中考數(shù)學(xué) 熱點01 與圓有關(guān)的計算問題（四川成都專用）（解析版）

熱點01與圓有關(guān)的計算問題圓得計算是四川成都中考數(shù)學(xué)的必考考點，常見以選填的形式，主要是求角、長度、面積等問題，一般出現(xiàn)在中考的第7或8題，偶爾也會出現(xiàn)在A卷填空題中，以簡單題為主，但除了常規(guī)考法以外，日常練習(xí)中多注意新穎題目的考向?！绢}型1與圓有關(guān)的角度問題】【例1】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，點在上，若則的度數(shù)為（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【分析】利用圓周角定理求出再利用三角形角和定理求解即可．【詳解】解：是的直徑，故選：【點睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握圓周角定理是解此題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，再根據(jù)圓的性質(zhì)得，從而得到，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可得的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理得的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可求解．【詳解】解：如圖，連接，則有，∴，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可得：，∴，根據(jù)圓周角定理可得：，∴，故選：A．【點睛】此題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，涉及了圓周角定理，正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓的有關(guān)性質(zhì)．【變式1-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在中，弦，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用圓周角定理求出的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】解∶∵，∴，∵，∴．故選：A．【點睛】本題考查了圓周角定理，平行線的性質(zhì)，利用圓周角定理求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正六邊形和正方形都內(nèi)接于，連接，則弦所對圓周角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】先求出正六邊形和正方形的邊所對的圓心角，求差可得弦所對得圓心角，再分別求出優(yōu)弧和劣弧所對得圓周角即可．【詳解】如圖，連接,,∵四邊形是正方形∴∵六邊形是正六邊形∴∴∴弦所對圓周角的度數(shù)為或故選C．【點睛】本題考查正多邊形和圓的關(guān)系，以及同弧所對圓周角是它所對圓心角得一半，注意有兩個答案．【變式1-4】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，已知正五邊形，，A、B、C、D、E均在上，連接，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，，根據(jù)，得出，根據(jù)圓周角定理即可得出答案．【詳解】解：連接，，，如圖所示：∵，∴，∴，∴，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓心角，弦之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出．【題型2與圓有關(guān)的長度問題】【例2】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，點是上的一點，若，，于點，則的長為．

【答案】【分析】先利用圓周角定理得到，則可根據(jù)勾股定理計算出，再根據(jù)垂徑定理得到，則可判斷為的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)求解．【詳解】解：是的直徑，，∵，，，，，而，為的中位線，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑，也考查了垂徑定理．【變式2-1】（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的周長等于，則正六邊形的邊長為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】連接OB，OC，由⊙O的周長等于6π，可得⊙O的半徑，又由圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：連接OB，OC，∵⊙O的周長等于6π，∴⊙O的半徑為：3，∵∠BOC360°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB＝3，∴它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為3，故選：C．【點睛】此題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式2-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，是正五邊形的外接圓，這個正五邊形的邊長為，半徑為，邊心距為，則下列關(guān)系式錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)正多邊形的性質(zhì)求出，進(jìn)而求出，，再解直角三角形即可得到答案．【詳解】解：是正五邊形的外接圓，，∵，，，∴，即，故B不符合題意；，即，故C不符合題意；，即，故A不符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接五邊形、解直角三角形的知識，掌握圓內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)，并求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·四川成都·二模）如圖，把圓分成六等分，經(jīng)過各分點作圓的切線，的半徑是R，它的外切正六邊形的邊長為（）

A． B． C．2 D．6R【答案】A【分析】求出，然后解直角三角形求出，再根據(jù)邊長計算即可求解．【詳解】解：如圖，，

所以，，所以，外切六邊形的邊長．故選：A．【點睛】本題考查正多邊形和圓，主要利用解直角三角形，熟記正多邊形的性質(zhì)并求出切點與相鄰的頂點所對的圓心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2023·四川成都·二模）如圖，半圓的直徑，正方形的頂點C，D在半圓上，一邊在上，則這個正方形的邊長等于．【答案】【分析】根據(jù)題意得，設(shè),則，由勾股定理得，從而求得正方形的面積．【詳解】如圖，找到半圓的圓心O，根據(jù)題意得，

設(shè)，則，由勾股定理得，解得．∴（負(fù)值舍去）．∴正方形的邊長為，故答案為：【點睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，垂徑定理和勾股定理，解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題再進(jìn)行計算．【題型3與圓有關(guān)的面積問題】【例3】（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）為傳承非遺文化，講好中國故事，某地準(zhǔn)備在一個場館進(jìn)行川劇演出．該場館底面為一個圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納名觀眾同時觀看演出．（取3.14，取1.73）

【答案】184【分析】過點O作的垂線段，交于點，根據(jù)直角三角形的邊長關(guān)系求出的角度，陰影面積即為扇形的面積減去三角形的面積，隨機可以求出容納觀眾的數(shù)量．【詳解】解：如圖，過點O作的垂線段，交于點，

