(湖麗衢二模)2024年浙江省麗水、湖州、衢州三地市4月高三教學(xué)質(zhì)量檢測試卷數(shù)學(xué)試題卷 答案解析

【新結(jié)構(gòu)】（湖麗衢二模）2024年浙江省麗水、湖州、衢州三地市4月

高三教學(xué)質(zhì)量檢測試卷數(shù)學(xué)試題卷口

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.拋梆兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件從二“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件8="第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則A

與B的關(guān)系是（）

A.互斥B.互為對立C.相互獨(dú)立D.相等

2.雙由線/一￡=］（m〉0）的漸近線方程為1/=±21，則m=（）

A.1B.等C.y/2D.2

3.復(fù)數(shù)z滿足|，z|=1（??為虛數(shù)單位），則|z-J+3i|的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

4.已知平面向量才，不滿足|了|=2|丁|=2，若7T_L（W+］），則才與了的夾角是（）

Ak157r「"n27r

A.-B3.—C.-D.—

6633

5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛冊｝的前n項(xiàng)和為S。，且滿足⑥，Mi，一恁成等差數(shù)列，則5=（）

A.3B.9C.10D.13

6.將函數(shù)/（?=cos2r的圖象向右平移以0<"3個單位后得到函數(shù)刈的圖象，若對滿足

1/（力）一。（的）1=2的工1,工2,有團(tuán)一121min=g,則夕=（）

A工B-C-D也

64312

7.已知橢圓C：M+g=ig>匕>0）,R,后為左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，ZFiPf；=60c,直線

a2lr

/：1/=-"+/經(jīng)過點(diǎn)2若點(diǎn)6關(guān)于1的對稱點(diǎn)在線段QP的延長線上，則C的離心率是（）

A.1B.y？C,1D.-

3223

8.已知正實(shí)數(shù)n,12,工3滿足工；+2］I-1=T1*,君+312+1=12產(chǎn)，K+'3+1=可產(chǎn)，則，

工2,小的大小關(guān)系是（）

A.13V12V工1B.Xi<X2<X3C.11VN3VXoD.12VtiVX3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，

部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.有一組樣本數(shù)據(jù)可，12,13,島，工5,4的平均數(shù)是:F,方差是極差為R,則下列判斷正確的是（）

第1頁，共20頁

A.若〃_/*]+/>,nj-i+b?nxi+b.〃%+力，〃才(；+')的平均數(shù)是商，則方=n至+分

B.若打，"2，3力，4七，氏5,6打的極差是外，則為〉A(chǔ)

c.若方差§2=(),則I[=型=g=應(yīng)=g=16

D.若向V必v工3<皿vg<16,則第75百分位數(shù)是巴尹

10.已知直三棱柱.48。一小馬G中，.4B18C且.4B=8C=2,直線4c與底面ABC所成角的正弦值

為華則()

■5

A.線段4c上存在點(diǎn)D,使得

B.線段4c上存在點(diǎn)D,使得平面平面。CG

C.直三棱柱工8。一4歷G的體積為:

D.點(diǎn)8]到平面&BC的距離為

11.已知函數(shù)/(a,)的定義域?yàn)镽,且f(x+y),f(x—y)=f"(x)—f^(y)?/(I)=2?f(x+1)為偶函數(shù)，

則()

2024

A./（3）=2B./（工）為奇函數(shù)C./（2）=0D.￡/（?。?（）

*?=1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在△八BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,13=^c=，2,BC邊上的高等于則△48。

4

的面積是,sinA-.

13.已知圓C：m/+(2m-l)/一2or-a-2=0，若對于任意的“WA，存在一條直線被圓C所截得的

弦長為定值n,則m+"=__________.

14.已知正四面體力一BCO的棱長為1,若棱長為a的正方體能整體放入正四面體.4-。。。中，則實(shí)數(shù)a

的最大值為__________.

四.解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步兼。

15.(本小題13分)

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,記S“是數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，若&=1+20,85=。2。加8.

