數(shù)學(xué)實驗 課件 第7、8章 微積分實驗、概率論與數(shù)理統(tǒng)計實驗

7.1微分

微分學(xué)主要包括極限、導(dǎo)數(shù)與微分.

極限是微積分的基礎(chǔ)概念，極限思想方法是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法.

數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體的體積等問題），正是由于其采用了極限的無限逼近的思想方法，才能夠得到無比精確的計算結(jié)果.

定義：如果當(dāng)

x無限接近

x0時，函數(shù)

f(x)無限接近常數(shù)

A.

則稱函數(shù)

f(x)在

x0處的極限為A，記為

．

MATLAB中主要用

limit

求函數(shù)的極限與導(dǎo)數(shù)；diff

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分.

①

limit(f,var,a)

返回符號表達(dá)式當(dāng)var趨于a時表達(dá)式f的極限；

②

limit(f,var,a,'left')

返回符號表達(dá)式當(dāng)var趨于a-0時表達(dá)式f的左極限；

③

limit(f,var,a,'right')

返回符號表達(dá)式當(dāng)var趨于a+0時表達(dá)式f的右極限；

④

diff(f,var,n)

返回符號表達(dá)式f對自變量var的n階導(dǎo)數(shù).例7.1求下列極限解（1）>>symsn

>>f=(3*n^3-1)/(4*n^3+n+1);

>>limit(f,n,inf)

ans=

3/4可知.

（2）>>symsn

>>f=(1+n)^(1/n);

>>limit(f,n,0)

ans=

exp(1)可知

（3）>>clear;

>>symsx;

>>limit(sin(x)/x,x,0)

ans=

1可知.（4）>>symsx

>>limit(atan(1/x),x,0,'right')

ans=

pi/2可知.

（5）>>symsx

>>limit(atan(1/x),x,0,'left')

ans=

-pi/2

可知.

例7.2求極限.解>>clear;

>>symsx;

%說明x為符號變量

>>limit(cos(1/x),x,0)

ans=

NaN極限值NaN是個不定值，可知

不存在.

下面作出函數(shù)

在[-1,-0.01]區(qū)間上的圖形，觀察圖形在x=0附近的形狀.在[-1,-0.01]區(qū)間上繪圖的MATLAB命令為：>>x=-1:0.0001:-0.01;

y=cos(1./x);

plot(x,y)

圖7-1函數(shù)

圖形所得圖形如圖7-1所示.觀察出x趨于0時，函數(shù)值在-1、1這兩個數(shù)之間交替震蕩取值，而極限如果存在則必唯一，判斷出極限

不存在.例7.3求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).解>>symsx

>>y=log(sin(x)-x);%在MATLAB中用log(x)表示lnx.

>>diff(y)

ans=

-(cos(x)-1)/(x-sin(x))可知.例7.4已知函數(shù)

，求函數(shù)關(guān)于x變量的一階微分dy和二階導(dǎo)數(shù)y''.解>>symsabcx

>>y=a*x^2+b*x+c;

%定義函數(shù)表達(dá)式

>>diff(y)

%對默認(rèn)變量求x一階導(dǎo)數(shù)

ans=2*a*x+b

>>diff(y,'x',2)

%對符號變量求x二階導(dǎo)數(shù)

ans=2*a可知

,

.例7.5求參數(shù)方程

確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解>>symst

>>x=cos(t)^3;

>>y=sin(t)^3;

>>dy=diff(y);

>>dx=diff(x);

>>dy/dx

ans=

-sin(t)/cos(t)可知導(dǎo)數(shù).例7.6

先求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)，然后在同一坐標(biāo)系里作出函數(shù)

及其導(dǎo)函數(shù)

