)稱矩陣相關(guān)的題目時(shí)，性質(zhì)2.7使用頻率較高.例1如果反對(duì)稱矩陣可逆，為維列向量，則可逆當(dāng)且僅當(dāng).證明由已知也是反對(duì)稱矩陣，故，又因?yàn)槭强赡娴模视?，?故可逆，即，.例2設(shè)且為反對(duì)稱矩陣，求證：可逆，且為正交陣.證明若，則齊次線性方程組必有非零解.即，于是有.因?yàn)槭菍?shí)反對(duì)稱矩陣，所以.由可知.與之矛盾，故必可逆.故為正交陣.3.2反對(duì)稱矩陣在求矩陣的秩中的應(yīng)用對(duì)于涉及到反對(duì)稱矩陣求矩陣的秩的題目，我們應(yīng)該首先考慮反對(duì)稱對(duì)陣的秩的相關(guān)性質(zhì)，得到的部分加邊矩陣的秩也為.例3如果有反對(duì)稱矩陣可逆，維實(shí)列向量，那么.證明由于，因?yàn)榭赡妫砸彩欠磳?duì)稱矩陣，故，從而.即.例4若實(shí)反對(duì)稱矩陣可逆，元實(shí)列向量，那么.證明因?yàn)闉閷?shí)可逆反對(duì)稱矩陣，故為偶數(shù)且.因此是階反對(duì)稱矩陣.因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以.又因?yàn)?，，故由性質(zhì)2.12可知.3.3反對(duì)稱矩陣在線性變換上的應(yīng)用如果想要判定一個(gè)線性變換為反對(duì)稱變換時(shí)，那么可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明它在下的矩陣是反對(duì)稱矩陣即可.例5假設(shè)是歐氏空間中的反對(duì)稱變換，那么是反對(duì)稱變換在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣為反對(duì)稱矩陣.證明因?yàn)槭侵械姆磳?duì)稱變換，所以有，.記是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.充分性令是在下的矩陣，則是反對(duì)稱矩陣，即.記，，則，.即.故為反對(duì)稱變換.必要性令是反對(duì)稱變換，并有，其中矩陣，是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則，，故，，所以.即是反對(duì)稱矩陣.結(jié)束語(yǔ)本文從反對(duì)稱矩陣的概念、反對(duì)稱矩陣的秩和特征值等方面出發(fā)，結(jié)合有關(guān)定理歸納了反對(duì)稱矩陣的21條性質(zhì)，并介紹了反對(duì)稱矩陣在判定矩陣可逆、利用反對(duì)稱矩陣求矩陣的秩以及反對(duì)稱矩陣在線性變換中的應(yīng)用.通過(guò)本文，我們可以對(duì)反對(duì)稱矩陣有了更深一步的了解，并且可以注意到如果我們多去留心這些性質(zhì)及應(yīng)用，有時(shí)會(huì)給我們的解題帶來(lái)許多方便.當(dāng)然，本文只是概括出了反對(duì)稱矩陣的部分簡(jiǎn)單性質(zhì)及應(yīng)用，還有很多特殊的性質(zhì)和應(yīng)用等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn).

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