(1)求數(shù)列｛"”｝的通項(xiàng)公式；

4s-1

(2)若d>0,bn=——(neAT),數(shù)列｛"｝的前n項(xiàng)和為求證：T?<n+-.

%?%+i2

第2頁，共20頁

16.（本小題15分）

如圖，三棱錐.4-BCO中，ADLCD,AD=CD,/.ADB=Z.BDCtE為線段AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面〃ED_L平面4C。；

（2）設(shè).48=30=3,前=2旬，后P?前=0,求直線CF與平面ABC所成角的正弦值.

17.（本小題15分）

設(shè)函數(shù)/（￡）=/-h1a+G,aeR.

（1）當(dāng)"=1時，求函數(shù)/（工）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)x,恒有/（1）》。，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（其中『々2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)

）

18.（木小題17分）

已知拋物線￡:6=41，點(diǎn)A,B,C在拋物線E上，且A在x軸上方，B和C在x軸下方（"在C左側(cè)），

A,C關(guān)于x軸對稱，直線AB交x軸于點(diǎn)M,延長線段CB交x軸于點(diǎn)Q,連接QA.

（1）證明：哈智為定值（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（2）若點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為-1,且言?而=［求AAQS的內(nèi)切圓的方程.

19.（本小題17分）

為保護(hù)森林公園中的珍稀動物，采用某型號紅外相機(jī)監(jiān)測器對指定區(qū)域進(jìn)行監(jiān)測識別.若該區(qū)域有珍稀動物

活動，該型號監(jiān)測器能正確識別的概率（即檢出概率）為例:若該區(qū)域沒有珍稀動物活動，但監(jiān)測器認(rèn)為有珍

稀動物活動的概率（即虛警概率）為內(nèi)?已知該指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率為02現(xiàn)用2臺該型號的監(jiān)

測器組成監(jiān)測系統(tǒng)，每臺監(jiān)測器（功能一致）進(jìn)行獨(dú)立監(jiān)測識別，若任意一臺監(jiān)測器識別到珍稀動物活動，

則該監(jiān)測系統(tǒng)就判定指定區(qū)域有珍稀動物活動.

（1）若小=0.8,內(nèi)=0.02.

（D在該區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，求該監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率；

（ii）在判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，求指定區(qū)域?qū)嶋H沒有珍稀動物活動的概率（精確到0.001）:

第3頁，共20頁

（2）若監(jiān)測系統(tǒng)在監(jiān)測識別中，當(dāng)（）.84四（（）.9時，恒滿足以下兩個條件：①若判定有珍稀動物活動時，

該區(qū)域確有珍稀動物活動的概率至少為。9②若判定沒有珍稀動物活動時，該區(qū)域確實(shí)沒有珍稀動物活動的

概率至少為09求心的范圍（精確到0.001）.

（參考數(shù)據(jù)：圾史=0.9866，熠匹=0.9861，0.982=0.9604）

66

第4頁，共20頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查互斥，對立，獨(dú)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)定義判斷兩個事件是否相互獨(dú)立，利用定義法，滿足P(48)=P(A)?P(8)即獨(dú)立.

【解答】

解：由題可知，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的般子，第一枚和第二枚出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的分類情況如下，

①(奇數(shù)，奇數(shù))，②(奇數(shù)，偶數(shù))，③(偶數(shù)，奇數(shù))，④(偶數(shù)，偶數(shù))，

事件.4="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)"={①，②},

事件8="第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”={②，④},

兩個事件不相等，排除D,

力00#0,所以不是互斥事件，排除A,B,

C選項(xiàng)，事件4="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)"，P(4)=^=i,

31

事件8="第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)"，尸(8)=6=￡,

3x31

事件.43="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，P(AB)=—=-,

滿足P(48)=P(A)?尸①)，

所以事件A和事件B是相互獨(dú)立事件，

故選：C.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

mc

由漸近線的斜率為1=2求解.

【解答】

解：由雙曲線漸近線方程為〃=±2r,

m八

則有y=2,

故m=2.

