高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)第4節(jié)　相互獨(dú)立事件的概率、條件概率與全概率公式（講義）

第4節(jié)相互獨(dú)立事件的概率、條件概率與全概率公式[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.了解兩個(gè)事件獨(dú)立性的含義,能利用事件的獨(dú)立性解決一些實(shí)際問(wèn)題.2.了解條件概率的含義以及條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系.3.能利用條件概率和全概率公式解決一些實(shí)際問(wèn)題.1.事件的相互獨(dú)立性(1)相互獨(dú)立的定義:對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.(2)相互獨(dú)立的性質(zhì):①如果事件A與事件B相互獨(dú)立,則A與B,A與B,A與B都相互獨(dú)立.②若事件A與事件B相互獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P(B).相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別:相互獨(dú)立事件是指兩個(gè)事件發(fā)生的概率互不影響,計(jì)算式為P(AB)=P(A)P(B),互斥事件是指在同一試驗(yàn)中,兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生,計(jì)算公式為P(A∪B)=P(A)+P(B).2.條件概率(1)條件概率的概念一般地,設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)>0,我們稱P(B|A)=P((2)條件概率的公式①P(B|A)=n(②P(B|A)=P((3)條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0,則①0≤P(B|A)≤1,P(Ω|A)=1;②如果B和C是兩個(gè)互斥事件,則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);③設(shè)B和B互為對(duì)立事件,則P(B|A)=1-P(B|A);④概率的乘法公式:對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A).3.全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對(duì)任意的事件B?Ω,有P(B)=∑i=1nP(Ai)·全概率公式是按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個(gè)復(fù)雜事件表示為幾個(gè)互斥事件的并事件,再由概率的加法公式和乘法公式求得這個(gè)復(fù)雜事件的概率.1.如果A1,A2,…,An相互獨(dú)立,那么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2.當(dāng)A,B相互獨(dú)立時(shí),P(B|A)=P(B).1.拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣,A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一個(gè)反面向上},則A與B的關(guān)系是(C)A.互斥事件 B.對(duì)立事件C.相互獨(dú)立事件 D.不相互獨(dú)立事件解析:由已知有P(A)=1-28=34,P(B)=1-48=12.甲、乙兩個(gè)氣象站同時(shí)作氣象預(yù)報(bào),如果甲站、乙站預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率分別為0.8和0.7,那么在一次預(yù)報(bào)中兩站恰有一站準(zhǔn)確預(yù)報(bào)的概率為(D)A.0.8 B.0.7 C.0.56 D.0.38解析:由于甲站、乙站預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率分別為0.8和0.7,則在一次預(yù)報(bào)中兩站恰有一站準(zhǔn)確預(yù)報(bào)的概率為P=0.8×(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38.3.(選擇性必修第三冊(cè)P50例5改編)甲、乙兩所學(xué)校舉行了某次聯(lián)考,甲校成績(jī)的優(yōu)秀率為30%,乙校成績(jī)的優(yōu)秀率為35%,現(xiàn)將兩所學(xué)校的成績(jī)放到一起,已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%,乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%,現(xiàn)從中任取一個(gè)學(xué)生成績(jī),則取到優(yōu)秀成績(jī)的概率為(D)A.0.165 B.0.16 C.0.32 D.0.33解析:將兩所學(xué)校的成績(jī)放到一起,從中任取一個(gè)學(xué)生成績(jī),取到優(yōu)秀成績(jī)的概率為30%×40%+35%×60%=0.33.4.(2022·遼寧沈陽(yáng)一模)夏季里,每天甲、乙兩地下雨的概率分別為13和14,且兩地同時(shí)下雨的概率為A.112 B.12 C.23解析:記事件A為甲地下雨,事件B為乙地下雨,所以P(A)=13,P(B)=14,P(AB)=所以在乙地下雨的條件下,甲地也下雨的概率為P(A|B)=P(AB)P(5.有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中,隨機(jī)抽取一粒,則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為.

