華師大新版九年級(jí)下學(xué)期《27.1.3圓周角》同步練習(xí)卷

華師大新版九年級(jí)下學(xué)期《27.1.3圓周角》

同步練習(xí)卷

一.選擇題（共9小題）

1.如圖，A,B,C是。。上的三點(diǎn)，ZABO=25°,ZACO=30°,則NBOC的度數(shù)

C.125°D.130°

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知。A經(jīng)過點(diǎn)E、B、0.C且點(diǎn)。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)E在x軸上，A（-3,2）,則cosZOBC的值為（)

C2A

D

一13-V

3.如圖，C、D是以線段AB為直徑的。0上兩點(diǎn)，若NADC=70。，則NCAB=（

A.10°B.20°C.30°D.40°

4.如圖，AB經(jīng)過圓心0,四邊形ABCD內(nèi)接于。0,NB=3/BAC,則NADC的

度數(shù)為（)

B

A.100°B.112.5°C.120°D.135°

5.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。。，點(diǎn)P在劣弧AB上，連接DP,交AC于點(diǎn)Q.若

QP=QO,則里的值為（）

A.2\[3~1B.273C.V3+V2D.炳+2

6.如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弧AC的中點(diǎn)，連接

EB,CA交于點(diǎn)F,則旦旦=（）

D,回

u1哼

7.如圖，已知AB是。。的直徑，C是。。上的一點(diǎn)，連接AC,過點(diǎn)C作直線

CDLAB交AB于點(diǎn)D.E是OB上的一點(diǎn)，直線CE與。O交于點(diǎn)F,連接AF

交直線CD于點(diǎn)G,AC=2近，則AG?AF是（）

8.如圖，在aABC中，AD是高，^ABC的外接圓直徑AE交BC邊于點(diǎn)G,有下

列四個(gè)結(jié)論：①AD2=BD?CD；②BE2=EG?AE；③AE?AD=AB?AC；④

AG?EG=BG?CG.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

9.如圖，點(diǎn)A在。。上，BC為。0的直徑,AB=4,AC=3,D是源的中點(diǎn)，CD

與AB相交于點(diǎn)P,則CP的長為（

IY

二.解答題（共41小題）

10.如圖，在。0中，AB是。0的弦，CD是。0的直徑，且AB±CD,垂足為G,

點(diǎn)E在劣弧窟上，連接CE.

（1）求證：CE平分NAEB；

(2)連接BC,若BC〃AE,且CG=4,AB=6,求BE的長.

11.如圖，AB為。。的直徑，C,F為。。上兩點(diǎn)，過C作CELAB于點(diǎn)D,交。

。于點(diǎn)E,延長EC交BF的延長線于點(diǎn)G,連接CF,EF.

(1)求證：ZBFE=ZCFG；

(2)若FG=4,BF=6,CF=3.

①求EF的長；

②若tan/GFC=2血，求。0的半徑.

12.如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，。為圓心，ZBOD=160",求NBCD的度數(shù).

13.如圖，A,P,B,C是。。上的四個(gè)點(diǎn)，ZAPC=ZCPB=60°

(1)判斷aABC的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)若BC的長為6,求。。的半徑.

14.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，Z1=Z2,EC=BC.

(1)若NCBD=39。，求NCAD的度數(shù)；

(2)求證:BC=CD.

15.如圖，已知。0中，AB為直徑，AB=10cm,弦AC=6cm,NACB的平分線交

。。于D,求線段BC,AD,BD的長.

16.如圖，AB是半圓。的直徑，C、D是半圓。上的兩點(diǎn)，且。D〃BC,0D與

AC交于點(diǎn)E.

(1)若NB=70°,求NCAD的度數(shù)；

(2)若AB=4,AC=3,求DE的長.

17.已知：如圖，AABC內(nèi)接于AF是。0的弦，AF_LBC,垂足為D,點(diǎn)E

為弧BF上一點(diǎn)，且BE=CF,

(1)求證：AE是。。的直徑;

(2)若/ABC=NEAC,AE=8,求AC的長.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M(0,V3)為圓心，以2T長為半徑作

G)M交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C、D兩點(diǎn)，連接AM并延長交0M于P

點(diǎn)，連接PC交x軸于E.

(1)求點(diǎn)C、P的坐標(biāo);

(2)求證：BE=20E.

19.如圖，AB是。。的直徑，AC是。0的弦，NACB的平分線交。0于點(diǎn)D.若

BD的值.

20.如圖，AB是。。的直徑，CD是。0的弦，AB、CD的延長線交于點(diǎn)E,己知

AB=2DE,ZOCD=40°,求NAOC的度數(shù).

21.如圖所示，已知AB為。。的直徑，CD是弦，且ABLCD于點(diǎn)E.連接AC、

OC、BC.

(1)求證：ZCAB=ZBCD；

(2)若EB=2cm,CD=8cm,求半徑OB的長.

