2024年廣東省深圳市南山部分學校中考三模數(shù)學試題（解析版）

2024年深圳市南山部分學校中考三模數(shù)學模擬試題

說明：

1.答題前，請將姓名、準考證號和學校用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫在答題卡指定的位置

上，并將條形碼粘貼好.

2,全卷共6頁，考試時間90分鐘，滿分100分.

3.作答選擇題1?10,選出每題答案后，用23鉛筆把題卡上對應題目答案標號的信息點框涂

黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.作非選擇題11-22,用黑色字跡的鋼筆

或簽字筆將答案（含作輔助線）寫在題卡指定區(qū)域內(nèi).寫在本試卷或草稿紙上，其答案一律無

效.

4.考試結束后，請將答題卡交回.

第一部分選擇題

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個

是正確的）

1.下列實數(shù)中是無理數(shù)的是（）

A.3.14B.囪C.V3D.；

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)算術平方根、無理數(shù)的定義即可得.

【詳解】A、3.14是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，此項不符題意；

B、內(nèi)=3,是有理數(shù)，此項不符題意；

C、&是無理數(shù)，此項符合題意；

D、；是分數(shù)，屬于有理數(shù)，此項不符題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了算術平方根、無理數(shù)，熟記定義是解題關鍵.

2.銅鼓是我國古代南方少數(shù)民族使用的打擊樂器和禮器，世界上最重的銅鼓王出土于廣西、如圖是銅鼓的

實物圖，它的左視圖是（）

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【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了簡單組合體的三視圖用到的知識點為：主視圖指從物體的正面看，左視圖是指從物

體的左面看，俯視圖是指從物體的上面看.準確掌握定義是解題的關鍵.

根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【詳解】解：從左邊看，可得選項B的圖形，

故選：B.

3.某班30位同學的安全知識測試成績統(tǒng)計如表，其中有兩個數(shù)據(jù)被遮蓋，下列關于成績的統(tǒng)計量中，與

被遮蓋的數(shù)據(jù)無關的是（）

成

24252627282930

績

人

■■33679

數(shù)

A.平均數(shù)，方差B.中位數(shù)，方差

C,中位數(shù)，眾數(shù)D.平均數(shù)，眾數(shù)

【答案】C

【解析】

【分析】通過計算成績?yōu)?4、25分的人數(shù)，進行判斷，不影響成績出現(xiàn)次數(shù)最多的結果，因此不影響眾

數(shù)，同時不影響找第15、16位數(shù)據(jù)，因此不影響中位數(shù)的計算，進而進行選擇.

【詳解】解?：由表格數(shù)據(jù)可知，成績?yōu)?4分、25分的人數(shù)為30-3-3-6-7-9=2（人），

成績?yōu)?0分的，出現(xiàn)次數(shù)最多，因此成績的眾數(shù)是30,

成績從小到大排列后處在第15、16位的兩個數(shù)都是29分，因此中位數(shù)是29,

第2頁/共28頁

因此中位數(shù)和眾數(shù)與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關，

故選：C.

【點睛】考查中位數(shù)、眾數(shù)、方差、平均數(shù)的意義和計算方法，理解各個統(tǒng)計量的實際意義，以及每個統(tǒng)

計量所反應數(shù)據(jù)的特征，是正確判斷的前提.

4.如圖，已知三角板ABC,ZACB=90c,ZA=60°,AC=2,將三角板繞直角頂點C逆時針旋轉，

當點A的對應點A落在邊的起始位置上時即停止轉動，則B點轉過的路徑長為（）

A71百「2

A?幾兀C?D?九

3333

【答案】D

【解析】

【分析】本題根據(jù)30度所對直角邊等于斜邊的一半，得到A8,根據(jù)勾股定理求得8c的長度，再根據(jù)題

意得到△A4C是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質確定轉動的角度，最后運用弧長公式即可解題.