解析:設(shè)種子發(fā)芽為事件A,種子成長(zhǎng)為幼苗為事件B(發(fā)芽又成活為幼苗).依題意P(B|A)=0.8,P(A)=0.9.根據(jù)條件概率公式P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9×0.8=0.72,即這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為0.72.答案:0.72事件的相互獨(dú)立性事件相互獨(dú)立性的判斷[例1]袋子里裝有形狀大小完全相同的4個(gè)小球,球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球.A表示事件“第一次取出的球上數(shù)字是1”,B表示事件“第二次取出的球上數(shù)字是2”,C表示事件“兩次取出的球上數(shù)字之和是5”,D表示事件“兩次取出的球上數(shù)字之和是6”,通過(guò)計(jì)算,可以得出()A.B與D相互獨(dú)立 B.A與D相互獨(dú)立C.B與C相互獨(dú)立 D.C與D相互獨(dú)立解析:由題意P(A)=14,P(B)=14,有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球,兩次取出的球上數(shù)字之和是5的情況有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)共4種,所以P(C)=44×4兩次取出的球上數(shù)字之和是6的情況有(2,4),(4,2),(3,3)共3種,故P(D)=34×4=3由P(BD)=14×4=116,P(B)P(D)=14×3由P(AD)=0,P(A)P(D)=14×316=由P(BC)=14×4=116,P(B)P(C)=14×1由P(CD)=0,P(C)P(D)=14×316=判斷兩個(gè)事件是不是相互獨(dú)立的方法(1)直接法:直接判斷一個(gè)事件發(fā)生與否能不能影響另一事件發(fā)生的概率.(2)定義法:判斷P(AB)=P(A)P(B)是否成立.(3)轉(zhuǎn)化法:由事件A與事件B相互獨(dú)立知,A與B,A與B,A與B也相互獨(dú)立.相互獨(dú)立事件的概率[例2](2020·全國(guó)Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽,負(fù)者下一場(chǎng)輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為12(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.解:(1)甲連勝四場(chǎng)的概率為116(2)根據(jù)賽制,至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽,至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽.比賽四場(chǎng)結(jié)束,共有三種情況:甲連勝四場(chǎng)的概率為116乙連勝四場(chǎng)的概率為116丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為18所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為1-116-116-18(3)丙最終獲勝,有兩種情況:比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為18比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝,則從第二場(chǎng)開(kāi)始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況:勝勝負(fù)勝,勝負(fù)空勝,負(fù)空勝勝,概率分別為116,18,18.因此丙最終獲勝的概率為18+116+1求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面求解較麻煩(如“至多”“至少”問(wèn)題)或難以入手時(shí),可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.[針對(duì)訓(xùn)練](多選題)甲、乙兩人獨(dú)立破譯一個(gè)密碼,他們能譯出密碼的概率分別為13和1A.A與B為相互獨(dú)立事件B.A與B為對(duì)立事件C.兩人都譯出密碼的概率為1D.恰有一人譯出密碼的概率為5解析:因?yàn)槭录嗀是否發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率沒(méi)有影響,故A與B為相互獨(dú)立事件,A正確,B錯(cuò)誤;記事件C為“兩人都譯出密碼”,則P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=13×14=112,故C正確;記事件D為“恰有一人譯出密碼”,則P(D)=P(AB∪AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=13×34+2簡(jiǎn)單的條件概率[例3](1)已知盒中裝有3只螺口燈泡與9只卡口燈泡,這些燈泡的外形都相同且燈口向下放著,現(xiàn)需要一只卡口燈泡,電工師傅每次從中任取一只不放回,則在他第1次取到的是螺口燈泡的條件下,第2次取到的是卡口燈泡的概率為()A.14 B.9C.911 D.(2)已知A,B是某隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件,P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(AB)=0.1,P(A|B)+P(B|A)=.

(3)某廠的產(chǎn)品中有4%的廢品,在100件合格品中有75件一等品,則在該廠的產(chǎn)品中,任取1件是一等品的概率為.