C

R

22.已知如圖：。0中，BC是直徑，點(diǎn)A在。。上，AB=6,AC=8,AD平分NBAC,

求BD的長.

23.如圖，C、D兩點(diǎn)在以AB為直徑的半圓。上，AD平分NBAC,AB=20,AD=4

DE1AB于E.

(1)求DE的長.

(2)求證：AC=20E.

24.如圖，在AABC中，以AB為直徑的。0分別交AC,BC于點(diǎn)D,E.連接ED,

若ED=EC.

(1)求證:AB=AC；

(2)填空：①若AB=6,CD=4,貝UBC=；

②連接0D,當(dāng)NA的度數(shù)為時(shí)，四邊形ODEB是菱形.

25.如圖，AB是。。的直徑，AD=DE-且AB=5,BD=4,求弦DE的長.

26.如圖，已知圓0,弦AB、CD相交于點(diǎn)M.

(1)求證：AM*MB=CM*MD；

(2)若M為CD中點(diǎn)，且圓。的半徑為3,0M=2,求AM?MB的值.

27.如圖，OA、OB、0C都是。。的半徑，ZA0B=2ZB0C

(1)求證：ZACB=2ZBAC

(2)若AC平分NOAB,求NAOC的度數(shù).

28.如圖，AB是。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,點(diǎn)P在。。上，ZPBC=ZC

(1)判斷直線BC和PD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(2)若BC=2,COSZBPD=A,求。。的半徑.

29.如圖，AB,CD是的兩條弦，AD,CB的延長線相交于點(diǎn)E,DC=DE.AB

和BE相等嗎？為什么？

30.如圖，AB是。0的直徑，CD是。。的弦，ZDCB=30°,求NABD的度數(shù).

31.如圖，。（:過原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,

3）,M是第三象限內(nèi)弧上一點(diǎn)，ZBMO=120°,求。C的半徑長.

32.如圖，AB為。0的直徑，點(diǎn)C在。。上，且NCAB=30。，點(diǎn)D為弧窟的中點(diǎn),

AC=4?.求AD的長.

33.如圖，在4ABC中，AB=AC,以AC為直徑的。。交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.

(1)求證：BE=CE；

(2)若BD=1,BE=2,求AC的長.

34.已知，如圖，AB是。。的直徑，ZBCD=45°.求證：AD=BD.

D

35.如圖1,已知。0的內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB是直徑，BD平分NABC,AD=

2泥，sinZABC—

5

(1)求。。的半徑；

(2)如圖2,點(diǎn)E是。0一點(diǎn)，連接EC交BD于點(diǎn)F.當(dāng)CD=DF時(shí)，求CE的長.

E

圖1圖2

36.如圖，AD為AABC的外接圓。的直徑，AE_LBC于E.求證：ZBAD=ZEAC.

37.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是。0的內(nèi)接三角形，AB=AC,點(diǎn)P是杷

的中點(diǎn)，連接PA,PB,PC.

(1)如圖①，若NBPC=60。，求證：AC=A/3AP；

(2)如圖②，若sinNBPC=絲，求tan/PAB的值.

38.如圖，AB為。0的直徑，點(diǎn)C在0。上，延長BC至點(diǎn)D,使DC=BC.延長

DA與。。的另一個(gè)交點(diǎn)為E,連接AC、CE.

(1)求證：ZB=ZD；

(2)若AB=13,BC-AC=7,求CE的長.

39.如圖，在銳角^ABC中，AC是最短邊，以AC中點(diǎn)。為圓心，AC為直徑作

。0,交BC于點(diǎn)E,過。作OD〃BC交。0于點(diǎn)D,連結(jié)AE,AD,DC.求證：

(1)D是標(biāo)的中點(diǎn)；

40.如圖所示，AB=AC,AB為。O的直徑，AC、BC分別交。O于E、D,連結(jié)ED、

BE.

(1)求證：BE1AC；

(2)求證：BD=DE；

41.如圖，P是等邊AABC外接圓標(biāo)上任意一點(diǎn)，求證：PA=PB+PC.

42.如圖，在銳角4ABC中，AC是最短邊；以AC中點(diǎn)。為圓心，LAC長為半

徑作。0,交BC于E,過。作0D〃BC交。。于D,連結(jié)AE、AD、DC.

(1)求證：D是源的中點(diǎn)；

(2)求證：ZDA0=ZB+ZBAD.

43.如圖，AB為。0的直徑，點(diǎn)C在。。上，延長BC至點(diǎn)D,使DC=BC,延長

DA與。。的另一個(gè)交點(diǎn)為E,連接AC,CE.

(1)求證：ZB=ZD；

(2)若AB=5,AC=3,求CE的長.

44.如圖，AB為◎。的直徑，CD_LAB于E,C0LAB于F,求證：AD=CD.

