湖南長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2024屆高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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湖南長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2024屆高三最后一模數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.2.過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn),且,拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于,的面積為,則()A. B. C. D.3.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,則角的大小為()A. B. C. D.4.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后,所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),則的最小正值是()A. B. C. D.5.若集合,,則()A. B. C. D.6.已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)為,且與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相同,則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.7.已知集合的所有三個(gè)元素的子集記為.記為集合中的最大元素,則()A. B. C. D.8.復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則()A. B. C. D.9.記的最大值和最小值分別為和.若平面向量、、,滿(mǎn)足,則()A. B.C. D.10.若函數(shù)f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)滿(mǎn)足f(1)=,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]11.若函數(shù)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是()A. B. C. D.12.設(shè),滿(mǎn)足約束條件,則的最大值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖是一個(gè)算法的偽代碼,運(yùn)行后輸出的值為_(kāi)__________.14.若變量,滿(mǎn)足約束條件,則的最大值為_(kāi)_________.15.設(shè)α、β為互不重合的平面,m,n是互不重合的直線(xiàn),給出下列四個(gè)命題:①若m∥n,則m∥α;②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β;③若α∥β,m?α,n?β,則m∥n;④若α⊥β,α∩β=m,n?α,m⊥n,則n⊥β;其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)____.16.如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)的向量分別是,,則_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列,且滿(mǎn)足a3a5=45,a2+a6=1.(I)求{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足:…,求{bn}的前n項(xiàng)和.18.(12分)如圖,三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,且,,,,是棱的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線(xiàn)的普通方程與直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),求.20.(12分)已知橢圓:的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,點(diǎn)(為橢圓的離心率)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如圖,為直線(xiàn)上任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)橢圓上點(diǎn)處的切線(xiàn)為,,切點(diǎn)分別,,直線(xiàn)與直線(xiàn),分別交于,兩點(diǎn),點(diǎn),的縱坐標(biāo)分別為,,求的值.21.(12分)某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試,從中隨機(jī)抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分?jǐn)?shù)(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉):若分?jǐn)?shù)不低于95分,則稱(chēng)該員工的成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”.(1)從這20人中任取3人,求恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”的概率;(2)根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補(bǔ)全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問(wèn)題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計(jì)所有員工的平均分?jǐn)?shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);②若從所有員工中任選3人,記表示抽到的員工成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)證明:

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)準(zhǔn)線(xiàn)的方程寫(xiě)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對(duì)照系數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線(xiàn)方程為,所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為,所以,即.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)的方程.屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線(xiàn)的方程為,由得,將直線(xiàn)的方程代入韋達(dá)定理,求得,結(jié)合的面積求得的值,結(jié)合焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線(xiàn)的方程為,將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,消去得,由韋達(dá)定理得,,,,,,,,可得,,拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于,的面積為,解得,則拋物線(xiàn)的方程為,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算,計(jì)算出拋物線(xiàn)的方程是解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于中等題.3、A【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角,然后利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn),可求出解B.【詳解】由正弦定理可得,即,即有,因?yàn)椋瑒t,而,所以.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導(dǎo)公式得到關(guān)于的方程,對(duì)賦值即可求解.【詳解】由題意知,函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得,將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后的解析式為,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),所以,即,所以當(dāng)時(shí),有最小正值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì);熟練掌握誘導(dǎo)公式和正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.5、A【解析】

用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定義求解即可.【詳解】解:由集合,解得,則故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了并集及其運(yùn)算,分式不等式的解法,熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸和漸近線(xiàn)方程設(shè)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求解.【詳解】∵雙曲線(xiàn)與的漸近線(xiàn)相同,且焦點(diǎn)在軸上,∴可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為,一個(gè)焦點(diǎn)為,∴,∴,故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)和焦點(diǎn)求解雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,易錯(cuò)點(diǎn)在于漏掉考慮焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致方程形式出錯(cuò).7、B【解析】

分類(lèi)討論,分別求出最大元素為3,4,5,6的三個(gè)元素子集的個(gè)數(shù),即可得解.【詳解】集合含有個(gè)元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素為的集合有個(gè);最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;所以.故選:.【點(diǎn)睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問(wèn)題,其本質(zhì)在于弄清計(jì)數(shù)原理,分類(lèi)討論,分別求解.8、C【解析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】解:,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的模,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

設(shè)為、的夾角,根據(jù)題意求得,然后建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程,將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離,利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得,則,,,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,,由,可得,即,化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為,則,則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離,,,,轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解,將向量坐標(biāo)化,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.10、B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,故選B.11、B【解析】因?yàn)閷?duì)A不符合定義域當(dāng)中的每一個(gè)元素都有象,即可排除;對(duì)B滿(mǎn)足函數(shù)定義,故符合;對(duì)C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況,不符合函數(shù)的定義,從而可以否定;對(duì)D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒(méi)有原象,故可否定.故選B.12、D【解析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,通過(guò)平移即可求z的最大值.【詳解】作出不等式組的可行域,如圖陰影部分,作直線(xiàn):在可行域內(nèi)平移當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值.由得:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線(xiàn)性規(guī)劃題目的常用方法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、13【解析】根據(jù)題意得到:a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不滿(mǎn)足條件,故得到此時(shí)輸出的b值為13.故答案為13.14、【解析】

