空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（六大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學復習（新教材新高考）（解析版）

第02講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

目錄

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考點要求考題統(tǒng)計考情分析

(1)借助長方體，在直觀認本節(jié)內(nèi)容是高考命題的熱點，重點關(guān)

識空間點、直線、平面的位置注異面直線的判定和成角問題、空間

2023年上海卷第15題，5分

關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點線面的位置關(guān)系問題.對于空間幾

2022年上海卷第15題，5分

點、直線、平面的位置關(guān)系的何體的點、線、面的位置關(guān)系，除了

2022年/卷第9題，5分

定義.題目難度逐步提升，還增加了截面問

2021年乙卷(文)第10題，5分

(2)了解四個基本事實和一題，對考生的空間想象能力要求有所

個定理，并能應(yīng)用定理解決問提升，需要考生有更強大的邏輯推理

題.能力.

公理I:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)?

那么這條直線在此平面內(nèi)?

空間點'直線'平面之

間的位置關(guān)系

?夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

知識點一.四個公理

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公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點在面內(nèi)的方法

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

注意：（1）此公理是確定一個平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點共面的依據(jù)

推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)

（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；

推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據(jù)

（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點共線、三線共點）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

知識點二.直線與直線的位置關(guān)系

知識點三.直線與平面的位置關(guān)系：有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.

位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形/V

/L/

符號1ua1a=P1//a

公共點個數(shù)無數(shù)個10

知識點四.平面與平面的位置關(guān)系：有平行、相交兩種情況.

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位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直

圖形二~a~

符號a//pa/?=1a[f3,a13=1

公共點個數(shù)0無數(shù)個公共點且都無數(shù)個公共點且都在

在唯一的一條直線上唯一的一條直線上

知識點五.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

.提升?必考題型歸納

題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”

例1.（2023?山西大同?高一?？计谥校┤鐖D所示，在空間四邊形ABCD中，E,尸分別為A3,AD的中

點，G,目分別在2C,CD上，且3G:GC=ZW:HC=1:2,求證：

（2）EG與〃尸的交點在直線AC上.

【解析】（1）BG-.GC=DH：HC=1：2,:.GH//BD,

E,歹分別為A3,AD的中點，:.EFIIBD,:.EF//GH,

：.E,F,G,H四點共面.

（2）G、H不是BC、8的中點，

:.EF//GH,且EFKGH,

；.EG與加必相交，設(shè)交點為

.EGu平面ABC,HFu平面ACD,

「.A/e平面ABC,且Ve平面ACD,

;平面ABCc平面ACD=AC,:.M&AC,

EG與H尸的交點在直線AC上.

例2.（2023?陜西西安?高一?？计谥校?）已知直線a〃》，直線/與。，匕都相交，求證：過。，b,1有

且只有一個平面；

（2）如圖，在空間四邊形ABCD中，H,G分別是4￡）,8的中點，E,尸分別是邊A3,上的點，

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CFAE]

且==-.求證：直線EH,BD,FG相交于一點.

FBEB3

C

【解析】(1)證明：設(shè)直線/與b分別交于M,N點,

圖1

因為?！?,所以6確定一個平面，記為平面a,

因為點Me直線“，點Ne直線6,所以Meer,Nea,

所以直線MN,即/u平面a,所以過a,8,/有且只有一個平面；

(2)在空間四邊形A3CD中，連接ERHG,

因為H,G分別為AD,CD的中點，則“G//AC,>HG=1AC,

CFAF13

又由——=——=—,則所〃AC,且EF=—AC,

FBEB34

椒HGUEF,且HG矛EF,故四邊形為梯形，EH與尸G交于一點,

設(shè)EH與FG交于點、P,如圖2,

圖2

由于&7u平面點尸在平面ABD內(nèi)，同理點尸在平面BCD內(nèi),

又因為平面ASDc平面BCD=BD,

所以點尸在直線上，

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故直線EH,BD,PG相交于一點.

