高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)規(guī)范答題提升課-數(shù)列綜合問題（導(dǎo)學(xué)案）

規(guī)范答題提升課——數(shù)列綜合問題【知曉規(guī)范·考場不失分】[典例](12分)(2022·新高考Ⅰ卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=1,Snan是公差為(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)證明:1a1+1a2【審題導(dǎo)思】問題1:求等差數(shù)列Snan的通項(xiàng),需要哪些量?已知公差為13,問題2:如何用裂項(xiàng)法求和?用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換,裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng).【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閍1=1,所以S1=a1=1,S1a1=1, (基礎(chǔ)得分點(diǎn)①,計(jì)算求值)又因?yàn)镾nan是公差為所以Snan=1+13(所以Sn=(n+2)an3,……(基礎(chǔ)得分點(diǎn)②,等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用)所以當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=(n+1)a所以an=Sn-Sn-1=(n+2)an3-(n+1)an?1整理得(n-1)an=(n+1)an-1,即anan?1=n+1n?1,【分值分布】基礎(chǔ)分發(fā)展分終極分≤3分[4,8]分≥9分約25%約45%約30%【滿分指導(dǎo)】(1)得步驟分:對(duì)于解題過程中是得分點(diǎn)的,有則給分,無則沒分,對(duì)于得分點(diǎn)步驟一定要寫全.第(1)問中先求出數(shù)列Snan的首項(xiàng)得1分,再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列Snan第(2)問中正確寫出1an=2n(n+1)得(2)得關(guān)鍵分:對(duì)于解題過程中的關(guān)鍵點(diǎn),有則給分,無則沒分,解題時(shí)一定要寫清得分的關(guān)鍵點(diǎn).第(1)問中先分析當(dāng)n≥2時(shí)的情形,由an=Sn-Sn-1得出anan?1=n+1n?1,這是解決此題的關(guān)鍵點(diǎn),再驗(yàn)證n=1時(shí)也成立,(3)得計(jì)算分:第(1)問中正確求出數(shù)列Snan的首項(xiàng)得1分第(1)問中正確使用疊乘法計(jì)算出an=n(n+1)2得2分,(如采用其他方法,評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)相同第(2)問中采用裂項(xiàng)法求和,計(jì)算正確得2分,錯(cuò)誤不得分.所以當(dāng)n≥2時(shí)an=a1×a2a1×a3 ………………6分=1×31×42×…×nn?2×n+1n?1=n(n+1)2顯然對(duì)于n=1也成立,所以{an}的通項(xiàng)公式為an=n(n+1)2. …………8(發(fā)展得分點(diǎn),化歸:遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式)(2)1an=2n(n+1)=2(1n-1n+1)所以1a1+1a2+…+1an=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n(終極得分點(diǎn),裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)和) …………………12分【明確思維·答題知策略】解題思維技巧策略求解數(shù)列問題的基本策略在于“歸”——化歸與歸納:(1)對(duì)于非等差或等比數(shù)列,可從特殊