根據(jù)約束條件可以畫(huà)出可行域,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)在軸截距最大的問(wèn)題的求解,通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可確定過(guò)時(shí),取最大值,代入可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示:將化為,則最大時(shí),直線(xiàn)在軸截距最大;由直線(xiàn)平移可知,當(dāng)過(guò)時(shí),在軸截距最大,由得:,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃中最值問(wèn)題的求解,關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)在軸截距的最值的求解問(wèn)題,通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.15、④【解析】

根據(jù)直線(xiàn)和平面,平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】對(duì)于①,當(dāng)m∥n時(shí),由直線(xiàn)與平面平行的定義和判定定理,不能得出m∥α,①錯(cuò)誤;對(duì)于②,當(dāng)m?α,n?α,且m∥β,n∥β時(shí),由兩平面平行的判定定理,不能得出α∥β,②錯(cuò)誤;對(duì)于③,當(dāng)α∥β,且m?α,n?β時(shí),由兩平面平行的性質(zhì)定理,不能得出m∥n,③錯(cuò)誤;對(duì)于④,當(dāng)α⊥β,且α∩β=m,n?α,m⊥n時(shí),由兩平面垂直的性質(zhì)定理,能夠得出n⊥β,④正確;綜上知,正確命題的序號(hào)是④.故答案為:④.【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)和平面,平面和平面的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.16、【解析】試題分析:由坐標(biāo)系可知考點(diǎn):復(fù)數(shù)運(yùn)算三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(I);(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則依題設(shè).由,可得.由,得,可得.所以.可得.(Ⅱ)設(shè),則.即,可得,且.所以,可知.所以,所以數(shù)列是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.所以前項(xiàng)和.考點(diǎn):等差數(shù)列通項(xiàng)公式、用數(shù)列前項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)公式.18、(1)詳見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)根據(jù)平面,四邊形是矩形,由為中點(diǎn),且,利用平面幾何知識(shí),可得,又平面,所以,根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可有平面,從而得證.(2)分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,得到,,,,分別求得平和平面的法向量,代入二面角向量公式求解.【詳解】(1)證明:∵平面,∴四邊形是矩形,∵為中點(diǎn),且,∴,∵,,,∴.∴,∵,∴與相似,∴,∴,∴,∵,∴平面,∴平面,∵平面,∴,∴平面,∴.(2)如圖,分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,,解得:,同理,平面的法向量,設(shè)二面角的大小為,則.即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直的轉(zhuǎn)化以及二面角的求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和推理論證、運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.19、(1)(x-1)2+y2=4,直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0;(2)3.【解析】

(1)消參得到曲線(xiàn)的普通方程,利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式求得直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(2)先得到直線(xiàn)的參數(shù)方程,將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入到圓的方程,得到關(guān)于的一元二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】(1)由曲線(xiàn)C的參數(shù)方程(α為參數(shù))(α為參數(shù)),兩式平方相加,得曲線(xiàn)C的普通方程為(x-1)2+y2=4;由直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程可得ρcosθcos-ρsinθsin=ρcosθ-ρsinθ=2,即直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0.(2)由題意可得P(2,0),則直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則|PA|·|PB|=|t1|·|t2|,將(t為參數(shù))代入(x-1)2+y2=4,得t2+t-3=0,則Δ>0,由韋達(dá)定理可得t1·t2=-3,所以|PA|·|PB|=|-3|=3.20、(1);(2).【解析】

(1)因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,然后,利用,,得出,進(jìn)而求解即可(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線(xiàn)的方程為,直線(xiàn)的方程為,分別聯(lián)立方程:和,利用韋達(dá)定理,再利用,,即可求出的值【詳解】(1)由橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,得.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以.又因?yàn)?,,所以,所以(舍)?故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線(xiàn)的方程為,直線(xiàn)的方程為.據(jù)得.據(jù)題意,得,得,同理,得,所以.又可求,得,,所以.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解以及聯(lián)立方程求定值的問(wèn)題,聯(lián)立方程求定值的關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參,屬于中檔題21、(1);(2)①82,②分布列見(jiàn)解析,【解析】

(1)從20人中任取3人共有種結(jié)果,恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”共有種結(jié)果,利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可;(2)①平均數(shù)的估計(jì)值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和;②要注意服從的是二項(xiàng)分布,不是超幾何分布,利用二項(xiàng)分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】(1)設(shè)從20人中任取3人恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”為事件,則,所以,恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.(2)組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①,估計(jì)所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1

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