4月大數(shù)據(jù)模擬卷02（山東、海南專用）（解析版）高中數(shù)學

4月大數(shù)據(jù)精選模擬卷02（山東、海南專用）

數(shù)學

本卷滿分150分，考試時間120分鐘。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的.

1.已知集合4={乂一%2+2%>0},8={》|》>1},則An(CRB)=()

A.(0,1)B.(0,1]C.(-oo,0)D.(1,2)

【答案】B

【詳解】

因為A={x|-f+2x〉o}={x[0<x<2},CR8=1}

所以An(CM)=(。』

故選：B

2.若復數(shù)2=三，則目=()

A.V2B.2C.V3D.y[5

【答案】D

【詳解】

3—i(3-i)(l+，)3+21+12+.

口-(1-i)(l+i)-~2Iz|=G+F=75

故選：D

3.數(shù)學對于一個國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達國家常常把保持數(shù)學領先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學

為提高數(shù)學系學生的數(shù)學素養(yǎng)，特開設了“古今數(shù)學思想”，“世界數(shù)字通史”，"幾何原本”，"什么是數(shù)學”

四門選修課程，要求數(shù)學系每位同學每學年至多選3門，大一到大三三學年必須將四門］選修課程選完，則

每位同學的不同選修方式有（）

A.60種B.78種C.84種D.144種

【答案】B

【詳解】

由題意可知三年修完四門課程，則每位同學每年所修課程數(shù)為1』,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，則先將4

1

門學科分成三組共種不同方式.再分配到三個學年共有A；種不同分配方式,由乘法原理可得共有

?用=36種，若是0,1,3,則先將4門學科分成三組共C：C；種不同方式,再分配到三個學年共有用

6

種不同分配方式，由乘法原理可得共有=24種，若是0,2,2,則先將門學科分成三組共寫?種

C2c2

不同方式，再分配到三個學年共有A；種不同分配方式,由乘法原理可得共有弋"?耳=18種

4

所以每位同學的不同選修方式有36+24+18=78種,

故選：B.

型、ln|x-2|

4.函數(shù)~。?的部分圖象大致為().

(x-2\

【答案】A

【詳解】

、In|x-2|.In2_In2

因為/(外=*7一~/，一〃°)=Kk=一-二°，排除B和C,

(-X-2)-(-2)?

又當工.”時，|n|x-2|>0,(x-2)3>0,所以〃x)>0,排除D,

故選：A.

5.已知圓C:(x—4)?+(丁一2)2=16,直線/：y=%(x+2)(Z<0)與圓。交于M、N兩點、若LCMN為

直角三角形，則％=()

1111

A.B.C.D.

4567

【答案】D

【詳解】

因為△C0N為等腰直角三角形，且圓C的半徑為4，

2

|6Zr-2|r—1

11

所以點C到直線/的距離d,=2V2,整理得7公一6々—1=0,解得&=一一或攵=1(舍去).

JF717

故選：D.

22___

6.已知雙曲線c:'—"=l(b>0)的離心率為e,若ee(6,Ji5)則C的焦點到一條漸近線的距離的

取值范圍為()

A.(1,30)B.(0,+oo)C.(2而母)D.(72,372)

【答案】C

【詳解】

因為e=j+號底廂),所以力€(2夜,3拒)，

而C的焦點(土c,0)到漸近線fox土政=0的距離為d=b

4『+從

所以距離的取值范圍為倒"3碼.

故選：C

ex+4a,x>0,、

7.已知函數(shù)〃x)=<2Togg+l),xM。在定義域上單調(diào)遞增’且關(guān)于'的方程小)“+2恰有一

個實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍為()

111.1

A.B.一，一C.D.(0,1)

%4ee7

【答案】C

【詳解】

3

v=e^+4ci

(0,2)

■>

v=2-logXv+l)

0<Q<1,1

〃x)在定義域上單調(diào)增，.:?■一<。<1,

4a+l>24

"/y=e'+4Q在x=0處切線為y—(4a+l)=x,即j=x+4?+i,

乂4。+122故y=x+2與y=e'+4a(x>0)沒有公共點

,y=x+2與y=2-log“(x+l)有且僅有一個公共點且為(0,2)

