高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)第2節(jié)　函數(shù)的單調(diào)性與最值（講義）

第2節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.借助函數(shù)圖象,會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值的作用和實(shí)際意義.1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)于定義域D內(nèi)某個(gè)區(qū)間I上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增.特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí),我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí),我們就稱它是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的函數(shù)單調(diào)性定義中的x1,x2具有以下三個(gè)特征:一是任意性,即“任意兩數(shù)x1,x2∈I”,“任意”兩字絕不能丟;二是有大小,即x1<x2;三是同屬一個(gè)單調(diào)區(qū)間,三者缺一不可.(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.若函數(shù)在兩個(gè)不同的區(qū)間上單調(diào)性相同,一般要分開寫,用“,”或“和”連接,不要用“∪”.2.函數(shù)的最值前提一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意x∈D,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈D,使得f(x0)=M(3)對(duì)于任意x∈D,都有f(x)≥M;(4)存在x0∈D,使得f(x0)=M結(jié)論M是函數(shù)y=f(x)的最大值M是函數(shù)y=f(x)的最小值(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值,當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)處取得.(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值或最小值.1.函數(shù)單調(diào)性的等價(jià)定義設(shè)任意x1,x2∈I(x1≠x2),則(1)f(x1)-f(x2)x1(2)f(x1)-f(x2)x12.函數(shù)f(x)=ax+bx若a>0,b<0,則函數(shù)在區(qū)間(-∞,0),(0,+∞)上是增函數(shù),若a<0,b>0,則函數(shù)在區(qū)間(-∞,0),(0,+∞)上是減函數(shù);若a>0,b>0,則函數(shù)在區(qū)間(-ba,0),(0,ba)上是減函數(shù),在區(qū)間(-∞,-ba特別地,“對(duì)勾函數(shù)”y=x+ax(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-a),(a,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是[-a,0),(0,a3.與函數(shù)運(yùn)算有關(guān)的單調(diào)性結(jié)論(1)函數(shù)f(x)與f(x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.(2)k>0時(shí),函數(shù)f(x)與kf(x)單調(diào)性相同;k<0時(shí),函數(shù)f(x)與kf(x)單調(diào)性相反.(3)若f(x)恒為正值或恒為負(fù)值,則f(x)與1f(4)若f(x),g(x)都是增(減)函數(shù),則當(dāng)兩者都恒大于零時(shí),f(x)·g(x)是增(減)函數(shù);當(dāng)兩者都恒小于零時(shí),f(x)·g(x)是減(增)函數(shù).(5)在公共定義域內(nèi),增+增=增,減+減=減.(6)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法:若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同,則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反,則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).簡(jiǎn)稱“同增異減”.1.(2021·全國甲卷)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(D)A.f(x)=-x B.f(x)=(23)C.f(x)=x2 D.f(x)=3解析:法一(排除法)取x1=-1,x2=0,對(duì)于A項(xiàng)有f(x1)=1,f(x2)=0,所以A項(xiàng)不符合題意;對(duì)于B項(xiàng)有f(x1)=32,f(x2)=1,所以B項(xiàng)不符合題意;對(duì)于C項(xiàng)有f(x1)=1,f(x2法二(圖象法)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中分別畫出A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的大致圖象,即可快速直觀判斷D項(xiàng)符合題意.2.若函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù),且f(a2-a)<f(a),則a的取值范圍是(B)A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-∞,0) D.(2,+∞)解析:因?yàn)閒(x)是R上的減函數(shù),且f(a2-a)<f(a),所以a2-a>a,所以a2-2a>0,所以a>2或a<0.故選B.3.(多選題)(必修第一冊(cè)P79例3改編)下列結(jié)論正確的有(BD)A.函數(shù)y=1xB.函數(shù)y=1xC.若y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,則函數(shù)y=kf(x)(k<0),y=1fD.若函數(shù)y=f(x)滿足?x1,x2∈I,x1≠x2,f(解析:對(duì)于A,單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接,故單調(diào)遞減區(qū)間應(yīng)為(-∞,0)和(0,+∞),錯(cuò)誤;對(duì)于B,y=1x對(duì)于C,若y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,則?x1,x2∈I,且x1<x2,有f(x2)-f(x1)>0,由此可推出k[f(x2)-f(x1)]<0(k<0),即y=kf(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減,y=1f(x對(duì)于D,f(x14.