非線性 時間序列 模型

關(guān)于非線性時間序列模型線性模型AR模型MA模型ARMA模型ARIMA模型第2頁,共32頁，星期六，2024年，5月非線性模型ARCH模型門限模型

區(qū)制轉(zhuǎn)移模型平滑轉(zhuǎn)移模型STR第3頁,共32頁，星期六，2024年，5月自回歸條件異方差（ARCH）模型

ARCH模型首先由Engle（1982）為建模英國的通貨膨脹的預(yù)報(bào)方差而引進(jìn)，用于建模時間序列變化的（條件）方差或波動性，從此這個模型被廣泛地用來建模金融和經(jīng)濟(jì)時間序列的波動率。第4頁,共32頁，星期六，2024年，5月自回歸條件異方差（ARCH）模型和其中第5頁,共32頁，星期六，2024年，5月Bollerslev(1986)引進(jìn)了廣義自回歸條件異方差（GRACH）模型其中廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型第6頁,共32頁，星期六，2024年，5月門限模型由H.Tong提出的門限自回歸（TAR）模型假定在狀態(tài)空間的不同區(qū)域，模型有不同的線性形式，狀態(tài)空間的劃分通常由一個門限變量來描述。第7頁,共32頁，星期六，2024年，5月具有

分段的門限自回歸（TAR）模型定義為其中是一些未知的正整數(shù)，且是未知參數(shù)，構(gòu)成的一個分割，其含義是對所有的門限自回歸模型（TAR）第8頁,共32頁，星期六，2024年，5月門限自回歸模型（TAR）TAR模型的有用性歸因于逐段線性函數(shù)類實(shí)際上可以為更復(fù)雜的非線性函數(shù)提供簡單和易于操作的逼近。第9頁,共32頁，星期六，2024年，5月Markov區(qū)制轉(zhuǎn)移模型

Markov區(qū)制轉(zhuǎn)移模型最早由Hamilton（1989）提出并應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)周期階段性的轉(zhuǎn)變研究，隨后被廣泛應(yīng)用于宏觀經(jīng)濟(jì)分析和金融行為分析當(dāng)中。第10頁,共32頁，星期六，2024年，5月Markov區(qū)制轉(zhuǎn)移模型

Markov區(qū)制轉(zhuǎn)移模型能夠給出數(shù)據(jù)生成過程中結(jié)構(gòu)變化的轉(zhuǎn)移概率，并模擬出時間序列的內(nèi)生變化過程，能夠更好的模擬動態(tài)變化過程；Markov區(qū)制轉(zhuǎn)移模型能夠詳細(xì)的給出研究變量的區(qū)制和區(qū)制轉(zhuǎn)移時間，可以分階段對比政策對經(jīng)濟(jì)的作用效果。第11頁,共32頁，星期六，2024年，5月平滑轉(zhuǎn)移模型

平滑轉(zhuǎn)移模型（smoothtransitionregression）主要解決經(jīng)濟(jì)過程的機(jī)制轉(zhuǎn)化行為，將數(shù)據(jù)生成過程中的非線性信息轉(zhuǎn)換成可控制的模型機(jī)制，它可以通過選取不同的轉(zhuǎn)移變量或轉(zhuǎn)移函數(shù)形式較為準(zhǔn)確的捕捉經(jīng)濟(jì)過程中對稱與非對稱的轉(zhuǎn)換。第12頁,共32頁，星期六，2024年，5月一般的STR模型可用兩個線性模型的加權(quán)平均形式表出，權(quán)數(shù)可由某個分布函數(shù)來充當(dāng)，而轉(zhuǎn)換變量則可以控制因變量在不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換。經(jīng)典的具有m個解釋變量的STR模型可以寫成如下形式：

（1）平滑轉(zhuǎn)移模型第13頁,共32頁，星期六，2024年，5月其中，模型自變量的滯后階數(shù)可通過AIC或SIC準(zhǔn)則判斷，并綜合考慮參數(shù)估計(jì)值的T統(tǒng)計(jì)量和殘差的自相關(guān)檢驗(yàn)，從較大的階數(shù)逐一剔除。