【詳解】解：???NAC5=90。，ZA=60°,AC=2,

/.4=30。，

AB=4,

BC=\lAB2-AC2=2x/3，

當A'落在AB邊時，NA=60。，AC=AfC,

.EAAC是等邊三角形，

.?□AA'C轉動了60。，

B點轉過的路徑長BB'=60小BC=空1,

1803

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理、旋轉的性質、等邊三角形的性質和判定、30度所對直角邊等于斜邊的一

半、弧長公式，熟練掌握相關性質定理即可解題。

5.下列計算正確的是（）

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A.a~a=aB.a^a4=a

C.2/+3/=6/D.[-3ay=-9a2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)塞的乘法，同底數(shù)幕的除法，合并同類項，積的乘方逐項分析判斷即可求解.

26

【詳解】解：A.a-a=a^故該選項正確，符合題意；

B./+故該選項不正確，不符合題意；

C.2/+3/=5/,故該選項不正確，不符合題意；

D.（-3。）2=9。2,故該選項不正確，不符合題意；

故選A

【點睛】本題考查了同底數(shù)昂的乘法，同底數(shù)鼎的除法，合并同類項，積的莢方，正確的計算是解題的關

鍵.

6.光在不同介質中的傳播速度是不同的，因此光從水中射向空氣時，要發(fā)生折射.已知在水中平行的光線

射向空氣中時也是平行的.如圖，Zl=40°,Z2=120°,則N3+N4的值為（）

A.160°B.150°C.100°

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質的應用，解題的關鍵在于熟練掌握平行線的性質.根據(jù)平行線的性質,

兩直線平行，同位角相等或同旁內(nèi)角互補，即可求出答案.

【詳解】解：如圖所示，AB//CD,光線在空氣中也平行，

/.Zl=Z3,Z2+Z4=180°,

第4頁/共28頁

VZ1=40°,Z2=120°,

.?"二40。，Z4=180°-120°=60°.

Z3+Z4=40O4-60°=100°.

故選：C.

7.下列命題中是假命題的是（）

A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

C.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了命題與定理的知識.利用三角形的中位線定理、垂徑定理、切線長定理以及直角三角

形斜邊上的中線的性質分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解：A、三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，是真命題，故此選項

不符合題意；

B、平分弦（弦不是更徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，故原命題是假命題，本選項符合

題意；

C、從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角，是

真命題，故此選項不符合題意；

D、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，故此選項不符合題意；

故選：B.

8.如圖，在中，NA—45。.利用尺規(guī)在3C,上分別截取BF，使=分別

以點E,尸為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在NC8A的內(nèi)部交于點O：作射線8。交DC于點

2

A.72-1B.72C.近+1D.2

【答案】C

【解析】

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【分析】本題考查平行四邊形的性質，解直角三角形，過H作HE上BC,根據(jù)平行四邊形得到

ZC=A=45°,ABDCD,結合//EJ.8。得到=CE=〃C?cos45。，結合角平分線得到

ZABH=?BH,即可得到NC5”=NC〃6,得到C〃=C8,即可得到即可得到答案；

【詳解】解：過"作HE_LBC,

???四邊形ABC。是平行四邊形，ZA=45°,

，NC=A=45。，AB口CD,

'：HELBC,

AHE=CE=HC-cos45°=—HCf/ABH=NCHB,

2

???BH平分/ABC,

???AABH=NCBH,

???NCBH=NCHB,

???CH=CB,

???BE=HC-CE=HC--HC=^—^HC^

22

HF-HC

：.tanNCHB=tanNCBH=—=———=拒+1,

BE”心

2

故選：C.

