2022-2023學(xué)年江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)輔仁高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)輔仁高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）若z（1﹣i）＝（1+i）2，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）兩個(gè)粒子A，B從同一發(fā)射源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為sA→=(4，3)，sB→A．10 B．102 C．10103．（5分）若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2．現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本容量為9，平均數(shù)為x，方差為s2，則（）A．x=5，s2＞2 B．x=5，s2＜2 C．x＞5，s2＜2 D．x＞54．（5分）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A＝“第一枚硬幣正面朝上”，B＝“第二枚硬幣反面朝上”（）A．A與B互為對(duì)立事件 B．A與B互斥 C．A與B相等 D．P（A）＝P（B）5．（5分）四棱臺(tái)ABCD﹣EFGH中，其上、下底面均為正方形，若EF＝2AB＝8，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為32A．224 B．448 C．2243 6．（5分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，O為線段AD的中點(diǎn)，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，設(shè)AB→=a→，A．14a→-34b→ 7．（5分）在△ABC中，CD為角C的平分線，若B＝2A，3AD＝4BD，則cosA等于（）A．0 B．12 C．23 8．（5分）中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．如圖1所示的五脊殿是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形ABCD為矩形，EF∥AB，AB＝2EF＝2，△ADE與△BCF都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，若點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．11π8 B．11π6 C．11π4二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)z1，z2，z1為z1A．z1+B．若|z1|＝|z2|，則z1＝±z2 C．|zD．若|z1|＝1，則|z1+1﹣i|的最小值為2（多選）10．（5分）下列說(shuō)法正確的是（）A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率是0.1 B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)大于中位數(shù) C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是21 D．甲乙丙三種個(gè)體按3：1：2的比例分層抽樣，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為18（多選）11．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．a(chǎn)＝bcosC+ccosB B．若sin2A＝sin2B，則△ABC是等腰三角形 C．若(AB→|AB→|D．若a=23，b=4（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M分別是BC，AA1，C1D1，BB1的中點(diǎn)則（）A．直線A1G，EF是異面直線 B．平面DMC1截正方體所得截面的面積為122C．三棱錐A﹣MC1D1的體積為163D．三棱錐A1﹣BDC1的內(nèi)切球的體積為32三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為6，則圓錐的側(cè)面積為．14．（5分）某種飲料每箱裝6聽(tīng)，其中有1聽(tīng)不合格，質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽出2聽(tīng)，檢測(cè)出不合格品的概率為．15．（5分）神舟十三號(hào)飛船于2022年4月16日首次實(shí)施快速返回技術(shù)成功著陸．若由搜救地面指揮中心的提供信息可知：在東風(fēng)著陸場(chǎng)搜索區(qū)域內(nèi)，A處的返回艙垂直返回地面．空中分隊(duì)和地面分隊(duì)分別在B處和C處，如圖為其示意圖，若A，B，C在同一水平面上的投影分別為A1，B1，C，且在C點(diǎn)測(cè)得B的仰角為26.6°，在C點(diǎn)測(cè)得A的仰角為45°，在B點(diǎn)測(cè)得A的仰角為26.6°，BB1＝7km，∠B1A1C＝120°．則CA1的長(zhǎng)為km（參考數(shù)據(jù)：tan26.6°≈16．（5分）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：△ABC為正三角形，AD，BE，CF圍成的△DEF也為正三角形．