C\-E

45.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AD、BC的延長線交于點(diǎn)E,F是BD延長線

上一點(diǎn)，DE平分/CDF.求證：AB=AC.

A

46.如圖，在aABC中，AB=AC=13,BC=10,以AC為直徑畫。0交BC于點(diǎn)D,

交AB于點(diǎn)E,連接CE.

(1)求證：BD=CD；

47.如圖，。。的半徑為1,A,P,B,C是。。上的四個(gè)點(diǎn)，ZAPC=ZCPB=60°.

(1)判斷△ABC的形狀：；

(2)試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)當(dāng)點(diǎn)P位于標(biāo)的什么位置時(shí)，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積.

48.如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)C、E在源上，DELAB于D,AC與DE交于點(diǎn)

M,連接AE,AM=EM,

(1)求證：點(diǎn)E是余的中點(diǎn)；

(2)判斷0D和BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

49.如圖，AB是。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,點(diǎn)P在。。上，Z1=ZC.

(1)求證：CB〃PD.

(2)若BC=5,sinP=$,求。。的半徑.

50.如圖，。。是aABC外接圓，AB為直徑，弧AC=MCF,CD，AB于D,且交

O0于G,AF交CD于E.

(1)直接寫出NACB的度數(shù);

(2)求證:AE=CE.

華師大新版九年級(jí)下學(xué)期《27.1.3圓周角》同步練習(xí)卷

參考答案與試題解析

選擇題（共9小題）

1.如圖，A,B,C是。。上的三點(diǎn)，ZABO=25°,ZACO=30°,則NBOC的度數(shù)

C.125°D.130°

【分析】過A、。作。。的直徑AD,分別在等腰△OAB、等腰aOAC中，根據(jù)三

角形外角的性質(zhì)求出ZBOC=2ZABO+2ZACO.

【解答】解：過A作的直徑，交。0于D.

在aOAB中，OA=OB,

則NBOD=NABO+NOAB=2X25°=50°,

同理可得：ZCOD=ZACO+ZOAC=2X30°=60°,

故NBOC=NBOD+NCOD=110°.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理,涉及了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì),

解答本題的關(guān)鍵是求出NCOD及NBOD的度數(shù).

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知。A經(jīng)過點(diǎn)E、B、0.C且點(diǎn)。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)E在x軸上，A（-3,2）,則cosZOBC的值為（）

C2舊

一13D-V

【分析】連接EC,由NCOE=90。，根據(jù)圓周角定理可得：EC是OA的直徑，求出

0E和0C,根據(jù)勾股定理求出EC,解直角三角形求出即可.

【解答】解：過A作AM_Lx軸于M,AN_Ly軸于N,連接EC,

VZCOE=90°,

；.EC是。A的直徑，即EC過0,

VA(-3,2),

.,.0M=3,0N=2,

?；AM_Lx軸，x軸，y軸,

.'.AM//0C,

同理AN〃0E,

...N為0C中點(diǎn)，M為0E中點(diǎn),

，OE=2AN=6,OC=2AM=4,

由勾股定理得：EC=^62+42=2V13?

VZ0BC=Z0EC,

二cosN0BC=cosZ0EC=-^-=—,

EC2A/1313

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及銳角三角函

數(shù)定義，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.

3.如圖，C、D是以線段AB為直徑的。0上兩點(diǎn)，若NADC=70。，則NCAB=()

A.10°B.20°C.30°D.40°

【分析】首先求出NABC的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理求出NCAB的度數(shù).

【解答】解：:AB是直徑,

二ZACB=90°,

VZADC=70°,

/.ZABC=70°,

.?.ZCAB=20",

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理、解題的關(guān)鍵是掌握同弧所對(duì)的圓周角相等，屬于

中考常考題型.

4.如圖，AB經(jīng)過圓心0,四邊形ABCD內(nèi)接于。0,ZB=3ZBAC,則NADC的

度數(shù)為()

B.112.5°C.120°D.135°

【分析】根據(jù)圓周角定理得到NACB=90。，根據(jù)題意求出NB,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形

的性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】解：:AB經(jīng)過圓心0,

.?.NACB=90°,

VZB=3ZBAC,

，NB=67.5°,

???四邊形ABCD內(nèi)接于。0,

/.ZADC=180°-ZB=112.5°,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的

對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。0,點(diǎn)P在劣弧AB上，連接DP,交AC于點(diǎn)Q.若

QP=Q0,則或的值為（）

A.2A/3-1B.273C.V3+V2D.M+2

【分析】設(shè)＜3。的半徑為r,Q0=m,則QP=m,QC=r+m,QA=r-m.利用相交

弦定理，求出m與r的關(guān)系，即用r表示出m,即可表示出所求比值.

【解答】解:如圖,設(shè)。。的半徑為r,Q0=m,則QP=m,QC=r+m,

QA二r-m.

