2023-2024學年湖南省益陽市數(shù)學高一下期末監(jiān)測模擬試題含解析

2023-2024學年湖南省益陽市數(shù)學高一下期末監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在邊長為2的菱形中，，是的中點，則A． B． C． D．2．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則此幾何體的表面積為（）A． B． C． D．3．若正實數(shù)滿足，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設(shè)平面向量，，若，則等于（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的圖像如圖所示，則和分別是（）A． B． C． D．6．為了了解我校今年準備報考飛行員的學生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為，第2小組的頻數(shù)為12，則抽取的學生總?cè)藬?shù)是（）A．24 B．48 C．56 D．647．若，，則的最小值為（）A．2 B． C． D．8．已知，則的最小值為（）A．2 B．0 C．-2 D．-49．已知數(shù)列的前項和為，滿足，則通項公式等于()．A． B． C． D．10．設(shè)，，均為正實數(shù)，則三個數(shù)，，()A．都大于2 B．都小于2C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等差數(shù)列{}前n項和為.已知+-=0，=38,則m=_______.12．已知在中，，則____________.13．函數(shù)的最小正周期是__________.14．如圖，在直角梯形中，//是線段上一動點，是線段上一動點，則的最大值為________．15．兩等差數(shù)列{an}和{bn}前n項和分別為Sn，Tn，且，則=__________．16．已知向量，，且，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前n項和為，，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，數(shù)列的前n項和為，求證：.18．在平面直角坐標系xOy中，曲線與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Γ與y軸交于點C．（1）是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程;若不存在，請說明理由；（2）求證:過A，B，C三點的圓過定點，并求出該定點的坐標．19．如圖，已知點P在圓柱OO1的底面⊙O上，分別為⊙O、⊙O1的直徑，且平面．（1）求證：；（2）若圓柱的體積，①求三棱錐A1﹣APB的體積．②在線段AP上是否存在一點M，使異面直線OM與所成角的余弦值為？若存在，請指出M的位置，并證明；若不存在，請說明理由．20．在數(shù)列中，，.（1）分別計算，，的值；（2）由（1）猜想出數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明.21．某市地鐵全線共有四個車站，甲、乙兩人同時在地鐵第1號車站（首發(fā)站）乘車，假設(shè)每人自第2號站開始，在每個車站下車是等可能的，約定用有序?qū)崝?shù)對表示“甲在號車站下車，乙在號車站下車”（Ⅰ）用有序?qū)崝?shù)對把甲、乙兩人下車的所有可能的結(jié)果列舉出來；（Ⅱ）求甲、乙兩人同在第3號車站下車的概率；（Ⅲ）求甲、乙兩人在不同的車站下車的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

選取向量為基底，用基底表示，然后計算．【詳解】由題意，，．故選D．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，平面向量的線性運算，解題關(guān)鍵是選取基底，把向量用基底表示．2、B【解析】

作出多面體的直觀圖，將各面的面積相加可得出該多面積的表面積.【詳解】由三視圖得知該幾何體的直觀圖如下圖所示：由直觀圖可知，底面是邊長為的正方形，其面積為；側(cè)面是等腰三角形，且底邊長，底邊上的高為，其面積為，且；側(cè)面是直角三角形，且為直角，，，其面積為，，的面積為；側(cè)面積為等腰三角形，底邊長，，底邊上的高為，其面積為.因此，該幾何體的表面積為，故選：B.【點睛】本題考查幾何體的三視圖以及幾何體表面積的計算，再利用三視圖求幾何體的表面積時，要將幾何體的直觀圖還原，并判斷出各個面的形狀，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)進行計算，考查空間想象能力與計算能力，屬于中等題.3、A【解析】

先利用基本不等求出的最小值，然后根據(jù)恒成立，可得，再求出a的范圍．【詳解】因為正實數(shù)x，y滿足，，當且僅當，即時取等號，恒成立，所以只需，，，的取值范圍為，故選：A.【點睛】本題主要考查不等式恒成立問題以及基本不等式求最值，解題時注意“一正、二定、三相等”的應用，本題屬于中檔題.4、D【解析】分析：由向量垂直的條件，求解，再由向量的模的公式和向量的數(shù)量積的運算，即可求解結(jié)果.詳解：由題意，平面向量，且，所以，所以，即，又由，所以，故選D.點睛：本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算和向量模的求解，其中解答中熟記平面向量的數(shù)量積的運算公式和向量模的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

通過識別圖像，先求，再求周期，將代入求即可【詳解】由圖可知：，，將代入得，又，，故故選C【點睛】本題考查通過三角函數(shù)識圖求解解析式，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖可知從左到右的前3個小組的頻率之和，再根據(jù)頻率之比可求出第二組頻率，結(jié)合頻數(shù)即可求解.【詳解】由直方圖可知，從左到右的前3個小組的頻率之和為，又前3個小組的頻率之比為，所以第二組的頻率為，所以學生總數(shù)，故選B.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖，頻率，頻數(shù)，總體，屬于中檔題.7、D【解析】

根據(jù)所給等量關(guān)系,用表示出可得.代入中,構(gòu)造基本不等式即可求得的最小值.【詳解】因為,所以變形可得所以由基本不等式可得當且僅當時取等號,解得所以的最小值為故選:D【點睛】本題考查了基本不等式求最值的應用,注意構(gòu)造合適的基本不等式形式,屬于中檔題.8、D【解析】

