山西省太原市高二上學期期末考試數(shù)學

2023～2024學年第一學期高二年級期末學業(yè)診斷數(shù)學試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.直線在軸和軸上的截距分別為（）A，2 B.，2 C.， D.，2.圓的圓心坐標和半徑分別為（）A.， B.， C.，3 D.，33.已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.4.平行直線l1：3x－y＝0與l2：3x－y＋＝0的距離等于（）A.1 B.0 C. D.35.設拋物線的焦點是，點是拋物線上的動點，且點，則的最小值為（）A B.4 C. D.56.已知直線與雙曲線相交于兩點，且兩點的橫坐標之積為，則該雙曲線的焦距為（）A. B. C. D.7.在橢圓中，以點為中點的弦所在的直線方程為（）A. B. C. D.8.如圖，直線經過拋物線：的焦點，與拋物線交于點，與準線交于點，且，則直線的斜率為（）A. B.2 C.3 D.二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知直線：與：交于點，則下列說法正確的是（）A.點到原點距離為B.點到直線的距離為1C.不論實數(shù)取何值，直線：都經過點D.是直線的一個方向向量的坐標10.當時，方程表示的軌跡可能是（）A.兩條直線 B.橢圓 C.圓 D.雙曲線11.橢圓的方程為，，是橢圓的兩個焦點，點為橢圓上一點且在第一象限.若是等腰三角形，則下列結論正確的是（）A. B.C.點到軸的距離為 D.12.已知為坐標原點，雙曲線：（，）左、右焦點分別為，，離心率為，為雙曲線上一點，平分，且，，則下列結論正確的是（）A.雙曲線的標準方程為 B.C.雙曲線的焦距為 D.點到兩條漸近線的距離之積為三、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分）13.拋物線的焦點坐標為________.14.已知圓的一條直徑的兩個端點坐標分別為，，則圓的方程是________.15.已知是拋物線上的一點，為拋物線的焦點，為坐標原點.當時，，則________.16.已知橢圓：的左、右焦點分別是，，若橢圓上兩點，滿足，且，則橢圓的離心率為________.四、解答題（本題共5小題，共52分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知的三個頂點分別為，，.（1）求邊所在直線的方程；（2）判斷的形狀.18.已知圓的方程為，點在圓內.（1）求實數(shù)取值范圍；（2）求過點且與圓相切的直線的方程.19.已知雙曲線：的右焦點與拋物線的焦點重合.（1）求雙曲線的方程；（2）若斜率為的直線經過右焦點，與雙曲線的右支相交于，兩點，雙曲線的左焦點為，求的周長.20.已知點為拋物線：的焦點，點在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程；（2）已知點，過點的直線交拋物線于、兩點，求證：.21.已知橢圓：的離心率為，且過點，經過右焦點的直線（斜率不為0）與橢圓分別交于、兩點.（1）求橢圓的方程；（2）記橢圓的左、右頂點分別為，，和的面積分別為和，求的最大值.2023～2024學年第一學期高二年級期末學業(yè)診斷數(shù)學試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.直線在軸和軸上的截距分別為（）A.，2 B.，2 C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用橫縱截距的意義求解即得.詳解】直線，當時，，當時，，所以直線在軸和軸上的截距分別為，2.故選：B2.圓的圓心坐標和半徑分別為（）A.， B.， C.，3 D.，3【答案】A【解析】【分析】利用給定圓方程直接求出圓心坐標及半徑即得.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為.故選：A3.已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據雙曲線的標準形式結合漸近線方程求解即可.【詳解】因為雙曲線方程為：，所以漸近線方程為：.故選：D4.平行直線l1：3x－y＝0與l2：3x－y＋＝0的距離等于（）A.1 B.0 C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據平行線間的距離公式直接得出結論.