若D為BE的中點(diǎn)，①△DEF與△ABC的面積比為；②設(shè)AD→=λAB→+μAC→，則λ四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知復(fù)數(shù)z1＝a+i，z2＝1﹣ai，其中i是虛數(shù)單位，a∈R．（1）若z1?z2為純虛數(shù)，求a的值；（2）若z12+2z118．（12分）某大型連鎖超市隨機(jī)抽取了100位客戶，對(duì)去年到該超市消費(fèi)情況進(jìn)行調(diào)查．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這100位客戶去年到該超市消費(fèi)金額（單位：萬(wàn)元）均在區(qū)間[0.2，0.8]內(nèi)，按[0.2，0.3]，（0.3，0.4]，（0.4，0.5]，（0.5，0.6]，（0.6，0.7]，（0.7，0.8]分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)樣本中消費(fèi)金額的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；（2）求出這100位客戶最近一年到該超市消費(fèi)金額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在范圍的組中值作代表）．19．（12分）甲、乙兩人進(jìn)行摸球游戲，游戲規(guī)則是：在一個(gè)不透明的盒子中裝有質(zhì)地、大小完全相同且編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)球，甲先隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為a，放回后乙再隨機(jī)摸出一個(gè)球，也記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為b，記錄摸球結(jié)果（a，b），如果a+b＞5，算甲贏，否則算乙贏．（1）求a+b＝5的概率；（2）這種游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（12分）已知向量a→=(1，1)，（1）求向量b→和a（2）設(shè)向量x→=a→+(t2-3)b21．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，△PBC為等邊三角形，D，E分別為PC，PB的中點(diǎn)，BD⊥PA，BC＝2，AC＝1．（1）求證：AC⊥平面PBC；（2）在線段AC上是否存在點(diǎn)F，使得平面DEF與平面ABC的夾角為π3，若存在，求出CF22．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a2（1）若C=π4，求A，（2）若△ABC為銳角三角形，求ab

2022-2023學(xué)年江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)輔仁高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）若z（1﹣i）＝（1+i）2，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：因?yàn)閦（1﹣i）＝（1+i）2，所以z=(1+i)故在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（﹣1，1）位于第二象限．故選：B．2．（5分）兩個(gè)粒子A，B從同一發(fā)射源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為sA→=(4，3)，sB→A．10 B．102 C．1010【解答】解：設(shè)sB→與sA則cosθ=s所以sB→在sA所以sB→在sA故選：D．3．（5分）若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2．現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本容量為9，平均數(shù)為x，方差為s2，則（）A．x=5，s2＞2 B．x=5，s2＜2 C．x＞5，s2＜2 D．x＞5【解答】解：∵某8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)為x，方差為s2，∴x=8×5+59故選：B．4．（5分）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A＝“第一枚硬幣正面朝上”，B＝“第二枚硬幣反面朝上”（）A．A與B互為對(duì)立事件 B．A與B互斥 C．A與B相等 D．P（A）＝P（B）【解答】解：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），事件包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件B包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），顯然事件A，事件B都含有“（正，反）“這一結(jié)果，即事件A，事件B能同時(shí)發(fā)生，因此，事件A，事件B既不互斥也不對(duì)立，A，B都不正確；事件A，事件B中有不同的結(jié)果，于是得事件A與事件B不相等，C不正確；由古典概型知，P(A)=24=12，P(B)=24=12故選：D．5．（5分）四棱臺(tái)ABCD﹣EFGH中，其上、下底面均為正方形，若EF＝2AB＝8，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為32A．