2023-2024學(xué)年河南省開(kāi)封十中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年河南省開(kāi)封十中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知正四棱錐的頂點(diǎn)均在球上，且該正四棱錐的各個(gè)棱長(zhǎng)均為，則球的表面積為()A． B． C． D．2．已知變量x，y的取值如下表：x12345y1015304550由散點(diǎn)圖分析可知y與x線性相關(guān)，且求得回歸直線的方程為，據(jù)此可預(yù)測(cè)：當(dāng)時(shí)，y的值約為（）A．63 B．74 C．85 D．963．已知是第一象限角，那么是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角4．下圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則和的值分別為A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，75．若，，則()A． B． C． D．6．已知點(diǎn)均在球上，，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為A． B． C．32 D．7．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x

3

4

5

6

7

8

y

可得到的回歸方程為,則（）A． B． C． D．8．若，則（）A． B． C． D．9．已知不等式的解集為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．10．若，則函數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．半徑為的圓上，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為_(kāi)_______．12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)，若在數(shù)列中，對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.13．如圖，半徑為的扇形的圓心角為，點(diǎn)在上，且，若，則__________.14．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列，類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若正項(xiàng)數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列_________也是等比數(shù)列.15．在數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，若，，則___________.16．某餐廳的原料支出與銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元）之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出與的線性回歸方程，則表中的值為_(kāi)________.2456825355575三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為；數(shù)列是等比數(shù)列，公比大于0，其前項(xiàng)和為．已知，，，．（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），求正整數(shù)n的值．18．已知向量，，且，.（1）求函數(shù)和的解析式；（2）求函數(shù)的遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)的最小值為，求λ值.19．如圖，在四棱錐中，平面平面，，且，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若為的中點(diǎn)，求證：平面．20．有一款手機(jī)，每部購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用是5000元，每年網(wǎng)絡(luò)費(fèi)和電話費(fèi)共需1000元；每部手機(jī)第一年不需維修，第二年維修費(fèi)用為100元，以后每一年的維修費(fèi)用均比上一年增加100元.設(shè)該款手機(jī)每部使用年共需維修費(fèi)用元，總費(fèi)用元.（總費(fèi)用購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)費(fèi)和電話費(fèi)維修費(fèi)用）（1）求函數(shù)、的表達(dá)式：（2）這款手機(jī)每部使用多少年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最少？21．已知的頂點(diǎn)，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為.（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線BC的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】設(shè)點(diǎn)在底面的投影點(diǎn)為，則，，平面，故，而底面所在截面圓的半徑，故該截面圓即為過(guò)球心的圓，則球的半徑，故球的表面積，故選C.點(diǎn)睛：本題考查球的內(nèi)接體的判斷與應(yīng)用，球的表面積的求法，考查計(jì)算能力；研究球與多面體的接、切問(wèn)題主要考慮以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：（1）球心與多面體中心的位置關(guān)系；（2）球的半徑與多面體的棱長(zhǎng)的關(guān)系；（3）球自身的對(duì)稱(chēng)性與多面體的對(duì)稱(chēng)性；（4）能否做出軸截面.2、C【解析】

由已知求得樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程求得，取求得值即可．【詳解】由題得，．故樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)為，代入，得．，取，得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程的求法，明確線性回歸方程恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．3、D【解析】

根據(jù)象限角寫(xiě)出的取值范圍，討論即可知在第一或第三象限角【詳解】依題意得，則，當(dāng)時(shí)，是第一象限角當(dāng)時(shí)，是第三象限角【點(diǎn)睛】本題主要考查象限角，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

利用莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)的性質(zhì)直接求解．【詳解】由莖葉圖得：∵甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，∴65＝60+y，解得y＝5，∵平均值也相等，∴，解得x＝1．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5、B【解析】

利用誘導(dǎo)公式得到的值，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合角的范圍，即可得答案.【詳解】∵，又，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意符號(hào)問(wèn)題.6、A【解析】

設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時(shí)，平面，球心在上．由此可計(jì)算球半徑．【詳解】如圖，設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時(shí)，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴球體積為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查球的體積，關(guān)鍵是確定球心位置求出球的半徑．7、A【解析】試題分析：依據(jù)樣本數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線可知圖像為遞減且在軸上的截距大于0，所以．考點(diǎn)：1．散點(diǎn)圖；2．線性回歸方程；8、D【解析】

將指數(shù)形式化為對(duì)數(shù)形式可得，再利用換底公式即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，重點(diǎn)考查了換底公式，屬基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可構(gòu)造方程求得；利用一元二次不等式的解法可求得結(jié)果.【詳解】的解集為和是方程的兩根，且，解得：解得：，即不等式的解集為故選：【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系等知識(shí)的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠通過(guò)一元二次不等式的解集確定一元二次方程的根，進(jìn)而利用韋達(dá)定理構(gòu)造方程求得變量.10、B【解析】

直接用均值不等式求最小值.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，取等號(hào).故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用均值不等式求函數(shù)最小值,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由弧長(zhǎng)公式可得故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