3

9.如圖，在RtZXABC中，AB=10cm,sinA=-,ZACB=90°,過點C向A3作垂線，垂足為O.直

線相，“垂直于AB,直線團分別與相交于點M,N,直線〃分別與AB,3C相交于點尸、Q.直線

從點4出發(fā)，沿方向以lcm/s的速度向點。運動，到達點￡)時停止運動；同時，直線〃從點8出發(fā)，

沿6A方向以相同的速度向點。運動，到達點。時停止運動.若運動過程中直線〃?、〃及DABC圍成的多

邊形MNCQP的面積是y(cn?)，直線機的運動時間是x(s),則y與x之間函數(shù)關系的圖象大致是()

第6頁/共28頁

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查的是動點圖象問題，涉及到解直角三角形等知識，此類問題關鍵是：弄清楚不同時間段,

圖象和圖形的對應關系，進而求解.分別求出當0<“<三和■時的y與x之間函數(shù)關系式即可

判斷.

【詳解】解：RtZ\ABC中，NACB=90。，過點C向A8作垂線,

:.ZCDB=90°,

.?.乙4+NACD=90。,N8co+NACD=90°,

:.4=NBCD，

同理N3=N4CO

3

VAB=10cm,sinA=g

:.BC=AB?sinA=6,

在RlZXABC中，運用勾股定理得AC=8,

*：-ABCD=-ACBC,ACD=

22y

344

由sinA=一得：cosA=—,tanA=—

553

IQ

當時，AM=BP=x,

第7頁/共28頁

A334321X

由SnA=—，tan3=?得：MN=-x,QP=-x,AD=——，BD=—,

344355

:.MD=----xDP-------x,

5y5

：?y=S五邊形小尸+CD).M。+；(QP+CQ).OP

1<24332If244「18252?

——+—x-----x+——+—x-----x-----x+24；

2(5452153(524

825

25，“(八181

-----k+240<x<——

24I5)

=<,根據(jù)函數(shù)解析式判斷A選項符合題意,

故選：A.

10.如圖，ZMBC中，NABO45。，ZBAC=75°,BC=E點P是3c上一動點，PD_LAC于

。，于E,在點尸的運動過程中.線段OE的最小值為（）

A.373-3B.辿C.逋D.-

352

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)PO1AC,PE_LA8可以確定4。,尸,￡四點共圓,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定NB4C=60。,

第8頁/共28頁

進而確定當AP_L8c時，線段OE取得最小值，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理的推論確定

40DE

N4OE=45。，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質可一=「；，設AE=2x,根據(jù)等角對等邊和勾股定理

ABBC

表示出AB和AP,根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半，圓周角定理和勾股定理表示出AO,最后代入比

例式中計算即可.

【詳解】解：???PO_LAC于。，于日

???Z4O尸=NAE尸二90。，

AZXDP+ZAEP=180°,

???A、。、P、￡四點共圓，且直徑為4P,

VZBAC=75°,是定值，所以直徑4P最小時，NDAE所對的弦0E最小，此時AP1BC,

在Rt/XPBE中，ZB=45°

???△P5E是等腰更角三角形，ZAPE=45°,

???△APE也是等腰直角三角形，

NP4E=45。，

NPBE=NPAE=45。,

???ZADE=45°,

???AADE=/B，

■:ZEAD=NCAB,

/.△ADEcoAABC,

ADDE

??——=——,

ABBC

設4E=2%,則PE=EB=2x?AP=2\l2x，

B

則40=。。=。尸=岳，

,/ZDAP=ZBAC-ZPAE=30°,

???ZDOP=2ZDAO=60°,

第9頁/共28頁

過。作OM_LAP于M,

???NODM=30。，OM=—x^

2

,DM=yl0D2-0M2=—x，

2

?仙3夜

??AM=----x>

2

由勾股定理得：AD=ylAM?+DM2=顯，

?瓜DE

式=而

.rn3V2+V6

4

3

則線段DE的最小值為；

2

故選：D.

【點睛】本題考查確定圓的條件，圓周角定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定定理和性質，含

30°的直角三角形，正確確定何時DE取得最小值是解題關鍵.

第二部分非選擇題

二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)

11.因式分解：X2-4/=.

