模塊五-平面向量

模塊五平面向量考綱解讀高考大綱考試內(nèi)容要求層次ABC平面向量的概念平面向量的相關(guān)概念平面向量的線性運算向量的加法與減法向量的數(shù)乘兩個向量共線平面向量根本定理及坐標表示平面向量的根本定理平面向量的正交分解及坐標表示用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算用坐標表示的平面向量共線條件平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用數(shù)量積數(shù)量積的坐標表示用數(shù)量積表示兩個向量的夾角用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系用向量方法解決簡單的問題分析解讀1、能運用所學(xué)向量的相關(guān)概念和定理解答相關(guān)問題2、能熟練地進行向量的加法、減法和實數(shù)與向量積的運算3、會運用向量加法、減法、實數(shù)與向量積的定義、平面向量根本定理及兩個向量共線的條件，解決點共線、線共面、線平行等幾何問題。4、能夠根據(jù)平面向量的坐標運算判斷向量共線5、能夠把握向量的數(shù)量積、夾角、模等知識6、會用向量的數(shù)量積的運算判斷或證明向量垂直，處理有關(guān)長度、角度問題知識導(dǎo)航考點剖析考點一平面向量的概念及運算1、正確理解向量的概念(1)向量的根本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法；字母表示：a；坐標表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝〔ｘ，ｙ〕.(3)向量的長度：即向量的大小，記作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.單位向量aO為單位向量｜aO｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝〔ｘ2，ｙ2〕(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱為共線向量.2、向量的線性運算〔1〕幾何運算：①向量加法：利用“平行四邊形法那么”進行，但“平行四邊形法那么”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法那么”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；②向量的減法：用“三角形法那么”：設(shè)，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同?！?〕坐標運算：設(shè)，那么：①向量的加減法運算：，。②實數(shù)與向量的積：。③假設(shè)，那么，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。④平面向量數(shù)量積：。⑤向量的模：。⑥兩點間的距離：假設(shè)，那么?！?〕向量的運算律：1．交換律：，，；2．結(jié)合律：；3．分配律：，。考點二平面向量的根本定理及坐標表示1、平面向量根本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a=e1＋e2。2、向量平行(共線)的充要條件：＝0。3、向量垂直的充要條件：.特別地。考點三數(shù)量積的定義及性質(zhì)1、向量的數(shù)量積的定義如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積〔或內(nèi)積或點積〕，記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。2、的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。3、向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量，，其夾角為，那么：①；②當(dāng)，同向時，＝，特別地，；當(dāng)與反向時，＝－；當(dāng)為銳角時，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；③?？键c四向量的應(yīng)用1、證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行的充要條件2、證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件3、求夾角問題，利用夾角公式：4、求線段的長度，可以用向量的線性運算，向量的模或真題演練1.