的圖形.解函數(shù)求導(dǎo)相應(yīng)的MATLAB代碼為：>>clear;>>symsx;>>diff(x^3-6*x+3,x,1)結(jié)果為ans=3*x^2-6.函數(shù)繪圖相應(yīng)的MATLAB代碼為：>>x=-4:0.1:4;

y1=x.^3-6*x+3;

y2=3*x.^2-6;>>plot(x,y1,x,y2,':')結(jié)果如圖7-2所示，其中實線是

的圖形，點線是

的圖形.圖7-2

函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)例7.7求函數(shù)

在點（1,2）處的偏導(dǎo)數(shù).解>>symsxy>>z=x^2+3*x*y+y^2;>>zx=diff(z,x)%求z對x的偏導(dǎo)數(shù)>>zx=2*x+3*y>>subs(zx,[xy],[12])%計算偏導(dǎo)數(shù)在（1，2）點處的值ans=8>>zy=diff(z,y)%求z對y的偏導(dǎo)數(shù)zy=3*x+2*y>>subs(zy,[xy],[12])%計算偏導(dǎo)數(shù)在（1，2）點處的值ans=7可知.7.2數(shù)值微分

若所給函數(shù)

f(x)由表格形式給出，那么要直接求解

就不那么容易了.

要求解這樣的問題，需要引入數(shù)值算法求解所需問題的數(shù)值解.

這種對實驗數(shù)據(jù)求導(dǎo)數(shù)通常稱為數(shù)值微分.

最簡單直接的數(shù)值微分方法就是用差商代替微商.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，在點x處，當(dāng)h充分小時，可用差商來逼近導(dǎo)數(shù).

向前差商公式：向后差商公式：由向前差商公式和向后差商公式可以得到中心差商公式：由Taylor公式，可以給出差商求導(dǎo)公式的截斷誤差：

即向前和向后差商公式都是一階算法，中心差商公式是二階算法.例7.8分別利用向前差商、向后差商和中心差商方法求

在x=1處的近似一階導(dǎo)數(shù).解x=1;

h=[0.10.010.001];

x1=x+h;

x2=x-h;

y=exp(x);

y1=exp(x1);

y2=exp(x2);

fq=(y1-y)./h%向前差商

fh=(y-y2)./h%向后差商

fz=(y1-y2)./(2*h)%中心差商

運行結(jié)果：fq=2.85882.73192.7196fh=2.58682.70472.7169fz=2.72282.71832.7183實際上，可以先求導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)值的方法：>>symsx>>subs(diff(exp(x)),x,1)ans=exp(1)>>vpa(ans)ans=2.7182818284590452353602874713527從差商方法與導(dǎo)函數(shù)方法的結(jié)果對比可以看出，不同的h得到不同的近似導(dǎo)數(shù)值，h越小，近似導(dǎo)數(shù)的誤差越小.而且，中心差商要比向前差商和向后差商的精度更高.例7.9測得一個運動物體的距離D(t)數(shù)據(jù)如表7-1.用數(shù)值微分求速率v(10)，v(11).解cleart=[8 9 10 11 12];D=[17.45 21.46 25.75 30.30 35.08];fori=2:4Dt(i)=(D(i+1)-D(i-1))/2;endDtt89101112D(t)17.4521.4625.7530.3035.08表7-1物體運動數(shù)據(jù)運行程序，得到結(jié)果：Dt=04.15004.42004.6650可知v(10)=4.42，v(11)=4.665.7.3積分

實際問題中，許多問題可以歸結(jié)為定積分的求解.一元函數(shù)定積分的數(shù)學(xué)表示為：

其中f(x)稱為被積函數(shù)，a和b分別稱為積分下限和積分上限.

根據(jù)微積分基本定理（Newton-Leibniz公式）：若被積函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且

，則有

這個公式表明導(dǎo)數(shù)與積分是一對互逆運算，它也提供了求積分的解析方法：為了求f(x)的定積分，需要找到一個函數(shù)F(x)，使F(x)的導(dǎo)數(shù)正好是f(x)，我們稱F(x)是f(x)的原函數(shù)或不定積分.