(2022·山東聊城檢測(cè))函數(shù)f(x)=9x2+x-1的最小值為解析:因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇1,+∞),且y=9x2與y=x-所以f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)min=f(1)=9.答案:95.函數(shù)f(x)=1x2-解析:由x2-2x-3>0得x<-1或x>3,故f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(3,+∞),由函數(shù)y=x2-2x-3在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,故f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,-1).答案:(-∞,-1)確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)1.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù)的是(D)A.y=-sinx B.y=x2-2x+3C.y=ln(x+1) D.y=2022解析:y=-sinx和y=x2-2x+3在(0,+∞)上不具備單調(diào)性;y=ln(x+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.2.函數(shù)f(x)=ln(-x2+2x+3)的單調(diào)遞減區(qū)間為(D)A.[1,+∞) B.(-∞,1]C.(-1,1) D.(1,3)解析:設(shè)t=-x2+2x+3,由-x2+2x+3>0可得-1<x<3,則y=lnt,由于y=lnt在t∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:同增異減,可得要求函數(shù)f(x)=ln(-x2+2x+3)的單調(diào)遞減區(qū)間,只需求t=-x2+2x+3(-1<x<3)的單調(diào)遞減區(qū)間.而t=-x2+2x+3在(1,3)上單調(diào)遞減.3.函數(shù)f(x)=|4-x|(x-1)在下列哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增(D)A.(52,5) C.(-∞,3) D.(5,+∞)解析:f(x)=|4-x|·(x-1)=(根據(jù)圖象可知其單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,52),(4,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(54.(多選題)下列函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(AC)A.y=ex-e-x B.y=|x2-2x|C.y=x+cosx D.y=x解析:因?yàn)閥=ex與y=-e-x為R上的增函數(shù),所以y=ex-e-x為R上的增函數(shù),故A正確;由y=|x2-2x|的圖象(圖略)知,故B不正確;對(duì)于選項(xiàng)C,y′=1-sinx≥0,所以y=x+cosx在R上為增函數(shù),故C正確;y=x2(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,應(yīng)先求定義域,在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法:定義法,圖象法,利用已知函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)法.(3)函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷,遵循“同增異減”的原則.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用利用單調(diào)性比較大小[例1](2022·四川成都模擬)已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù),對(duì)任意x1,x2∈(-∞,0),且x1≠x2,均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,若a=f(ln2),b=f(313),c=f(A.c<b<a B.a<c<bC.a<b<c D.c<a<b解析:因?yàn)閷?duì)任意x1,x2∈(-∞,0),均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,所以此時(shí)函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,又f(x)=x1所以1<e13<又0<ln2<1,所以ln2<e13<所以f(313)>f(e1即a<c<b.故選B.利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小時(shí),應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)(如對(duì)稱性等)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上,利用單調(diào)性比較大小.利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式[例2](2022·安徽安慶二模)已知定義在區(qū)間[-1,3]上的函數(shù)f(x),滿足f(1+x)=f(1-x),當(dāng)x∈[1,3]時(shí),f(x)=x-1-x3.則滿足不等式f(2a+1)>f(a)的實(shí)數(shù)a的取值范圍為解析:由題意得f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱,故g(x)=f(x+1)的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱,因?yàn)閤∈[1,3]時(shí),f(x)=x-1-x3單調(diào)遞減,所以g(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,由f(2a+1)>f(a)得g(2a)>g(a-1),所以-2≤2a≤2答案:(-1,13解決與抽象函數(shù)有關(guān)的變量的取值范圍問題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性“脫去”函數(shù)符號(hào)“f”,從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的不等式,常見的轉(zhuǎn)化方法為:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù),對(duì)任意x1,x2∈I,且f(x1)<f(x2),則有x1<x2;若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù),對(duì)任意x1,x2∈I,且f(x1)<f(x2),則有x1>x2.但需要注意的是不要忘記函數(shù)的定義域.