【答案】(x+2)，)(x-2y)

【解析】

【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

直接運用平方差公式進行因式分解即可.

【詳解】解：x2-4y2=(x+2y)(x-2j),

故答案為：(x+2y)(x—2y).

12.袋中裝有9個黑球和〃個白球，經(jīng)過若干次試驗，發(fā)現(xiàn)“若從袋中任摸出一個球，恰是黑球的概率為

0.75”，則這個袋中白球大約有個.

【答案】3

【解析】

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【分析】此題考查了概率公式的應用，注意用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

用黑球的個數(shù)除以球的總個數(shù)等于0.75列出關于〃的方程，解之即可.

9

【詳解】解：根據(jù)題意知—=0.75,

解得巾=3,

經(jīng)檢驗，〃=3是該分式方程的解，

???這個袋中白球大約有3個，

故答案為：3.

xm

13.關于”的分式方程--=2——二的解為非正數(shù)，則加的取值范圍是________.

x+3x+3

【答案】m46且加w3

【解析】

【分析】本題考查分式方程的解，分式方程去分母轉化為整式方程，表示出力根據(jù)分式方程的解為正

數(shù)，得到x大于0,列出關于根的不等式，求出不等式的解集即可得到用的范圍.

rm

【詳解】解：解——=2-----得x=m-6,

x+3x+3

xni

???關于x的分式方程一-=2——-的解為非正數(shù)，

x+3x+3

zn-6<0,

解得：m<6,

vx+3*0,

JV#-3，

tn-6^-3,

，加H3,

In的取值范圍是加工6且mw3,

故答案為：加《6且

14.如圖，在RtZ\A6C中，^CBA=90°,ZBCO=Z.DCO,4c交x軸于點。，AD=-CD,。點坐

3

標為（0,-3）,點A在雙曲線y=：（Z>（U>0）上，則&=.

第11頁/共28頁

77

【解析】

【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，綜合利用相似三角形的性質，全等三角形的性質求A

的坐標，依據(jù)A在反比例函數(shù)的圖象上的點，根據(jù)坐標求出女的值.綜合性較強，注意轉化思想方法的應

用.要求女的值，通?？汕驛的坐標，可作x軸的垂線，構造相似三角形，利用AO二，CO和。(0,-3)可

3

以求出A的縱坐標，再利用三角形相似，設未知數(shù)，由相似三角形對應邊成比例，列出方程，求出待定未知

數(shù)，從而確定點A的坐標，進而確定人的值.

【詳解】解：過A作軸，垂足為E，

0C=3,

?/ZAED=NCOD=90°,^ADE=NCDO,

.\DAQEs口。。。，

第12頁/共28頁

.AEDEAD_I

"'cd~~0D~~CD~3f

AE=\x

又?，y軸平分/ACB，CO±BD,

BO=OD,

ZABC=90%

NOCD=NDAE=ZABE,

.PABEs口DCO,

AEBE

——=——,

ODOC

設OE=〃，則BO=OO=3〃，BE=1n,

,17〃

"3n=~6f

7

：.OE=4n=—,

7

.477.4x/7

/.k=-----xl=---

77

故答案為：也.

7

15.如圖，在△Q1BC中，AC=AB,ZBAC=90°,短是AC邊上一點，連接80,A"_L8。于點

3

“，點E在3尸上，連接AE,CE,ZEAF=45°若tanNECO=18c=6,則BE的長為一.

f4

【解析】

【分析】如圖，作4〃_L￡4交8。的延長線于H,連接C”,根據(jù)余角的性質得到N1=N2,求得

△4E”是等腰直角三角形，得到4E=AH,根據(jù)全等三角形的性質得到BE=CH,延長CE交AE于

第13頁/共28頁

T,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到A7=迪，CT=謹,tan/CL4=:，作ELJ.48于L,設EL=4a,

443

TL=3afET=5a,BL=BT+71=—+3tz?AL=AT-TL=^--3a在RtQ8￡L和RtZ\AEL

44

中，根據(jù)勾股定理得BE?,AE2^進而可得CW?,的值，進而可得上”2,由

ZAHC=ZAEB=180°-ZAEF=135°,可知NE〃C=NAHC—NAH/=135。-45。=90。，在RtZkCE”中，

由勾股定理得CE2=CH2+E“2,計算求解可得。值，進而可得BE的值.