224 B．448 C．2243 【解答】解：四棱臺(tái)ABCD﹣EFGH中，其上、下底面均為正方形，EF＝2AB＝8，連接HF，EG交于點(diǎn)O1，連接AC，DB交于點(diǎn)O2，連接O1O2，過(guò)C作CQ∥O1O2，如圖，．∵“芻童”ABCD﹣EFGH上、下底面均為正方形，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均相等，∴O1O2⊥底面EFGH，又CQ∥O1O2，∴CQ⊥底面EFGH，∴∠CGQ是“芻童”ABCD﹣EFGH其中一條側(cè)棱與底面所成角的平面角，∵四棱臺(tái)ABCD﹣EFGH中每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為32∴tan∠CGQ=32∵EF＝2AB＝8，∴EG=82由題意知四邊形ACGE是等腰梯形，則QG=1∴在Rt△CQG中，tan∠CGQ=CQQG=3∴“芻童”ABCD﹣EFGH的高為12，則該芻童的體積為V=12×[(2×4+8)×4+(2×8+4)×8]故選：B．6．（5分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，O為線段AD的中點(diǎn)，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，設(shè)AB→=a→，A．14a→-34b→ 【解答】解：設(shè)AE→=λAB又CO→設(shè)CE→=μCO故λ=μ4-1=-故CE→故選：C．7．（5分）在△ABC中，CD為角C的平分線，若B＝2A，3AD＝4BD，則cosA等于（）A．0 B．12 C．23 【解答】解：因?yàn)镃D為角C的平分線，所以ADBD因?yàn)?AD＝4BD，所以ACBC所以不妨設(shè)AC＝4x，BC＝3x，因?yàn)樵凇鰽BC中，ACsinB=BCsinA，所以ACsin2A因?yàn)樵凇鰽BC中，sinA≠0，x≠0，所以4x2sinAcosA所以cosA=2故選：C．8．（5分）中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．如圖1所示的五脊殿是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形ABCD為矩形，EF∥AB，AB＝2EF＝2，△ADE與△BCF都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，若點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．11π8 B．11π6 C．11π4【解答】解：如圖，連接AC，BD，設(shè)AC∩BD＝O1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以O(shè)1為矩形ABCD外接圓的圓心．連接OO1，則OO1⊥平面ABCD，分別取EF，AD，BC的中點(diǎn)M，P，Q，根據(jù)幾何體ABCDEF的對(duì)稱性可知，直線OO1交EF于點(diǎn)M．連接PQ，則PQ∥AB，且O1為PQ的中點(diǎn)，因?yàn)镋F∥AB，所以PQ∥EF，連接EP，F(xiàn)Q，在△ADE與△BCF中，易知EP=FQ=1所以梯形EFQP為等腰梯形，所以MO1⊥PQ，且MO設(shè)OO1＝m，球O的半徑為R，連接OE，OA，當(dāng)O在線段O1M上時(shí)，由球的性質(zhì)可知R2＝OE2＝OA2，易得O1則(2當(dāng)O在線段MO1的延長(zhǎng)線上時(shí)，由球的性質(zhì)可知，(5解得m=2所以R2所以球O的表面積S=4πR故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)z1，z2，z1為z1A．z1+B．若|z1|＝|z2|，則z1＝±z2 C．|zD．若|z1|＝1，則|z1+1﹣i|的最小值為2【解答】解：選項(xiàng)A：設(shè)z1＝x+yi（x，y∈R），z1=x-yi，∴z1選項(xiàng)B：設(shè)z1＝3+4i，z2＝5，|z1|＝|z2|＝5，但是z1≠±z2，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：設(shè)z1＝x+yi，z2＝a+bi（x，y，a，b∈R），則z2z1=(a+bi)(x-yi)=(ax+by)+(bx-ay)i，|z2z1|=(ax+by)2+(bx-ay)2=(x2+y2)(a2+所以|z2z選項(xiàng)D：若|z1|＝1，設(shè)z1＝cosθ+isinθ，則z1+1﹣i＝（cosθ+1）+（sinθ﹣1）i，則|z所以當(dāng)cos(θ+π4)=-1時(shí)，|z1+1﹣i|取最小值故選：ACD．（多選）10．（5分）下列說(shuō)法正確的是（）A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率是0.1 B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)大于中位數(shù) C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是21 D．甲乙丙三種個(gè)體按3：1：2的比例分層抽樣，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為18【解答】解：對(duì)于A，個(gè)體m被抽到的概率為550=0.1，所以選項(xiàng)對(duì)于B，數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)是3，中位數(shù)是3，眾數(shù)等于中位數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)據(jù)27，12，14，30，14，17，19，23從小到大排列為：12，14，14，17，19，23，27，30，由于8×70%＝5.6，其中第6個(gè)數(shù)為23，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)分層抽樣原理知，抽取的甲個(gè)體數(shù)為9時(shí)，樣本容量為9÷33+1+2=故選：AD．