例3.（2023?河南信陽?高一校聯(lián)考期中）如圖，在正方體ABCD-A耳中，E,尸分別是人民相上的

點，且A尸=2以,8E=2AE.

（2）設(shè)RFcCE=。,證明：A,O,。三點共線.

【解析】（1）證明：如圖，連接E￡4B，2C.

在正方體ABCD-44GR中，AlF=2FA,BE=2AE,所以

又BC〃％D\,且BC=AA，

所以四邊形8CAA是平行四邊形，所以43〃2C,

.■.EF//D.C,所以及C,尸四點共面；

（2）證明：由￡>廠門（7￡；=。，OeDXF,又，/<=平面平面AD￡）14，

同理Oe平面ABC。，又平面ADRAc平面ABCD=AD,

:.OGAD,即A,O,。三點共線.

變式1.（2023?全國?高一專題練習）如圖所示，在空間四邊形A8CZ）中，E,尸分別為AB,AD的中點,

G,H分別在8C,CD上，且BG:GC=￡>H:〃C=1:2.求證：

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⑴及rG、》四點共面；

(2)EG與HF的交點在直線AC上.

【解析】(1)VBG:GC=DH:HC,：.GH//BD.

■:E,尸分別為AB,的中點，AEF//BD,=

EF//GH,：.E,F,G,H四點共面.

(2),:G,7/不是2C,8的中點，；.GHJBD,：.EF^GH,

2

由(1)知EF〃GH,故EEHG為梯形.

.??EG與切必相交，設(shè)交點為M,

平面ABC,且Me平面AC。，

J.M&AC,即GE與族的交點在直線AC上.

變式2.(2023?云南楚雄?高一統(tǒng)考期中)如圖，在正四棱臺ABCO-A耳G，中，E,F,G,X分別為棱

A4，與G，AB,BC的中點.

A

(1)證明E,F,G,H四點共面；

(2)證明GE,FH,SB1相交于一點.

【解析】(1)證明：連接AC,AG，如圖所示,

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因為ABC。-A及69為正四棱臺，所以4G〃AC,

又E,F,G,〃分別為棱44，BC，AB,BC的中點，所以E/〃4G，GH//AC,

則EF7/GH,所以E,F,G,"四點共面.

（2）因為ACwAC,所以EFwGH,所以EFHG為梯形，則EG與6H必相交.

設(shè)EGcFG=P,因為EGu平面A41AB,所以Pe平面441glB,

因為加u平面BBCC，所以Pe平面BBC。，

又平面A41818c平面8片GC=8旦，所以PeBB-

則GE,FH,B]B交于一點.

變式3.（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，在正方體ABCO-A46。中，E,尸分別是AB懼的

中點.

⑴求證：CE,D、F,D4三線交于點P；

（2）在（1）的結(jié)論中，G是上一點，若FG交平面ABC。于點H,求證：P,E,H三點共線.

【解析】（1）證明：連接AB,CD、,EF

正方體ABC。-A旦GR中，E,尸分別是明的中點，

/.EF//AtBS.EF^A,B,

,/CDJ/A.B且CD1=A],

/.EFHCDX且EPHCD1,

；.EC與。尸相交，設(shè)交點為產(chǎn)，

YPeEC,ECu平面ABC。，."e平面4BCO；

又,；PeFD[,五2（=平面4?！辏4，，尸€平面4￡）￡）]4，

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...尸為兩平面的公共點，

?平面ABCDc平面ADQA=AD,

:.CE、D\F、D4三線交于點P；

在（1）的結(jié)論中，G是RE上一點，F(xiàn)G交平面ABCD于點X,

則F8U平面PCR,；.He平面PCR,又He平面ABCD

"e平面PC'c平面ABCD,

同理，「?平面/^^門平面入臺儀），

Ee平面PCQc平面ABCD,

：.P,E,H都在平面PC。與平面ABC。的交線上，

：.P,E,H三點共線.