,y=2—log“(x+l)在x=0處的切線的斜率必須大于等于1,

f1

y=-k=--->1,/.In6Z>—1,1?a2-,

Inae

綜上：—。<1

e

8.英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應用廣泛，若

數(shù)列｛玉｝滿足X,用則稱數(shù)列｛%｝為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)f(x)=^-x-2,數(shù)列｛%?｝為

f'M,

%—2

牛頓數(shù)列，設4,=ln」^且6=1,x?>2,數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，貝152021=().

Xn+1

(1V021J門產(chǎn)

A.22021-1B.2202,-2c.1--D.-2

【答案】A

【詳解】

4

X”X"2_%”+2

由題可知：/'(x)=2x-l,%=x，-

2x.T2%?-1

^^-2z、2

所以血w=與三一=(丐],

當+1+1“"+2+](%"+1,

2^

x.—2x—2

則兩邊取對數(shù)可得In-;=21n-^―,即all+l=2an

X“M+1X?+1

所以數(shù)列｛4｝是以1為首項2為公比的等比數(shù)列，

所以邑021=4匕?=22°2「1

i-q

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.已知。>匕>0,且。+/?=1,則().

21

A.log,b>log；,aB.-+->6

(ab

baahab

C.a>bD.2-2>2--2-

【答案】ACD

【詳解】

對于A中，由a>h>0,且。+6=1,可得0<。<1，0<h<l，

由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知y=log,,x,y=log%x為單調(diào)減函數(shù)，

因為。>。>0,log〃a<l0gz,b=l,log”匕>log,8=l,所以log46>log",所以A正確;

對于B中，由a>0>0，a+b-1，

,21/21、/c2ba.c伍

可得—i——I—|(a+/?)=3H---1—23+2,2,

ab\ab)ab

1

當且僅當——=，時，即々=回時等號成立，因為3+2正<6,所以B錯誤；

ab

對于C中，由0<。<1,Q<b<\,

因為指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知y=a‘，y=6*都是單調(diào)遞減函數(shù)，a>b>Q，

所以?！?gt;廢>〃，所以C正確;

5

對于D中，令〃x）=2'—2-x,是單調(diào)遞增函數(shù)，因為2〃—2-a>2"-2-J所以D正確.

故選：ACD.

10.2020年4月，在疫情防控阻擊戰(zhàn)之外，另一條戰(zhàn)線也日漸清晰-復工復產(chǎn)、恢復經(jīng)濟正常運行.某企

業(yè)對本企業(yè)1644名職工關(guān)于復工的態(tài)度進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，則下列說法錯誤的是（）

疫情防控期間某企業(yè)復工職工調(diào)查

申請休假

5.1%

B.從該企業(yè)中任取一名職工，該職工傾向于在家辦公的概率為0.178

C.不到80名職工傾向于繼續(xù)申請休假

D.傾向于復工后在家辦公或在公司辦公的職工超過986名

【答案】AC

【詳解】

對于選項A：x=100—42.3—17.8—5.1=34.8,所以選項A錯誤，

對于選項B：由扇形圖可知該職工傾向于在家辦公的職「.占17.8%,所以從該企業(yè)中任取一名職工，該職

工傾向于在家辦公的概率為0.178,所以選項B正確，

對于選項C：由扇形圖可知傾向于繼續(xù)申請休假的職工占5.1%,irii5.1%xl644?84（人），所以選項C

錯誤，

對于選項D：由扇形圖可知傾向于復工后在家辦公或在公司辦公的職工占42.3%+17.8%=60.1%,而

60.l%x1644?988（人），所以選項D正確，

故選：AC.