解析:(1)法一因?yàn)殡姽煾得看螐闹腥稳∫恢徊环呕?且第1次取到的是螺口燈泡,所以第1次取到的是螺口燈泡,第2次取到的是卡口燈泡的概率等價(jià)于從2只螺口燈泡與9只卡口燈泡中抽取一只,恰為卡口燈泡的概率,即為92+9=9法二設(shè)事件A為第1次取到的是螺口燈泡,事件B為第2次取到的是卡口燈泡,則第1次取到的是螺口燈泡,第2次取到的是卡口燈泡的概率為P(B|A)=P(AB)P((2)P(A|B)+P(B|A)=P(AB)P(B)(3)設(shè)事件A為“任取1件是合格品”,事件B為“任取1件是一等品”,則P(A)=1-P(A)=0.96,又P(B|A)=0.75,所以P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=0.96×0.75=0.72.答案:(1)C(2)0.75(3)0.72(1)求條件概率的常用方法①利用定義,分別求P(A)和P(AB),得P(B|A)=P(②借助古典概型概率公式,先求事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)n(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的樣本點(diǎn),即n(AB),得P(B|A)=n((2)條件概率公式的變形P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(B)P(A|B).[針對(duì)訓(xùn)練]某考生在一次考試中,共有10道題可供選擇,已知該考生能答對(duì)其中6道題,隨機(jī)從中抽取5道題供該考生回答,至少答對(duì)3道題則及格,求該考生在第一題答錯(cuò)的情況下及格的概率.解:設(shè)事件A為“從10道題中依次抽取5道題,第一題答錯(cuò)”,事件B為“從10道題中依次抽取5道題,至少有3道題答對(duì)”.n(A)=C41C94,n(AB)=C則P(B|A)=n(AB)n(所以該考生在第一題答錯(cuò)的情況下及格的概率為2542全概率公式的應(yīng)用[例4]現(xiàn)有編號(hào)為Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三個(gè)口袋,其中Ⅰ號(hào)袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球,一個(gè)2號(hào)球與一個(gè)3號(hào)球;Ⅱ號(hào)袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球與一個(gè)3號(hào)球;Ⅲ號(hào)袋內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球與兩個(gè)2號(hào)球.現(xiàn)在先從Ⅰ號(hào)袋內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)球,放入編號(hào)與球上號(hào)數(shù)相同的口袋中,第二次從該口袋中任取一個(gè)球,計(jì)算第二次取到幾號(hào)球的概率最大,為什么?解:記事件Ai,Bi分別表示第一次、第二次取到i號(hào)球,i=1,2,3,依題意A1,A2,A3兩兩互斥,其和為Ω,并且P(A1)=24,P(A2)=P(A3)=1P(B1|A1)=24,P(B1|A2)=24,P(B1|A3)=P(B2|A1)=14,P(B2|A2)=14,P(B2|A3)=P(B3|A1)=14,P(B3|A2)=14,P(B3|A3)=應(yīng)用全概率公式,有P(B1)=∑i=13P(Ai)P(B1Ai)=24×24+14×2類似可以求出P(B2)=1348,P(B3)=11故第二次取到1號(hào)球的概率最大.[典例遷移](變結(jié)論)在本例中,若第二次取到1號(hào)球,問(wèn):它取自哪一個(gè)口袋的概率最大?解:依題設(shè)知,第二次的球取自口袋的編號(hào)與第一次取的球上的號(hào)數(shù)相同,則P(A1|B1)=P(A1)P(B1P(A2|B1)=P(A2)P(B1P(A3|B1)=P(A3)P(B1故在第二次取到1號(hào)球的條件下,它取自編號(hào)為Ⅰ的口袋的概率最大.利用全概率公式求解的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn),將一個(gè)復(fù)合事件分解為若干個(gè)互斥事件Bi(i=1,2,…,n);(2)求P(Bi)和所求事件A在各個(gè)互斥事件Bi發(fā)生條件下的概率P(A|Bi);(3)代入全概率公式計(jì)算.[例1]已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A|B)=0.5,則P(B|A∪B)=,P(A∪B|A∪B)=.