不定積分的求法有學(xué)多數(shù)學(xué)技巧，常用的有換元積分和分部積分法.在MATLAB中，利用int函數(shù)求解析解，調(diào)用格式如下：R=int(s,v)

%對符號表達(dá)式s中指定的符號變量v計算不定積分.表達(dá)式R只是表達(dá)式函數(shù)s的一個原函數(shù),后面沒有帶任意常數(shù)C；

R=int(s)

%對符號表達(dá)式s中確定的符號變量計算計算不定積分；

R=int(s,a,b)

%符號表達(dá)式s的定積分，a,b分別為積分的下、上限；

R=int(s,x,a,b)%符號表達(dá)式s關(guān)于變量x的定積分，a,b分別為積分的下、上限.

利用int函數(shù)求解不定積分時，不會自動添加任意常數(shù)C，需要手動添加.例7.10計算不定積分.解>>clear;symsx;>>int(x^2*sin(x))ans=-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x)可知

，其中C為任意常數(shù).如果用微分命令diff驗證積分正確性，MATLAB代碼為：>>clear;symsx;>>diff(-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x))ans=x^2*sin(x)例7.11計算定積分.解>>symsx>>y=exp(x);>>int(y,0,1)ans=exp(1)-1可知.例7.12現(xiàn)通過測試者記住西班牙語單詞數(shù)目，來進(jìn)行一場記憶實驗.M(t)表示在t分鐘內(nèi)記住的西班牙語單詞數(shù)目.在這場實驗中，實驗者的記憶速率為

.如果已知M(0)=0，求M(t)及測試者在8分鐘內(nèi)記住多少單詞？解由

可知利用MATLAB求解不定積分：>>symst>>y=0.2*t-0.003*t^3;>>M=int(y)M=-(t^2*(3*t^2-400))/4000可知

=

，其中C是任意常數(shù).>>t0=0;>>M0=0;>>C=M0-subs(M,t,t0)C=0>>M8=subs(M,t,8)M8=416/125>>vpa(M8)ans=3.328所以當(dāng)M(0)=0時，C=0，可得當(dāng)時，測試者在8分鐘內(nèi)記住3個單詞.7.4數(shù)值積分

根據(jù)微積分基本定理（Newton-Leibniz公式），只需尋找到函數(shù)f(x)的原函數(shù)，即可求出定積分的值.但在實際問題中，往往會遇到一些困難.比如有些函數(shù)的原函數(shù)雖然存在，但卻無法用初等函數(shù)表示；或者有些函數(shù)是用圖表表示的，這樣Newton-Leibniz公式就不能直接運用.為解決這些問題，下面研究積分的數(shù)值計算方法.

積分是微分的無限和，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分定義為

（7-3）

將[a,b]進(jìn)行等分，則

，

則

（7-4）左矩形法：在式(7-4)中，取

，可得右矩形法：在式(7-4)中，取

，可得中矩形法：在式(7-4)中，若取

，可得梯形法：在式(7-4)中，若取

，可得在MATLAB中，trapz函數(shù)表示使用梯形法計算數(shù)值積分，特點是速度快，但精度低.integral函數(shù)采用自適應(yīng)Simpson方法計算積分，特點是精度較高，較為常用.調(diào)用格式如下：①Q(mào)=trapz(X,Y)梯形積分法，X表示積分區(qū)間的離散化向量，Y是與X同維數(shù)的向量，表示被積函數(shù)，Q返回積分值.②q=integral(fun,xmin,xmax)使用全局自適應(yīng)積分和默認(rèn)誤差容限在xmin至xmax間以數(shù)值形式為函數(shù)fun求積分.例7.13利用矩形法計算定積分.解定積分

的幾何意義是由

圍成的曲邊梯形的面積.矩形法計算定積分：首先對區(qū)間[a,b]進(jìn)行分割，再以小矩形面積近似小曲邊梯形的面積，然后求和得到定積分的近似值．>>a=0;b=1;n=1000;

