高考數(shù)學復習規(guī)范答題提升課-函數(shù)與導數(shù)綜合問題（導學案）

規(guī)范答題提升課——函數(shù)與導數(shù)綜合問題[典例](12分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.(1)當a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;(2)當x>0時,f(x)<-1,求a的取值范圍;(3)設n∈N*,證明:112+1+122+2問題1:如何討論函數(shù)的單調(diào)性?首先設函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間D內(nèi)可導,如果f'(x)>0,則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù);如果f'(x)<0,則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為減函數(shù).問題2:如何解決不等式的恒成立問題?一般是根據(jù)不等式的結構構造一個新函數(shù),利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性;如果所構造的函數(shù),其導數(shù)結構比較復雜不易分析出單調(diào)性,則可把需要判斷符號的式子拿出來構造一個新函數(shù),再想辦法解決其符號;有時所構造的函數(shù)的最值不易求出,可以引入導數(shù)的隱零點,把函數(shù)最值用導數(shù)的隱零點表示.(1)當a=1時,f(x)=(x-1)ex,則f'(x)=xex,…… 2分當x<0時,f'(x)<0,當x>0時,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;…… 4分(基礎得分點,判斷函數(shù)的單調(diào)性)(2)設h(x)=xeax-ex+1,則h(0)=0,又h'(x)=(1+ax)eax-ex,設g(x)=(1+ax)eax-ex,則g'(x)=(2a+a2x)eax-ex,………………5分若a>12,則g'(0)=2a-1>0,故存在x0∈(0,+∞),使得?x∈(0,x0),總有g'(x)>0,故g(x)在(0,x0)為增函數(shù),故x∈(0,x0)時g(x)>g(0)=0,故h(x)在(0,x0)為增函數(shù),故x∈(0,x0)時h(x)>h(0)=0,與題設矛盾若0<a≤12,則h'(x)=(1+ax)eax-ex=eax+ln(1+ax)-ex,設S(x)=ln(1+x)-x(x>0),故S'(x)=11+x-1=-x1+x<0,故S(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),故S(x)<S(0)=0,即x>0時ln(1+x)<基礎分發(fā)展分終極分≤4分[5,8]分≥8分約30%約30%約40%(1)得步驟分:對于解題過程中是得分點的,有則給分,無則沒分,對于得分點步驟一定要寫全.第(1)問中首先將a=1代入到函數(shù)解析式中,然后對函數(shù)f(x)求導,進而分析函數(shù)的單調(diào)性,有則給分,無則不得分.第(2)問中構造新的函數(shù)h(x),對函數(shù)h(x)求導,求導后,再構造函數(shù)g(x),對函數(shù)g(x)求導,進而分析論證得出函數(shù)h(x)的單調(diào)性,有則給分,無則不得分.(2)得關鍵分:對于解題過程中的關鍵點,有則給分,無則沒分,解題時一定要寫清得分的關鍵點.所以eax+ln(1+ax)-ex<eax+ax-ex=e2ax-ex≤0,故h'(x)≤0總成立,即h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),所以h(x)<h(0)=0.當a≤0時,eax≤1,ex>1,axeax≤0,所以h'(x)=eax-ex+axeax<0, ………………7分所以h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),所以h(x)<h(0)=0.綜上a≤12,即a的取值范圍是(-∞,12].(發(fā)展得分點,函數(shù)的恒成立問題,求參數(shù)取值范圍)(3)取a=12,則?x>0,總有xe12令t=e12x,則t>1,t2=ex,x故2tlnt<t2-1,即2lnt<t-1t對任意的t>1恒成立 ………………9分所以對任意的n∈N*,有2lnn+1n<n+1整理得ln(n+1)-lnn<1n2+n故112+1+122+2+…+1n2+n>ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln((終極得分點,導數(shù)與不等式綜合應用)第(2)問中的關鍵是通過反復構造函數(shù),然后求導,進而確定函數(shù)h(x)的單調(diào)性,利用恒成立問題的解題思路求解,過程比較繁瑣,但是每個關鍵的求解過程必須要全,否則扣掉相應分數(shù).第(3)問的關鍵是取a=12,得到xe12x-ex+1<0這一不等式,構造2lnt<t-1(3)得運算分:第(1)問中對函數(shù)f(x)求導,計算正確得分,錯誤不給分.第(2)問對構造的新函數(shù)求導,計算正確得分,錯誤不給分,分a>12,0<a≤12,a≤0進行討論,運算論證,最終得出a解題思維技巧策略函數(shù)與導數(shù)問題一般以函數(shù)為載體,以導數(shù)為工具,重點考查函數(shù)的一些性質(zhì),如含參函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探求與討論