在。。中，根據(jù)相交弦定理，得QA?QC=QP?QD.

2_2

即(r-m)(r+m)=m?QD,所以QD=「f

ID

連接DO,由勾股定理，得QD2=DC）2+QO2,

22

即JL)2r2+八,

ID

解得

所以，入r+m羋+1心

故選：D.

D.

P

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相交弦定理，即"圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)所

分得的兩線段的長的乘積相等".熟記并靈活應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弧AC的中點(diǎn)，連接

EB,CA交于點(diǎn)F,則里=()

BF

A.1B.1C.1-返D.JlzL

3422

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)證得，4ADE是等腰直角三角形，求得BE=a+1,再

證△AEFs^BEA,得EF=T—=V2-1-BF=2.所以組=返工.

V2+1BF2

【解答】解：方法1：連接AE、CE.作AD〃CE,交BE于D.

???點(diǎn)E是弧AC的中點(diǎn),

可設(shè)AE=CE=1,

根據(jù)平行線的性質(zhì)得NADE=NCED=45。.

.?.△ADE是等腰直角三角形，

則AD=M，BD=AD=V2-

所以BE=V2+1.

再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等得△AEFsaBEA,

貝ljEF=^J^=y-1,BF=2.

V2+1

所以更=返工.

BF2

方法2：過點(diǎn)C作COLAB于點(diǎn)0,

,/AB是半圓的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，

...點(diǎn)。是圓心.

連接OE,BC,0E與AC交于點(diǎn)M,

?..E為弧AC的中點(diǎn)，

易證OELAC,

VZACB=90°,ZAOE=45°,

，OE〃BC,

設(shè)OM=1,貝l」AM=l,

；.AC=BC=2,0A=圾，

，0E=&,

/.EM=V2-1，

VOE//BC,

?EF_EM_V2-1

??-----......---------.

BFBC2

【點(diǎn)評(píng)】此題要能夠根據(jù)弧之間的關(guān)系找到角之間的關(guān)系，熟練運(yùn)用圓周角定理

的推論，能夠根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系.

7.如圖，已知AB是。。的直徑，C是00上的一點(diǎn)，連接AC,過點(diǎn)C作直線

CDLAB交AB于點(diǎn)D.E是0B上的一點(diǎn)，直線CE與。0交于點(diǎn)F,連接AF

交直線CD于點(diǎn)G,AC=2血，則AG?AF是（）

GB

A.10B.12C.8D.16

【分析】建立AC與AG、AF之間的關(guān)系是關(guān)鍵，連接BC,則NB=/F,ZACB=90°,

通過證明NACD=NB得NF=NACG,從而得△ACGsAAFC,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比

例得關(guān)系式求解.

【解答】解：連接BC,則/B=NF,

VCD±AB,/.ZACD+ZCAD=90°,

VAB是直徑，

，NACB=90°,ZCAB+ZB=90",

Z.ZACG=ZF.

又「NCAFuNFAC,

.'.△ACG^AAFC,

.'.AC：AF=AG：AC,

BPAG*AF=AC2=（2加）2=8.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，如何建立已知和未知之間的關(guān)系

是解題關(guān)鍵，難度偏上.

8.如圖，在aABC中，AD是高，^ABC的外接圓直徑AE交BC邊于點(diǎn)G,有下

列四個(gè)結(jié)論：①AD2=BD?CD；②BE2=EG?AE；③AE?AD=AB?AC；④

AG?EG=BG?CG.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

BD

F.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行論述，說明其對(duì)錯(cuò)即可.另外此題中沒有給出比例

線段，故只能通過兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似進(jìn)行證明.

【解答】解：①若△ABD-4CAD,則一定有AD：BD=CD：AD,即AD2=BD?CD,

而兩三角形只有一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，不會(huì)得到另外的對(duì)應(yīng)角相等，故①不正確；

②若△BEGsAAEB,則一定有BE：EG=AE：BE,即BE?=EG?AE,而兩三角形只有

一對(duì)公共角相等，不會(huì)得到另外的對(duì)應(yīng)角相等，故②不正確；

(3)VZABD=ZAEC,ZADB=ZACE=90°,AAABD^AAEC,AAE：AC=AB：AD,

即AE?AD=AC?AB,故③正確；

?.?根據(jù)相交弦定理，可直接得出AG?EG=BG?CG,故④正確.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了相似三角形的判定、直徑所對(duì)的圓周角等于90。、同弧所對(duì)

的圓周角相等等知識(shí).

9.如圖，點(diǎn)A在。。上，BC為。。的直徑，AB=4,AC=3,D是標(biāo)的中點(diǎn)，CD

與AB相交于點(diǎn)P,則CP的長為()

【分析】如圖作PHLBC于H.首先證明AP=PH,設(shè)PA=PH=x,根據(jù)勾股定理構(gòu)

建方程即可解決問題;

【解答】解：如圖作PHJ_BC于H.

c

p.