3.【答案】B

第5頁，共20頁

【解析】t分析】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心

素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)l，z|=1,可得|z|=1,設(shè)z=1+yi,x,!/WA,則+/=1故憶一4+3i|=J（工一鏟+（y+3產(chǎn),

進(jìn)而得解.

【解答】

解：由|，z|=1,可得|z|=1.

設(shè)2=i+i/i,x,ywR,則/+/=i.

故|z-4+3i|=J（工一鏟+5+3）2,表示+6=1圓上的點(diǎn)到點(diǎn)（4,-3）的距離，

所以|z-4+3i|min=5-1=4.

故選8.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了向量夾角公式，向量垂直的充要條件，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)條件可得出力.7=一1,然后即可求出cosVK,了〉的值，從而得出牽案.

【解答】

解：由尸|=2同=2得|了|=2,尸1=1,

???才_1（萬+石），

/.a*-（a*+6）=a*24-a*?b=14-a*-7=0,

~a-b=-1?

又《『了>e[o,z],

???才與）的夾角為2.

故選：D.

5.【答案】C

【解析】【分析】

第6頁，共20頁

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛廝｝的公比為q〉0,由他，加4,一。5成等差數(shù)列，可得6。4=4（/-9）,

化為q2-q-6=0,q〉0?解得q,再利用求和公式即可得出.

【解答】

解：設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛"〃｝的公比為Q>0,

?.?滿足佝，3o?,一。5成等差數(shù)列，

2

a"="6一"5,6%=a4(q-q),

/.Q2-<?-6=0,q>0.

解得q=3.

則32-150.

3-1

故選C

6.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查余弦型函數(shù)的圖象的圖象與性質(zhì)以及圖象變換，屬于中檔題.

求出g（±）的解析式，可知/（g）,g（g）分別為兩個函數(shù)的最大值與最小值（或最小值與最大值），求解即可.

【解答】

解：將函數(shù)/（N）=cos2r的圖象向右平移夕（0<”今個單位后得到函數(shù)g（T）的圖象，

即g（I）=cos（2z-2。）（0<9</，

若滿足l/（?）-g（M）l=2,

則/（為），g（M）分別為兩個函數(shù)的最大值與最小值（或最小值與最大值），

不妨設(shè)2叫■:+GZ）,24一=一：+2ki^（k€Z）,

即n=1+€Z）t曲=一1+A-TT+5k€Z）,

44

則〃一方=（：+”5）-（一［++3）=g-W+（m-kW,（m€Z.keZ）

因?yàn)镋一工2lmin=g,

7T7T

所以］一3=3，

第7頁，共20頁

7T

所以,—6，

故選：A

7.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查橢圓的離心率，屬于基礎(chǔ)題.

在△REE中，片=135°,/片6后=30。，F(xiàn)|E2=2C,利用正弦定理，即可得出答案.

【解答】

解：設(shè)點(diǎn)巴關(guān)于直線1的對稱點(diǎn)為娉，則用P=PB,

由橢圓的定義得網(wǎng)片=PF\+PF2=2(i,

在中，ZF1^=135°,/片66=30。，F(xiàn)I「2=2J

由正弦定理得「2c？==2丁a，整理得。=二c=?￥.

sin3()sin135a2

故選：B.

8.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)與方程，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力以及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題；

根據(jù)題意分析可知：叫，央，辦分別是"=工+；與"=不-2,1/=3'-3,1/=4'-4在第一象限內(nèi)的

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象分析判斷.

【解答】

解：因?yàn)榱Γ琻，?J為正實(shí)數(shù)，

由上；+2]i+1=x^'整理得皿+l=產(chǎn)-2,

11

可知口是1/=工+；與!/=尸-2在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

同理可知：工2是y=工+1與？=3^-3在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

力是與!/=4'-4在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

x

如圖所示，

第8頁，共20頁

9.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查平均數(shù)、方差、極差、百分位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

利用平均數(shù)、方差、極差、百分位數(shù)的定義即可計算得出結(jié)論.

