數(shù)學(xué)（選修22）課件433三次函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)區(qū)間和極值

第四章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用4.3.3三次函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)區(qū)間和極值4.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1．設(shè)F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，則F′(x)＝3ax2＋2bx＋c.(1)函數(shù)F′(x)沒有零點(diǎn)或有且只有一個零點(diǎn)，則函數(shù)F(x)在(－∞，＋∞)上_______.(2)函數(shù)F′(x)有兩個不同的零點(diǎn)x＝u和x＝v，設(shè)u＜v，則函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為________，單調(diào)遞增區(qū)間為____________________.F(x)的極大值為_______，極小值為______.遞增(u，v)(－∞，u)，(v，＋∞)f(u)f(v)2．求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的_______.(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為_________，最小的一個為__________.3．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)＞g(x)的方法(1)構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)．(2)討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性．(3)求出函數(shù)F(x)的最小值，若F(x)min＞0，則不等式成立．極值最大值最小值已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)值【點(diǎn)評】由單調(diào)性可知x＝0與x＝1都是極值點(diǎn)，從而有f′(0)＝f′(1)＝0.1．若函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調(diào)區(qū)間為[－1,2]，則b＝____________，c＝____________.

已知函數(shù)f(x)＝x3＋mx2－m2x＋1(m＞0)有極大值9.(1)求m的值；(2)若斜率為－5的直線是曲線y＝f(x)的切線，求此直線方程．

已知函數(shù)極值求參數(shù)【點(diǎn)評】當(dāng)三次函數(shù)有兩個駐點(diǎn)時，要根據(jù)極值的概念確認(rèn)哪個駐點(diǎn)是極大值點(diǎn)．

設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3a2x＋1(a，b∈R)在x＝x1，x＝x2處取得極值，且|x1－x2|＝2.(1)若a＝1，求b的值；(2)若a＞0，求a，b的關(guān)系及a的取值范圍．

【點(diǎn)評】思維的周密性是解決問題的基礎(chǔ)．在解題過程中，要全面系統(tǒng)地考慮問題，解答問題時應(yīng)注意對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0只是函數(shù)f(x)在x0處有極值的必要條件，再加上x0左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號相反，方能斷定函數(shù)在x0處取得極值．2．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2處取得極值．(1)求a，b的值；(2)若對于任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范圍．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性與最值．3．函數(shù)y＝x3－3x＋1在區(qū)間[－3,0]的最大值為____________，最小值為____________.解析：由y′＝3x2－3＝0，得x＝±1.又∵f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，∴最大值為3，最小值為－17.答案：3－17恒成立問題【點(diǎn)評】

(1)不等式恒成立問題與函數(shù)最值有密切的關(guān)系，解決有關(guān)不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為最值問題來解：c≥f(x)恒成立?c≥f(x)max；c≤f(x)恒成立?c≤f(x)min.(2)高次函數(shù)或非基本初等函數(shù)的最值問題，通常采用導(dǎo)數(shù)法解決．4．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若對于任意x∈[－1,1]都使f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的值為____________.答案：41．三次函數(shù)是一類重要的函數(shù)也是高考的常出類型．2．三次函數(shù)F(x)＝ax3＋bx2＋cx求導(dǎo)后，導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)F′(x)＝3ax2＋2bx＋c.若a＞0，b2＜3ac，則F(x)在(－∞，＋∞)上遞增；b2＝3ac，則F(x)在(－∞，＋∞)上遞增；b2＞3ac，則F′(x)＝0有兩根u，v(u＜v)，F(xiàn)(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上遞增，(u，v)上遞減．若a＜0，b2＜3ac，則F(x)在(－∞，＋∞)上遞減；b2＝3ac，則F(x)在(－∞，＋∞