【解題方法總結(jié)】

共面、共線、共點問題的證明

（1）證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內(nèi).

（2）證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

（3）證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

題型二：截面問題

例4.（2023?全國?高三對口高考）如圖，正方體的棱長為2VL動點尸在對角線2。上，

過點P作垂直于8R的平面a,記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為》設(shè)BP=x,則當xw[l,5]

時，函數(shù)y=/（x）的值域為（）

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A.13后,6四］B.［#,2而］C.(0,伺D.(0,376]

【答案】A

【解析】

如圖，連接A4，AC,CBi，BD,平面ABCD,ACu平面ABCD,則〃口_LAC,

又3E>J_AC,DDtIBD=D,3Z>u平面B。，，OQu平面8。，，

所以AC，平面又BD|U平面BD2，所以ACLB，，

同理8D|_LABi，ACcAB|=A,ACu平面ABC，4耳<=平面照C,所以.平面ABQ,

因此平面a與平面AB,C重合或平行，

取3Ale,2耳的中點M,N,Q,連接MN,NQ,QM,則昭V//AC,MQHAB,,

同理可證平面MNQ,由于BM=BN=3Q,MN=NQ=MQ,所以三棱錐B-MNQ是正三棱錐，

BD］與平面MNQ的交點尸是叢MNQ的中心，

正方體棱長為2石，則跖V=gx26x^=技PM=|X^XV6=A/2,

所以BP=J（石）2_（同=1，所以/■⑴=36，

f（x\x

由棱錐的平行于底面的截面的性質(zhì)知，當平面。從平面"NQ平移到平面AC4時，宗=不，即于。）=3瓜x,

2=2^^,x=2,顯然/（2）=6^^,

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DiG

平面a過平面AC場再平移至平面GHIJKL時，如圖，把正方形沿AA旋轉(zhuǎn)到與正方形在同

一平面內(nèi)，

如圖，則共線，由正方形性質(zhì)得印+〃=9=4與，同理JK+KL=BC，LG+GH=AC,

因此此種情形下，截面G叩應(yīng)的周長與截面ACB,的周長相等，平移平面a,一直到平面AG。位置處，

由正方體的對稱性，接著平移時，截面周長逐漸減少到了（5）="1）=36,

綜上，/（元）的值域是[3#,6#].

故選：A.

例5.（2023?北京東城?高三北京市第十一中學?？茧A段練習）如圖，正方體ABCD-A4GR的棱長為1,

E,F,G分別為線段BC,CG，5片上的動點（不含端點），

①異面直線M與AF所成角可以為:

②當G為中點時，存在點E,尸使直線AG與平面平行

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9

③當E,尸為中點時，平面4所截正方體所得的截面面積為q

④存在點G,使點C與點G到平面AEF的距離相等

則上述結(jié)論正確的是（）

A.①③B.②④C.②③D.①④

【答案】C

【解析】對①：因為DQ//AA,故〃。與AF的夾角即為AA與”的夾角/AAF,

又當尸與C重合時，/AAF取得最大值，為1；

當尸與點G重合時，NAAF取得最小值，設(shè)其為。，貝I]tana=3^=亞，故戊＞?；

AA4

又點尸不能與C,￡重合，故幺故①錯誤；

對②：當G為旦8中點時，存在瓦尸分別為BC，GC的中點，滿足4G//面AEV,證明如下:

取4G的中點為連接如下所示：

顯然4M//AE,又AEu面AERAMU面AEF,故4幽〃面AEF；

又易得MG〃EF,￡Fu面AEEMGu面AEF,故MG//面AEF；

又AMcMG=AM,MGu面\MG,故面\MG〃面AEF,

又AGu面AAfG,故AG//面AEP,故②正確；

對③：連接A〃,，￡AE,如下所示：

因為EF//BCJ/AD},故面AEFDX即為平面AEF截正方體所得截面；

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又D、F=AE=*,故該截面為等腰梯形，又EF當,AD、=亞,

故截面面積5=；（所+4口八小廠［3五］^=；義曰+0*孚=1,故③正確;

對④：連接GC,取其中點為//,如下所示：

要使得點G到平面AEF的距離等于點C到平面AEF的距離，只需EF經(jīng)過GC的中點，

顯然當點區(qū)P分別為所在棱的中點時，不存在這樣的點G滿足要求，故④錯誤.

