江西省上饒縣第二中學(xué)2024年高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

江西省上饒縣第二中學(xué)2024年高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．27 B．36 C．45 D．542．對(duì)于任意實(shí)數(shù)，下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．已知滿足：，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A．6 B．8 C．16 D．44．已知關(guān)于的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若直線與圓相切，則的值為A．1 B． C． D．6．已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為（）A． B． C． D．7．若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著，在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的.“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇?一個(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七，借問(wèn)小兒多少歲，各兒歲數(shù)要誰(shuí)推，這位公公年齡最小的兒子年齡為（）A．8歲 B．11歲 C．20歲 D．35歲9．右圖中，小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，圖中粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過(guò)作拋物線的切線，切點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)變量滿足條件，則的最小值為_(kāi)__________12．若滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_________．13．秦九韶是我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書(shū)九章》中有己知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)一為從陽(yáng)，開(kāi)平方得積.”如果把以上這段文字寫(xiě)成公式就是，其中是的內(nèi)角的對(duì)邊為.若，且，則面積的最大值為_(kāi)_______.14．某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人，高二年級(jí)有學(xué)生900人，高三年級(jí)有學(xué)生1500人，現(xiàn)按年級(jí)用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)研究，則應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取_____人．15．已知、的取值如表所示：01342.24.34.86.7從散點(diǎn)圖分析，與線性相關(guān)，且，則______．16．已知向量（1，2），（x，4），且∥，則_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．某地統(tǒng)計(jì)局調(diào)查了10000名居民的月收入，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了樣本的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求居民月收入在[3000,3500）內(nèi)的頻率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再?gòu)倪@10000中用分層抽樣的方法抽出100人做進(jìn)一步分析，則應(yīng)從月收入在[2500,3000)內(nèi)的居民中抽取多少人？18．2016年崇明區(qū)政府投資8千萬(wàn)元啟動(dòng)休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目．規(guī)劃從2017年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬(wàn)元用于此項(xiàng)目.2016年該項(xiàng)目的凈收入為5百萬(wàn)元，并預(yù)測(cè)在相當(dāng)長(zhǎng)的年份里，每年的凈收入均為上一年的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)．記2016年為第1年，為第1年至此后第年的累計(jì)利潤(rùn)（注：含第年，累計(jì)利潤(rùn)=累計(jì)凈收入﹣累計(jì)投入，單位：千萬(wàn)元），且當(dāng)為正值時(shí)，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利．（1）試求的表達(dá)式；（2）根據(jù)預(yù)測(cè)，該項(xiàng)目將從哪一年開(kāi)始并持續(xù)贏利？請(qǐng)說(shuō)明理由．19．在中，D是線段AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)，E是線段AC上靠近A的一個(gè)四等分點(diǎn)，，設(shè)，.（1）用，表示；（2）設(shè)G是線段BC上一點(diǎn)，且使，求的值.20．已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列滿足：（）．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并比較與的大小.21．已知數(shù)列的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形數(shù)陣，數(shù)陣中，每一行的第一個(gè)數(shù)，，，，…構(gòu)成等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，（1）若數(shù)陣中從第三行開(kāi)始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比相等，已知，求的值；（2）設(shè)，對(duì)任意，求及的最大值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此求得的值.【詳解】依題意，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)是任意實(shí)數(shù)，逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析即得?！驹斀狻坑深}，當(dāng)時(shí)，，則A錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，，則B錯(cuò)誤；可知，則有，因此C正確；當(dāng)時(shí)，有，可知C錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查判斷正確命題，是基礎(chǔ)題。3、D【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合，利用z的幾何意義，即得。【詳解】由題得，不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，中z表示函數(shù)在y軸的截距，由圖易得，當(dāng)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)z取到最大值，A點(diǎn)坐標(biāo)為，因此目標(biāo)函數(shù)的最大值為4.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，是基礎(chǔ)題。4、C【解析】

由題意得出關(guān)于的不等式的解集為，由此得出或，在成立時(shí)求出實(shí)數(shù)的值代入不等式進(jìn)行驗(yàn)證，由此解不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知，關(guān)于的不等式的解集為.（1）當(dāng)，即．當(dāng)時(shí)，不等式化為，合乎題意；當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，其解集不為，不合乎題意；（2）當(dāng)，即時(shí)．關(guān)于的不等式的解集為.，解得．綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式在上恒成立問(wèn)題，求解時(shí)根據(jù)二次函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)和判別式的符號(hào)列不等式組進(jìn)行求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.5、D【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離，即，解得，故選D.6、B【解析】由解得為函數(shù)的定義域.令，消去得，圖像為橢圓的一部分，如下圖所示.，即直線，由圖可知，截距在點(diǎn)處取得最小值，在與橢圓相切的點(diǎn)處取得最大值.而，故最小值為.聯(lián)立，消去得，其判別式為零，即，解得（負(fù)根舍去），即，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有兩個(gè)根號(hào)的函數(shù)怎樣求最大值和最小值.先用換元法，將原函數(shù)改寫(xiě)成為一次函數(shù)的形式.然后利用和的關(guān)系，得到的可行域，本題中可行域?yàn)闄E圓在第一象限的部分.然后利用，用截距的最大值和最小值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.7、C【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)列不等式，根據(jù)一元二次不等式恒成立時(shí)，判別式和開(kāi)口方向的要求列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由得，即恒成立，由于時(shí)，在上不恒成立，故，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查一元二次不等式恒成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

九個(gè)兒子的年齡成等差數(shù)列，公差為1．【詳解】由題意九個(gè)兒子的年齡成等差數(shù)列，公差為1．記最小的兒子年齡為a1，則S9=9故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵正確理解題意，能用數(shù)列表示題意并求解．9、D【解析】