【2009北京,2,5分】向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么〔〕A．且c與d同向B．且c與d反向C．且c與d同向D．且c與d反向舉一反三1.1【2010陜西,11,5分】向量a=〔2，-1〕，b=〔-1，m〕，c=〔-1,2〕，假設(shè)〔a+b〕∥c，那么m=.1.2【2008湖南,7,5分】設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且那么與()A.反向平行 B.同向平行C.互相垂直 D.既不平行也不垂直2.【2010北京,6,5分】為非零向量，“”是“函數(shù)為一次函數(shù)”的〔〕〔A〕充分而不必要條件 〔B〕必要而不充分條件〔C〕充分必要條件 〔D〕既不充分也不必要條件舉一反三2.1【2012四川,7,5分】設(shè)、都是非零向量，以下四個條件中，使成立的充分條件是〔〕A、B、C、D、且2.2【2012重慶,6,5分】設(shè)R，向量且，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕102.3【2010安徽,3,5分】設(shè)向量，那么以下結(jié)論中正確的選項是〔A〕〔B〕〔C〕垂直〔D〕3.【2008北京,10,5分】向量與的夾角為，且，那么b?(2a+b)舉一反三3.1【2012新課標,13,5分】向量夾角為，且；那么是求長度的常用方法.3.2【2012遼寧,3,5分】兩個非零向量a，b滿足|a+b|=|ab|，那么下面結(jié)論正確的選項是(A)a∥b(B)a⊥b(C){0,1,3}(D)a+b=ab3.3【2012廣東,8,5分】對任意兩個非零的平面向量α和β，定義．假設(shè)平面向量a，b滿足|a|≥|b|＞0，a與b的夾角，且和都在集合中，那么=A．B.1C.D.4.【2011北京,10,5分】向量a=〔，1〕，b=〔0，-1〕，c=〔k，〕。假設(shè)a-2b與c共線，那么k=___________________。舉一反三4.1【2010廣東,10,5分】假設(shè)向量=〔1,1,x〕,=(1,2,1),=(1,1,1),滿足條件,那么=.4.2【2009廣東,10,5分】假設(shè)平面向量滿足，平行于軸，，那么．4.3【2010湖北,5,5分】和點M滿足.假設(shè)存在實數(shù)m使得成立，那么m=A．2B．3C．4D．55.【2012北京,13,5分】正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，那么的值為________，的最大值為______。舉一反三5.1【2012浙江,5,5分】設(shè)a，b是兩個非零向量。A.假設(shè)|a+b|=|a|-|b|，那么a⊥bB.假設(shè)a⊥b，那么|a+b|=|a|-|b|C.假設(shè)|a+b|=|a|-|b|，那么存在實數(shù)λ，使得b=λaD.假設(shè)存在實數(shù)λ，使得b=λa，那么|a+b|=|a|-|b|5.2【2012江西,7,5分】在直角三角形中，點是斜邊的中點，點為線段的中點，那么=A．2B．4C．5D．105.3【2012天津,7,5分】為等邊三角形，AB=2，設(shè)點P，Q滿足，，，假設(shè)，那么=〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕輕松驛站大科學(xué)家們的失誤世界上不少大科學(xué)家，在探索性的科學(xué)研究活動中都有過重大的失誤。牛頓科學(xué)探索的中止牛頓雖然在科學(xué)探索領(lǐng)域里成果豐碩，但在他從事科學(xué)探索的漫長歲月里，經(jīng)濟收入?yún)s一直很不寬裕。1692年，50歲的牛頓被富裕的物質(zhì)生活所吸引，決定拋棄科學(xué)探索的艱辛生活，尋找一個能夠帶來更多經(jīng)濟收入的職位。消息傳出，人們紛紛為牛頓推薦去處。開始有人推薦他去擔(dān)任倫敦查特蒙斯公立學(xué)校校長，但當(dāng)牛頓問清這個職位的月薪不夠高時，便辭掉了這個職位。1696年，好心的哈利發(fā)克斯爵士推薦牛頓去當(dāng)英國皇家造幣廠督辦，這個職位的年薪可觀，牛頓欣然同意遷居倫敦，當(dāng)上了皇家造幣廠的督辦。牛頓走馬上任后毫不停歇，把他那偉大的頭腦從此轉(zhuǎn)到了鑄造貨幣之上。在財政部花園后面，牛頓派人建起了10座大熔爐，先是一爐爐地把舊幣熔化掉，然后把熔化后的貴金屬運送到倫敦塔，在那里重新鑄成貨幣。