故選：C.

例6.（2023?河南?模擬預測）在正方體ABC。-AAGA中，M,N分別為A，GR的中點，過M,N,

與三點的平面截正方體所得的截面形狀為（）

A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形

【答案】B

【解析】

在A3上取點Q,且8Q=3AQ,取8中點為P,連接QM,BP,NP,B、Q.

在上取點R,且RR=3DR,連結(jié)NR,MR.

因為超=理」，/QAM=NPCB,

CPBC2

所以一QAAfspeg,所以=

又ABCD,所以NABP=NBPC,所以=

所以，。河〃BP.

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因為MP分別為GA，C。的中點，所以PN〃CG，且PN=CC「

根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知B34CG，且3B1=CG，

所以，PN//BB},S.PN=BBt,

所以，四邊形8PN耳是平行四邊形，

所以，B.N//BP,所以4N〃QM.

同理可得，NR//B.Q.

所以，五邊形QMRN與即為所求正方體的截面.

故選：B.

變式4.（2023?河南?模擬預測）在正方體ABCD-A464中，KN分別為AD,CQ的中點，則下列

結(jié)論正確的個數(shù)為（）

①MM/平面伍GC；②MNLB、C；③直線MN與AQ所成角的余弦值為逑

3

④過M,N，A三點的平面截正方體ABCD-A4GR所得的截面為梯形

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】連接3D,交AC于點。，則。是AC的中點，連接。M0G，由于",O,N是中點，可得

OMIICDUC\N,OM=：CD=C\N,

所以四邊形MOGN是平行四邊形，所以O(shè)CJ/MN.

連接5G，AR,則5G，瓦C,在正方體ABCD-A與6。中，4?工平面BCG耳，又平面BCG耳，所

以4CJ_A8,

又BQAB=B,BCjU平面A8CQ,ABu平面A8GR,所以80，平面ABC.,若MN，旦C,則ACV〃

平面A2G2或MNu平面ABG2,而MN與平面42^2相交，所以MN與2（不垂直，即②錯誤；

由于。G//MN,所以/O￡A為直線MV與AG所成角（或補角），

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設(shè)正方體棱長為2,

則AO=及,AC；=2百,OG="，所以由余弦定理得cosNOGA==當，即③正確；

2AC/GO3

因為平面ABCD與平面平行，則過M,N,耳三點的截面與這兩個平面的交線平行，由于其中一條交

線是4N,另一交線過點所以在平面A3CD內(nèi)作"E與gN平行（￡是靠近A的四等分點），連接用E,

同理作出NF與耳E平行（尸是靠近。的三等分點），從而得到截面MWV4E,可知截面是五邊形，即④錯

誤；

綜上，正確的個數(shù)是2個.

故選：B.

變式5.（2023?上海閔行?高三上海市?？茧A段練習）在棱長為2的正方體ABC。-4月￡。中，

E,B分別為AB,BC的中點，對于如下命題：①異面直線。A與8尸所成角的余弦值為g；②點尸為正方

形4月GA內(nèi)一點，當。p〃平面5￡尸時，OP的最小值為逑；③過點R,E,尸的平面截正方體

2

ABC￡>-A4C2所得的截面周長為2屈+0；④當三棱錐片-皮小的所有頂點都在球。的表面上時，球

。的體積為幾萬.則正確的命題個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】對于①，DDJ/BB,,