根據(jù)不等式組畫出可行域，借助圖像得到最值.【詳解】根據(jù)不等式組畫出可行域得到圖像：將目標函數(shù)化為，根據(jù)圖像得到當目標函數(shù)過點時取得最小值，代入此點得到z=-4.故答案為：D.【點睛】利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域;(2)考慮目標函數(shù)的幾何意義，將目標函數(shù)進行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）;(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解;(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值。9、C【解析】

代入求得；根據(jù)可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列通項公式求得結(jié)果.【詳解】當時，當且時，則，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列本題正確選項：【點睛】本題考查數(shù)列通項公式的求解，關(guān)鍵是能夠利用得到數(shù)列為等比數(shù)列，屬于常規(guī)題型.10、D【解析】

由題意得，當且僅當時，等號成立，所以至少有一個不小于，故選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、10【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得：+=2，又+-=0，則2=，解得=0（舍去）或=2.則，,所以m＝10.12、【解析】

根據(jù)可得，根據(jù)商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系可解得結(jié)果.【詳解】因為，所以且，又，所以，所以，因為，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的符號法則，考查了同角公式中的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.13、；【解析】

利用余弦函數(shù)的最小正周期公式即可求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，故答案為：【點睛】本題考查了含余弦函數(shù)的最小正周期，需熟記求最小正周期的公式，屬于基礎(chǔ)題.14、2【解析】

建立平面直角坐標系，得到相應點的坐標及向量的坐標，把，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，即可求解．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，因為，，所以,因為，，所以,因為，所以當時，取得最大值，最大值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算，以及向量的數(shù)量積的運算的應用，其中解答中建立平面直角坐標系，結(jié)合向量的線性運算和數(shù)量積的運算，得到的函數(shù)關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．15、【解析】數(shù)列{an}和{bn}為等差數(shù)列，所以.點睛：等差數(shù)列的?？夹再|(zhì)：{an}是等差數(shù)列，若m+n=p+q,則.16、【解析】

根據(jù)的坐標表示，即可得出，解出即可．【詳解】，，．【點睛】本題主要考查平行向量的坐標關(guān)系應用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)和的關(guān)系式，利用，整理化簡得到，從而證明是等差數(shù)列；（2）利用由（1）寫出的通項，利用裂項相消法求出，從而證明【詳解】（1）因為，所以當時，兩式相減，得到，整理得，又因為，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為3；（2）當時，，解得或，因為，所以，由（1）可知，即公差，所以，所以，所以【點睛】本題考查根據(jù)與的關(guān)系證明等差數(shù)列，裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.18、（1）存在，（2）證明見解析，圓方程恒過定點或【解析】

（1）將曲線Γ方程中的y＝1，得x2﹣mx+2m＝1．利用韋達定理求出C，通過坐標化，求出m得到所求圓的方程．（2）設(shè)過A，B，C的圓P的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2列出方程組利用圓系方程，推出圓P方程恒過定點即可．【詳解】由曲線Γ：y＝x2﹣mx+2m（m∈R），令y＝1，得x2﹣mx+2m＝1．設(shè)A（x1，1），B（x2，1），則可得△＝m2﹣8m＞1，x1+x2＝m，x1x2＝2m．令x＝1，得y＝2m，即C（1，2m）．（1）若存在以AB為直徑的圓過點C，則，得，即2m+4m2＝1，所以m＝1或．由△＞1，得m＜1或m＞8，所以，此時C（1，﹣1），AB的中點M（，1）即圓心，半徑r＝|CM|故所求圓的方程為．（2）設(shè)過A，B，C的圓P的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2滿足代入P得展開得（﹣x﹣2y+2）m+x2+y2﹣y＝1當，即時方程恒成立，∴圓P方程恒過定點（1，1）或．【點睛】本題考查圓的方程的應用，圓系方程恒過定點的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．19、（1）見解析；（2）①，②見解析【解析】

（1）根據(jù)，得出平面，故而；（2）①根據(jù)圓柱的體積計算，根據(jù)計算，，代入體積公式計算棱錐的體積；②先證明就是異面直線與所成的角，然后根據(jù)可得，故為的中點．【詳解】（1）證明：∵P在⊙O上，AB是⊙O的直徑，平面又，平面，又平面，故．（2）①由題意，解得，由，得，，∴三棱錐的體積．②在AP上存在一點M，當M為AP的中點時，使異面直線OM與所成角的余弦值為．證明：∵O、M分別為的中點，則，就是異面直線OM與所成的角，又，在中，．∴在AP上存在一點M，當M為AP的中點時，使異面直線OM與所成角的余弦值為．【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算以及異面直線所成的角，屬于中檔題．20、(1),；

(2),證明見解析【解析】

(1)分別令即可運算得出，，的值；(2)由(1)可猜想出,當時成立,再假設(shè)當時,成立,再利用推導出即可.【詳解】(1)令有；

令有；

令有所以，，(2)由(1)可得,,,,故可猜想.證明：當時,成立；假設(shè)當時,成立,且即當時,,即,化簡得,,即也滿足,當時成立,故對于任意的,有,證畢.所以.【點睛】本題主要考查了數(shù)學歸納法的運用，其中步驟為：(1)證明當取第一個值時命題成立.對于一