解析:由概率乘法公式P(AB)=P(A|B)P(B)=0.5×0.4=0.2,因此P(B|A)=P(AB)P(又因?yàn)锽?(A∪B),所以B∩(A∪B)=B,從而P(B|A∪B)=P(B)P(A?P(A∪B|A∪B)=P(AB|A∪B)=1-P(AB|A∪B)=1-P(AB)P(答案:45[例2](2019·全國(guó)Ⅰ卷)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí),該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī),甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是.

解析:法一因?yàn)榧钻?duì)以4∶1獲勝,所以第五場(chǎng)甲勝,而前四場(chǎng)甲需要?jiǎng)偃龍?chǎng)輸一場(chǎng),則甲隊(duì)的勝負(fù)情況可分為“勝勝勝負(fù)勝”“勝勝負(fù)勝勝”“勝負(fù)勝勝勝”“負(fù)勝勝勝勝”這4種.設(shè)事件A為“甲隊(duì)以4∶1獲勝”,Ai表示第i場(chǎng)甲隊(duì)獲勝.又前五場(chǎng)甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排為“主主客客主”,所以P(A1)=P(A2)=P(A5)=0.6,P(A3)=P(A4)=0.5,則P(A)=P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A0.6×0.6×0.5×0.5×0.6+0.6×0.6×0.5×0.5×0.6+0.6×0.4×0.5×0.5×0.6+0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.18.法二當(dāng)甲隊(duì)在前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸,且第五場(chǎng)勝時(shí),以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;當(dāng)甲隊(duì)在前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸,且第五場(chǎng)勝時(shí),以4∶1獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072.綜上所述,甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率為P=0.108+0.072=0.18.法三由題意可得,一共比賽了五場(chǎng),且第五場(chǎng)甲隊(duì)獲勝,前四場(chǎng)甲隊(duì)勝三場(chǎng),輸一場(chǎng).前四場(chǎng)甲隊(duì)勝三場(chǎng),輸一場(chǎng)的情況有如下兩種,①甲隊(duì)主場(chǎng)輸一場(chǎng),其概率P1=C21×0.6×0.4×C22②甲隊(duì)客場(chǎng)輸一場(chǎng),其概率P2=C22×0.62×C21由于第五場(chǎng)必定是甲隊(duì)勝,所以甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率P=(P1+P2)×0.6=0.18.答案:0.18[例3]在某次考試中,從20道題中隨機(jī)抽取6道題,若考生至少能答對(duì)其中的4道題即可通過(guò);若至少能答對(duì)其中5道題就獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對(duì)其中10道題,并且知道該考生在這次考試中已經(jīng)通過(guò),求該考生獲得優(yōu)秀的概率.解:設(shè)事件A為“該考生6道題全答對(duì)”,事件B為“該考生答對(duì)了其中5道題,另1道答錯(cuò)”,事件C為“該考生答對(duì)了其中4道題,另2道答錯(cuò)”,事件D為“該考生在這次考試中通過(guò)”,事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”,則A,B,C兩兩互斥,且D=A∪B∪C,由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=C106C206+C因?yàn)镻(AD)=P(A∩D)=P(A),P(BD)=P(B∩D)=P(B),所以P(E|D)=P((A∪B)|D)=P(A|D)+P(B|D)=P(A)P(D)+P所以該考生獲得優(yōu)秀的概率是1358[選題明細(xì)表]知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)相互獨(dú)立事件及其概率4,5,8,13,14條件概率及全概率公式1,2,3,6,7,9綜合應(yīng)用10,11,12,151.