-------/

VAD=BD，

，ZACD=ZBCD,

,/BC是直徑，

；.NBAC=90°,

APA1AC,VPH1BC,

，PA=PH,設(shè)PA=PH=x,

VPC=PC,

RtAPCA^RtAPCH,

.*.AC=CH=3,

，;BC=VAB2+AC2=5,

，BH=2,

在RtAPBH中，VPB2=PH2+BH2,

/.(4-x)2=X2+22,

解得x=?,

2

PC=J(搟)2+32=|■旄，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理、勾股定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系、角平分線的

性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決

問題，屬于中考?？碱}型.

二.解答題(共41小題)

10.如圖，在。。中，AB是。。的弦，CD是。0的直徑，且AB±CD,垂足為G,

點(diǎn)E在劣弧窟上，連接CE.

(1)求證：CE平分NAEB；

(2)連接BC,若BC〃AE,且CG=4,AB=6,求BE的長.

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理得到竟=前.，然后根據(jù)圓周角定理得到NAEC=NBEC；

(2)利用垂徑得到BG=AG=3.ZBGC=90°,則利用勾股定理可計(jì)算出BC=5,然

后證明NBCE=NBEC,從而得到BE的長.

【解答】(1)證明：???CDLAB,CD是直徑,

AC=BC.

AZAEC=ZBEC；

ACE平分NAEB；

(2)解：VCD1AB,

/.BG=AG=3.ZBGC=90",

在RtaBGC中，?.?CGn%BG=3,

，BC=5,

VBC/7AE,

/.ZAEC=ZBCE.

又NAEC=NBEC,

/.ZBCE=ZBEC

，BE=BC=5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相

等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.也考查了垂徑定理.

11.如圖，AB為。。的直徑，C,F為。。上兩點(diǎn)，過C作CELAB于點(diǎn)D,交。

。于點(diǎn)E,延長EC交BF的延長線于點(diǎn)G,連接CF,EF.

(1)求證:ZBFE=ZCFG；

(2)若FG=4,BF=6,CF=3.

①求EF的長；

②若tan/GFC=2M，求。。的半徑.

【分析】(1)利用垂徑定理以及等角的補(bǔ)角相等即可解決問題；

(2)①△GFCsAEFB,可得至=氏，即可解決問題；

FGFB

②作BMLEF于M,作ON_LBE于N.解直角三角形求出BM,FM,EM,BE,再

利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；

【解答】解：(1)連接EB.

「AB是直徑,AB1EC,

-??BE=BC-

.,.ZBFE=ZBEC,

,/ZGFC+ZBFC=180°,ZBEC+ZBFC=180°,

/.ZCFG=ZBEC,

/.ZBFE=ZCFG.

(2)d)VZFCG+ZECF=180o,ZEBF+ZECF=180°,

/.ZFCG=ZEBF,VZGFC=ZBFE,

.'.△GFC^AEFB,

???E--F--_--F--C-,

FGFB

?.?E-F--_-3-,

46

，EF=8.

②作BM，EF于M,作ON_LBE于N.

tanZEFB=tanZGFC=272=—?設(shè)FM=m,貝UBM=2亞m,

FM

根據(jù)勾股定理可得m=2,BM=4g，F(xiàn)M=2,EM=6,BE=JBM2+EH2=2717,

V0N1BE,

/.BN=V17?

由△BMFs^BNO,得到此=典，

BOBN

.6.472

BOV17

4_

...00的半徑為&屬.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S

題.

12.如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，。為圓心，ZBOD=160°,求NBCD的度數(shù).

【分析】根據(jù)圓周角定理求出NA,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得出NBCD+N

BAD=180°,代入求出即可.

【解答】解：VZBOD=160",

，NBAD=L/BOD=80°,

2

,:A、B、C、D四點(diǎn)共圓，

.,.ZBCD+ZBAD=180°,

?,.ZBCD=100°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，能根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的

性質(zhì)得出NBCD+ZBAD=180。是解此題的關(guān)鍵.

13.如圖，A,P,B,C是。0上的四個(gè)點(diǎn)，ZAPC=ZCPB=60°

(1)判斷aABC的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)若BC的長為6,求。。的半徑.

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得到NABC=NAPC=60。，NCAB=NCPB=60。，根據(jù)

等邊三角形的判定定理證明；

(2)延長B。交。。于E,連接CE,根據(jù)圓周角定理得到NE=NBAC=60。，根據(jù)

正弦的概念計(jì)算即可.

【解答】解：(1)aABC是等邊三角形，

理由如下：由圓周角定理得，ZABC=ZAPC=60°,ZCAB=ZCPB=60°,

.??△ABC是等邊三角形；

(2)延長B。交。。于E,連接CE,

由圓周角定理得，NE=NBAC=60。，

?迷=缶=4打

.??。0的半徑為2T.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理、等邊三角形的判定，掌握同弧所對(duì)的圓周角

相等是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，Z1=Z2,EC=BC.

