安徽亳州利辛縣闞疃金石中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

安徽亳州利辛縣闞疃金石中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，且，則（）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，則（）A． B． C． D．3．設(shè)向量滿足，且，則向量在向量方向上的投影為A．1 B． C． D．4．已知向量=(2，tan)，=(1，-1)，∥，則=()A．2 B．-3 C．-1 D．-35．一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為，則該正四棱錐的全面積為A．8 B．12 C．16 D．206．一元二次不等式的解集為（）A． B．C． D．7．已知中，，，，那么角等于（）A． B． C．或 D．8．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若,則（）A． B． C． D．9．已知a,b,,且,,則()A． B． C． D．10．已知是球O的球面上四點(diǎn)，面ABC,，則該球的半徑為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某個(gè)年級(jí)有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級(jí)全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為280的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為____________.12．如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，為中點(diǎn)，則______.13．在銳角△中，，，，則________14．已知一組數(shù)據(jù)、、、、、，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為__________.15．設(shè)，，則______．16．福利彩票“雙色球”中紅色球由編號(hào)為01，02，…，33的33個(gè)個(gè)體組成，某彩民利用下面的隨機(jī)數(shù)表（下表是隨機(jī)數(shù)表的第一行和第二行）選取6個(gè)紅色球，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表中第1行的第6列和第7列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第3個(gè)紅色球的編號(hào)為______.49544354821737932328873520564384263491645724550688770474476721763350258392120676三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖是某神奇“黃金數(shù)學(xué)草”的生長(zhǎng)圖．第1階段生長(zhǎng)為豎直向上長(zhǎng)為1米的枝干，第2階段在枝頭生長(zhǎng)出兩根新的枝干，新枝干的長(zhǎng)度是原來(lái)的，且與舊枝成120°，第3階段又在每個(gè)枝頭各長(zhǎng)出兩根新的枝干，新枝干的長(zhǎng)度是原來(lái)的，且與舊枝成120°，……，依次生長(zhǎng)，直到永遠(yuǎn)．（1）求第3階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度；（2）求第13階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度；18．如圖，三棱柱的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，且.（1）求證：；（2）若，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，求三棱錐的體積.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）試寫出數(shù)列的任意前后兩項(xiàng)（即、）構(gòu)成的等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：.20．扇形AOB中心角為，所在圓半徑為，它按如圖(Ⅰ)(Ⅱ)兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF．(1)矩形CDEF的頂點(diǎn)C、D在扇形的半徑OB上，頂點(diǎn)E在圓弧AB上，頂點(diǎn)F在半徑OA上，設(shè)；(2)點(diǎn)M是圓弧AB的中點(diǎn)，矩形CDEF的頂點(diǎn)D、E在圓弧AB上，且關(guān)于直線OM對(duì)稱，頂點(diǎn)C、F分別在半徑OB、OA上，設(shè)；試研究(1)(2)兩種方式下矩形面積的最大值，并說(shuō)明兩種方式下哪一種矩形面積最大？21．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，且.（1）求；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

首先根據(jù)，求得，結(jié)合角的范圍，利用平方關(guān)系，求得，利用題的條件，求得，之后將角進(jìn)行配湊，使得，利用正弦的和角公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以，所以，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式，正弦函數(shù)的和角公式，在解題的過(guò)程中，注意時(shí)刻關(guān)注角的范圍.2、D【解析】

根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可知、、成等比數(shù)列,即可得關(guān)于的等式,化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)可知,、、滿足：化簡(jiǎn)可得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

先由題中條件，求出向量的數(shù)量積，再由向量數(shù)量積的幾何意義，即可求出投影.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，故向量在向量方向上的投影?故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，熟記平面向量數(shù)量積的幾何意義即可，屬于常考題型.4、B【解析】

通過(guò)向量平行得到的值，再利用和差公式計(jì)算【詳解】向量=(2，tan)，=(1，-1)，∥故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了向量的平行，三角函數(shù)和差公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、B【解析】

先求側(cè)面三角形的斜高，再求該正四棱錐的全面積.【詳解】由題得側(cè)面三角形的斜高為，所以該四棱錐的全面積為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的邊長(zhǎng)的計(jì)算和全面積的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6、C【解析】

根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集，得到答案．【詳解】由題意，不等式，即或，解得，即不等式的解集為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

先由正弦定理求出，進(jìn)而得出角，再根據(jù)大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角確定角．【詳解】由正弦定理得：，，∴或，∵，∴，∴，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用以及大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊的三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用．8、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列片段和成等差數(shù)列，可得到，代入求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：，，，成等差數(shù)列，即：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列片段和性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)片段和成等差數(shù)列得到項(xiàng)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