由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍[例3](1)已知函數(shù)f(x)=axA.[14,12) B.[14C.(0,12) D.[1(2)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是()A.(-∞,-1] B.(-∞,2]C.[2,+∞) D.[5,+∞)解析:(1)①a>1時(shí),f(x)=logax-1在(1,+∞)上是增函數(shù),所以f(x)在R上是增函數(shù),顯然f(x)=ax2-x-14所以a>1的情況不存在;②當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)=logax-1在(1,+∞)上是減函數(shù),所以f(x)在R上是減函數(shù),所以12a≥1,a綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[14,1(2)由x2-4x-5>0,得x<-1或x>5.令t=x2-4x-5,因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)y=lgt是其定義域內(nèi)的增函數(shù),所以要使函數(shù)f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上單調(diào)遞增,則需內(nèi)層函數(shù)t=x2-4x-5在(a,+∞)上單調(diào)遞增且恒大于0,則(a,+∞)?(5,+∞),即a≥5.所以a的取值范圍是[5,+∞).故選D.利用單調(diào)性求參數(shù)(1)依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較.(2)若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.(3)分段函數(shù)的單調(diào)性,除注意各段的單調(diào)性外,還要注意銜接點(diǎn)的取值.[針對(duì)訓(xùn)練]1.已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且函數(shù)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則下列關(guān)系式成立的是()A.f(-72B.f(-3)<f(-72C.f(-3)<f(4)<f(-72D.f(4)<f(-72解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以f(-3)=f(3),f(-72)=f(7又因?yàn)?<72<4且f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(3)<f(7所以f(-3)<f(-722.(2020·新高考Ⅰ卷)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是()A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]解析:由題意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)單調(diào)遞減,且f(-2)=f(2)=f(0)=0.當(dāng)x>0時(shí),令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,所以1≤x≤3;當(dāng)x<0時(shí),令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,所以-1≤x≤1,又x<0,所以-1≤x<0;當(dāng)x=0時(shí),顯然符合題意.綜上,原不等式的解集為[-1,0]∪[1,3],選D.3.若函數(shù)f(x)=ax,x>1,(4-a2)解析:因?yàn)閷?duì)于R上的任意x1≠x2,都有f(因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=a所以a>1,答案:[4,8)4.若函數(shù)f(x)=loga[(a-2)x]在(-∞,0)上是減函數(shù),則a的取值范圍是.

解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=loga[(a-2)x]在(-∞,0)上是減函數(shù),所以x∈(-∞,0),所以a-2<0,即0<a<4,t=(a-2)x是減函數(shù),因?yàn)閒(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),所以a>1.所以a的取值范圍是(1,4).答案:(1,4)求函數(shù)的最值(值域)[例4](1)函數(shù)f(x)=(13)x-log2(x+2)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為(2)已知函數(shù)f(x)=x2,x(3)函數(shù)f(x)=2x2-x2+1的最小值為解析:(1)由于y=(13)x在R上單調(diào)遞減,y=log2(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=x2在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x≤1時(shí),f(x)min=f(0)=0.當(dāng)x>1時(shí),y=x+6x≥26,當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)f(x)min=26-6.又26-6<0,所以f(x)min=26(3)令x2+1=t,t≥1,則x2=t所以y=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥1).因?yàn)閥=2t2-t-2(t≥1)的對(duì)稱軸為t=14所以ymin=2×12-1-2=-1,所以函數(shù)f(x)的最小值為-1.答案:(1)3(2)26-6(3)-1求函數(shù)最值(值域)的五種常用方法及注意點(diǎn)(1)圖象法:先作出函數(shù)的圖象,再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn),求出最值.(2)單調(diào)性法:先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求最值.(3)換元法:對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù),再用相應(yīng)的方法求最值.(4)基本不等式法:先對(duì)解析式變形,使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(5)導(dǎo)數(shù)法:先求導(dǎo),然后求出在給定區(qū)間上的極值,最后結(jié)合端點(diǎn)值,求出最值.注意:(1)求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)先確定函數(shù)的定義域.(2)求分段函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)先求出每一段上的最值,再選取其中最大的作為分段函數(shù)的最大值,最小的作為分段函數(shù)的最小值.[針對(duì)訓(xùn)練]1.函數(shù)f(x)=x-