5.2.1 三角函數(shù)的概念（3種題型分類基礎(chǔ)練+能力提升練）-高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第第頁5.2.1三角函數(shù)的概念（3種題型分類基礎(chǔ)練+能力提升練）【夯實(shí)基礎(chǔ)】題型一：三角函數(shù)的定義及應(yīng)用1.已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，則sinθ＋tanθ的值為________．【答案】eq\f(3\r(10)＋30,10)或eq\f(3\r(10)－30,10)【解析】因?yàn)閞＝eq\r(x2＋9)，cosθ＝eq\f(x,r)，所以eq\f(\r(10),10)x＝eq\f(x,\r(x2＋9)).又x≠0，所以x＝±1，所以r＝eq\r(10).又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．當(dāng)θ為第一象限角時，sinθ＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝3，則sinθ＋tanθ＝eq\f(3\r(10)＋30,10).當(dāng)θ為第二象限角時，sinθ＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝－3，則sinθ＋tanθ＝eq\f(3\r(10)－30,10).]2.已知角α的終邊落在直線eq\r(3)x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[解]直線eq\r(3)x＋y＝0，即y＝－eq\r(3)x，經(jīng)過第二、四象限，在第二象限取直線上的點(diǎn)(－1，eq\r(3))，則r＝eq\r(－12＋\r(3)2)＝2，所以sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3)；在第四象限取直線上的點(diǎn)(1，－eq\r(3))，則r＝eq\r(12＋－\r(3)2)＝2，所以sinα＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3).題型二：三角函數(shù)值符號的運(yùn)用3.已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第四象限，則角α終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα>0，,cosα<0，))由此可判斷角α終邊在第三象限．4．已知角α的終邊過點(diǎn)(3a－9，a＋2)且cosα≤0，sinα＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】－2＜a≤3【解析】因?yàn)閏osα≤0，sinα＞0，所以角α的終邊在第二象限或y軸非負(fù)半軸上，因?yàn)棣两K邊過(3a－9，a＋2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))所以－2＜a≤3.5．設(shè)角α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，則角eq\f(α,2)是第________象限角．【答案】四【解析】角α是第三象限角，則角eq\f(α,2)是第二、四象限角，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，∴角eq\f(α,2)是第四象限角．6.判斷下列各式的符號：①sin145°cos(－210°)；②sin3·cos4·tan5.[解]①∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0.②∵eq\f(π,2)＜3＜π，π＜4＜eq\f(3π,2)，eq\f(3π,2)＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，∴sin3·cos4·tan5＞0.題型三：誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用7.求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sineq\f(7π,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))coseq\f(13π,3).[解](1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,6)＋taneq\f(π,4)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(5,4).8．化簡下列各式：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan4π.[解](1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π))＋coseq\f(12,5)π·tan4π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\f(2,5)π·tan0＝sineq\f(π,6)＋0＝eq\f(1,2).【能力提升】一、單選題1．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的a值是（

）A． B． C．或 D．1【答案】B【分析】由題設(shè)可得且，求解即可.【詳解】由題設(shè)，且，即，∴，則，解得或，綜上，.故選：B.2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由可以得到，但是反向推導(dǎo)不成立，故可以得到答案.【詳解】由可以得到，但是由，得或.故選：A.3．已知函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B．0 C．7 D．【答案】D【分析】由題知,進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合齊次式求解即可.【詳解】解:令得,故定點(diǎn)為,所以由三角函數(shù)定義得，所以故選：D4．已知長方形的四個頂點(diǎn)是，，，，一質(zhì)點(diǎn)從的中點(diǎn)沿與夾角為的方向射到上的后，依次反射到，和上的，，和（入射角等于反射角）.設(shè)的坐標(biāo)是，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由，利用對稱性得到角的關(guān)系為，，再利用三角函數(shù)來解答，可以設(shè)，得到這些角的三角函數(shù)值關(guān)于的關(guān)系式，再由的坐標(biāo)以及，求得的取值范圍?！驹斀狻吭O(shè)，則，所以又，所以；而

所以；又

所以根據(jù)題設(shè)，即所以即故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)特別是正切函數(shù)定義的應(yīng)用、解不等式等基本知識，以及對稱法、解析法等基本數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用。二、多選題5．下列四個選項(xiàng)，正確的有（