（多選）11．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．a(chǎn)＝bcosC+ccosB B．若sin2A＝sin2B，則△ABC是等腰三角形 C．若(AB→|AB→|D．若a=23，b=4【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，由正弦定理得bcosC+ccosB＝2RsinBcosC+2RsinCcosB＝2Rsin（B+C）＝2RsinA＝a，故選項(xiàng)A正確．對(duì)于選項(xiàng)B，在△ABC中，由sin2A＝sin2B，解得2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或A+B=π所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?AB→|所以∠A的角平分線與BC垂直，所以AB＝AC，所以∠B＝∠C．又因?yàn)锳B→|AB因?yàn)?＜A＜π，所以∠A=π所以∠B=∠C=∠A=π所以△ABC為等邊三角形，故選項(xiàng)C正確．對(duì)于選項(xiàng)D，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則bsinA＜a＜b，因?yàn)閍=23所以4sinA＜2即sinA＜所以0＜A＜π故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M分別是BC，AA1，C1D1，BB1的中點(diǎn)則（）A．直線A1G，EF是異面直線 B．平面DMC1截正方體所得截面的面積為122C．三棱錐A﹣MC1D1的體積為163D．三棱錐A1﹣BDC1的內(nèi)切球的體積為32【解答】解：對(duì)于A，如圖，取B1C1的中點(diǎn)P，連接PE，取PE的中點(diǎn)Q，連接A1Q，則A1F∥EQ，A1F＝EQ，所以四邊形A1FEQ是平行四邊形，所以EF∥A1Q，又因A1G∩A1Q＝A1，所以直線A1G，EF是異面直線，故A正確；對(duì)于B，如圖，延長(zhǎng)C1M，CB交于點(diǎn)H，連接HD交AB點(diǎn)N，連接MN，AB1，因?yàn)锽B1∥CC1，M為BB1的中點(diǎn)，則BM=1所以B為HC的中點(diǎn)，因?yàn)锳B∥CD，所以N為AB的中點(diǎn)，則MN∥AB1，因?yàn)锳D∥B1C1，AD＝B1C1，所以AB1C1D為平行四邊形，所以AB1∥DC1，所以MN∥DC1，則平面DMC1截正方體所得截面為等腰梯形MNDC1，在等腰梯形MNDC1中，DC則梯形的高為20-2=3所以等腰梯形MNDC1的面積為(42+22對(duì)于C，連接BC1，B1C，則BC1⊥B1C，因?yàn)锳B⊥平面BCC1B1，B1C?平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，又AB∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1，又因?yàn)镸為BB1的中點(diǎn)，所以三棱錐M﹣AC1D1的高為14S△A所以VA-MC1三棱錐A1﹣BDC1為正四面體，且棱長(zhǎng)為42，每個(gè)側(cè)面的面積為12×（42）2×3三棱錐A1﹣BDC1的體積為43﹣4×13×1設(shè)三棱錐A1﹣BDC1的內(nèi)切球的半徑為r，則4×13×83×r=所以三棱錐A1﹣BDC1的內(nèi)切球的體積為43πr3=323故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為6，則圓錐的側(cè)面積為216π．【解答】解：設(shè)圓錐的底面周長(zhǎng)為c，母線長(zhǎng)為l，則c＝2π×6＝12π，因?yàn)閳A錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為60°，所以π3=c則圓錐的側(cè)面積為12故答案為：216π．14．（5分）某種飲料每箱裝6聽(tīng)，其中有1聽(tīng)不合格，質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽出2聽(tīng)，檢測(cè)出不合格品的概率為13【解答】解：從6聽(tīng)飲料中隨機(jī)抽取2聽(tīng)的基本事件總數(shù)為n＝C6檢測(cè)出不合格品的基本事件個(gè)數(shù)為m＝C51?C所以檢測(cè)出不合格品的概率為P=m故答案為：1315．（5分）神舟十三號(hào)飛船于2022年4月16日首次實(shí)施快速返回技術(shù)成功著陸．若由搜救地面指揮中心的提供信息可知：在東風(fēng)著陸場(chǎng)搜索區(qū)域內(nèi)，A處的返回艙垂直返回地面．空中分隊(duì)和地面分隊(duì)分別在B處和C處，如圖為其示意圖，若A，B，C在同一水平面上的投影分別為A1，B1，C，且在C點(diǎn)測(cè)得B的仰角為26.6°，在C點(diǎn)測(cè)得A的仰角為45°，在B點(diǎn)測(cè)得A的仰角為26.6°，BB1＝7km，∠B1A1C＝120°．