【詳解】l1、l2的距離為＝1.故選：A.【點睛】本題考查平行線間的距離公式，屬于基礎題型.5.設拋物線的焦點是，點是拋物線上的動點，且點，則的最小值為（）A. B.4 C. D.5【答案】C【解析】【分析】設點到準線的距離為，當三點共線時，取得最小值，即可求解.【詳解】解：拋物線的焦點是，準線方程為：，設點到準線的距離為，則，如圖所示：當三點共線時，取得最小值，故選：C6.已知直線與雙曲線相交于兩點，且兩點的橫坐標之積為，則該雙曲線的焦距為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】聯(lián)立解方程，求出交點橫坐標，然后列式計算即可.【詳解】聯(lián)立，消去得，所以，此時方程的解為，所以，解得，符合，所以雙曲線的焦距為.故選：B.7.在橢圓中，以點為中點的弦所在的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定點在橢圓內部，設交點為，代入橢圓方程做差，然后整理可得直線斜率，利用點斜式可得直線方程.【詳解】因為，故點在橢圓內部，過點的直線恒與橢圓有兩個交點，設交點為，則，又，兩式相減得，整理得，所以以點為中點的弦所在的直線方程為，即.故選：C.8.如圖，直線經過拋物線：的焦點，與拋物線交于點，與準線交于點，且，則直線的斜率為（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】過點作準線的垂線，垂足為，利用拋物線的定義以及直角三角函數(shù)可求.【詳解】過點作準線的垂線，垂足為，由拋物線的定義可得，在直角三角形中，，，所以.故選：A.二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知直線：與：交于點，則下列說法正確的是（）A.點到原點的距離為B.點到直線的距離為1C.不論實數(shù)取何值，直線：都經過點D.是直線的一個方向向量的坐標【答案】AD【解析】【分析】根據給定條件，求出點的坐標，再逐項計算、判斷即得.【詳解】由，解得，則點，對于A，到原點距離，A正確；對于B，到直線的距離，B錯誤；對于C，，當時，直線不過點，C錯誤；對于D，直線的斜率，因此是直線的一個方向向量的坐標，D正確.故選：AD10.當時，方程表示的軌跡可能是（）A.兩條直線 B.橢圓 C.圓 D.雙曲線【答案】ABD【解析】【分析】對所取范圍分類討論，即可求得不同情況下對應的軌跡.【詳解】對方程，若，則，即，此時該方程表示兩條直線與；若，此時該方程表示橢圓；若，此時該方程表示雙曲線；綜上所述，該方程表示的軌跡可能是兩條直線、橢圓或雙曲線.故選：ABD.11.橢圓的方程為，，是橢圓的兩個焦點，點為橢圓上一點且在第一象限.若是等腰三角形，則下列結論正確的是（）A. B.C.點到軸距離為 D.【答案】AC【解析】【分析】根據橢圓的定義和性質，確定焦點三角形的有關結論.【詳解】如圖：因為橢圓的標準方程為：，所以：，，.因為點在第一象限，且是等腰三角形，離心率，所以必是：.根據橢圓的定義，，故A正確；在中，，，由余弦定理：，故B錯誤；由，到軸的距離為：，故C正確；，故D錯誤.故選：AC12.已知為坐標原點，雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，離心率為，為雙曲線上一點，平分，且，，則下列結論正確的是（）A.雙曲線的標準方程為 B.C.雙曲線的焦距為 D.點到兩條漸近線的距離之積為【答案】BCD【解析】【分析】不妨設為雙曲線的右支上一點，延長交于點，根據三角形全等進而得，，再結合雙曲線的定義，中位線定理得，由離心率求出可得雙曲線方程可判斷ABC；設，則，求出點到兩條漸近線的距離之積可判斷D.【詳解】對于A，不妨設點在雙曲線的右支上，延長相交于點，因為平分，且，所以，在中，，所以，所以，，即為線段的中點，可得為的中位線，根據雙曲線的定義，因為為的中位線，所以，即，離心率為，可得，所以，所以雙曲線的標準方程為，故A錯誤；對于B，因為為的中位線，，即，故B正確；對于C，因為，所以雙曲線的焦距為，故C正確；對于D，雙曲線的標準方程為，所以漸近線方程為，即，設，則，即，點到兩條漸近線的距離之積為，故D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于延長相交于點，結合幾何關系得到為的中點，進而求得雙曲線的解析式.三、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分）13.