（1）若NCBD=39。，求NCAD的度數(shù)；

（2）求證:BC=CD.

【分析】（1）直接利用圓周角定理得出答案；

（2）直接利用圓周角定理以及三角形外角的性質(zhì)分析得出答案.

【解答】（1）解：VZCBD=39°,

...NCAD的度數(shù)為：39。（同圓中，同弧所對(duì)圓周角相等）；

（2）證明:VEC=BC,

/.ZCBE=ZCEB,

.,.Z1+ZCBD=Z2+ZBAC,

VZ1=Z2,

/.ZCBD=ZBAC,

VZBAC=ZBDC,

/.ZCBD=ZBDC,

BC=CD.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理以及三角形外角的性質(zhì)，正確應(yīng)用圓周角定

理是解題關(guān)鍵.

15.如圖，已知。。中，AB為直徑，AB=10cm,弦AC=6cm,NACB的平分線交

。。于D,求線段BC,AD,BD的長.

【分析】由在。。中，直徑AB的長為10cm,弦AC=6cm,利用勾股定理，即可

求得BC的長，又由NACB的平分線CD交。。于點(diǎn)D,可得aABD是等腰直

角三角形，繼而求得AD、BD的長；

【解答】解：〈AB是。。的直徑，

，NACB=NADB=90°,

VAB=10cm,AC=6cm,

BC=22=8

VAB-AC(cm)’

,/ZACB的平分線CD交。0于點(diǎn)D,

AD=BD，

AD=BD,

/.ZBAD=ZABD=45°,

AD=BD=AB?cos450=10X辱5&(cm).

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理以及勾股定理.此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)

合思想的應(yīng)用.

16.如圖，AB是半圓。的直徑，C、D是半圓。上的兩點(diǎn)，且OD〃BC,OD與

AC交于點(diǎn)E.

(1)若NB=70。，求NCAD的度數(shù)；

(2)若AB=4,AC=3,求DE的長.

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理可得NACB=90。，則NCAB的度數(shù)即可求得，在等

腰4AOD中，根據(jù)等邊對(duì)等角求得NDA。的度數(shù)，則NCAD即可求得；

(2)易證OE是aABC的中位線，利用中位線定理求得OE的長，則DE即可求

得.

【解答】解：(1)是半圓。的直徑，

Z.ZACB=90°,

又「ODaBC,

/.ZAEO=90°,BPOE±AC,

ZCAB=90°-ZB=90°-70°=20°,ZAOD=ZB=70°.

VOA=OD,

，NDAO=/ADO=L(180°-ZAOD)=L(180°-70°)=55°,

22

ZCAD=ZDAO-ZCAB=55°-20°=35°；

(2)在直角△AB”BC=^AB2_AC2=^2^2=V7.

VOE±AC,

，AE=EC,

XVOA=OB,

.?.OE」BC=?.

22

又；OD」AB=2,

2

/.DE=OD-OE=2-近.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理以及三角形的中位線定理，正確證明OE是4ABC

的中位線是關(guān)鍵.

17.已知：如圖，Z^ABC內(nèi)接于。0,AF是。O的弦，AF1BC,垂足為D,點(diǎn)E

為弧BF上一點(diǎn)，且BE=CF,

(1)求證：AE是。。的直徑；

(2)若NABC=NEAC,AE=8,求AC的長.

A

'TDT^C

EF

【分析】(1)由BE=CF,則可證得NBAE=NFAC,根據(jù)圓周角定理和等角的余角

相等證明即可；

(2)連接。C,根據(jù)圓周角定理證明△AOC是等腰直角三角形，由勾股定理即可

求得.

【解答】(1)證明：???BE=CF,

?'-BE=CF?

/.ZBAE=ZCAF,

VAF±BC,

.,.ADC=90°,

AZFAC+ZACD=90°,

VZE=ZACB,

，NE+NBAE=90°,

NABE=90°,

AAE是。0的直徑；

(2)如圖，連接OC,

/.ZAOC=2ZABC,

VZABC=ZCAE,

NAOC=2NCAE,

VOA=OC,

ZCAO=ZACO=1ZAOC,

2

/.△AOC是等腰直角三角形，

VAE=8,

/.AO=CO=4,

；.AC=4&.

A

EF

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理和其推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的

圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所

對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（0,V3）為圓心，以2T長為半徑作

。1\/1交*軸于人、B兩點(diǎn)，交y軸于C、D兩點(diǎn)，連接AM并延長交。M于P

點(diǎn)，連接PC交x軸于E.

（1）求點(diǎn)C、P的坐標(biāo)；

（2）求證：BE=2OE.