>>h=(b-a)/n;%求步長h

>>x=a:h:b-h;%對區(qū)間[a,b]進(jìn)行n等分

>>y=log(1+x);

>>I=sum(y)*h%利用左矩形法計算矩形面積，并求和

I=

0.3859若n=10000，則I=0.3863，精確值為

可見，區(qū)間等分?jǐn)?shù)越大，近似值越準(zhǔn)確．例7.14

計算積分.解先用梯形積分法命令trapz計算積分,>>clear;x=-2:0.1:2;y=x.^4;

%積分步長為0.1>>trapz(x,y)ans=12.8533如果取積分步長為0.01,>>clear;x=-2:0.01:2;y=x.^4;

%積分步長為0.01>>trapz(x,y)ans=12.8005如果用符號積分法命令int計算積分>>clear;symsx;>>int(x^4,x,-2,2)ans=64/5可以看出，當(dāng)分割越來越細(xì)的時候，數(shù)值積分越接近精確值．例7.15求.解創(chuàng)建函數(shù)，fun=@(x)exp(-x.^2).*log(x).^2;計算x=0至x=Inf的積分，>>q=integral(fun,0,Inf)q=1.9475例7.16求曲線

以及直線x=a,y=b與x軸所圍成圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積，并畫出兩個旋轉(zhuǎn)體的圖形．解圖形繞軸旋轉(zhuǎn)時，體積

圖形繞軸旋轉(zhuǎn)時，體積先繪制出曲線以及直線x=a,y=b與x軸所圍成圖形（圖7.3）>>fplot(@(x)sqrt(x).*sin(x).^2,[0,pi])由于函數(shù)

的原函數(shù)不存在，故可用trapz計算數(shù)值積分．>>clear>>x=0:0.1:pi;>>y1=pi*x.*sin(x).^4;>>vx=trapz(x,y1)vx=5.8137>>y2=2*pi*x.^(3/2).*sin(x).^2;>>vy=trapz(x,y2)vy=20.4013可知圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積vx=5.8137；圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積vy=20.4013．圖7-3曲邊梯形已知圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面參數(shù)方程

繪制圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面（見圖7-4a），MATLAB命令如下：clearr=linspace(0,pi,100);t=linspace(0,2*pi,100);[r,t]=meshgrid(r,t);x=r;y=sqrt(r).*sin(r).^2.*cos(t);z=sqrt(r).*sin(r).^2.*sin(t);mesh(x,y,z)

圖7-4a旋轉(zhuǎn)曲面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面參數(shù)方程繪制圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面（見圖7-4b），MATLAB命令如下：clearr=linspace(0,pi,100);t=linspace(0,2*pi,100);[r,t]=meshgrid(r,t);X=r.*cos(t);Y=r.*sin(t);Z=sqrt(r).*sin(r).^2;mesh(X,Y,Z)

圖7-4b旋轉(zhuǎn)曲面8.1隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量有離散型和連續(xù)型兩種．8.1.1離散型隨機(jī)變量

離散型隨機(jī)變量的概率規(guī)律可以用分布律和分布函數(shù)來描述．定義8.1

設(shè)離散型隨機(jī)變量X取值xk時的概率為，則稱X的所有取值及取值的概率為離散型隨機(jī)變量X的分布律，記作P{X=xk}=pk，k=1,2,?也可列表如表8-1所示．pkk=1,2,?

定義8.2設(shè)X是隨機(jī)變量，x為任意實數(shù)，則稱函數(shù)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，記作

.離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為常見的離散型分布：1.二項分布B(n,p)

若離散型隨機(jī)變量X的分布律為

其中0＜p＜1，則稱X服從二項分布，記作.2.泊松分布若離散型隨機(jī)變量X的分布律為其中λ＞0，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記作

泊松分布描述了大量試驗中，稀有事件（即概率較小事件）出現(xiàn)次數(shù)的概率分布.例如，操作系統(tǒng)出現(xiàn)故障的次數(shù)、商店中貴重商品出售的件數(shù)、布匹上的瑕疵點數(shù)等，一般可以看作服從泊松分布．8.1.2連續(xù)型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率特征，主要用概率密度函數(shù)和分布函數(shù)來描述.

