高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 核心素養(yǎng)提升練十七 3.5 定積分的概念與微積分基本定理、定積分的簡單應(yīng)用 理（含解析）新人教A-新人教A高三數(shù)學(xué)試題

核心素養(yǎng)提升練十七定積分的概念與微積分基本定理、定積分的簡單應(yīng)用(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.設(shè)f(x)=若f(f(1))=1,則a= ()A.4 B.3 C.2 D.1【解析】選D.f(1)=0,又f(x)=x+3t2dt=x+a3,x≤0,則f(f(1))=f(0)=0+a3=1,解得a=1.2.曲線y=x2+2x與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為 ()A. B. C. D.【解析】選A.由可得或所以曲線y=x2+2x與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積如圖陰影部分為(x-2x-x2)dx==.3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S10=dx,則a5+a6= ()A. B.12 C.6 D.【解析】選D.S10=dx=dx+=+1-=1==5(a5+a6),得a5+a6=.4.函數(shù)f(x)=的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為 ()A. B.2 C.3 D.4【解析】選D.由題意,函數(shù)f(x)=的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為三角形面積加上一曲邊梯形面積為×2×2+2cosxdx=2+2sinx=2+2=4.5.等比數(shù)列{an}中a3=9,前3項(xiàng)和為S3=3x2dx,則公比q的值是 ()A.1 B.-C.1或- D.-1或-【解析】選C.S3=3x2dx=x3=33=27,即前三項(xiàng)和為S3=27,因?yàn)閍3=9,所以即所以=,即2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.6.如圖,四邊形OABC是邊長為2的正方形,曲線段DE所在的曲線方程為xy=1,現(xiàn)向該正方形內(nèi)拋擲1枚豆子,則該枚豆子落在陰影部分的概率為 ()A. B.C. D.【解析】選A.根據(jù)條件可知,E,陰影部分的面積為dx=(2x-lnx)=3-2ln2,所以豆子落在陰影部分的概率為.7.若函數(shù)f(x),g(x)滿足f(x)g(x)dx=0,則稱f(x),g(x)為區(qū)間[-1,1]上的一組正交函數(shù),給出三組函數(shù)①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=,g(x)=x,其中為區(qū)間[-1,1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.函數(shù)f(x),g(x)滿足f(x)g(x)dx=0,則y=f(x)·g(x)為奇函數(shù),對于①,f(x)=sinx,g(x)=cosx,所以f(x)·g(x)=sinx·cosx=sinx,為奇函數(shù),所以f(x),g(x)在區(qū)間[-1,1]上是一組正交函數(shù);對于②,f(x)=x+1,g(x)=x-1,則f(x)g(x)=(x+1)(x-1)=x2-1,為偶函數(shù),所以f(x),g(x)在區(qū)間[-1,1]上不是一組正交函數(shù);對于③:f(x)=g(x)=x,則f(x)g(x)=,為偶函數(shù),所以f(x),g(x)在區(qū)間[-1,1]上不是一組正交函數(shù).二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2018·昆明模擬)計(jì)算dx=________.

【解析】dx=dx==+ln.答案:+ln9.已知m=(cosx-x+3sin2x)dx,則的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為________.

【解析】m=(cosx-x+3sin2x)dx==2,所以=,所以Tr+1=x6-r=,由6-r=0得r=4,因此常數(shù)項(xiàng)為=.答案:10.已知直線AB:x+y-6=0與拋物線y=x2及x軸正半軸圍成的圖形為Ω,若從Rt△AOB區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M取自圖形Ω的概率為________.

【解析】由定積分可求得陰影部分圖形Ω的面積為S=x2dx+(6-x)dx=x3+(6x-x2)=,又Rt△AOB的面積為×6×6=18,所以P==.答案:(20分鐘40分)1.(5分)若S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,則S1,S2,S3的大小關(guān)系為()A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S1【解析】選B.因?yàn)镾1=x2dx=x3=×23-=,S2=dx=lnx=ln2,S3=exdx=ex=e2-e=e(e-1),因?yàn)閘n2<lne=1且<e(e-1),所以ln2<<e(e-1),即S2<S1<S32.(5分)直線x=1,x=e與曲線y=,y=圍成的面積是 ()A.(2-5) B.(2-1)C.(2-2) D.2-5【解析】選A.如圖所示,由直線x=1,x=e與曲線y=,y=圍成的陰影部分面積是3.(5分)由曲線y=x2和直線x=0,x=1,y=t2(t為常數(shù)且t∈(0,1))所圍成的圖形(陰影部分)的面積的最小值為 ()A. B. C. D.【解析】選A.由得x=t.故S=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=+=t3-t2+,令S′=4t2-2t=0,因?yàn)?<t<1,所以t=,易知當(dāng)t=時(shí),Smin=.4.(12分)設(shè)y=f(x)是二次函數(shù),方程f(x)=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,且f′(x)=2x+2. (1)求y=f(x)的表達(dá)式.(2)若直線x=-t(0<t<1)把y=f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分,求t的值.【解析】(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f′(x)=2ax+b,由已知f′(x)=2x+2,得a=1,b=2,所以f(x)=x2+2x+c.又方程x2+2x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以Δ=4-4c=0,即c=1.故f(x)=x2+2x+1.(2)依題意得(x2+2x+1)dx=(x2+2x+1)dx,所以=,整理得2t3-6t2+6t-1=0,即2(t-1)3+1=0,所以t=1-.5.(13分)已知曲線C1:y2=2x與C2:y=x2在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P.(1)求P處與曲線C2相切的直線方程. (2)求兩條曲線所圍圖形(如圖所示陰影部分)的面積S.【解析】(1)曲線C1:y2=2x與C2:y=x2在第一象限內(nèi)交點(diǎn)為P(2,2).C2:y=x2的導(dǎo)數(shù)