2025屆廣西桂林、賀州、崇左三市數(shù)學(xué)高一下期末檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆廣西桂林、賀州、崇左三市數(shù)學(xué)高一下期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使得的概率為（）A． B． C． D．2．函數(shù)的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．53．圓的半徑是，則的圓心角與圓弧圍成的扇形面積是（）A． B． C． D．4．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．已知直線，若，則的值為（）A．8 B．2 C． D．-26．已知角、是的內(nèi)角，則“”是“”的（）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．若，則下列不等式不成立的是()A． B． C． D．8．已知分別是的邊的中點(diǎn)，則①；②；③中正確等式的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．39．如圖，在中，，，若，則()A． B． C． D．10．“”是“直線與直線互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若扇形的周長是，圓心角是度，則扇形的面積（單位）是__________.12．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“（且）”的過程中，第一步：當(dāng)時(shí)，不等式左邊應(yīng)等于__________。13．已知是邊長為的等邊三角形，為邊上（含端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_______.14．已知直線是函數(shù)（其中）圖象的一條對(duì)稱軸，則的值為________.15．學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為100且支出在元的樣本，其頻率分布直方圖如圖，則支出在元的同學(xué)人數(shù)為________16．已知三棱錐，若平面ABC，，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列，.(1)記，證明:是等比數(shù)列；(2)當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，證明:；(3)證明:.18．在等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°,E是BC的中點(diǎn)，M（1）求證：AE⊥平面PAD；（2）若AB=AP=2，求三棱錐P-ACM的體積.20．如圖，四棱錐中，底面,分別為的中點(diǎn),.(1)證明:平面平面(2)求三棱錐的體積.21．已知數(shù)列滿足，.(Ⅰ)求，的值，并證明：0<≤1；(Ⅱ)證明：；(Ⅲ)證明：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】則，故概率為.2、D【解析】

由可求得所處的范圍，進(jìn)而得到函數(shù)最大值.【詳解】的最大值為故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)最值的求解，關(guān)鍵是明確余弦型函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

先將化為弧度數(shù)，再利用扇形面積計(jì)算公式即可得出．【詳解】所以扇形的面積為：故選：C【點(diǎn)睛】題考查了扇形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知都大于1，把化成后可得的大小，從而可得的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)榧岸际巧系脑龊瘮?shù)，故，，又，故，選B.【點(diǎn)睛】對(duì)數(shù)的大小比較，可通過尋找合適的單調(diào)函數(shù)來構(gòu)建大小關(guān)系，如果底數(shù)不統(tǒng)一，可以利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)統(tǒng)一底數(shù).不同類型的數(shù)比較大小，應(yīng)找一個(gè)中間數(shù)，通過它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞.5、D【解析】

根據(jù)兩條直線垂直，列方程求解即可.【詳解】由題：直線相互垂直，所以，解得：.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)兩條直線垂直，求參數(shù)的取值，關(guān)鍵在于熟練掌握垂直關(guān)系的表達(dá)方式，列方程求解.6、C【解析】

結(jié)合正弦定理，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷【詳解】在三角形中，根據(jù)大邊對(duì)大角原則，若，則，由正弦定理得，充分條件成立；若，由可得，根據(jù)大邊對(duì)大角原則，則，必要條件成立；故在三角形中，“”是“”的充要條件故選：C【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的應(yīng)用，利用正弦定理確定邊角關(guān)系，三角形大邊對(duì)大角原則應(yīng)謹(jǐn)記，屬于基礎(chǔ)題7、A【解析】

由題得a＜b＜0，再利用作差比較法判斷每一個(gè)選項(xiàng)的正誤得解.【詳解】由題得a＜b＜0，對(duì)于選項(xiàng)A,=，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B,顯然正確.對(duì)于選項(xiàng)C,，所以，所以選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D,，所以選項(xiàng)D正確.故答案為A【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查不等式的基本性質(zhì)和實(shí)數(shù)大小的比較，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步驟是：作差→變形（配方、因式分解、通分等）→與零比→下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商→變形（配方、因式分解、通分等）→與1比→下結(jié)論.如果兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差.8、C【解析】分別是的邊的中點(diǎn)；故①錯(cuò)誤，②正確故③正確；所以選C.9、B【解析】∵∴又，∴故選B.10、A【解析】