定義8.3設(shè)X是在實數(shù)域或區(qū)間上連續(xù)取值的隨機(jī)變量，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x).

若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使得對于任意實數(shù)x，有

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱f(x)是X的概率密度函數(shù)．常見的連續(xù)型分布：1.均勻分布若隨機(jī)變量X的概率密度為則稱隨機(jī)變量X

服從[a,b]上的均勻分布，記作.2.指數(shù)分布若隨機(jī)變量X的概率密度為

其中

為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，記作.3.正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的概率密度為其中σ＞0，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為μ，σ的正態(tài)分布，記作.

在MATLAB中，常見的分布的函數(shù)如表8-2所示．表8-2常用的分布

對每一種分布提供5類運算功能，見表8-3．表8-3概率分布的運算功能

當(dāng)需要某一分布的某類運算功能時，將分布字符與功能字符連接起來，就得到所要的命令，例如表8-4．表8-4常用的概率密度函數(shù)例8.1繪制正態(tài)分布N(3,22)和泊松分布π(5)密度函數(shù)的圖像．解>>x=-2:0.1:8;

>>y=normpdf(x,3,2);

>>plot(x,y,'+')

>>x=0:15;

>>y=poisspdf(x,5);

>>plot(x,y,'+')正態(tài)分布和泊松分布密度函數(shù)的圖像分別如圖8-1a和8-1b所示．a(chǎn)b圖8-1密度函數(shù)圖像例8.2求二項分布B(20,0.2)和泊松分布P(6)的期望和方差．解>>[M,V]=binostat(20,0.2)M=4V=3.2000>>[M,V]=poisstat(6)M=6V=6可得二項分布B(20,0.2)的期望和方差分別為4、3.2；泊松分布P(6)的期望和方差分別為6、6．

例8.3某一急救中心在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救次數(shù)服從參數(shù)為t/2的泊松分布，而與時間間隔的起點無關(guān)（時間以小時計），求：（1）在某一天中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；（2）某一天中午12時至下午5時至少收到1次緊急呼救的概率．解本題計算需調(diào)用函數(shù)poisscdf，格式為poisscdf(x,λ)，返回（1）>>P1=poisscdf(0,3/2)P1=0.2231可知中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率為0.2231．（2）>>P2=1-poisscdf(0,5/2)P2=0.9179可知中午12時至下午5時至少收到1次緊急呼救的概率為0.9179．8.2隨機(jī)數(shù)常用的生成隨機(jī)數(shù)的命令及調(diào)用格式如下：①

rand(m,n)生成(0,1)上均勻分布的m行n列隨機(jī)數(shù)矩陣②

randn(m,n)生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的m行n列隨機(jī)數(shù)矩陣③

randperm(N)生成1，2，...，N的一個隨機(jī)排列④

random(‘name’,A1,A2,A3,m,n)生成以A1，A2，A3為參數(shù)的m行n列隨機(jī)數(shù)矩陣，name指定分布類型（見表1）⑤

unidrnd(N,m,n)生成1，2，...，N的等概率m行n列隨機(jī)數(shù)矩陣⑥

binornd(k,p,m,n)生成參數(shù)為k,p的m行n列隨機(jī)數(shù)矩陣⑦

unifrnd(a,b,m,n)生成[a,b]區(qū)間上連續(xù)型均勻分布m行n列隨機(jī)數(shù)矩陣⑧

normrnd(mu,sigma,m,n)生成均值為mu，標(biāo)準(zhǔn)差為sigma的m行n列正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)矩陣⑨