【詳解】解：如圖，作A”_LE4交8。的延長線于“，連接c〃，

?/NEAH=N8AC=90。，

Zl=Z2,

VAFLEF,NEA尸=45。,

.?.NAEH=45。，

???△八四是等腰直角三角形，

/.AE=AH,

在口ABE和口AC”中，

AD-AC

????Nl=N2,

AE=AH

???口ABE?ACH(SAS),、

:.BE=CH,

如圖，延長CE交AB于T,

3

tanZ.ECD=tanZ.TCA=-,AC=AB=3>/2，

.972515>/2_4

??AT=---9CT=--------9tanN/CrT/AA——,

443

第14頁/共28頁

?RTAHATOF）9及3叵

??B「=AB—AT=342—'=，

44

如圖，作ELJ.A8于L，

設包=4。，則7L=3a,ET=5atBL=BT+TL=^~+3a，AL=AT-TL=^--3a

44

CE=CT-ET=^^-5a，

4

（手+3a）2+（4a）2,

在RtOBEL中，由勾股定理得8爐=出？+現(xiàn)?

在RtAAEL中，由勾股定理得AE2=AI:+El3=（乎-3a）2+（4a）2,

12

CH=BE=（乎+3o）2+（4〃）2,Aff2=AE2=（等-302+（甸2,

gj2

EH2=2[（—-3a）2+（4a）2],

4

zlAHC=NAEB=180°-乙AEF=135°,

JZ.EHC=ZAHC-NAHr=135。-45°=90°,

在RtZiCE”中，由勾股定理得Of?=C“2+E〃2,即

-5。）2=（乎+34）2+（442+2［（孚-34）2+（加產(chǎn)］,

解得：a=—,

20

:.BE=嗎

5

故答案為：2叵.

5

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，正切，勾股定理等知識.解題

的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

三、解答題（本題共7小題，共55分）

16.計算:

【答案】3-&

【解析】

【分析】本題考查了實數(shù)的運算，分別化簡絕對值，零指數(shù)次寒，負整數(shù)指數(shù)轅的運算、二次根式的化

簡，再進行實數(shù)運算即可，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

第15頁/共28頁

【詳解】解：原式=2-垃+工一」+1,

33

=3—\/2?

17.酚獻試液是化學實驗室中一種常見的酸堿指示劑，廣泛應用于酸堿滴定過程中，通常情況下，酚酣遇

酸性和中性溶液不變色，遇堿性溶液變紅色.一次化學實驗課上，老師讓學生用酚釀溶液檢測4瓶因標簽

污損無法分辨的無色溶液的酸堿性，已知這4種溶液分別是：A鹽酸（呈酸性）、8硝酸鉀溶液（呈中

性）、C氫氧化鈉溶液（呈堿性）、。碳酸訥溶液（呈堿性）中的一種，小明和小亮從中各選1瓶溶液滴入

酚儆試液進行檢測.

（1）小明檢測的溶液變成紅色的概率為:

（2）用列表或畫樹狀圖的方法，表示出所有可能出現(xiàn)的結果，并求小明和小亮檢測的兩瓶溶液都變成紅

色的概率.

【答案】（1）\

（2）見解析，\

【解析】

【分析】本題考查了用列表或畫樹狀圖的方法求概率，熟記用列表或畫樹狀圖的方法及概率公式是解題的

關鍵.