利用不等式的基本性質(zhì)以及特殊值法，即可得到本題答案.【詳解】由不等式的基本性質(zhì)有，，故A正確，B不正確；當(dāng)時(shí)，，但，故C、D不正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)面，，得到三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，以三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，且長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)都在該球上，長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)就是該球的直徑，從而得到答案。【詳解】面，三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，可以以三條側(cè)棱，，為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，且長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)都在該球上，長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)就是該球的直徑，即則該球的半徑為故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的半徑的求法，本題解題的關(guān)鍵是以三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，三棱錐的外接球，即為該長(zhǎng)方體的外接球，利用長(zhǎng)方體外接球的直徑為長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、160【解析】

∵某個(gè)年級(jí)共有980人，要從中抽取280人，∴抽取比例為280980∴此樣本中男生人數(shù)為27故答案為160.考點(diǎn)：本題考查了分層抽樣的應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：掌握分層抽樣的概念是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題12、【解析】

選取為基底，根據(jù)向量的加法減法運(yùn)算，利用數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,，又，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的加法減法運(yùn)算，向量的數(shù)量積，屬于中檔題.13、【解析】

由正弦定理，可得，求得，即可求解，得到答案.【詳解】由正弦定理，可得，所以，又由△為銳角三角形，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理得應(yīng)用，其中解答中熟記正弦定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用平均數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，數(shù)據(jù)、、、、、的平均數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的計(jì)算，考查平均數(shù)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由，根據(jù)兩角差的正切公式可解得．【詳解】，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的考查．16、05【解析】

根據(jù)給定的隨機(jī)數(shù)表的讀取規(guī)則，從第一行第6、7列開始，兩個(gè)數(shù)字一組，從左向右讀取，重復(fù)的或超出編號(hào)范圍的跳過(guò)，即可.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表，排除超過(guò)33及重復(fù)的編號(hào)，第一個(gè)編號(hào)為21，第二個(gè)編號(hào)為32，第三個(gè)編號(hào)05，故選出來(lái)的第3個(gè)紅色球的編號(hào)為05.【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的隨機(jī)數(shù)表法，屬于容易題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)示意圖，計(jì)算出第階段、第階段生長(zhǎng)的高度，即可求解出第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度；（2）考慮第偶數(shù)階段、第奇數(shù)階段“黃金數(shù)學(xué)草”高度的生長(zhǎng)量之間的關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列求和完成第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度的計(jì)算.【詳解】（1）因?yàn)榈谝浑A段：，所以第階段生長(zhǎng)：，第階段的生長(zhǎng)：，所以第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為：；（2）設(shè)第個(gè)階段生長(zhǎng)的“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為，則第個(gè)階段生長(zhǎng)的“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為，第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為，所以，所以數(shù)列按奇偶性分別成公比為等比數(shù)列，所以.所以第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用，難度較難.處理數(shù)列的實(shí)際背景問(wèn)題，第一步要能從實(shí)際背景中分離出數(shù)列的模型，然后根據(jù)給定的條件處理對(duì)應(yīng)的數(shù)列計(jì)算問(wèn)題，這對(duì)分析問(wèn)題的能力要求很高.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，推導(dǎo)出，又，從而面，進(jìn)而，推導(dǎo)出，由此能得到結(jié)論；（2）由題意，可證得是二面角的平面角，進(jìn)而得，進(jìn)而計(jì)算得，進(jìn)而利用棱錐的體積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)閭?cè)面是菱形，所以，又因?yàn)椋?，所以面而平面，所以，因?yàn)?，所以，而，所以，?（2）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，由（1）可知，因?yàn)?，所以面，作，連結(jié)，由（1）知，所以且所以是二面角的平面角，依題意得，，所以，設(shè)，則，，又由，，所以由，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)角相等的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）由，可得出，兩式相減，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果；（2）令代入求出的值，再由求出的值，可驗(yàn)證和時(shí)均滿足，并假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，利用數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)出時(shí)等式也成立，綜合可得出結(jié)論.【詳解】（1）對(duì)任意的，由可得，上述兩式相減得，化簡(jiǎn)得；（2）①當(dāng)時(shí)，由可得，解得，滿足；②當(dāng)時(shí)，由于，則，滿足；③假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則有，由于，則.這說(shuō)明，當(dāng)時(shí)，等式也成立.綜合①②③，.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推公式的求解，同時(shí)也考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.20、方式一最大值【解析】

試題分析：(1)運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和差、倍角的相對(duì)性，要注意升冪、降冪的靈活運(yùn)用；（2）重視三角函數(shù)的三變：三變指變角、變名、變式；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等，適當(dāng)選擇公式進(jìn)行變形；（3）把形如化為，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值和對(duì)稱性.試題解析：解（