(2022·北京二模)小王每天在6:30至6:50出發(fā)去上班,其中在6:30至6:40出發(fā)的概率為0.3,在該時(shí)間段出發(fā)上班遲到的概率為0.1;在6:40至6:50出發(fā)的概率為0.7,在該時(shí)間段出發(fā)上班遲到的概率為0.2,則小王某天在6:30至6:50出發(fā)上班遲到的概率為(B)A.0.13 B.0.17 C.0.21 D.0.3解析:由題意在6:30至6:50出發(fā)上班遲到的概率為0.3×0.1+0.7×0.2=0.17.2.已知某種傳染性病毒使人感染的概率為0.95,在感染該病毒的條件下確診的概率為0.84,則感染該病毒且確診的概率是(A)A.0.798 B.0.884 C.0.889 D.0.95解析:記“感染該病毒”為事件A,“確診”為事件B,則P(A)=0.95,P(B|A)=0.84,所以P(AB)=P(B|A)P(A)=0.84×0.95=0.798,即感染該病毒且確診的概率是0.798.3.已知P(B|A)=0.4,P(A)=0.6,則P(AB)等于(D)A.0.12 B.0.18 C.0.21 D.0.36解析:由P(B|A)=P(AB)P(P(A)-P(AB)=0.6-0.24=0.36.4.(2021·新高考Ⅰ卷)有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則(B)A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立解析:事件甲發(fā)生的概率P(甲)=16,事件乙發(fā)生的概率P(乙)=16,事件丙發(fā)生的概率P(丙)=56×6=536,事件丁發(fā)生的概率P(丁)=66×6=16.事件甲與事件丙同時(shí)發(fā)生的概率為0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙),故A錯(cuò)誤;事件甲與事件丁同時(shí)發(fā)生的概率為16×65.(多選題)從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是13,從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是1A.2個(gè)球都是紅球的概率為1B.2個(gè)球不都是紅球的概率為1C.至少有1個(gè)紅球的概率為2D.2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為1解析:設(shè)“從甲袋中摸出一個(gè)紅球”為事件A1,“從乙袋中摸出一個(gè)紅球”為事件A2,則P(A1)=13,P(A2)=12,且A1,A2相互獨(dú)立.2個(gè)球都是紅球?yàn)锳1A2,其概率為13×12=16,A正確;“2個(gè)球不都是紅球”是“2個(gè)球都是紅球”的對(duì)立事件,其概率為56,B錯(cuò)誤;2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率為1-P(A)P(B)=1-23×12=23,C正確;2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為16.一個(gè)袋子里面裝有白球4個(gè),黑球3個(gè),所有的球除顏色外完全相同,每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球不再放回,在前兩次都摸出白球的條件下,第三次摸出黑球的概率是.

解析:記前兩次摸到白球?yàn)槭录嗀,第三次摸到黑球?yàn)槭录﨎,則P(A)=47×36=27,P(AB)=27×35=635,所以P(BA)=答案:37.足球比賽中點(diǎn)球射門是隊(duì)員練習(xí)的必修課.已知某足球隊(duì)員在進(jìn)行點(diǎn)球射門時(shí)命中率為87%,由于慣用腳的原因,他踢向球門左側(cè)的概率為70%,踢向球門右側(cè)的概率為30%.經(jīng)統(tǒng)計(jì),當(dāng)他踢向球門左側(cè)時(shí),球進(jìn)的概率為90%,那么他踢向球門右側(cè)時(shí),球進(jìn)的概率為.