牛頓就這樣投身于熔舊鑄新工作，一晃到了1699年，才告結(jié)束。牛頓的熱情工作受到了皇家的贊許，因而被皇家授予終生“造幣廠廠長”職銜。造幣廠廠長這個職銜給牛頓帶來了豐碩的薪俸，他每年可以得到一筆多達2000英鎊的可觀經(jīng)濟收入。我們說這筆收入可觀，是因為當(dāng)時建立格林尼治天文臺，即所謂弗拉姆斯蒂德大廈，才花去500英鎊的資金。牛頓把整個身心都投入到了貨幣鑄造之中，因而整日為此奔忙，使得他無法繼續(xù)擔(dān)任劍橋大學(xué)的教學(xué)和科研工作，不得不于1701年辭去了劍橋大學(xué)教授職務(wù)，退出了三一學(xué)院。這樣，就使得牛頓后半生生活發(fā)生了巨變：即從清貧之境變成了富裕之境，與此同時也使他從一個在劍橋大學(xué)過著相當(dāng)寧靜隱居生活的學(xué)者，一舉變成了一個在倫敦官場上頗有影響的人物，同英國皇室結(jié)成了日益密切的聯(lián)系。牛頓生活事業(yè)的這一急劇變化，當(dāng)然成了當(dāng)時人們的笑談。在一出話劇中，一個逗人發(fā)笑的丑角說：“牛頓嗎?唉——我是聽過伊薩克先生的名字的——誰都知道伊薩克先生的大名。偉大嘛，鑄幣大臣!”牛頓的全名叫做伊薩克·牛頓。生活道路的如此巨變，導(dǎo)致了牛頓科學(xué)探索道路的閉塞，使其科學(xué)探索工作徹底中止了下來。高斯的話柄高斯雖然被譽為18世紀是偉大的數(shù)學(xué)家，贏得了同代人的廣泛尊敬，但與此同時他也給同代和后代人留下了不可避開的話柄。即他雖然在1824年以前，已經(jīng)獨立地得到了非歐幾何學(xué)的令人滿意結(jié)果，但由于康德的唯心主義空間觀念占據(jù)著統(tǒng)治地位，高斯沒有勇氣去突破它，因而一直沒有把研究結(jié)果發(fā)表出來，造成了他的一大失誤?？档抡f，空間觀念是天賦的，人生下就有空間觀念，這種空間就是歐幾里德空間，它是惟一的空間?？档抡f的歐幾里德空間觀念在當(dāng)時占據(jù)著統(tǒng)治地位，人們都相信它，認為不可突破。高斯發(fā)現(xiàn)在非歐幾何學(xué)那么突破了這一傳統(tǒng)的空間觀念，所以高斯害怕他的非歐幾何學(xué)與傳統(tǒng)空間觀念相違背，引起不理解者的反對，因此這一研究成果到他死后才被人們披露出來。

高斯不僅沒有勇氣發(fā)表已經(jīng)取得的非歐幾何學(xué)研究成果，而且在別的數(shù)學(xué)家得出這一成果之時，他也不敢拿出勇氣進行公開支持。1826年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基在喀山大學(xué)物理學(xué)會議上，宣布他創(chuàng)立了非歐幾何。此后，他又連續(xù)發(fā)表了一系列非歐幾何學(xué)著作。羅巴切夫斯基的非歐幾何學(xué)動搖了舊的傳統(tǒng)空間觀念，因而引起了教廷的反對，主教宣布他的學(xué)說是邪說，更有人用匿名信在反對雜志上嘲笑、謾罵、侮辱羅巴切夫斯基，甚至宣布他是瘋子，最好的態(tài)度也不過是“對一個錯誤的怪人的寬容的惋惜態(tài)度”。高斯是了解羅巴切夫斯基非歐幾何學(xué)正確的人，而且這時他已大名鼎鼎，完全有能力站出來為新生的非歐幾何學(xué)進行辯護，但羅巴切夫斯基的遭遇正是高斯先前估計到的，也正是他不敢發(fā)表自己的非歐幾何學(xué)結(jié)論的“怕處”所在。因此，他沒有敢于站出來為之辯護，只在私人通信里說到自己對羅巴切夫斯基的欽佩。一代數(shù)學(xué)巨匠高斯，因為缺乏與舊的傳統(tǒng)觀念斗爭的勇氣，不僅一時淹滅了自己也淹滅了他人的非歐幾何學(xué)研究成果，給人們留下了奪不去的話柄。愛因斯坦的否認愛因斯坦一生科研成果卓著，其中最卓著的是他創(chuàng)立了相對論，并開展了普朗克提出的量子假說然而，令人遺憾的是愛因斯坦雖然在量子力學(xué)初創(chuàng)階段，成為第一位率先站出來支持并予以開展的大科學(xué)家，但其后不久，他對待量子力學(xué)的思想?yún)s倒退僵化起來。結(jié)果使眾多科學(xué)家在他對量子力學(xué)成功探索引導(dǎo)下，紛紛投身量子力學(xué)探索并取得了一系列新的成就之時，他卻從1925年開始走上自己的反面，成為量子力學(xué)的頑固反對者。這一年，德國物理學(xué)家海森堡在繼愛因斯坦之后眾多科學(xué)家探索量子力學(xué)的成就的根底上，找到了反映量子波粒二象性事實的“測不準原理”。這一原理就是對于微觀粒子來說。要想精確地測定其位置，就無法精確地測定其速度；反過來，要想精確地測定其速度，就無法精確地測定其位置。這一原理為人們后來認識微觀粒子提供了重要的理論依據(jù)?？墒菒垡蛩固箤@一原理卻給