【解答】

解：對于A選項(xiàng)，若a上2+b,ar?+b,ar』+b,a*+，，a上6+b的平均數(shù)是有，則痂=+b,

A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，不妨假設(shè)數(shù)據(jù)遞增，則％=6打一3，n=所以①-/?=5打，不能確定正負(fù)，B

選項(xiàng)錯誤；

對于C選項(xiàng)，由方差§2=()可得為=工2=力=g=15=16,C選項(xiàng)正確；

對于D選項(xiàng)，由辦V12VH3(小〈?1〈工6,可得，第75百分位數(shù)是生產(chǎn)，D選項(xiàng)錯誤.

故選：AC.

10.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查立體幾何與空間向量，考查學(xué)生的分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題；

建系，根據(jù)線面夾角的向量求法可得=2,設(shè)砧=入祀]€[0,1],根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合

位置關(guān)系分析判斷AB；根據(jù)柱體體積判斷C;根據(jù)點(diǎn)到面的距離向量求法判斷Q.

【解答】

解：如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，8ABe88]分別為工軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

第9頁，共20頁

設(shè)。%二a〉0,則^4(2.0,0).B(0.0.0).C(0.2,0).4(2,0.a),5?0,a),G(0.2,a),

可得配=(-2.2,—a),且平面ABC的一個法向量為H=(0,0/)，

|祝ay/3

由題意可得：——=-===—解得〃=2,

|砌.|7F|：/8+。23＞

對于AB：可知祝=(-2,2.一2),而=(-2,2.0),高=兩=西=(0,0,2),翁=(2.0,2),

5?=(0.2,0),

設(shè)砧=入限=(-2A,2A,-2A),A€[0.1],

則劭=對+砧=(-2尢2*2-2入)，

因?yàn)橥??加=-44+2(2—2入)=0,解得人=》

可知當(dāng)點(diǎn)D為線段4c的中點(diǎn)時，A}BlADt故A正確；

可得前=而1+初=(2-2A.2A.2-2A),

設(shè)平面0SB的法向量為死=(N./Z)，則，),黑一:一，，

n\-BD=(2—2A)T+2Xy+(2—2A)z=0

b

令/=》，則U=XT,z=0,可得何=(XA-L0),

設(shè)平面。CG的法向量為示=(?,仍,21),則I?.gj=2zi=o,

nf-AC=-2^i+2yl=0

*

令皿=1,則“i=l,zi=0,可得沆=(1,1,0),

因?yàn)??布=》+(入-1)=0,解得

可知當(dāng)點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)時，平面。。卅_L平面"CG,故B正確；

對于C：直三棱柱力8C-4歷。1的體積為2x?x2x2=4,故C錯誤；

第10頁，共20頁

~k-BAi=2工2+2勿=0

對于D:設(shè)平面.4］。。的法向量為卜=(工2,歟，Z2),則，

k-=2y2=。

令上2=1,則1/2=0,Z2=-1,可得T=(1.0,-l),

點(diǎn)回到平面4山。的距離為0,故D正確;

故答案為：ABD.

11.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，對稱性，屬于中檔題.

利用賦值求出/(2)=0,再賦值即可求出〃3)的值.

【解答】

解：令1=^=0,可得〃0)/(0)=0,解得〃0)=0,因?yàn)椤ü?1)為偶函數(shù),所以/(-1+1)=/(1+1),

則/(2)=/(0)=0,令1=2,1/=1,解得〃3)=-2,故A錯誤；

取工=0,可得/(")/(-")=一「⑼，化得/(刈/⑼+/(-刈=0,則〃2/)=?；?(")=-/(-!/),

易知若/?)=o,則/(「/)=。，可得/(")=-/(-4)恒成立，即/(叫為奇函數(shù).則B正確;

因?yàn)?(工+1)為偶函數(shù)，所以/(-1+1)=/(工+1),則/(2)=/(0)=0,則C正確；

因?yàn)?(-工+1)=/(工+1),所以/(2+工)=-/("),所以/(±+4)=-/(工+2)=/(1),所以/(工)的周

期為4.