（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；

（2）將A鹽酸（呈酸性）、B硝酸鉀溶液（呈中性）、C氫氧化鈉溶液（呈堿性）、。碳酸鈉溶液（呈堿性）

分別記作列表得出所有可能的結果，再根據(jù)概率公式求解即可.

【小問1詳解】

解：4種溶液中，有2瓶呈堿性，

21

則檢測的溶液變成紅色的概率為二=7，

42

故答案為：；

【小問2詳解】

將A鹽酸（呈酸性）、B硝酸鉀溶液（呈中性）、C氫氧化鈉溶液（呈堿性）、。碳酸鈉溶液（呈堿性）分別

記作ABCD,列表如下:

ABCD

A(84(CA)(2A)

第16頁/共28頁

B(A,B)(CB)(D,B)

C(AC)(AC)(DC)

D(")（A。）（C，。）

由表知，共有12種可能出現(xiàn)的結果，其中小明和小亮檢測的兩瓶溶液都變成紅色的有（DC）,（C,。）共

2種結果，

21

小明和小亮檢測的兩瓶溶液都變成紅色的概率為：—

126

18.以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A、B、C、。均在格點上.

圖①圖②圖③

（1）在圖①中，絲的值為；

PA

（2）利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法.

①如圖②，在A8上找一點P,使4P=3；

②如圖③，在8。上找一點P,使AAPBs

【答案】（1）（2）①見解析；②見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行，對應線段成比例即可得結論；

（2）①根據(jù)勾股定理得AB的長為5,利用格點，再根據(jù)相似三角形的判定及性質即可找到點P：

②作點A的對稱點A，，連接AC與BD的交點即為要找的點P,使△APBs^CPD.

【詳解】解：（1）圖1中，

VAB^CD,

:.——PD=——CD=-1，

PAAB3

（2）在網(wǎng)格圖中，A8=次？+4、=5

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①如圖2所示，連接CD,交AB于點P,

VBC/7AD,

.APAD_3AP3

"'BP~CB2*5-AP2

解得：AP=3

???點P即為所要找的點；

②如圖3所示，作點A的對稱點A，，

連接AC,交BD于點P,

?.?AB〃CD,

AAAPB^ACPD.

???點P即為所要找的點，

【點睛】本題考查了作圖-相似變換，解決本題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法.

19.去年夏天，全國多地出現(xiàn)了極端高溫天氣，某商場抓住這一商機，先用3200元購進一批防紫外線太陽

傘，很快就銷售一空，商場又用8000元購進了第二批這種太陽傘，所購數(shù)量是第一批的2倍，但單價貴了

4元，商店在銷售這種太陽傘時，每把定價都是50元，每天可賣出20把.

(1)求兩次共購進這種太陽傘多少把：

(2)商場為了加快資金的回籠速度，打算對第二批太陽傘進行降價銷售，經(jīng)市場調(diào)查，如果這種太陽傘

每把降價1元，則每天可多售出2把，這種太陽傘降價多少元時，才能使商場每天的銷售額最大？每天最

大的銷售額是多少元？

【答案】(1)兩次共購進這種太陽傘600把

(2)太陽傘每把降價20元時，才能使商場每天的銷售額最大，商場每天的最大銷售額是1800元

【解析】

【分析】本題考查的是分式方程的應用，二次函數(shù)的應用，理解題意，確定相等關系建立方程與函數(shù)關系式

是解本題的關鍵；

(1)設第一次購進x把這種太陽傘，則第二次購進2x把這種太陽傘.利用所購數(shù)量是第一批的2倍，但單

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價貴了4元，再建立方程求解即可;

（2）設商場每天的銷售額為y元，太陽傘每把降價x元.由總利潤等于每件利潤乘以銷售量建立函數(shù)關系

式，再利用二次函數(shù)的性質解決問題即可.

【小問1詳解】

解：設第一次購進x把這種太陽傘，則第二次購進2x把這種太陽傘.