是自變量組成的向量，既包含因變量滯后值又可以包含其他的外生解釋變量，p+k=m，平滑轉(zhuǎn)移模型第14頁,共32頁，星期六，2024年，5月

與

是兩種不同狀態(tài)下的截距項(xiàng)，與

對應(yīng)不同狀態(tài)的參數(shù)向量。

是取值范圍在0-1之間的一個連續(xù)、有界函數(shù)，起到鏈接兩個線性模型的傳遞作用，

是轉(zhuǎn)換變量，既可以是向量

的一個元素，也可以是時間趨勢、因變量的前定變量或兩者的一個線性組合，

是服從獨(dú)立同分布的誤差序列。平滑轉(zhuǎn)移模型第15頁,共32頁，星期六，2024年，5月 為了求解模型參數(shù)的方便，我們通常把一般意義下的STR模型寫成一個線性模型與一個非線性部分的和的形式：

（2）

是斜率參數(shù)在不同狀態(tài)間的差異。平滑轉(zhuǎn)移模型第16頁,共32頁，星期六，2024年，5月STR模型建模步驟一、模型的線性部分，通常采用VAR模型通過滯后階數(shù)進(jìn)行判定二、模型的非線性部分，利用LM統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆蔷€性；當(dāng)確定為非線性之后，進(jìn)行序貫檢驗(yàn)，確定轉(zhuǎn)換變量以及STR模型的形式（LSTR1或者LSTR2）。三、進(jìn)行參數(shù)估計(jì)（位置參數(shù)和平滑參數(shù)）。四、得到STR模型的具體形式后，進(jìn)行模型評價(jià)。主要包括模型的殘余非線性檢驗(yàn)，殘差的自相關(guān)性檢驗(yàn)，異方差性檢驗(yàn)以及正態(tài)性檢驗(yàn)等。第17頁,共32頁，星期六，2024年，5月平滑轉(zhuǎn)移模型根據(jù)轉(zhuǎn)換函數(shù)形式的不同，Granger和Ter?svirta把STR模型具體分為邏輯形式STR模型（LogisticSTR，LSTR）和指數(shù)形式的STR模型（ExponentialSTR，ESTR）兩大類。第18頁,共32頁，星期六，2024年，5月平滑轉(zhuǎn)移模型在LSTR模型中，轉(zhuǎn)換函數(shù)被認(rèn)為是服從邏輯函數(shù)的形式：

（3）

而在ESTR模型中，轉(zhuǎn)換函數(shù)又可以采用指數(shù)函數(shù)的形式：

（4）第19頁,共32頁，星期六，2024年，5月以上兩式中的c可以認(rèn)為是在兩個狀態(tài)之間發(fā)生轉(zhuǎn)換的臨界值，用來確定狀態(tài)轉(zhuǎn)換發(fā)生的時間，

是平滑參數(shù)，當(dāng)

很大時，轉(zhuǎn)換變量相對于臨界值很小的變化都能導(dǎo)致劇烈的狀態(tài)轉(zhuǎn)換，當(dāng)其趨于無窮時，

取值在臨界值c周圍的變化是瞬時的，當(dāng)

時，上述兩種非線性模型的非線性部分消失，變?yōu)橐粋€線性模型。平滑轉(zhuǎn)移模型第20頁,共32頁，星期六，2024年，5月LSTR轉(zhuǎn)換函數(shù)和ESTR轉(zhuǎn)換函數(shù)的區(qū)別 LSTR轉(zhuǎn)換函數(shù)隨

的增加而單調(diào)遞增，

在超過

或沒超過臨界值c時有不對稱的動態(tài)行為，只要

大于c，其對因變量

的影響就是持久的；但在ESTR模型轉(zhuǎn)換函數(shù)中，

當(dāng)

