湖南省湘贛皖長郡十五校聯盟高三第二次聯考（全國卷）文科數學試題

湘贛皖長郡十五校聯盟2022屆高三第二次聯考（全國卷）文科數學試題一、選擇題∶本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，則A∩B＝（

）A．{－1，1} B．{1，2} C．{0，2} D．{0，1，2}2．已知復數，則z在復平面內對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知a，b∈R，則“ab＝0”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．非零向量，，滿足，與的夾角為，，則在上的投影為（

）A．－1 B． C．1 D．5．已知一圓柱的底面半徑與球的半徑均為R，且該圓柱的體積與球的體積也相等，則該圓柱的側面積為（

）A． B． C． D．6．已知，為橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，橢圓的離心率為，M為橢圓上一動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．7．已知函數，則下列函數圖象關于直線對稱的是（

）A． B．C． D．8．已知函數（A＞0，，）的部分自變量、函數值如下表所示，則函數f(x)的解析式是（

）x0π2πf(x)－21A． B．C． D．9．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果，哥德巴赫猜想的內容是：每個大于2的偶數都可以表示為兩個素數的和，例如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，那么在不超過12的素數中隨機選取兩個不同的數，其和為奇數的概率為（

）A． B． C． D．10．已知等比數列的公比為q，且，則下列選項不正確的是（

）A． B． C． D．11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則角A的最大值為（

）A． B． C． D．12．已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c二、填空題13．已知拋物線C：（a＞0）上的點到其準線的距離為3，則a＝______．14．過原點的直線與函數在上的圖象切于點，則______．15．已知函數則不等式的解集為______．16．如圖，在正方體中，M，N，P，Q分別是，，AB，的中點，給出下列四個判斷：①平面PMN；②PN與QM所成的角為60°；③點B，D到平面PMN的距離相等；④平面PMN截該正方體的截面為正六邊形．則正確的序號為______．三、解答題17．已知數列的前n項和為，正項等比數列的首項為，且．(1)求數列和的通項公式；(2)求使不等式成立的所有正整數n組成的集合．18．某學校共有2000名學生，其中女生1200人，為了解該校學生在學校的月消費情況，采取分層抽樣隨機抽取了200名學生進行調查，月消費金額分布在550～1050元之間．根據調查的結果繪制的學生在校月消費金額的頻率分布直方圖如圖所示，將月消費金額不低于850元的學生稱為“高消費群”．(1)求a的值，并估計該校學生月消費金額的平均數；（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）(2)若樣本中屬于“高消費群”的男生有10人，完成下列2×2列聯表，并判斷是否有99.9%以上的把握認為該校學生屬于“高消費群”與“性別”有關．屬于“高消費群”不屬于“高消費群”合計男女合計P（）（，其中n＝a＋b＋c＋d）19．如圖，正方體的棱長為2，E，F，G分別為棱AD，，的中點．(1)求證：平面DFG；(2)求點E到平面DFG的距離．20．已知拋物線C：（p＞0），拋物線C的焦點為F，點P在拋物線上，且的最小值為1．(1)求p；(2)設O為坐標原點，A，B為拋物線C上不同的兩點，直線OA，OB的斜率分別為，，且滿足，求｜AB｜的取值范圍．21．已知函數．(1)當0＜a≤4π時，證明：函數f(x)在定義域內遞增；(2)當a＝14時，試討論f(x)在（0，π）內極值點的個數．22．在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．曲線C的極坐標方程為(1)求曲線C與坐標軸所圍成圖形的面積；(2)已知點，在曲線C上，求△OAB面積的最大值．23．已知函數．(1)若，解不等式；(2)求證：．參考答案：1．C2．B3．B4．C5．D6．A7．C8．D9．B10．B11．A12．D13．＃＃14．15．16．①②④17．(1),(2)【解析】【分析】（1）由與的關系可求得，由等比數列的基本量，可得；（2）根據單調性及不等式的解可求解問題.(1)因為數列的前n項和為，所以當時，；當時，，滿足上式，故.所以，從而,化為，又因為數列為正項等比數列且，設公比為，且，又，解得或（舍），從而.(2)不等式轉化為，即，記，，當時，，從而單調遞減，所以.因此使不等式成立的所有正整數組成的集合為.18．(1)，平均數為元(2)列聯表見解析，有以上的把握認為該校學生屬于“高消費群”與“性別”有關．【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，解得，再根據頻率分布直方圖中平均數計算公式計算可得；（2）按照分層抽樣求出樣本中男生、女生的人數，再由頻率分布直方圖求出“高消費群”的人數，即可完善列聯表，計算出卡方，即可判斷；(1)解：由頻率分布直方圖可得，解得，所以樣本的平均數為（元）(2)解：依題意知，樣本中男生人，女生人，屬于“高消費群”的有人，列出下列列聯表：屬于“高消費群”不屬于“高消費群”合計男107080女4080120合計50150200所以，所以有以上的把握認為該校學生屬于“高消費群”與“性別”有關．19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）補全平面后結合線面平行的判定定理來證得平面.（2）結合等體積法來求得到平面的距離.(1)設是的中點，連接如下圖所示，根據正方體的性質可知，即四點共面，由于平面平面，所以平面.(2)由（1）得平面，所以到平面的距離，即到平面的距離，設為.，，，為銳角，則，所以.則.所以到平面的距離為.20．(1)(2)【解析】【分析】（1）由于，即可求得，從而得；（2）設，由得，設直線方程為，代入拋物線方程結合韋達定理得出，從而過焦點，即可求解的取值范圍．(1)因為，則，所以；(2)由（1）得，設，則則，由得，所以，設直線方程為聯立方程組得，所以則故過焦點所以．21．(1)答案見詳解；(2)2．【解析】【分析】（1）利用導數與基本不等式即可證明；（2）設，，分析單調性可得使得，使得，從而判斷在內的正負性即可判斷在內的極值點個數．(1)函數的定義域為因為，則故所以函數f(x)在定義域內遞增；(2)當時，，設，在上單調遞增，在上單調遞減，由，當時，，當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增，又因為；；故使得，且當時，則當時，又因為，故使得，且當時，，且當時，，則當時，，則當時，，所以在處取到極大值，在處取到極小值，故在內有2個極值點．22．(1)(2)【解析】【分析】（1）分和兩種情況根據將極坐標方程化為直角坐標方程，即可得到曲線的圖形，從而求出面積；（2）首先可得，再根據利用兩角和的正弦公式、二倍角公式及輔助角公式將函數化簡，再結合二次函數的性質計算可得；(1)解：當時，所以，則，即，因為，，所以，又，所以；當時，所以，則，即，因為，所以，所以，，所以；所以曲線的圖形如下所示：所以曲線與坐標軸所圍成圖形的面積為；(2)解：因為點，在曲線C上，所