首先分析題意，可知是取和中的最大值，且是該數(shù)列中的最小項(xiàng)，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列的單調(diào)性可得出或，代入數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，是取和中的最大值，且是數(shù)列中的最小項(xiàng).若，則，則前面不會(huì)有數(shù)列的項(xiàng)，由于數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.，數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，必有，即.此時(shí)，應(yīng)有，，即，解得.，即，得，此時(shí)；若，則，同理，前面不能有數(shù)列的項(xiàng)，即，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列單調(diào)遞減，.當(dāng)時(shí)，，由，即，解得.由，得，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)列的最小項(xiàng)求參數(shù)的取值范圍，同時(shí)也考查了數(shù)列中的新定義，解題的關(guān)鍵就是要分析出數(shù)列的單調(diào)性，利用一些特殊項(xiàng)的大小關(guān)系得出不等式組進(jìn)行求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于難題.13、【解析】根據(jù)題意，可得OA⊥OC，以O(shè)為坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則有C（1，0），A（0，1），B（cos30°，-sin30°），即.于是.由，得：，則：，解得.∴.點(diǎn)睛：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．14、【解析】

利用類(lèi)比推理分析，若數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列也是等比數(shù)列．【詳解】由數(shù)列是等差數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列也是等差數(shù)列．類(lèi)比上述性質(zhì)，若數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列也是等比數(shù)列．故答案為：【點(diǎn)睛】類(lèi)比推理的一般步驟是：（1）找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；（2）用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．15、【解析】

令，可求出的值，令，由可求出的表達(dá)式，再檢驗(yàn)是否符合時(shí)的表達(dá)式，由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.不適合上式，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用求數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般利用，求解時(shí)還應(yīng)對(duì)是否滿(mǎn)足的表達(dá)式進(jìn)行驗(yàn)證，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.16、60【解析】

由樣本中心過(guò)線性回歸方程，求得，，代入即可求得【詳解】由題知：，，將代入得故答案為：60【點(diǎn)睛】本題考查樣本中心與最小二乘法公式的關(guān)系，易錯(cuò)點(diǎn)為將直接代入求解，屬于中檔題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；；（2）n的值為1．【解析】

(1)根據(jù)等比數(shù)列與等差數(shù)列,分別設(shè)公比與公差再用基本量法求解即可.(2)分別利用等差等比數(shù)列的求和公式求解得與,再代入整理求解二次方程即可.【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由,,可得．∵,可得．故；設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由,得,由,得,∴．故；（2）由是等差數(shù)列,且,得由是等比數(shù)列,且,得．可得．由,可得,整理得：,解得（舍）或．∴n的值為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比等差數(shù)列的基本量法以及的等差等比數(shù)列的求和計(jì)算.屬于中檔題.18、（1），（2）遞增區(qū)間為，（3）【解析】

（1）根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，以及模長(zhǎng)的求解公式，即可求得兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）由（1）可得，整理化簡(jiǎn)后，將其轉(zhuǎn)化為余弦型三角函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間即可；（3）求得的解析式，用換元法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，討論二次函數(shù)的最小值，從而求得參數(shù)的值.【詳解】（1），.（2）令，得的遞增區(qū)間為，.（3）∵，∴..當(dāng)時(shí)，時(shí)，取最小值為－1，這與題設(shè)矛盾.當(dāng)時(shí)，時(shí)，取最小值，因此，，解得.當(dāng)時(shí)，時(shí)，取最小值，由，解得，與題設(shè)矛盾.綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，含的二次型函數(shù)的最值問(wèn)題，涉及向量數(shù)量積的運(yùn)算，模長(zhǎng)的求解，以及二次函數(shù)動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題，屬綜合基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】

（Ⅰ）線線垂直先求線面垂直，即平面，進(jìn)而可得；（Ⅱ）連接D與PC的中點(diǎn)F，只需證明即可．【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面．因?yàn)槠矫妫裕á颍┳C明：取中點(diǎn)，連接，．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，且．因?yàn)椋?，所以，且，所以四邊形為平行四邊形．所以．因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何證明，線線垂直一般通過(guò)線面垂直證明，線面平行只需在面內(nèi)找到一個(gè)線與已知線平行即可，題目中出現(xiàn)中點(diǎn)一般也要在找其他中點(diǎn)連接，屬于較易題目．20、（1），；（2）這款手機(jī)使用年時(shí)它的年平均費(fèi)用最少【解析】

（1）第年的維修費(fèi)用為，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得；將加上購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用和年的網(wǎng)絡(luò)費(fèi)和電話費(fèi)總額即可得到；（2）平均費(fèi)用，利用基本不等式可求得最小值，根據(jù)取等條件可求得的取值.【詳解】（1）則（2）設(shè)每部手機(jī)使用年的平均費(fèi)用為則當(dāng)，即時(shí)，這款手機(jī)使用年時(shí)它的年平均費(fèi)用最少【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造合適的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，涉及到函數(shù)最值的求解問(wèn)題；解決本題中最值問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得和的最小值.21、（1）；（2