在臨界值周圍運(yùn)動時呈對稱分布，

越靠近c(diǎn)，

越逼近于0，

越遠(yuǎn)離c，

越向1靠近，也就是說此時

在不同的狀態(tài)中有相同的動態(tài)行為但在臨界值附近卻有不同的動態(tài)過程，

對

并沒有長期的影響。第21頁,共32頁，星期六，2024年，5月平滑轉(zhuǎn)移模型在對STR模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)之前，我們需要知道一個經(jīng)濟(jì)行為是否可以用STR模型去擬合，即首先要檢驗(yàn)非線性的STR模型設(shè)定是否正確。Luukkonen和Saikkonen等（1988）提出可以將轉(zhuǎn)換函數(shù)用適當(dāng)?shù)奶├占墧?shù)展開式近似替代，同時使用漸進(jìn)服從

分布的LM統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木€性和非線性性質(zhì)，LM統(tǒng)計(jì)量可以用于檢驗(yàn)特定的非線性類型，這有助于我們選擇具體的非線性函數(shù)。第22頁,共32頁，星期六，2024年，5月平滑轉(zhuǎn)移模型Ter?svirta（1994）提出了一個通常可以檢驗(yàn)STR模型框架的構(gòu)想，這種方法也可用于確定序列能否被模型化為最優(yōu)的LSTR模型或ESTR模型。這個檢驗(yàn)基于（2）式模型轉(zhuǎn)換函數(shù)的三階泰勒展開。第23頁,共32頁，星期六，2024年，5月

假定正確設(shè)定的模型應(yīng)該是LSTR形式的，

現(xiàn)將

寫為：

（5）

當(dāng)線性原假設(shè)成立，即

時，

也成立，現(xiàn)求

在

為0附近的三階泰勒展開最后可得

（6）平滑轉(zhuǎn)移模型第24頁,共32頁，星期六，2024年，5月

其中，

是m維的系數(shù)向量，為泰勒展開的余項(xiàng)，在線性零假設(shè)成立時

恒為零，所以這個余項(xiàng)不影響零假設(shè)成立時殘差的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，也就不會影響統(tǒng)計(jì)量的分布。平滑轉(zhuǎn)移模型第25頁,共32頁，星期六，2024年，5月檢驗(yàn)原模型（2）的線性原假設(shè)

就相當(dāng)于檢驗(yàn)輔助回歸（6）式中而備擇假設(shè)此時變?yōu)?/p>

。同理，當(dāng)進(jìn)行ESTR形式的模型設(shè)定檢驗(yàn)的時候，只要令轉(zhuǎn)換函數(shù)如下即可 將轉(zhuǎn)換函數(shù)帶入到（2）式后可得簡化形為：

（7）平滑轉(zhuǎn)移模型第26頁,共32頁，星期六，2024年，5月整個檢驗(yàn)過程按照下面的步驟進(jìn)行：第一步：建立

對帶有截距

項(xiàng)的最優(yōu)線性模型，并計(jì)算殘差

和殘差平方

和

。第二步：以

為因變量，對

，

，

進(jìn)行有截距的回歸，計(jì)算此時的殘差平方和

。平滑轉(zhuǎn)移模型第27頁,共32頁，星期六，2024年，5月第三步：計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量，檢驗(yàn)線性零假設(shè)

。在轉(zhuǎn)換變量

服從平穩(wěn)時間序列時，如下結(jié)論成立：平滑轉(zhuǎn)移模型第28頁,共32頁，星期六，2024年，5月

第四步：若上一步的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了原假設(shè)，肯定了非線性的STR模型，接下來就要在LSTR模型和ESTR模型中進(jìn)行選擇。Ter?svirta(1998)提出了一種有效的方法，對（6）式進(jìn)行如下的序貫檢驗(yàn)，這一檢驗(yàn)具有遞歸性，原檢驗(yàn)和備擇假設(shè)分別為:平滑轉(zhuǎn)移模型第29頁,共32頁，星期六，2024年，5月平滑轉(zhuǎn)移模型若拒絕，就選擇LSTR模型，若接受但拒絕

則選擇ESTR模型，當(dāng)接受和