.?.在Rt叫/中/BBF即為異面直線DDX與B}F所成的角,

BB]22y/5

/.cosZBBF=

X瓦F用+2?~5~

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D\

，異面直線。A與耳尸所成的角的余弦值為半.故①錯誤；

對于②，取的中點的中點N,取AD的中點S,連接MN,DM,DN，AS,SF,

vSF//AB//AiBi,SF=AB=AlB},

.-.a^FS:.AAl//BlF'AtS//DM:.MD!IBXF,

同理可得。N〃⑻E,

又\DM<Z面用，B/u面與石尸，DNu面B[EF,B】Eu面B^EF,

；.DM//面B[EF,DN//面B、EF,

又?.DMcDN=D,DM、DNu面DMN,

.,.面DMV〃面尸，

又?,DP//面B[EF,尸e面ABC，

軌跡為線段血W,

.,.在DMN中，過。作DPLMN,此時。尸取得最小值,

在RtZ\￡)2M中，DXM=1,D、D=2,：,DM=非,

在RtDRN中，D、N=1,D、D=2,：.DN=5

在RtM'N中，D、N=1,D、M=\,：,MN=^，

如圖，在RtAD尸N中，DP=ADN-.故②正確;

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D

對于③，過點A、E、尸的平面截正方體ABC。-A4GA,

平面A41A。//平面BBCC，則過點2、E、歹的平面必與4A、CG各交于一點，

設(shè)過點口、E、b的平面必與4A與CC,分別交于M、N,

「過點2、E、下的平面與平面抽。/）和平面BBC。分別交于。/與FN,，。幽//人不，同理可得

DtN//ME,

如圖過點2、E、F的平面截正方體ABCO-AAGA所得的截面圖形為五邊形RME7W,

如圖以。為原點，分別以D4、DC、r>”方向為x軸、〉軸、z軸正方向建立空間直角坐標系。-肛z,

設(shè)AM=m,CN=n,

則加(2,0,聞，N(0,2,n),E(2,l,0),F(1,2,0),2(0,0,2),

:.ME=(O,l,~m),DlN=(O,2,n-2),DtM=(2,0,m-2),NF=(l,O,-n),

DtM//NF,D{N11ME,

m=—

22

AAf=—,CN=—

33f

第17頁共42頁

.?.在RtRAM中，。4=2,同理：D[N=,

在RtAMAE中，AM=-,AE=1,:.ME=—,同理：FN=—

333

在RtEBF中,BE=BF=1,:.EF=叵，

:.D}M+DtN+ME+FN+EF=2x^!^+2x^+y/2=2s]i3+y/2,

即過點2、E、歹的平面截正方體ABC。-ABC14所得的截面周長為2g+0.故③正確;

對于④，如圖所示，取E廠的中點。一則QE=O尸=O超，過0]作。。|//2月，

且使得。。=ggq=1,則。為三棱錐耳-BE歹的外接球的球心,

所以O(shè)E為外接球的半徑，

在RtEBF中,EF=也，

...R2=O￡2=oo；+《j=i2+圖=|,則R子,

，匕求=]&=g兀=A/6TI.故④正確，

故選：C.

變式6.（2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考三模）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A旦GR中，E是棱cq的中點,

過A,R,E三點的截面把正方體A8CQ-A462分成兩部分，則這兩部分中大的體積與小的體積的比值為

()

B

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【答案】A

【解析】連接BG，設(shè)平面ARE與平面BCC內(nèi)交于旅，

因為平面BCC4，平面ADAA，平面A，E與平面交于A2,

則EF//ADt,又A?〃BC],

則EF〃BG，又E是棱CG的中點，則b是8c的中點.

4=5/=。><1><1=32=5皿=32乂2=2,h=CD=2.

VcEF—ADD]=§6+邑+斥,=+g+2+l[x2=(,

71717717

5余=/方體一匕詡—ABD,=8_]=§,故與"引§

7

故選：A.