11.已知函數(shù)/（x）=.sinR+J|cosx|,則（）

A./（X）是周期函數(shù)B./（x）的圖象必有對稱軸

6

C./（x）的增區(qū)間為,keZD./（x）的值域為［1,我］

【答案】ABD

【詳解】

故A正確；

對B,/(-x)=Jsin(-x)|+Jcos(-刈=Jsinx]+J|cosx|=/(x)，故/(x)關(guān)于V軸對稱，故B正

確；

3

對C,當左=0時，區(qū)間為0,耳,V/=2"

1、1/、JL

<24,故/（X）在0,-不單調(diào)遞增,故C錯誤;

對D,由AB可得/卜+^卜/⑴二八一》），則/（X）關(guān)于x=（對稱，且周期為

故“X）的值域即為“X）在0,?的取值范圍，此時/（x）=鬧嚏+而

33

:（“卜（cos,5-（si”戶.

VXGcosx>sinx,/"(x)>0.

2jsinxcosx

可知/（x）在0,?單調(diào)遞增，

?."（0）=1,卜我，故/（x）的值域為［1,圾］.

12.已知雙曲線。過點（3,0）且漸近線方程為y=±乎X，則下列結(jié)論正確的是（）

2

A.C的方程為工—產(chǎn)=1B.C的離心率為6

C.曲線y=e*-2-i經(jīng)過。的一個焦點D.直線x-6y-1=0與C有兩個公共點

【答案】AC

【詳解】

7

對于A：由雙曲線的漸近線方程為y=土與x，可設雙曲線方程為1■—丁=2(/1豐0)，把點(3,夜)代入,

9Y2

W?-2=A,即；1=1.所以雙曲線C的方程為二—尸=1,故A選項正確;

33

對于B：由〃=3，廿=1,得c=席毋=2,所以雙曲線C的離心率為專=￥，故B選項錯誤;

對于C：取x+2=0,得x=—2，y=0,曲線y=e"2—1過定點(—2,0),故C選項正確;

對于D：雙曲線的漸近線x±Gy=0,直線x-6y-1=0與雙曲線的漸近線平行，直線x—Gy-1=0

與C有1個公共點，故D不正確.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知。=(加一1),b=(-L2),c=(-3,m),若〃//(2坂+。)，則實數(shù)〃?=.

【答案】-5或1

【詳解】

26+c=(-5,4+m),則Q//(2B+C)<=>5=4m+m2，則rrr+4m-5=0，貝U加=-5或加=1.

14.fx-4+-^的展開式中常數(shù)項是________.(用數(shù)字作答)

(X)

【答案】-160

【詳解】

32

由題意，化簡(x-4+9_(X-4X+4?_(--2)6

、x,x

又由(x-2)6展開式的通項為瑪丁-，(一2)'=(-,

當r=3時，可得(一2)3。；/=—160/,

所以(x—4+3)的展開式中常數(shù)項是一16,二=-160.

故答案為:-16()

x+4e,x<0

15.已知函數(shù)/(x)=<ex，若存在玉<0,x>0,使得/(%)=/(%)，則％/(電)的取值范

—,x>02

Ix

8

圍是.

【答案】［Ye?,。］

【詳解】

*X2

*,*f(玉)=/(M)?/?%+4e=—,Xy-e----4e,

x2x2

Q玉<0,—?4e,

X2

小、八口卜一\///、exx-exex(x-l)

與尤>0時，/(%)=—，/(%)=——--=——--

XXX

由/（%）>0得由r（x）v0得Ovxvl,所以在（0,1）上遞減，在（L-）上遞增,

/（X）在無=1處取得最小值.-.e<—<4e,

%2

二%/（工2）二一4e---,

222

令，=—,則e4/44e,x}f(x2)=t-4et=(t-2e)-4e

當，=2e時，％"（犬2）取得最小值-4/,當f=4e時，百/（々）取得最大值0，

所以國/（々）的取值范圍是［Te?,。］.

16.如圖，平面ABC,平面BCDE,四邊形BCDE為矩形，BE=2,BC=4,口46c的面積為2百，點P

瓜np

為線段OE上一點，當三棱錐p-ACE的體積為立時，——=_

3DE

3

【答案】-

4

【詳解】

解：如圖，過A作AFLBC的延長線，垂足為F,

9

:平面ABCmBCDE,平面4BCn平面BCDE=BC,

尸1.平面BCDE,

由8E=2,BC=4,[]A3c的面積為2百，得;BCAF=26,

G,則VD_ACE=VAYDE=3義DExBExAF

=-x—x4x2x6；

323

%_ACE=VA-PCE=；X；XPEXBEXAF=4.