3200/8000

由題意得,-------+4=--------

x2x

解得K=200,

經(jīng)檢驗x=200是原方程的解，貝iJx+2x=600,

答：兩次共購進這種太陽傘600把；

【小問2詳解】

設商場每天的銷售額為y元，太陽傘每把降價上元.

由題意得y=(50-x)(20+2x),

化簡得：y=-2x2+80x4-1000=-2（x-20）2+1800,

當x=20時.），有最大值，y最大值=1800,

答：太陽傘每把降價20元時，才能使商場每天的銷售額最大，商場每天的最大銷售額是1800元.

20.如圖，在RtZ\48C中，ZACB=90°,。為AC邊上一點，連結。B,以OC為半徑的半圓與邊相

切于點D,交AC邊于點E.

（1）求證：BC=BD；

（2）若OB=OA,AE=2,①求半圓。的半徑；②求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）證明過程見解析

(2)?2；?2A/3--

3

【解析】

【分析】（1）連接。。，由切線的性質得出/。。3=90。，證明R/DOOBgR匯1。。3,再由全等三角形的

判定即可得出結論；

（2）①證出NOBO=NO8C=N4=30。，再由直角三角形的性質即可求解；

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②由勾股定理求出AO=26，4400=60。，由三角形面積公式和扇形的面積公式求解即可.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接OO,

???3。是口。的切線，點。為切點，

???NOOB=90。，

VZAC5=90°,OC=OD,OB=OB,

???RtUODBgRmOCB(HL),

:.BC=BD：

【小問2詳解】

解：①,：OB=OA,

???NOBD=N4,

VRtnOOBgRtflOCB,

???20BD=/0BC,

???Z.0BD=NOBC=NA,

又???NOB。+ZOBC+ZA=90。，

:.ZOBD=ZOBC=ZA=30°,

在R/OODA中，sinZA=—,

OA

:.OD=-OA,

2

???OD=OE,

???OE=-OA,

2

???OE=AE=2,

??.半圓。的半徑為2；

②在EAOOA中，0。=2,OA=4,

：?AD=y]OA2-OD2=2y/3.

:.S0A?！箈2x26=25

一UAU22

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???NA=30。，

???400=60。，

s660萬x2?

s陰影=sODAmoDE~360=2號手

【點睛】本題考查切線的性質、全等三角形的判定與性質、扇形的面積公式、銳角三角函數(shù)及勾股定理，

熟練掌握切線的性質是解題的關鍵.

21.釣魚傘設計：戶外釣魚是一項獨特的休閑娛樂活動，已經(jīng)吸引了越來越多的人.

圖解：圖1是某釣魚俱樂部設計了一款新型釣傘，傘面可近似看成弧線.圖2是其側面示意圖.已知遮陽

傘由傘面弧AB、支架CO和支架DE組成，。為兩個支架的連接點，其中支架CO垂直于A8且可在。

處任意旋轉，。為AB中點，支架OE垂直于地面且可以適當調(diào)整長度.傳統(tǒng)的釣傘在連接點。處需要手

動旋轉支架C。，使弦A3與光線垂直以達到最大遮陽目的.新型遮陽傘在D處設置了光線傳感器，自動

旋轉支架CO以保持始終與光線垂直.圖3-5為在不同太陽高度下的情況，其中AM、BN為光線方

向，MN為在地面形成的影子.僅考慮光線由右上到左下的情況.

定義變量：設。￡=力米，米，AC=C8=8米，太陽高度角定義為光線與地面夾角6（6為銳

角）.

問題?：如圖4,若人=1.5/=0.9,當傘面端點8的影子剛好與E點重合時，求影子MN的長度.