由三視圖可知，該幾何體為棱長(zhǎng)為2的正方體截去一個(gè)三棱錐，由正方體的體積減去三棱錐的體積求解．【詳解】根據(jù)三視圖，可知原幾何體如下圖所示，該幾何體為棱長(zhǎng)為的正方體截去一個(gè)三棱錐，則該幾何體的體積為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體三視圖的應(yīng)用問(wèn)題以及幾何體體積的求法，關(guān)鍵是根據(jù)三視圖還原原來(lái)的空間幾何體，是中檔題．10、C【解析】由題意，得，設(shè)過(guò)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立，，令，解得，即，不妨設(shè)，由雙曲線的定義得，，則該雙曲線的離心率為.故選C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-1【解析】

根據(jù)線性規(guī)劃的基本方法求解即可.【詳解】畫(huà)出可行域有：因?yàn)?根據(jù)當(dāng)直線縱截距最大時(shí),取得最小值.由圖易得在處取得最小值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃的基本運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

作出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知當(dāng)時(shí)，.【詳解】不等式組表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，如下圖所示，目標(biāo)函數(shù)的最大值必在頂點(diǎn)處取得，易知當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題是高考中?？伎键c(diǎn)，主要以選擇及填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值，主要結(jié)合方式有：截距型、斜率型、距離型等.13、【解析】

根據(jù)正弦定理和余弦定理，由可得，再由及函數(shù)求最值的知識(shí)，即可求解.【詳解】，又，，時(shí)，面積的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.14、1．【解析】

先求得高三學(xué)生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學(xué)生占的比例為，所以應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)表求解出，代入回歸直線，求得的值.【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得：，又由回歸方程知回歸方程的斜率為截距本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用回歸直線求實(shí)際數(shù)據(jù)，關(guān)鍵在于明確回歸直線恒過(guò)，從而可構(gòu)造出關(guān)于的方程.16、．【解析】

根據(jù)求得，從而可得，再求得的坐標(biāo)，利用向量模的公式，即可求解.【詳解】由題意，向量，則，解得，所以，則，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行關(guān)系的應(yīng)用，以及向量的減法和向量的模的計(jì)算，其中解答中熟記向量的平行關(guān)系，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）0.15（2）2400（3）25人【解析】

(1)由頻率分布直方圖計(jì)算可得月收入在[3000,3500）內(nèi)的頻率；(2)分別計(jì)算小長(zhǎng)方形的面積值，利用中位數(shù)的特點(diǎn)即可確定中位數(shù)的值；(3)首先確定10000人中月收入在[2500,3000]內(nèi)的人數(shù)，然后結(jié)合分層抽樣的特點(diǎn)可得應(yīng)抽取的人數(shù).【詳解】（1）居民月收入在[3000,3500]內(nèi)的頻率為（2）因?yàn)?，，，，所以樣本?shù)據(jù)的中位數(shù)為.（3）居民月收入在[2500,3000]內(nèi)的頻率為，所以這10000人中月收入在[2500,3000]內(nèi)的人數(shù)為.從這10000人中用分層抽樣的方法抽出100人，則應(yīng)從月收入在[2500,3000]內(nèi)的居民中抽取(人).【點(diǎn)睛】利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí)，應(yīng)注意三點(diǎn)：①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.18、(1)；（2）.【解析】試題分析：（1）由題意知，第一年至此后第年的累計(jì)投入為（千萬(wàn)元），第年至此后第年的累計(jì)凈收入為，利用等比數(shù)列數(shù)列的求和公式可得；（2）由，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.試題解析：（1）由題意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累計(jì)投入為8+2（n﹣1）=2n+6（千萬(wàn)元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累計(jì)凈收入為+×+×+…+×=（千萬(wàn)元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千萬(wàn)元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣2]，∴當(dāng)n≤3時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＜1，故當(dāng)n≤2時(shí)，f（n）遞減；當(dāng)n≥2時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＞1，故當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）遞增．又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．∴該項(xiàng)目將從第8年開(kāi)始并持續(xù)贏利．答：該項(xiàng)目將從2123年開(kāi)始并持續(xù)贏利；方法二：設(shè)f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），則f′（x）=，令f'（x）=1，得=≈=5，∴x≈2．從而當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f'（x）＜1，f（x）遞減；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞1，f（x）遞增．又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．∴該項(xiàng)目將從第8年開(kāi)始并持續(xù)贏利．答：該項(xiàng)目將從2123年開(kāi)始并持續(xù)贏利．19、（1）（2）【解析】

（1）依題意可得、，再根據(jù)，計(jì)算可得；（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，由因?yàn)椋源嬖趯?shí)數(shù)，使，再根據(jù)向量相等的充要條件得到方程組，解得即可；【詳解】解：（1）因?yàn)镈是線段AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以.因?yàn)镋是線段AC上靠近A的一個(gè)四等分點(diǎn)，所以，所以.因?yàn)?，所以，則.又，.所以.（2）因?yàn)镚是線段BC上一點(diǎn)，所以存在實(shí)數(shù)，使得，則因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使，即，整理得解得，故.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算及平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于中檔題.20、（1）見(jiàn)證明；（2）見(jiàn)解析【解析】

(1)將原式變形為，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）根據(jù)第一問(wèn)得到，錯(cuò)位相減得到結(jié)果.【詳解】（1）由條件得，易知，兩邊同除以得，又，故數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為.（2）由（1）知，則……①……②兩式相減得即.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見(jiàn)的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式