DN3

更

PEVpACE31nlDP3

DEVD_ACE4734DE4

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①asin(A+C)=8cos(A-V)；?1+2COSCCOSJB=COS(C-B)-COS(C+B)；③

---2-t-an--3--=一h

tanA+tanBc

這三個條件中任選一個，補充到下面的橫線上并作答.

問題:在DABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,4c,且b+c=2百,a=&,求DABC的面

積.

【詳解】

選①，由正弦定理得sinAsin8=sin8cos(A-。

因為0<3(乃，所以sinBwO,

io

所以5抽4=85卜一制，化筒得5皿4且。sA+「nA，

22

所以cos(A+[J=0,因為0<4<萬，所以A=q,

因為/=b*2+c2-2bccos—=(b+c)2-2bc-2bccos—,a=y/6,b+c=2y/3,

33

所以bc=2,

jn空;

所以S^BC=—OcsinA

2232

選②因為1+2COSCCOS3=COS(C-3)-COS(C+3),

所以l-cos(C-3)+cos(C+B)+2cosCeos3=1+2cos(C+B)=l-2cosA=0,

所以cosA=一,

2

TC

因為C為三角形的內(nèi)角，所以A=—,

3

式

因為/=〃+/-2/?ccos—=(b+c)2—2bc-2/?ccos—,a-V6,/?+c=273

3

所以歷=2,

=4csinA」x2xsin工=@；

所以S,8c

2232

2tan8b

選③因為

tanA+tanB

GDsinB

所以由正弦定理可得:——-——

tanA+tanBsinC

sinB

X

可得__cos^=^B

sinA+sin8sinC

cosAcosB

2sinB2sinB

可得cos8=cosB=2sin8cosA=sin8

sinAcosB+sinBcosAsinCsin。sinC

cosAcosBcosAcosB

因為sinBw0,sinCw0,

所以解得cosA='，

2

ii

因為Ae（（）,乃），所以4=彳,

因為a?=b2+c2-2Z?ccosy=(b+c)2-2bc-2bccos^,a=y/6,b+c-2>j3,

所以bc=2,

所以SMBC=-bcsinA=—x2xsin一

223

18.己知數(shù)列｛a“｝滿足4=O（/eN*）

（1）證明:數(shù)列＞是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設S,,為數(shù)列｛%/+]｝的前〃項和，證明S,,

【詳解】

11c

（1）由題對4+1+2?！?]?！?0兩邊同時除以?！?洶”得--------=2

2+1an

1。1

又一=2,所以《一是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,

4冊

所以——2+2(九-1)=2/1

1

所以

-五

111Z11

/

-X-X

----一

4/\4H

〃

H+/!V〃

/1+

11

<

-/\-

44/+14

\(7

1

即s<-

〃4

19.下圍棋既鍛煉思維又愉悅身心，有益培養(yǎng)人的耐心和細心，舒緩大腦并讓其得到充分休息.現(xiàn)某學校象

棋社團為豐富學生的課余生活，舉行象棋大賽，要求每班選派一名象棋愛好者參賽.現(xiàn)某班有12位象棋愛好

者，經(jīng)商議決定采取單循環(huán)方式進行比賽，（規(guī)則采用“中國數(shù)目法”，沒有和棋.）即每人進行11輪比賽，最

后靠積分選出第一名去參加校級比賽.積分規(guī)則如下（每輪比賽采取5局3勝制，比賽結(jié)束時，取勝者可能會

12

出現(xiàn)3:0,3:1,3:2.三種賽式).

3:0或3:13:2

勝者積分3分2分

負者積分。分1分

9輪過后，積分榜上的前兩名分別為甲和乙，甲累計積分26分，乙累計積分22分.第10輪甲和丙比賽，設

每局比賽甲取勝的概率均為2,丙獲勝的概率為工，各局比賽結(jié)果相互獨立.