則CA1的長(zhǎng)為10km（參考數(shù)據(jù)：tan26.6°≈【解答】解：如圖：設(shè)A1C＝xkm，過(guò)點(diǎn)B作AA1的垂線，垂足為D，由題意得∠BCB1＝26.6°，∠ACA1＝45°，∠ABD＝26.6°，則AA1＝x，∵AA1⊥平面A1B1C，BB1⊥平面A1B1C，∴AA1∥BB1，又A1C，A1B1?平面A1B1C，∴AA1⊥A1C，AA1⊥A1B1，因?yàn)锳A1⊥BD，∵BD∥A1B1，∴四邊形A1B1BD為平行四邊形，∴A1D＝BB1＝7，∴AD＝AA1﹣A1D＝x﹣7，在Rt△ABD中BD=AD∴B1A1＝BD＝2（x﹣7），∵BB1⊥平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，∴BB1⊥B1C，∴B1在△A1B1C中，∠B1A1C＝120°，由余弦定理得cos120°=A化簡(jiǎn)得x2﹣10x＝0，∴x＝10或x＝0（舍去）．∴CA1的長(zhǎng)為10km．故答案為：10．16．（5分）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：△ABC為正三角形，AD，BE，CF圍成的△DEF也為正三角形．若D為BE的中點(diǎn)，①△DEF與△ABC的面積比為17；②設(shè)AD→=λAB→+μAC→，則λ+【解答】解：①設(shè)BC＝a，CE＝m，則BE＝2m，在△BCE中，由余弦定理得a2＝m2+（2m）2﹣2?m?（2m）?cos120°＝（1+4+2）m2＝7m2，∴a=7m∴△DEF與△ABC的面積比為S△DEF②AD→AD→∴AD→∴λ+μ=4故答案為：①17；②6四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知復(fù)數(shù)z1＝a+i，z2＝1﹣ai，其中i是虛數(shù)單位，a∈R．（1）若z1?z2為純虛數(shù)，求a的值；（2）若z12+2z1【解答】解：（1）由復(fù)數(shù)z1＝a+i，z2＝1﹣ai，則z1?z2＝（a+i）?（1﹣ai）＝a﹣a2i+i﹣ai2＝2a+（1﹣a2）i．∵z1?z2為純虛數(shù)，∴2a＝0且1﹣a2≠0．則a＝0；（2）由z12+2得（a+i）2+2（a+i）+2＝0，a2+2a+1+（2a+2）i＝0，解得(a+1)2=0此時(shí)z1＝﹣1+i，z2＝1+i，復(fù)數(shù)z1z∴復(fù)數(shù)z118．（12分）某大型連鎖超市隨機(jī)抽取了100位客戶，對(duì)去年到該超市消費(fèi)情況進(jìn)行調(diào)查．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這100位客戶去年到該超市消費(fèi)金額（單位：萬(wàn)元）均在區(qū)間[0.2，0.8]內(nèi)，按[0.2，0.3]，（0.3，0.4]，（0.4，0.5]，（0.5，0.6]，（0.6，0.7]，（0.7，0.8]分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)樣本中消費(fèi)金額的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；（2）求出這100位客戶最近一年到該超市消費(fèi)金額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在范圍的組中值作代表）．【解答】解：2×a×0.1+2×0.1+3×0.1+1.8×0.1+0.6×0.1＝1，（1）由題可知，即0.2a＝0.26，所以a＝1.3．求中位數(shù)即求該頻率分布直方圖的50百分位數(shù)，即估計(jì)樣本中消費(fèi)金額的中位數(shù)為0.4+0.5-(0.13+0.2)（2）由頻率分布直方圖可得，x=0.25×0.13+0.35×0.2+0.45×0.3+0.55×0.18+0.65×0.13+0.75×0.06=0.466因此，這100位客戶最近一年到該超市消費(fèi)金額的平均數(shù)為0.466萬(wàn)元．19．（12分）甲、乙兩人進(jìn)行摸球游戲，游戲規(guī)則是：在一個(gè)不透明的盒子中裝有質(zhì)地、大小完全相同且編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)球，甲先隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為a，放回后乙再隨機(jī)摸出一個(gè)球，也記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為b，記錄摸球結(jié)果（a，b），如果a+b＞5，算甲贏，否則算乙贏．（1）求a+b＝5的概率；（2）這種游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）摸球結(jié)果（a，b）全部可能的結(jié)果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25種，其中a+b＝5的結(jié)果為（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4種，故由古典概型的概率計(jì)算公式可得P(a+b=5)=（2）這種游戲規(guī)則不公平，理由如下：設(shè)甲贏為事件A，乙贏為事件B，則A，B為對(duì)立事件，由題意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15個(gè)，由古典概型的概率計(jì)算公式可得P(A)=1525=∵P（A）＞P（B），故這種游戲規(guī)則不公平．20．（12分）已知向量a→=(1，1)，（1）求向量b→和a（2）設(shè)向量x→=a→+(t2-3)b【解答】解：（1）∵向量a→=(1，1)，∴a→+b→=∴|a→+設(shè)向量b→和a→+cosθ