2024屆廣東省汕頭潮陽區(qū)高一下數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆廣東省汕頭潮陽區(qū)高一下數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在等差數(shù)列中，若，則（）A．10 B．15 C．20 D．252．設(shè)是△所在平面上的一點，若，則的最小值為A． B． C． D．3．已知向量，，則與夾角的大小為（）A． B． C． D．4．在中，若為等邊三角形（兩點在兩側(cè)），則當(dāng)四邊形的面積最大時，（）A． B． C． D．5．如圖，A，B是半徑為1的圓周上的定點，P為圓周上的動點，∠APB是銳角，大小為.圖中△PAB的面積的最大值為（）A．+sin2 B．sin+sin2C．+sin D．+cos6．設(shè)為中的三邊長，且，則的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知正方體中，、分別為，的中點，則異面直線和所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的的值為（）A． B． C． D．9．已知向量，則與夾角的大小為()A． B． C． D．10．函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（）．A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量a=1,2，b=2,-2，c=12．已知數(shù)列的首項，其前項和為，且，若單調(diào)遞增，則的取值范圍是__________．13．已知向量a=(2,-4)，b=(-3,-4)，則向量a與14．若直線始終平分圓的周長，則的最小值為________15．67是等差數(shù)列-5，1，7，13，……中第項，則___________________．16．已知向量，的夾角為°，，，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點D是AB的中點．求證：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面CDB1.18．設(shè)數(shù)列的前項和為,已知（Ⅰ）求,并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．19．已知圓與軸交于兩點，且（為圓心），過點且斜率為的直線與圓相交于兩點（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）若，求的取值范圍；（Ⅲ）若向量與向量共線（為坐標(biāo)原點），求的值20．為了了解某省各景區(qū)在大眾中的熟知度，隨機(jī)從本省歲的人群中抽取了人，得到各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示，現(xiàn)讓他們回答問題“該省有哪幾個國家級旅游景區(qū)？”，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：組號分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第組第組第組第組第組（1）分別求出的值；（2）從第組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取人，求第組每組抽取的人數(shù)；（3）在（2）中抽取的人中隨機(jī)抽取人，求所抽取的人中恰好沒有年齡段在的概率21．若是各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和，且．（1）求，的值；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，得到，又由，代入即可求解，得到答案.【詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，又由，故選C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題，.2、C【解析】分析：利用向量的加法運算，設(shè)的中點為D，可得，利用數(shù)量積的運算性質(zhì)可將原式化簡為，為AD中點，從而得解.詳解：由，可得.設(shè)的中點為D，即.點P是△ABC所在平面上的任意一點，為AD中點.∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即點與點重合時，有最小值.故選C.點睛：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．3、D【解析】

根據(jù)向量，的坐標(biāo)及向量夾角公式，即可求出，從而根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【詳解】向量，，則；∴；∵0≤<a，b>≤π；∴<a,b>=.故選：D.【點睛】本題考查數(shù)量積表示兩個向量的夾角，已知向量坐標(biāo)代入夾角公式即可求解，屬于常考題型，屬于簡單題.4、A【解析】

求出三角形的面積，求出四邊形的面積，運用三角函數(shù)的恒等變換和正弦函數(shù)的值域，求出滿足條件的角的值即可．【詳解】設(shè)，，，是正三角形，，由余弦定理得：，，時，四邊形的面積最大，此時．故選A．【點睛】本題考查余弦定理和三角形的面積公式，考查兩角的和差公式和正弦函數(shù)的值域，考查化簡運算能力，屬于中檔題．5、B【解析】

由正弦定理可得，，則，，當(dāng)點在的中垂線上時，取得最大值，此時的面積最大，求解即可.【詳解】在中，由正弦定理可得，，則.，當(dāng)點在的中垂線上時，取得最大值，此時的面積最大.取的中點，過點作的垂線，交圓于點，取圓心為，則（為銳角），.所以的面積最大為.故選B.【點睛】本題考查了三角形的面積的計算、正弦定理的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的化簡，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由，則，再根據(jù)三角形邊長可以證得，再利用不等式和已知可得，進(jìn)而得到，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，即可求解．【詳解】由題意，記，又由，則，又為△ABC的三邊長，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨設(shè)，且為的三邊長，所以．令，則，當(dāng)時，可得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選B．【點睛】本題主要考查了解三角形，綜合了函數(shù)和不等式的綜合應(yīng)用，以及基本不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于綜合性較強的題，難度較大，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于難題．7、A【解析】

連接,則，所以為所求的角．【詳解】連結(jié)，，因為、分別為，的中點，所以，則為所求的角，設(shè)正方體棱長為1，則，，，三角形AD1B為直角三角形，,選擇A【點睛】本題主要考查了異面直線所成的夾角;求異面直線的夾角，通常把其中一條直線平移到和另外一條直線相交即得異面直線所成的角．屬于中等題．8、D【解析】由題意，當(dāng)輸入，則；；；，終止循環(huán)，則輸出，所以，故選D.9、D【解析】