變式7.（2023?新疆?校聯(lián)考二模）已知在直三棱柱ABC-ABC1中，E,尸分別為8耳,AG的中點，A4t=2,

AB=2,BC=3也,AC=4,如圖所示，若過A、E、尸三點的平面作該直三棱柱ABC-4蜴。1的截面，則

所得截面的面積為（）

A.7wB.y/15C.2岔D.730

【答案】B

【解析】解析：延長AF,CC,且AF與CG相交于G,連接EG,并與耳G相交于。，連接尸D,則四邊形

AEZ"為所求的截面.

在RtAABE中，由AB=2,BE=1,^AE=45.

第19頁共42頁

在RtAA/中，由M=2,A尸=2,得AF=2jL

因為尸為AG的中點，所以由平面幾何知識可知，△A4i廠也△尸GC-

所以AA=GG，F(xiàn)G=AF,即尸為AG的中點，所以AG=4，L

又由耳E//GG,可得△BiEDs^GDG,

又GG=2耳E,4G=30,所以。G=20.

在RtAGDG中，由￡>G=20,GG=2,得GD=2A/L所以GE=3A/L

所以在△AEG中，有AG=4應(yīng)，GE=3s/3,AE=非,

222

即GE+AE=AG,所以AE，GE.又注意到SAEG=|AG.EG-sinNAGE,

SPnr=-FG-DG-sinNAGE=-x-GA--GE-sinAAGE=』S，

■FDG222331G

則四邊形AEDF的面積為|工曲=g；x36=

B

變式8.（2023?新疆阿克蘇?校考一模）已知M,N,p是正方體ABCD-AB]GA的棱A3,AA,,CG的

中點，則平面睦vp截正方體ABCD-AAGA所得的截面是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【解析】如圖所示，分別取BC,CR,42的中點Q，E,F,連接MN,MQ,QP,PE,EF,FN,

則EPCD1.

AtBCDt,MN//EP.

同理可得第〃/,PQ//FN.

由基本事實及其三個推論得知，N,P,Q,E,尸六點共面，

所以平面跖VP截正方體ABCD-A4GA所得的截面是六邊形.

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故選：D.

變式9.（2023?重慶沙坪壩?高三重慶一中?？计谥校┰诶忾L為3的正方體中，點尸是側(cè)

面ADR4上的點，且點尸到棱AA與到棱AD的距離均為1,用過點P且與8鼻垂直的平面去截該正方體,

則截面在正方體底面A8CD的投影多邊形的面積是（）

913

A.—B.5C.—D.8

22

【答案】C

【解析】

由題意可以作出與8A垂直的平面。A￡，

利用面面平行可作出過點P且平行于平面n41G的平面GJKLNM,

則平面GJKLNM與垂直，

作出點N的投影。，Q,

平面AOQCKJ的面積S即為所求，

已知正方體棱長為3,點P到棱A4與到棱的距離均為1,

所以點G,J,K,L,N,M均為各棱的三等分點

1113

S

S=SABCD_SDJK-OBQ=3x3-—X1x1-—X2x2=~）

故選：C.

【解題方法總結(jié)】

（1）作截面應(yīng)遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的

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交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.

（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.

題型三：異面直線的判定

例7.（2023?全國?高三對口高考）兩條直線人分別和異面直線c,1都相交，則直線的位置關(guān)系是（）

A.一定是異面直線B.一定是相交直線

C.可能是平行直線D.可能是異面直線，也可能是相交直線

【答案】D

【解析】已知直線。與d是異面直線，直線。與直線6分別與兩條直線。與直線d相交于點A氏CD,

根據(jù)題意可得當點。與點8重合時，兩條直線相交，當點。與點8不重合時，兩條直線異面，

所以直線萬的位置關(guān)系是異面或相交.

故選:D.