perms(1:n)生成一個1，2，...，n的全排列，共n!個例8.4生成隨機(jī)矩陣．>>rand(1)%生成一個(0,1)間的隨機(jī)數(shù)ans=0.8853>>rand(2,2)%生成一個2×2階(0,1)間的隨機(jī)數(shù)矩陣ans=0.64830.09530.46630.9678>>randperm(5)%生成一個1~5的隨機(jī)整數(shù)排列ans=23514例8.5產(chǎn)生一個3行4列均值為2，標(biāo)準(zhǔn)差為0.3的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)．解>>y=random('norm',2,0.3,3,4)y=1.94782.05841.42321.65751.81542.66891.99362.10461.80292.31571.60962.1730

解>>p1=normcdf(6,4,3)-normcdf(3,4,3)p1=0.3781>>p2=1-normcdf(3,4,3)p2=0.6306可得P{3<X<6}=0.3781，P{X>3}=0.6306．例8.7隨機(jī)投擲均勻硬幣，觀察國徽朝上與國徽朝下的頻率．

在命令行窗口調(diào)用fun87(3000)，fun87(5000)，……，fun87(10000000)得到結(jié)果如表8-5所示．表8-5國徽朝上與國徽朝下的頻率

8.3統(tǒng)計量的數(shù)字特征

8.3.1統(tǒng)計圖常用的統(tǒng)計作圖命令調(diào)用格式如下：①

histogram(X,nbins)基于

X

創(chuàng)建直方圖,用正整數(shù)

nbins

指定bin數(shù)目.②

polarhistogram(theta,nbins)在極坐標(biāo)中創(chuàng)建一個直方圖，theta指定弧度值,用正整數(shù)

nbins

指定bin數(shù)目.③

boxplot(x)

創(chuàng)建

x

中數(shù)據(jù)的箱線圖.如果

x

是向量，

boxplot

繪制一個箱子.如果

x

是矩陣，boxplot

為

x

的每列繪制一個箱子.

例8.8生成10000個隨機(jī)數(shù)并創(chuàng)建直方圖；創(chuàng)建由介于0和2之間的值組成的向量，生成一個直方圖，該直方圖顯示劃分為六個bin的數(shù)據(jù)．解>>x=randn(10000,1);>>h=histogram(x)>>theta=[0.11.15.43.42.34.53.23.45.62.32.13.50.66.1];>>polarhistogram(theta,6)得到圖形如圖8-2所示.圖8-2直方圖

例8.9兩個教學(xué)班各30名同學(xué)，在數(shù)學(xué)課程上，A班用新教學(xué)方法組織教學(xué)，B班用傳統(tǒng)方法組織教學(xué)，現(xiàn)得期末考試成績?nèi)缦拢篈：82，92，77，62，70，36，80，100，74，64，63，56，72，78，68，65，72，70，58，92，79，92，65，56，85，73，61，71，42，89B：57，67，64，54，77，65，71，58，59，69，67，84，63，95，81，46，49，60，64，66，74，55，58，63，65，68，76，72，48，72在同一坐標(biāo)軸上畫box圖，并對兩個班的成績進(jìn)行初步的分析比較．解clearx=[82,92,77,62,70,36,80,100,74,64,63,56,72,78,68,65,72,70,58,92,79,92,65,56,85,73,61,71,42,89;57,67,64,54,77,65,71,58,59,69,67,84,63,95,81,46,49,60,64,66,74,55,58,63,65,68,76,72,48,72]';boxplot(x)得到圖形如圖8-3所示．圖8-3箱線圖

從圖中直觀地看出，兩個班成績的分布是正態(tài)（對稱）的，A班成績較為分散（方差大），B班成績則較集中（方差?。?A班成績明顯高于B班（均值比較.并且A班25%低分段上限接近B班中值線，A班中值線接近B班25%高分段下限）.A班的平均成績約為70分（中值），B班約為65分（中值）．A班有一名同學(xué)的成績過低（離群），而B班成績優(yōu)秀的只有一人（離群）．（1）表示位置的統(tǒng)計量—平均值和中位數(shù)平均值（簡稱均值）描述數(shù)據(jù)取值的平均位置，記作