圓心O到欄桿的距離是5米，米，，，米，，，，可容納的觀眾陰影部分面積（人），最多可容納184名觀眾同時觀看演出，故答案為：184．【點睛】本題考查了弓形的面積，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，熟知扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2021·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形的邊長為6，以頂點A為圓心，的長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出∠FAB，利用扇形面積公式求出扇形ABF的面積計算即可．【詳解】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠FAB=，AB=6，∴扇形ABF的面積=，故選擇D．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓、扇形面積計算，掌握多邊形內(nèi)角的計算公式、扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，將直徑的半圓繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，此時點B到了點，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意知，，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，∵，∴，故選：A．【點睛】本題考查了扇形面積，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于確定陰影部分的面積表達(dá)式．【變式3-3】（2023·四川成都·校考三模）如圖，是的直徑，弦，，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)垂徑定理求得，然后由圓周角定理知，通過解直角三角形求得線段、的長度；最后將相關(guān)線段的長度代入．【詳解】解：如圖，設(shè)線段、交于點，

∵是的直徑，弦，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，角所對的直角邊等于斜邊的一半，扇形面積的計算，運用了割補法求陰影部分的面積．掌握垂徑定理和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2021·四川成都·二模）如圖，圓O經(jīng)過平行四邊形的三個頂點A、B、D，且圓心O在平行四邊形的外部，tan∠DAB＝，D為弧AB的中點，若圓O的半徑為5，則平行四邊形的面積為（）A．10 B．15 C．16 D．20【答案】C【分析】連接OD，交AB于點E，連接OA，由D為的中點，利用垂徑定理的逆定理得到OD垂直于AB，E為AB的中點，在直角三角形ADE中，由tan∠DAB的值，得到AE＝2DE，設(shè)DE＝x，則有AE＝2x，由半徑為5，得到OA＝OD＝5，由OD﹣DE表示出OE，在直角三角形AEO中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AB與DE的長，利用平行四邊形的面積公式即可求出面積．【詳解】解：連接OD，交AB于點E，連接OA，如圖所示，∵D為的中點，∴OD⊥AB，∴E為AB的中點，即AE＝BE，在Rt△ADE中，tan∠DAB＝，設(shè)DE＝x，∵OA＝OD＝5，∴AE＝2x，OE＝OD﹣DE＝5﹣x，在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：x＝0（舍去）或x＝2，∴AE＝4，DE＝2，∴AB＝2AE＝8，則．故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系、圓周角定理、解直角三角形等知識，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．（建議用時：30分鐘）1．（2023·四川成都·成都實外?？家荒＃┤鐖D，是的直徑，弦，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理可得，再由圓周角定理，即可求解．【詳解】解：∵是的直徑，弦，∴，∴．故選：B【點睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，中，，，，為的內(nèi)切圓，與三邊的切點分別為D、E、F，則的面積為___________（結(jié)果保留π）（）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】A【分析】連接，，，，，，設(shè)，先由勾股定理求出的長，然后由面積法可求出半徑r，從而根據(jù)圓的面積公式可計算出圓的面積．【詳解】解：如圖，連接，，，，，．設(shè)，由勾股定理得．，，解得，的面積為．故選A．【點睛】本題考查了圓的內(nèi)切三角形，切線的性質(zhì)，勾股定理等，根據(jù)面積法求出半徑r是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，正方形、等邊三角形內(nèi)接于同一個圓，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，，已知圖形是以正方形的對角線所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，求得，則所對的圓心角為，所以的度數(shù)為．【詳解】解：∵四邊形是正方形，是等邊三角形，∴，，∵已知圖形是以正方形的對角線所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，∴，∵是所對的圓周角，∴所對的圓心角等于，∴的度數(shù)為，故選D．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，正方形及等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和弧的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出所對的圓心角的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022·四川成都·?？既＃┤鐖D，是的直徑，是的弦，若，則弧長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連結(jié)，根據(jù)，得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出圓心角的度數(shù)，根據(jù)直徑的長求出半徑，根據(jù)弧長公式即可得出答案．【詳解】解：如圖，連結(jié)，∵，∴，∴，∵直徑，∴半徑，∴弧長，故選：C．【點睛】本題考查了弧長的計算，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，是的兩條直徑，E是劣弧的中點，連接，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OE，由題意易得，則有，然后可得，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理可求解．【詳解】解：連接OE，如圖所示：∵OB=OC，，∴，∴，∵E是劣弧的中點，∴，∴；故選C．【點睛】本題主要考查圓周角定理及垂徑定理，熟練掌握圓周角定理及垂徑定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，且E為OB的中點，∠CDB=30°，CD=4，則陰影部分的面積為（）A．π B．4π C．π D．π【答案】D【分析】連接，由，得，又，可得是等腰三角形，E為OB的中點，可得，由垂徑定理得，在中，可求得，然后由，即可求得答案．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∵E為OB的中點，∴，∴，在中，，∴，∵，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、解直角三角形和求扇形面積等，熟練掌握相關(guān)定理和扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．7．