例8.（2023?全國?高三專題練習）如圖，已知正方體ABCQ-ABCi。，點尸在直線上，。為線段

的中點，則下列命題中假命題為（）

A.存在點p,使得P。

B.存在點尸，使得PQ//AB

C.直線PQ始終與直線CG異面

D.直線PQ始終與直線2G異面

【答案】C

【解析】正方體中，易得4G，平面瓦九＞4,因為點尸在直線A2上，。為線段的中

點，

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當點尸和點2重合時，尸。匚平面8￡(2耳，，尸。，46,故A正確；

連接AQ、AtB,當點P為線段4。的中點時，PQ為三角形48。的中位線，即PQ〃AB,故B正確;

CGu平面AAGC,當點尸和點A重合時，PQu平面A4gC,所以直線PQ和cq在同一平面內(nèi)，故C錯

誤；

BGu平面ABC。，PQc平面ABCQ=P,Pg,所以直線尸。始終與直線BQ不相交，且不平行，

所以直線尸2與直線BG是異面直線，故D正確；

故選：C

例9.(2023?四川綿陽?高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習)在底面半徑為1的圓柱。。中，過旋

轉(zhuǎn)軸。。1作圓柱的軸截面ABC。，其中母線AB=2,E是弧的中點，尸是AB的中點，貝U()

A.AE=CF,AC與EF是共面直線

B.AE^CF,AC與EF是共面直線

C.AE=CF,AC與EF是異面直線

D.AEKCF,AC與所是異面直線

【答案】D

【解析】如圖，在底面半徑為1的圓柱中，母線的=2,BC=2,E是BC的中點，則3E=AE=0，

因為尸是AB的中點，又AB=2,則3尸=1,

AEZAB'BE?={4+(何=A/6'CF=YIBC2+BF2=44+1=45，

AEKCF,

在，A5C中，。是BC的中點，尸是A3的中點，:.OF//AC,

.〔AC?與O尸是共面直線，

若AC與是共面直線，則。，尸4,C,E在同一平面，顯然矛盾，故AC與EF是異面直線

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c

D

故選：D.

變式10.（2023?上海浦東新?高三華師大二附中?？茧A段練習）已知正方體ABC。-ABC。中，M,N,

P分別是棱42,AG，A3的中點，。是線段"N上的動點，則下列直線中，始終與直線尸。異面的是（）

A.人耳B.BC}C.CA]D.DD}

【答案】A

【解析】對于選項A,48?面4典4，Pe面。￡面488出，所以直線尸。與4耳異面；

對于選項B,當。與N重合時，因為PB〃NG，又M,N,尸分別是棱A2,A6,鉆的中點，所以PB=NG，

所以PQ/ABC-選項B錯誤；

對于選項C,連接ARPCCMNA，在正方體中，易得4P//CN且Af=CN,所以AC與尸N相交，即當。

與N重合時，尸。與CA相交，選項C錯誤；

對于選項D,取4月中點連DM交MN于E,連DP,PH,因為PH//QR且PH=DQ,所以DP//RH

且DP=RH,故當。與E重合時，P。與相交，選項D錯誤.

故選：A.

變式11.（2023?上海?高三校聯(lián)考階段練習）如圖所示，正三棱柱ABC-的所有棱長均為1,點P、

M、N分別為棱AA、AB、4片的中點，點。為線段MN上的動點.當點。由點N出發(fā)向點M運動的過程

中，以下結(jié)論中正確的是（）

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A.直線CQ與直線CP可能相交B.直線GQ與直線CP始終異面