中位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排序后位于中間位置的那個數(shù)值．Matlab中mean(x)返回x的均值，median(x)返回中位數(shù)．8.3.2

統(tǒng)計量

假設(shè)有一個容量為n

的樣本（即一組數(shù)據(jù)），記作

需要對它進(jìn)行一定的加工，才能提出有用的信息，用作對總體（分布）參數(shù)的估計和檢驗．統(tǒng)計量就是加工出來的、反映樣本數(shù)量特征的函數(shù)，它不含任何未知量．下面我們介紹幾種常用的統(tǒng)計量．（2）表示變異程度的統(tǒng)計量—標(biāo)準(zhǔn)差、方差和極差標(biāo)準(zhǔn)差s定義為

它是各個數(shù)據(jù)與均值偏離程度的度量，這種偏離不妨稱為變異．方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2．極差是

的最大值與最小值之差．Matlab中std(x)返回x的標(biāo)準(zhǔn)差，var(x)返回方差，range(x)返回極差．其他常見數(shù)學(xué)特征函數(shù)見表8-6.表8-6其他常見數(shù)學(xué)特征函數(shù)函數(shù)名稱函數(shù)名稱min(x)最小值nanmin(x)忽略樣本中非數(shù)求最小值max(x)最大值nanmax(x)忽略樣本中非數(shù)求最大值sum(x)元素的總和trimmean(x,p)剔除上下各(p/2)%數(shù)據(jù)后均值moment(x,n)樣本n階中心矩range(x)樣本最大值與最小值之差skewness(x)樣本偏度kurtosis(x)樣本峰度例8.10函數(shù)max和min的使用．解>>A=magic(4)A=16231351110897612414151>>max(A)%默認(rèn)求矩陣A各列元素的最大值ans=16141513>>max(max(A))%求矩陣A的最大值ans=16>>max(A,[],2)%求矩陣A各行元素的最大值ans=16111215>>[C,I]=min(A)%求矩陣A的最小值并返回下標(biāo)C=4231I=4114例8.11

學(xué)校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測量他們的身高和體重，所得數(shù)據(jù)如表8-7．解數(shù)據(jù)輸入通常有兩種方法，一種是在交互環(huán)境中直接輸入，如果在統(tǒng)計中數(shù)據(jù)量比較大，這樣作不太方便；另一種辦法是先把數(shù)據(jù)寫入一個純文本數(shù)據(jù)文件data.txt中，格式如表8-7，有20行、10列，數(shù)據(jù)列之間用空格鍵或Tab鍵分割，該數(shù)據(jù)文件data.txt存放在matlab\work子目錄下，在Matlab中用load命令讀入數(shù)據(jù)．身高體重身高體重身高體重身高體重身高體重17275171621666216055155571735816655170631675317360178601737316347165661706016350172571826317159177641695516867168651756717664168501614916963171611786417766170581736717259170621725917758176681756818470169641655216459173741726916952173571736116670163571705616065165581776616963176601776717256165561664917165169621705817264169581677217576164591666316954167541796217663182691867716676169721735916965171711674716865165641685717657170571585116562172531696616958172501625217575174661676316650174641686217059表8-7學(xué)校100名學(xué)生的身高和體重clcloaddata.txthigh=data(:,1:2:9);high=high(:);%將身高數(shù)據(jù)存儲在high中weight=data(:,2:2:10);weight=weight(:);%將體重數(shù)據(jù)存儲在weight中shuju=[highweight];jun_zhi=mean([highweight])zhong_wei_shu=median(shuju)biao_zhun_cha=std(shuju)ji_cha=range(shuju)pian_du=skewness(s