）A．在第三象限，則是第二象限角B．已知扇形OAB的面積為4，周長為10，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為C．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則D．【答案】ABD【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各個象限的正負(fù)，扇形周長和面積的計(jì)算公式，三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)值的正負(fù)，對每個選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：由題可得，則屬于第二或者第四象限；，則屬于第二或者第三象限或角度終邊落在軸的負(fù)半軸上；故屬于第二象限，A正確；對B：設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，圓心角對的弧長為，則，，解得，又，即，解得，B正確；對C：根據(jù)題意可得，故C錯誤；對D：因?yàn)椋?，故，故，D正確.故選：ABD.6．已知是第一象限角，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)角所在象限，判斷三角函數(shù)值的符號?！驹斀狻恳阎堑谝幌笙藿?，∴由，角的終邊在一、二象限或y軸非負(fù)半軸上，成立，A正確；不一定成立，B錯誤；由，角的終邊在第一象限或第三象限，不一定成立，C錯誤；成立，D正確.故選：AD．7.下列結(jié)論正確的是（

）A．是第三象限角B．若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的面積為C．若角的終邊上有一點(diǎn)，則D．若角為銳角，則角為鈍角【答案】BC【分析】A中，由象限角的定義即可判斷；B中，由弧長公式先求出半徑，再由扇形面積公式即可；C中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可判斷；D中，取即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A中，，是第二象限角，故A錯誤；選項(xiàng)B中，設(shè)該扇形的半徑為，則，∴，∴，故B正確；選項(xiàng)C中，，，故C正確；選項(xiàng)D中，取，則是銳角，但不是鈍角，故D錯誤．故選：BC．8．已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義求出的正余弦及正切值即可計(jì)算判斷作答.【詳解】因點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則，于是得，A正確；，當(dāng)時，，當(dāng)時，，B不正確；又，則，C正確，D不正確.故選：AC9．下列說法正確的是（

）A．如果是第一象限的角，則是第四象限的角B．如果，是第一象限的角，且，則C．若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形面積為D．若圓心角為的扇形的弦長為，則該扇形弧長為【答案】AD【分析】由象限角的概念判斷A；舉反例判斷B；由扇形弧長、面積公式計(jì)算判斷C，D作答.【詳解】對于A，是第一象限的角，即，則，是第四象限的角，A正確；對于B，令，，是第一象限的角，且，而，B不正確；對于C，設(shè)扇形所在圓半徑為r，則有，解得，扇形面積，C不正確；對于D，設(shè)圓心角為的扇形所在圓半徑為，依題意，，扇形弧長，D正確.故選：AD10．已知，那么下列命題正確的是（

）A．若角、是第一象限角，則B．若角、是第二象限角，則C．若角、是第三象限角，則D．若角、是第四象限角，則【答案】BCD【分析】利用三角函數(shù)線逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)角、的終邊分別為射線、．對于A，如圖1，，此時，，，所以，故A錯誤；對于B，如圖2，，此時，，且，所以，故B正確；對于C，如圖3，，此時，，且，所以，故C正確；對于D，如圖4，，，即，故D正確．故選：BCD.三、填空題11．求值：________．【答案】2【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則性質(zhì)及指數(shù)冪的運(yùn)算化簡求值即可.【詳解】原式=故答案為：212．已知角為第一象限角，其終邊上一點(diǎn)滿足，則________．【答案】1【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)化簡可得，再由三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】由題意知，，即，化簡得，則故答案為：113．函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)且滿足，當(dāng)時，，則________．【答案】【分析】由已知條件可得函數(shù)的周期，再由周期性和偶函數(shù)的性質(zhì)求值．【詳解】由題意，所以是周期函數(shù)，周期是，又是偶函數(shù)，所以．故答案為：．四、解答題14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于A（1，0）點(diǎn)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點(diǎn)B，始邊不動，終邊在運(yùn)動．(1)若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－，求sin的值；(2)若△AOB為等邊三角形，寫出與角終邊相同的角的集合；(3)若，請寫出弓形AB的面積S與的函數(shù)關(guān)系式（注：弓形是指在圓中由弦及其所對的弧組成的圖形）．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義直接求解；（2）先求出角，即可寫出與角終邊相同的角的集合；（3）過O作于H，表示出，，分別表示出扇形面積和三角形面積，即可求出弓形AB的面積.（1）因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓相交于B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－，因?yàn)锽在x軸上方，所以.由三角函數(shù)的定義，可得：.（2）當(dāng)△AOB為等邊三角形時，因?yàn)锽在x軸上方，則，即，所以，即與角終邊相同的角的集合.（3）弓形AB的面積:.扇形的圓心角為，所以.過O作于H，則，，所以.所以.15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于點(diǎn)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點(diǎn)B，始邊不動，終邊在運(yùn)動.(1)若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，求的值和與角終邊相同的角的集合；(2)若，請寫出弓形AB的面積S與的函數(shù)關(guān)系式（注：弓形是指在圓中由弦及其所對的弧組成的圖形）.附：.【答案】(1)；(2)，【分析】（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)題意求出的縱坐標(biāo)，從而求得的值．確定角，寫出與角終邊相同的角的集合．（2）若，根據(jù)弓形的面積，計(jì)算求得結(jié)果．(1)在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于點(diǎn)，它的終邊與單位圓