。分別求出，，，利用即可得出答案.【詳解】設(shè)與的夾角為故選：D【點睛】本題主要考查了求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用f（﹣1）與f（1）函數(shù)值的大小，通過零點存在性定理判斷即可【詳解】函數(shù)f（x）＝2x+3x是增函數(shù)，f（﹣1）＝＜1，f（1）＝1+1＝1＞1，可得f（﹣1）f（1）＜1．由零點存在性定理可知：函數(shù)f（x）＝2x+3x的零點所在的一個區(qū)間（﹣1，1）．故選：B．【點睛】本題考查零點存在性定理的應(yīng)用，考查計算能力，注意函數(shù)的單調(diào)性的判斷．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計算即可．【詳解】由題可得2∵c//∴4λ-2=0故答案為1【點睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】由可得：兩式相減得：兩式相減可得：數(shù)列，，...是以為公差的等差數(shù)列，數(shù)列，，...是以為公差的等差數(shù)列將代入及可得：將代入可得要使得，恒成立只需要即可解得則的取值范圍是點睛：本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系求通項，在含有的條件中，利用來求通項，本題利用減法運算求出數(shù)列隔一項為等差數(shù)列，結(jié)合和數(shù)列為增數(shù)列求出結(jié)果，本題需要利用條件遞推，有一點難度．13、5【解析】

先求出a?b，再求【詳解】由題得a所以向量a與b夾角的余弦值為cosα=故答案為5【點睛】(1)本題主要考查向量的夾角的計算，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)求兩個向量的夾角一般有兩種方法,方法一：cos<a,b>=a·bab,方法二：設(shè)a=(x1,y14、9【解析】

平分圓的直線過圓心，由此求得的等量關(guān)系式，進(jìn)而利用基本不等式求得最小值.【詳解】由于直線始終平分圓的周長，故直線過圓的圓心，即，所以.【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查利用基本不等式求最小值，屬于基礎(chǔ)題.15、13【解析】

根據(jù)數(shù)列寫出等差數(shù)列通項公式,再令算出即可.【詳解】由題意,首項為-5,公差為,則等差數(shù)列通項公式,令,則故答案為：13.【點睛】等差數(shù)列首項為公差為,則通項公式16、1【解析】

把向量，的夾角為60°，且，，代入平面向量的數(shù)量積公式，即可得到答案．【詳解】由向量，的夾角為°，且，，則.故答案為1【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，直接考查公式本身的直接應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）由勾股定理可證得為直角三角形即可證得，由直棱柱可知面，可證得，根據(jù)線面垂直的判定定理可證得面，從而可得．（2）設(shè)與的交點為，連結(jié)，由中位線可證得，根據(jù)線面平行的判定定理可證得平面．試題解析：證明：（1）證明：，，為直角三角形且，即．又∵三棱柱為直棱柱，面，面，，，面，面，．（2）設(shè)與的交點為，連結(jié)，是的中點，是的中點，．面，面，平面．考點：1線線垂直，線面垂直；2線面平行．18、（1），；（2）．【解析】試題分析：本題主要考查由求、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式、錯位相減法等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．第一問，由求，利用，分兩部分求和，經(jīng)判斷得數(shù)列為等比數(shù)列；第二問，結(jié)合第一問的結(jié)論，利用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式，計算化簡．試題解析：（Ⅰ）時所以時，是首項為、公比為的等比數(shù)列，，．（Ⅱ）錯位相減得:．考點：求、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式、錯位相減法．19、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）由圓的方程得到圓心坐標(biāo)和；根據(jù)、為等腰直角三角形可知，從而得到，解方程求得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線方程為；利用點到直線距離公式求得圓心到直線距離；由垂徑定理可得到，利用可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（Ⅲ）直線方程與圓方程聯(lián)立，根據(jù)直線與圓有兩個交點可根據(jù)得到的取值范圍；設(shè)，，利用韋達(dá)定理求得，并利用求得，即可得到；利用向量共線定理可得到關(guān)于的方程，解方程求得滿足取值范圍的結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由圓得：圓心，由題意知，為等腰直角三角形設(shè)的中點為，則也為等腰直角三角形，解得：（Ⅱ）設(shè)直線方程為：則圓心到直線的距離：由，，可得：，解得：的取值范圍為：（Ⅲ）聯(lián)立直線與圓的方程：消去變量得：設(shè)，，由韋達(dá)定理得：且，整理得：解得：或，與向量共線，，解得：或不滿足【點睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，涉及到圓的方程的求解、垂徑定理的應(yīng)用、平面向量共線定理的應(yīng)用；求解直線與圓位置關(guān)系綜合應(yīng)用類問題的常用方法是靈活應(yīng)用圓心到直線的距離、直線與圓方程聯(lián)立，韋達(dá)定理構(gòu)造方程等方法，屬于?？碱}型.20、（1），，，；（2）分邊抽取2,3,1人；（3）.【解析】

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)表和頻率分布直方圖可計算得到第組的人數(shù)和頻率，從而可得總?cè)藬?shù)；根據(jù)總數(shù)、頻率和頻數(shù)的關(guān)系，可分別計算得到所求結(jié)果；（2）首先確定第組的總?cè)藬?shù)，根據(jù)分層抽樣原則計算即可得到結(jié)果；（3）首先計算得到基本事件總數(shù)；再計算出恰好沒有年齡段在包含的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）第組的人數(shù)為：人，第組的頻率為：第一組的頻率為第一組的人數(shù)為：第二組的頻率為第二組的人數(shù)為：第三組的頻率為第三組的人數(shù)為：第五組的頻率為第五組的人數(shù)為：（2）第組的總?cè)藬?shù)為：人第組抽取的人數(shù)為：人；第組抽取的人數(shù)為：人；第組抽取的人數(shù)為：人（3）在（2）中抽取的人中隨機(jī)抽取人，基本事件總數(shù)為：所抽取的人中恰好沒有年齡段在包含的基本事件個數(shù)為：所抽取的人中恰好沒有年齡段在的概率：【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖計算總數(shù)、頻數(shù)和頻率、分層抽樣