【分析】（1）連接PB.根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角判定PB1OM；由已知條

件OA=OB推知OM是三角形APB的中位線；最后根據(jù)三角形的中位線定理求

得點(diǎn)P的坐標(biāo)、由。M的半徑長求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）連接AC,證AAMC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60。、

直徑所對(duì)的圓周角NACP=90。求得NOCE=30。，然后在直角三角形OCE中利用

30。角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半來證明BE=2OE.

【解答】（1）解：連接PB,「PA是圓M的直徑，...NPBA=90°

.*.AO=OB=3

又YMOLAB,.?.PB〃MO..".PB=2OM=2V3

，P點(diǎn)坐標(biāo)為（3,2后）（2分）

在直角三角形ABP中，AB=6,PB=2?,

根據(jù)勾股定理得：AP=4?,

所以圓的半徑MC=2?,又0M=?,

所以O(shè)C=MC-0M=?,

貝IC（0,-V3）（1分）

（2）證明：連接AC.

?.，AM=MC=2b，AO=3,OC=V3，

/.AM=MC=AC=2V3，

...△AMC為等邊三角形（2分）

又...AP為圓M的直徑

得NACP=90°

得NOCE=30。（1分）

/.OE=1,BE=2

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形

性質(zhì).解答該題時(shí)通過作輔助線AC、BP構(gòu)建直徑所對(duì)的圓周角NACP、NABP,

然后利用圓周角定理來解決問題.

19.如圖，AB是。。的直徑，AC是。。的弦，NACB的平分線交。0于點(diǎn)D.若

AB=10,AC=6,求BC,BD的值.

【分析】根據(jù)直徑得出NACB=NADB=90。，根據(jù)勾股定理求出BC的長度.根據(jù)

直徑所對(duì)的圓周角是直角可得NACB=NADB=90。，再根據(jù)角平分線的定義可得

ZDAC=ZBCD,然后求出AD=BD,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)其解即可.

【解答】解：連接AD,

AZACB=ZADB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），

在RtZ\ABC中,AB=10,AC=6,

BC=7AB2-AC2=V102-62=8,

VAB是直徑，

ZACB=ZADB=90°,

,/ZACB的平分線交。。于點(diǎn)D,

/.ZDCA=ZBCD,

AD=BD>

/.AD=BD,

.,.在Rt^ABD中，AD=BD=2>SAB=V1x10=572，即BD=5圾.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是求出NACB=NADB=90。.

20.如圖，AB是。。的直徑，CD是。0的弦，AB、CD的延長線交于點(diǎn)E,己知

AB=2DE,ZOCD=40°,求NAOC的度數(shù).

D

\OBE

【分析】連接OD,如圖，由AB=2DE,AB=2OD得至IJOD=DE,根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)得NDOE=NE,再利用三角形外角性質(zhì)得到/CDO=2NDOE,由NC=/

ODC=40°,然后再利用三角形外角性質(zhì)即可計(jì)算出NAOC.

【解答】解:連接0D,如圖,

VAB=2DE,

而AB=2OD,

，OD=DE,

/.ZDOE=ZE,

.*.ZCDO=ZDOE+ZE,

而OC=OD,

，ZC=ZODC=ZDOE+ZE=40°,

/.ZE=20°,

/.ZAOC=ZC+ZE=60°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念(弦、直徑、半徑、弧、半

圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等).也考查了等腰三角形的性質(zhì).

21.如圖所示，已知AB為。。的直徑，CD是弦，且ABLCD于點(diǎn)E.連接AC、

OC、BC.

(1)求證：ZCAB=ZBCD；

(2)若EB=2cm,CD=8cm,求半徑0B的長.

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，等弧的圓周角相等，即可求證.

(2)根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關(guān)系，即可確定半徑.

【解答】(1)證明：:AB為。。的直徑，CD是弦，且ABLCD于點(diǎn)E,

?*-BC=BD>

.,.ZCAB=ZBCD；

(2)解：設(shè)。。的半徑為Rem,則OE=OB-EB=(R-2)cm,

CE」CD=LX8=4(cm).

22

在RtZ\CE。中，由勾股定理可得

OC2=OE2+CE2,即R2=(R-2)2+42,

解得R=5,

0B=5cm.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型.

22.已知如圖：。。中，BC是直徑，點(diǎn)A在。。上，AB=6,AC=8,AD平分/BAC,

求BD的長.

BO

D

【分析】連接。D,由圓周角定理得出/BOD的度數(shù)，再根據(jù)勾股定理即可求出

BD的長.

【解答】解:連接。D,

「AD平分NBAC,NBAC=90°,

AZBAD=45°,

/.ZBOD=2ZBAD=90°,

VOB=OD=lBC=ixiO=5,

22

*#,BD=VOB2+OD2=752+52=5>/2-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是

解答此題的關(guān)鍵.

23.如圖，C、D兩點(diǎn)在以AB為直徑的半圓。上，AD平分NBAC,AB=20,AD=4

任,DELAB于E.