拋物線的焦點坐標為________.【答案】【解析】【分析】確定拋物線的標準方程，即可求得答案.【詳解】由拋物線方程，可知拋物線標準方程為，其焦準距，焦點在x軸負半軸上，故其焦點坐標為，故答案為：14.已知圓的一條直徑的兩個端點坐標分別為，，則圓的方程是________.【答案】【解析】【分析】根據中點坐標公式求得圓心坐標，結合兩點之間的距離公式即可求得半徑，則問題得解.【詳解】根據題意，，即圓心坐標為；則圓的半徑，故所求圓的方程為：.故答案為：.15.已知是拋物線上的一點，為拋物線的焦點，為坐標原點.當時，，則________.【答案】【解析】【分析】過作準線的垂線，過作的垂線，垂足分別為，結合條件及拋物線的定義可求得，在中，利用余弦即可求出結果.【詳解】由拋物線的對稱性，不妨設在第一象限，過作準線的垂線，過作的垂線，垂足分別為．如圖所示，由題意知，因，易知，又點到準線的距離為：，解得，在中，，，由余弦定理得，所以，故答案為：.16.已知橢圓：的左、右焦點分別是，，若橢圓上兩點，滿足，且，則橢圓的離心率為________.【答案】##【解析】【分析】向量坐標化得Q的坐標，代入橢圓方程計算求解離心率.【詳解】根據橢圓性質，，，則，則點位于軸上，設，，其中，設，由于，得：，即，代入橢圓得：，即，解得離心率.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共52分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知的三個頂點分別為，，.（1）求邊所在直線的方程；（2）判斷的形狀.【答案】（1）；（2）是等腰直角三角形.【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解即得.（2）求出直線的斜率，結合（1）中信息及兩點間距離公式計算判斷即得.【小問1詳解】依題意，直線的斜率，則直線的方程為：，化簡得：.【小問2詳解】直線的斜率，顯然，即，是直角三角形，又，則是等腰三角形，所以是等腰直角三角形.18.已知圓的方程為，點在圓內.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求過點且與圓相切的直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用點與圓的位置關系列出不等式，求解不等式即得.（2）按切線斜率存在與否分類求出切線方程.【小問1詳解】圓：的圓心，半徑由點在圓內，得，解得，所以的取值范圍為.【小問2詳解】顯然點在圓外，圓的切線經過點，圓心到直線的距離為2，則直線是過點的圓的切線；當切線的斜率存在時，設圓的切線方程為，由，解得，切線方程為，即，所以圓的切線方程為或.19.已知雙曲線：的右焦點與拋物線的焦點重合.（1）求雙曲線方程；（2）若斜率為的直線經過右焦點，與雙曲線的右支相交于，兩點，雙曲線的左焦點為，求的周長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出拋物線的焦點坐標得雙曲線半焦距c，再求出即可.（2）求出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立求出弦長，再借助雙曲線定義求解即得.【小問1詳解】拋物線的焦點坐標為，則雙曲線的半焦距，由，得，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】由（1）知，直線的方程為，設，，由，得，顯然，則，，，因此，所以的周長為.20.已知點為拋物線：的焦點，點在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程；（2）已知點，過點的直線交拋物線于、兩點，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用拋物線的焦半徑公式，可求得p的值，即得答案；（2）設出直線CD的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關系式，化簡，即可證明結論.【小問1詳解】由題意點為拋物線：的焦點，點在拋物線上，且.得，解得，故拋物線的方程為.【小問2詳解】證明：設直線的方程為，，，由，得，，.，，即直線關于x軸對稱，故.21.已知橢圓：的離心率為，且過點，經過右焦點的直線（斜率不為0）與橢圓分別交于、兩點.（1）求橢圓的方程；（2）記橢圓的左、右頂點分