33

(1)①在第1()輪比賽中，甲所得積分為X，求X的分布列；

②求第io輪結(jié)束后，甲的累計積分y的期望；

(2)已知第10輪乙得3分，判斷甲能否提前一輪獲得累計積分第一，結(jié)束比賽.(“提前一輪”即比賽進行1()

輪就結(jié)束，最后一輪即第11輪無論乙得分結(jié)果如何，甲累計積分最多)?若能，求出相應的概率;若不能，請

說明理由.

【詳解】

(1)①由題意，隨機變量X的可能取值為3,2,1,0,

2\3、22、⑶16

則尸(X=3)=+

3773人3,27

16

81

1

9

所以X的分布列為

X3210

16168

P

2781819

②隨機變量y的可能取值為29,28,27,26,

2290

則￡“)=—x29+—x28+—x27+-x26=

278181981

13

(2)若X=3,則甲10輪后的總枳分為29分，乙即便第10輪和第11輪都得3分,

則11輪過后的總積分是28分，29>28.

所以甲如果第10輪積3分，則可提前一輪結(jié)束比賽，其概率為尸(X=3)=1^.

20.如圖，在五面體ABCDE下中，四邊形ABCO是邊長為4的正方形，EF//BC,EF=2,CE=DE,

CE.LDE,平面COE_L平面ABC。.

(1)求證：DEL平面EEBC；

(2)求二面角的余弦值.

【詳解】

(1)?.?四邊形A8CO為正方形，.?.BCLCZ)，

?.?平面8E_L平面A8CD，平面CZ)Ec平面ABCZ)=CZ)，BCu平面ABC。，

平面CDE,又OEu平面CDE，..BC_LOE；

又CE1DE,8C,CEu平面EFBC，BCnCE=C,.?.￡）石，平面EFBC.

(2)取8,48中點0,2，連結(jié)EO,OP,

?.?□CDE為等腰直角三角形，平面CDEc平面ABCD=CD，￡0匚平面8E，，七。_1平面488,

知OP,OC,兩兩互相垂直，

以。為坐標原點，為x,y,z軸建立空間直角坐標系.

14

z

則A(4,—2,0),3(420),C(0,2,0),。(0,-2,0),E(0,0,2),尸(2,0,2).?.荏=(0,4,0),

麗=(2,2,-2),

設平面AB產(chǎn)的法向量為〃=(l,y,z),

n-AB-4y=0_

則〈一，令x=l,解得：y=0,z=l，

萬?FB=2x+2y-2z=0

由（1）知：小，平面￡EBC,...平面BFC的個法向量為詼=（0,2,2）,

n-DE2

cos<DE

一回國72x2722

由圖形可知：二面角A-BF-C為鈍二面角,

二面角A-BF-C的余弦值為一」.

2

21.設函數(shù)/（x）=e*-以一人+l（a,/?cR）.

⑴若。=1，〃X）有兩個零點，求。的取值范圍;

(2)若f(x"0,求a+b的最大值.

【詳解】

(1)當匕=1時，/(x)=ex-ar,jii!!//(x)=ex-a,

若a40,/'(x)>0，/(%)單調(diào)遞增，不合題意.

若“>(),由/'(x)=0得x=lna.

15

0<x<lna時,/'(力<0,〃x)單調(diào)遞減：x>ln〈時,/'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

此時，所以/(X)的極小值為==,

/(x)有兩個零點，則a-alna<0,即lna>l,所以a>e,

故。的取值范圍是(e,—).

(2)由題/'(x)=e、—a,

若。<0,/'(力>0,/(力單調(diào)遞增,

當XT-8時，―此時存在與,使得了優(yōu))<0,不符合題意.

若a=0,由f(x)20,知1一人之0,即。<1，滿足a+匕W1.

若a>0，由J"(x)=0得x=lna,當xclna時，/"(x)<0,當x>lna時，/f(x)>0.

則/(x)在x=lna時極小值，即f(\na)=a-a\na-h+\>Q,

所以力Wa-alna+l,則a+b<2a-a\na+\.

令g(a