（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，圓形螺帽的內(nèi)接正六邊形的邊心距為，則圓形螺帽的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)可得△AOB是正三角形，由邊心距可求出半徑，進(jìn)而求得邊長，即可求得面積．【詳解】解：如圖，△AOB是正三角形，，，則半徑為4圓形螺帽的面積是故選D【點睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)解決問題的關(guān)鍵．8.（2022·四川成都·校考一模）如圖，是一個圓形人工湖，弦AB是湖上的一座橋，已知AB的長為10，∠CAO+∠CBO=30°，則弧AB的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠AOB=60°，再根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：∵OA=OB=OC，∠CAO+∠CBO=30°，∴∠ACO=∠CAO，∠BCO=∠CBO∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=∠CAO+∠CBO=30°，∴∠AOB=60°，∴OA=OB=AB=10，∴弧AB的長為：．故選：D．【點睛】此題主要考查了弧長計算以及圓周角定義，正確掌握弧長公式是解題關(guān)鍵．9．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，已知⊙O的半徑為5，AB、CD為⊙O的弦，且CD=6．若∠AOB+∠COD=180°，則弦AB的長為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】延長AO交⊙O于點E，連接BE，由∠AOB+∠BOE＝∠AOB+∠COD知∠BOE＝∠COD，據(jù)此可得BE＝CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【詳解】解：如圖，延長AO交⊙O于點E，連接BE，則∠AOB+∠BOE＝180°，又∵∠AOB+∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD，∵AE為⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∴AB＝＝＝8，故選：C．【點睛】本題主要考查圓心角定理，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用圓心角定理和圓周角定理解決問題．10．（2022·四川成都·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠OCA＝60°，AC＝6，則扇形OBMC的面積為（）A．24π B．12π C．8π D．6π【答案】B【分析】先根據(jù)∠OCA=60°，OA=OC，判斷出△OAC是等邊三角形，從而得扇形OBMC的圓心角及半徑，再利用扇形面積公式計算即可．【詳解】解：∵∠OCA＝60°，OA＝OC，∴△OAC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，OA＝AC＝6，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∴扇形OBMC的面積為＝12π．故選：B．【點睛】本題考查扇形面積的計算，解題關(guān)鍵是掌握扇形面積計算公式，難度不大．11.（2021·四川成都·統(tǒng)考三模）如圖，正方形內(nèi)接于⊙，，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接OB、OC，利用正方形的性質(zhì)得出OB=BCcos45°=，根據(jù)陰影部分的面積=（S⊙O-S正方形ABCD）÷4列式計算可得．【詳解】解：連接OB、OC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠OBC=45°，∴OB=BCcos45°=4×=，所以陰影部分的面積=（S⊙O-S正方形ABCD）÷4=[π×（）2-4×4]÷4=2π-4．故選：A．【點睛】本題主要考查扇形的面積計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)和圓的面積公式．12．（2021·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O與△ABC的邊AB，AC相切于點B，D，若圓心O在BC邊上，∠C=30°，OC=2，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用切線的性質(zhì)可證得∠ODC=90°，再求出∠DOC的度數(shù)，可得到∠BOD的度數(shù)，然后利用扇形的面積公式可求出陰影部分的面積．【詳解】解：∵⊙O與△ABC的邊AB，AC相切于點B，D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=90°，∴∠DOC=90°-∠C=90°-30°=60°，OD=OC=1，∴∠BOD=180°-∠DOC=180°-60°=120°，∴S陰影部分=．故答案為：B．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，30°直角三角形的的性質(zhì)，扇形面積的計算，解題關(guān)鍵在于利用圓切線的性質(zhì)得出垂直關(guān)系．13．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，是⊙的直徑，，是⊙的弦，點E是的中點，與交于點C，連接，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用鄰補角的定義計算出∠BOF=140°,再根據(jù)圓周角定理計算出∠BEF=70°得到∠EBF=∠EFB然后利用三角形內(nèi)角和計算度數(shù)．再由°，再計算∠F的度數(shù)即可．【詳解】解：連接BF∵∴°，∵點E是的中點∴，35°故選：B．【點睛】本題考查圓周角定理及推論、鄰補角、三角形的內(nèi)角和、靈活進(jìn)行角的和差關(guān)系的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．14．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，已知圓周角，半徑，則扇形的面積是．【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理可得出，進(jìn)而由扇形面積公式計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理，扇形面積公式．掌握扇形面積公式為是解題關(guān)鍵．15．（2023·四川成都·校考二模）如圖，是的直徑，是上一點，是上一點，且，若，則．【答案】/度【分析】先根據(jù)圓周角定理求得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得即可求解．【詳解】解：連接，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．16．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，已知是的弦，，，垂足為，交于點，若為上一點，連接、，則的度數(shù)是．【答案】/35度【分析】根據(jù)垂徑定理得出，進(jìn)而求出，再根據(jù)圓周角定理可得．【詳解】解：，為半徑，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．17．（2023·四川成都·成都七中校考三模）如圖，已知的周長等于，則該圓內(nèi)接正六邊形的邊心距為．【答案】/【分析】連接，，由正六邊形可求出，進(jìn)而可求出，根據(jù)角的銳角三角函數(shù)值即可求出邊心距的長．【詳解】解：連接，，正六邊形是圓的內(nèi)接多邊形，，，，，的周長等于，，，故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、解直角三角形；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．18．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，B，D是上