C.直線CQ與直線CP可能垂直D.直線G。與直線8尸不可能垂直

【答案】B

【解析】在正三棱柱ABC-ABJG中，

因為點M、N分別為棱A3、A耳的中點，所以MN〃AA，

又平面44CC，平面A41GC,

所以MN〃平面441GC,

因為C“P,Ce平面A41GC,C^PC,QeMN,

所以G，PC,Q四點不共面，

所以直線Cg與直線CP始終異面，故A錯誤，B正確；

對于C,設(shè)NQ=XAfV（OWXWl）,

則。G=QN+NC|=力皿+3町+4。1

CP=^AAi-AC,

若直線C］。與直線CP垂直，則。C/CP=0,

即,胡+4<7一；呵.&的一回=0,

夕_21_,211

所以5A4-2A4,-AC+-A4,-AC-AC--AAiAB+-ABAC=O,

JJ11Q

即一一1+—xlxlx—=0,解得幾=±,

2222

因為0W4W1,所以不存在點Q使得直線C|Q與直線CP垂直，故C錯誤；

對于D,連接GN,

因為GA=G4,N為A由的中點，所以GN，A用，

又因四,平面4片G，&"匚平面4耳弓，

所以

因為cA4,AAi,A4u平面ABB^,

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所以GN，平面4狙a,

又BPu平面AB與A，所以

所以當點。在N的位置時，直線CJ2與直線8P垂直，故D錯誤.

變式12.（2023?吉林長春?高三長春市第六中學?？计谀┤鐖D，在底面為正方形的棱臺ABCD-A耳GR

中，E、F、G、H分別為棱CG，BB{,CF,"的中點，對空間任意兩點M、N,若線段"N與線段AE、

8%都不相交，則稱點M與點N可視，下列選項中與點?？梢暤臑椋ǎ?/p>

A.4B.FC.HD.G

【答案】D

【解析】根據(jù)棱臺的性質(zhì)可知4R//DB,連接用R,BD、EF、DE、DH、DF,

因為E、歹分別為棱CG,8月的中點，

所以跳7/BC,又底面ABCD為正方形，所以2C7/AD,所以EF//AD,所以四邊形ER4D為梯形,

所以DH與AE相交，D尸與AE相交，故B、C錯誤；

因為所以四邊形是梯形，所以BQ與BO1相交，故A錯誤；

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B

因為EK4D為梯形，G為CP的中點，即GgE尸，則。、E、G、A四點不共面，所以O(shè)G與AE不相交,

若OG與2"相交，則。、B、G、A四點共面,

顯然。、B、4、鼻四點共面，3e平面。3與2,所以。、B、G、2四點不共面，即假設(shè)不成立，

所以0G與BO】不相交，即G點與點?？梢?，故D正確.

故選：D.

【解題方法總結(jié)】

判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：

（1）直接法：平面外一點A與平面內(nèi)一點2的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過8點的直線是異面直線.

（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面.

題型四：異面直線所成的角

例10.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在正方體ABCD-A耳64中，點￡尸分別是棱ARCG的中點，則

異面直線4E與所成角的大小為

【解析】取OQ中點為G,連接AG,GF,記4E與AG交點為M,如圖所示:

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因為G,F分別是棱DQ,CG的中點，

所以G尸〃,旦G尸=,故四邊形ABGF為平行四邊形，

所以AG//BF，所以4E與8尸所成角即為AE與AG所成角,

因為正方體ABCD-AB￡R,E,G是棱AD,D,D的中點，

IT

所以AA=A。,AE=GRNAA。=NADG=萬，

所以^AADG，即ZAA.E=ZDAG,

TT7T

因為ZDAG+NAAG=ZA4,E=5，所以2相￡+ZA,AG=~,

jr

所以NAM4,=7i-(ZAAlE+ZAlAG)=-,

故必與AG所成角為即AE與8廠所成角為支

故答案為修

例11.（2023?高三課時練習）已知正四面體ABC。中,E是的中點，則異面直線CE與8。所成角的大小

為.

【答案】arccos

6

【解析】解:由題知，取AD中點為P,連接石尸,CRCE如圖所示:

D

不妨設(shè)正四面體棱為6,

根據(jù)E,尸分別為AB,AD中點得：EF//BD,EF=BD=3,

因為ABC與二ACD為等邊三角形，

所以AE=3,AC=6,故CE=3g，同理CB=3j^,

在MEF中，由余弦定理可得：

E尸+CE?-CF。_9+27-27西

cos?FEC

-2孽FCE-2鬃3也~~6

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故?FECarccos—,

6

因為EF〃虞〉

所以異面直線C