對(duì)分類討論，利用兩條直線相互垂直的充要條件即可得出.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，兩條直線分別化為：，，此時(shí)兩條直線相互垂直；當(dāng)時(shí)，兩條直線分別化為：，，此時(shí)兩條直線不垂直，舍去；當(dāng)且時(shí)，由兩條直線相互垂直，則，即，解得或；綜上可得：或，兩條直線相互垂直，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡易邏輯的判定方法、兩條直線相互垂直的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、16【解析】

根據(jù)已知條件可計(jì)算出扇形的半徑，然后根據(jù)面積公式即可計(jì)算出扇形的面積.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角弧度數(shù)為，所以即，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查角度與弧度的轉(zhuǎn)化以及扇形的弧長和面積公式，難度較易.扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：.12、【解析】

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（且），第一步，即時(shí)，分母從3到6，列出式子，得到答案.【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（且），第一步，時(shí)，左邊式子中每項(xiàng)的分母從3開始增大至6，所以應(yīng)是.即為答案.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟，屬于簡單題.13、【解析】

取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為有關(guān)的一次函數(shù)的值域問題，可得出的取值范圍.【詳解】如下圖所示：取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、，設(shè)點(diǎn)，其中，，，，因此，的取值范圍是，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的取值范圍，可以利用基底向量法以及坐標(biāo)法求解，在建系時(shí)應(yīng)充分利用對(duì)稱性來建系，另外就是注意將動(dòng)點(diǎn)所在的直線變?yōu)樽鴺?biāo)軸，可簡化運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.14、【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，由此可得答案.【詳解】依題意得，所以，即，因?yàn)?，所以或，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，屬于基礎(chǔ)題.15、30【解析】

由頻率分布直方圖求出支出在元的概率，由此能力求出支出在元的同學(xué)的人數(shù)，得到答案．【詳解】由頻率分布直方圖，可得支出在元的概率，，所以支出在元的同學(xué)的人數(shù)為人．【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及概率的計(jì)算，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)，合理求得相應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

過B作，且，則或其補(bǔ)角即為異面直線PB與AC所成角由此能求出異面直線PB與AC所成的角的余弦值．【詳解】過B作，且，則四邊形為菱形，如圖所示：或其補(bǔ)角即為異面直線PB與AC所成角．設(shè).，，平面ABC，，．異面直線PB與AC所成的角的余弦值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析【解析】

（1）對(duì)遞推關(guān)系進(jìn)行變形得，從而證明是等比數(shù)列；（2）由(1)得，代入所證式子，再利用放縮法進(jìn)行證明；（3）由(2)可知，對(duì)分偶數(shù)和奇數(shù)計(jì)論，放縮法和等比數(shù)列求和，即可證明結(jié)論.【詳解】(1)∵，∴，且所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列.(2)由(1)可知當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，(3)由(2)可知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義證明、等比數(shù)列前項(xiàng)和、不等式的放縮法證明，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意討論的突破口.18、（1）（2）【解析】

（1）利用條件求數(shù)列的首項(xiàng)與公比，確定所求.(2)將分組，，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，由，所以，則；（2），所以數(shù)列的前項(xiàng)和,則數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)，分組求和法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.19、(1)見證明；(2)3【解析】

(1)本題首先可以通過菱形的相關(guān)性質(zhì)證明出AE⊥AD，然后通過PA⊥菱形ABCD所在的平面證明出PA⊥AE，最后通過線面垂直的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果；(2)可以將三角形APM當(dāng)成三棱錐P-ACM的底面，將AE當(dāng)成三棱錐P-ACM的高，最后通過三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：連接AC，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC=60°，所以因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，因?yàn)锳D//BC，所以AE⊥AD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE，又因?yàn)镻A∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．（2）AB=AP=2,則AD=2，AE=3所以Vp【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的相關(guān)性質(zhì)，主要考查線面垂直的證明以及三棱錐體積的求法，可以通過證明平面外一條直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線來證明線面垂直，考查推理能力，是中檔題．20、（1）見證明；（2）【解析】

(1)先證明面，再證明平面平面；（2）由求解.【詳解】（1）證明：由已知為的中點(diǎn)，且，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槊?，所以平?在△中，因?yàn)?分別為,的中點(diǎn)，所以,因?yàn)椋?，所以面，因?yàn)?，所以平面平面?）由已知為中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何元素平行關(guān)系的證明，考查幾何體體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.21、(Ⅰ)見證明；(Ⅱ)見證明；(Ⅲ)見證明【解析】

（I）直接代入計(jì)算得，利用得從而可證結(jié)論；（II）證明，即可；（III）