解析:設(shè)該隊(duì)員踢向球門右側(cè)時(shí),球進(jìn)的概率為x,則由題可知70%×90%+30%·x=87%,解得x=80%.答案:80%8.三個(gè)元件T1,T2,T3正常工作的概率分別為12,34,34解析:記“三個(gè)元件T1,T2,T3正常工作”分別為事件A1,A2,A3,則P(A1)=12,P(A2)=34,P(A3)=34,不發(fā)生故障為事件(A2∪A3)A1,則不發(fā)生故障的概率P=P[(A2∪A3)A1]=[1-P(A2)P(A3)]P(A1)=(1-14×1答案:159.甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球,乙袋中有2個(gè)白球和3個(gè)紅球,丙袋中有4個(gè)白球和4個(gè)紅球.先隨機(jī)取一只袋,再?gòu)脑摯邢入S機(jī)取1個(gè)球不放回,接著再?gòu)脑摯腥?個(gè)球.(1)求第一次取出的球?yàn)榧t球的概率;(2)求第一次取出的球是紅球的前提下,第二次取出的球是白球的概率.解:(1)設(shè)第一次取出的球?yàn)榧t球?yàn)槭录嗀,取到甲袋、乙袋、丙袋為事件B1,B2,B3,則P(B1)=P(B2)=P(B3)=13P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)·P(B3)=25×13+35×13+48(2)設(shè)第二次取出的球是白球?yàn)槭录﨏,由全概率公式可得P(AC)=P(AC|B1)P(B1)+P(AC|B2)P(B2)+P(AC|B3)P(B3)=25×34×13+313+48×47×1所以P(C|A)=P(AC)P(10.(2022·全國(guó)乙卷)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則(D)A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大解析:法一設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率為p甲,在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率為p乙,在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率為p丙,由題意可知,p甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3,p乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3,p丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3,所以p丙-p甲=2p2(p3-p1)>0,p丙-p乙=2p1(p3-p2)>0,所以p丙最大.法二(特殊值法)不妨設(shè)p1=0.4,p2=0.5,p3=0.6,則該棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率p甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=0.4;在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率p乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=0.52;在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率p丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=0.6.所以p丙最大.11.(2023·廣東廣州模擬)甲、乙二人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋比賽的冠軍,若比賽為“三局兩勝”制(無(wú)平局),甲在每局比賽中獲勝的概率均為23A.13 B.25 C.23解析:設(shè)事件A表示“甲獲得冠軍”,事件B表示“冠軍產(chǎn)生時(shí)恰好進(jìn)行了三局比賽”,則A包括“第一局甲獲勝、第二局甲獲勝”“第一局甲獲勝、第二局乙獲勝、第三局甲獲勝”“第一局乙獲勝、第二局甲獲勝、第三局甲獲勝”,則P(A)=23×23+23×13×23+13×事件AB包括“第一局甲獲勝、第二局乙獲勝、第三局甲獲勝”“第一局乙獲勝、第二局甲獲勝、第三局甲獲勝”,則P(AB)=23×13×2323×23=827,P(B|A)=P(AB12.(多選題)(2022·江蘇南京三模)連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次,每次結(jié)果要么正面向上,要么反面向上,且兩種結(jié)果等可能.記事件A表示“3次結(jié)果中有正面向上,也有反面向上”,事件B表示“3次結(jié)果中最多一次正面向上”,事件C表示“3次結(jié)果中沒(méi)有正面向上”,則下列結(jié)論正確的是(BCD)A.事件B與事件C互斥B.P(A)=3C.事件A與事件B獨(dú)立D.記C的對(duì)立事件為C,則P(B|C)=3解析:由于B發(fā)生的情況中包含C,故事件B與事件C可同時(shí)發(fā)生,A錯(cuò)誤;P(A)=1-123×2=34,B正確;P(B)=123+C31×123P(A)P(B),故事件A與事件B獨(dú)立,C正確;P(C)=123=18,P(B|CC31×13.某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng),每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個(gè)球,在摸出的2個(gè)球中,若都是紅球,則獲一等獎(jiǎng);若只有1個(gè)紅球,則獲二等獎(jiǎng);若沒(méi)有紅球,則不獲獎(jiǎng).則顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率為.

解析:記事件A1={從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球},A2={從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球},B1={顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)},B2={顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)},C={顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)}.由題意知A1與A2相互獨(dú)立,A1A2與A1A2互斥,B1與B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1A2+A1A2,C=B1∪B410=25,P(A2)=510所以P(B1)=P(A1A2)=