(1)求DE的長.

(2)求證：AC=2OE.

【分析】(1)連接BD,利用勾股定理求出BD的長，再利用三角形的面積公式求

出DE的長；

(2)連接0D,作OF1AC于點(diǎn)F,首先根據(jù)垂徑定理得到AC=2AF,進(jìn)而證明

AF=OE,于是得到結(jié)論.

【解答】解：(1)連接BD.

VAB為直徑，

，ZADB=90°,

在Rt/XADB中，BD=7^2^2=7202-(4>/15)2

=4仍友

SAADB=—AD?BD=1AB?DE

22

，AD?BD=AB?DE,

?DE_ADXBD_4Vi5X

一~AB20

即DE=4近；

(2)證明：連接OD,作OF_LAC于點(diǎn)F.

VOF1AC,

，AC=2AF,

VAD平分NBAC,

/.ZBAC=2ZBAD.

又；NBOD=2NBAD,

/.ZBAC=ZBOD,

RtAOED和RtAAFO中，

rZBAC=ZB0D

工ZAF0=Z0ED=90o

0A=0D

/.△AFO^AOED(AAS),

，AF=OE,

VAC=2AF,

，AC=2OE.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理、角平分線的性質(zhì)、勾股定理以及垂徑定理

的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，此題難度不大.

24.如圖，在aABC中，以AB為直徑的。。分別交AC,BC于點(diǎn)D,E.連接ED,

若ED=EC.

(1)求證:AB=AC；

(2)填空：①若AB=6,CD=4,貝UBC=4近；

②連接0D,當(dāng)NA的度數(shù)為60。時(shí),四邊形ODEB是菱形.

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)得到NEDC=NC,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到

ZEDC=ZB,由此推得NB=NC,由等腰三角形的判定即可證得結(jié)論；

(2)連接AE,由AB為直徑，可證得AE1BC,由(1)知AB=AC,證明4CDE

^△CBA后即可求得BC的長；

(3)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NBAE=30。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE=L

2

AB=BO,由菱形的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：:ED=EC,

，NEDC=NC,

VZEDC=ZB,

/.ZB=ZC,

/.AB=AC；

(2)解：①連接AE,

VAB為直徑，

/.AE±BC,

由(1)知AB=AC=6,

VZC=ZC,ZCDE=ZB,

/.△CDE^ACBA,

???-C--D--_-C--E-,

CBAC

.4.fBC

??'——,

BC6

/.BC=4⑥

故答案為：4?；

(3)當(dāng)NA=60。時(shí)，四邊形ODEB是菱形,

VZA=60",

AZBAE=30°,

ZAEB=90°,

.?.BE=LAB=BO,

2

.*?BE=DE=OB=OD,

...四邊形ODEB是菱形，

故答案為：60°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三

角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，AB是。。的直徑，俞=在，且AB=5,BD=4,求弦DE的長.

【分析】連接AD,在RtAABD中利用勾股定理求出AD,根據(jù)等弧對(duì)等弦得出

AD=DE.

【解答】解：連接AD,

;AD=DE，

，AD=DE,

又〈AB為直徑，

，NADB=90°,

VAB=5,BD=4,

DE=AD=7AB2-BD2=3,

ADE的長為3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出AD的長

度，難度一般.

26.如圖，已知圓0,弦AB、CD相交于點(diǎn)M.

（1）求證：AM?MB=CM?MD；

（2）若M為CD中點(diǎn)，且圓。的半徑為3,0M=2,求AM?MB的值.

【分析】（1）連接AD、BC,利用同弧所對(duì)的圓周角相等，證明△ADMs^CBM；

（2）連接0M、0C,由于M是CD的中點(diǎn)，由垂徑定理得0M,CD,利用勾股

定理可求出CM的值，根據(jù)（1）的結(jié)論，求出AM?BM.

【解答】解：（1）連接AD、BC.

VZA=ZC,ZD=ZB,

/.△ADM^ACBM

.MI_DM

■'CM=BM

即AM?MB=CM*MD.

(2)連接OM、OC.

?.?M為CD中點(diǎn)，

.*.OM±CD

在RtZ\OMC中，VOC=3,OM=2

ACD=CM=7OC2-OM2

=V32-22

=V5

由(1)矢口AM?MB=CM?MD.

.?.AM?MB=7^?遍

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理及垂徑定

理，是綜合性較強(qiáng)的題目.(1)利用相似、圓周角定理得到相交弦定理；(2)

中利用垂徑定理、勾股定理和相交弦定理得到了AM與BM的積.相交弦定

理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等

27.如圖，OA、OB、OC都是。。的半徑，ZAOB=2ZBOC

(1)求證：NACB=2NBAC

(2)若AC平分NOAB,求NAOC的度數(shù).

O

A

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得NB0C