問題二：根據(jù)圖3-圖5,為了最大程度利用遮陽傘，假設釣魚人坐在N點，面朝陽光方向，設NE的距離

為丁米，請利用相關變量力，。力，。表示

問題三：在圖5中，該俱樂部的某場釣魚比賽定在上午九點，此時太陽光線與地面夾角為45。，俱樂部選

擇。=0.6,人=0.9型號的釣傘.假設E點剛好在岸邊，座椅在N處，為了滿足最大舒適性，選手距離

岸邊距離NE（N在E點左側）不超過1米，且為了滿足視野不影響比賽，要求8點離地面的垂直距離不

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小于1.5米，根據(jù)此要求，該俱樂部應如何設置力的高度以滿足比賽，求，的取值范圍.(精確到0.1米,

參考數(shù)據(jù)：72?1.4)

bh

【答案】問題一：影長2.25米；問題二：y=--——問題三：1.74〃(2.3

sin。lan。

【解析】

【分析】問題一：過點D作DFJ.BN,交BE于點F,過點N作交AM于點H,則可得四

邊形AHEB為矩形，則有”N=1.8；在RtODFN中,由勾股定理求得/N,則可求得sin。的值，在在

R/QMM7中，利用正弦函數(shù)關系則可求得MN；

問題二：延長CO交ME于點G,由平行線分線段成比例定理得G點是MN中點；在R&MNH及

R仙DGE中,利用三角函數(shù)分別求出GN、GE,分點N在點E右側、點N在點E左側、點N與點E重合

三種情況，即可求解；

問題三：過點尸作尸尸_LOE,交DE于P,過點8作6Q_LM/V交P尸延長線于Q,交MN延長線于H,

利用解宜角三角形知識分別求出8R、NE,由＜八am,即可求得力的范圍.

【詳解】問題一

解：當點七和點N重合時，過點。作。/J.8N,交BE于點尸，過點N作M7_L4M,交AM于點H,

vAM0BN.AB1AM,HNIAM,

:.AB〃HN,

二?四邊形為矩形，HN=A8=2C8=28=1.8米，

?:DE1MN,DF1BN,

:.NDNF=90。-仇ZNDF=0,

由題可知，。/=BC=〃=0.9米，DN=h=\5米,

在RrOORV中，由勾股定理得產(chǎn)」=，0汽2_°尸2=1.2米，

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FN1.24

貝ijsin。

L5-5

HN184

在R/OMN〃中，NNMH-0,sin^NMH-sinO-——一^一一

MNMN5

解得MN=2.25米，即影長為2.25米，

問題二

解：

AMUCGQBN,

ACMG,即NG」MN,

——=-----=1,

CBNG2

HN_2b2b

在RCMNH中,sinO=則MN

sinO

b

GN=

sinO

在R捫。GE中,NDGE=@,

電”.一h,h

則GE=

GEGEtanO

當點、在點E右側時，EN=GN—GE,

bh

則y

sinOtanO

當點"在點E左側時,EN=GE—GN,

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hb

則y

tanOsinO

bh

當點"與點E重合時,即y=0,

sinOtanO

bh

綜上所述,

sin3tanO

問題三

解：過點尸作尸尸_LOE,交DE于P,過點8作3。J.MN交PF延長線于Q,交MN延長線于R,

當6=45。時，口。尸尸63尺2都為等腰直角三角形,

/.DF=CB=0.9,BF=CD=0.6,

入?yún)nhb.95/2

tanOsinO10

，DP=cosNFDP?DF=旦09=，

220

95/2

PE=DE-DP=h--—?

20

BQ=cosNFBQBF=與0.6=^^，

BR=PE+BQ=h—吟+嚕=h—率

BRN1.5

由題可知:

OWNER

/i-->1.5

20

0</?--<1

10

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當&k1.4時，解得:

h>\.7

[3<h<23,

即1.74。W2.3.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的判定與性質，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判

定，構造適當輔助線得到直角三角形是解題的關鍵.

22.【問題呈現(xiàn)】

（1）如圖①，在凸四邊形A3CD中，DA=DB,ABD=60°,連接AC,ZDCB=300,某數(shù)學

小組在進行探究時發(fā)現(xiàn)CO?