因?yàn)椤?+工)=/(一工)，所以/(工)的對稱軸為l=1,

因?yàn)?(1)=1,/(0)=0,所以/(2)=/(0)=0,/(3)=/(-1)=-/(1)=-1,/(4)=/(0)=0,

所以/⑴+/⑵+/(3)+/(4)=1+0-1-0=0.

又2024=4x506,

2J24

所以E〃k)=506x0=0,故D正確.

k-i

故選BC0.

12.【答案】。；漢竺

21()

【解析】【分析】

第11頁，共20頁

本題考查解三角形，屬于一般題.

求出a,由三角形的面積公式即可求面積；由余弦定理求b,由正弦定理即可求sinA

【解答】

解：設(shè).40_L"C,

在RtAABO中，/〃=［，

則有。0=40,

由于c=48=g,

則BD=AD=1,

所以%=1,即。=3,

SAAW=%c8inO=2，

由余弦定理得力=a?+c2-2arcosB=5,則

由正弦定理：,Q.=?得sin4=?sinB=自罷.

sinAsi.n"口Bb10

13.【答案】v/7+1

【解析】【分析】

本題考查直線與圓中定點(diǎn)、定值問題，屬于中檔題.

由題意，r/i=2rn-1,所以m=l,求出圓過定點(diǎn)（_）土冬，所以直線也過定點(diǎn)（一:

即可得出

2）

結(jié)論.

【解答】

解：由題意，m=2m-1,所以〃i=l,

所以圓的方程為/+/一2°l一。一2二（）,即/+/-（2r+1）。-2二0,

可得1=一＞=土?，

所以圓過定點(diǎn)（一:

所以直線也過定點(diǎn)（一彳所以“=,

所以m+n=y/7+1.

故答案為\/7+1.

A/6

14.【答案】

\/6+2\/2+3

第12頁，共20頁

【解析】t分析】

本題考查正四面體的內(nèi)切球，考查空間想象能力，屬于難題.

由題意，當(dāng)內(nèi)置正方體的上底面與底面BCD平行時，設(shè)正AEFG的邊長為b,其內(nèi)接最大正方形的邊長為

“QP_EP_（2,3-3）b_歷

m,則=（2e一3）b，過棱AB和正四面體的高.401作截面，則tau/七"尸=而=6店=,可

得b的值，進(jìn)而可得m,即為所求的內(nèi)接正方體棱長的最大值，再分析內(nèi)接正方體的上底面與底面BCD不

平行（或成一定傾斜角）時，旋轉(zhuǎn)前面所作的正方體即可分析得解.

【解答】

解：當(dāng)內(nèi)置正方體的上底面與底面BCD平行時：

直三棱柱EFG-PQ/?內(nèi)置于正四面體ABCD內(nèi)，且△PQA在底面BCD內(nèi)，直三棱柱的高為正AEFG的

最大內(nèi)接正方形的邊長，

C

設(shè)正的邊長為b,設(shè)其內(nèi)接最大正方形的邊長為m,

則小+乎小=苧6,解得m=（2e一3）6,

故直三棱柱的高也為（2v/3-3）6,

過棱AB和正四面體的高4a作截面，如圖，

第13頁，共20頁

￡

在△430】，taiiZ/lBO=^=6

13

在RtAU尸E中，EP=(2v/3-3)6,BP=BO「POk件_尊

EP(2v/3-3)6

/.tanZEBP==瓜

~BP~~73~~

——O

33

y/2

解得6=

6+g—36

g(2，5-3)

則m=(2\/3—3)6=

6+5/2-3\/3-V64-2y/2+3*

即棱長為1的正四面體內(nèi)接正方體棱長的最大值為

v/6+2v/2+3,

當(dāng)內(nèi)接正方體的上底面與底面BCD不平行（或成一定傾斜角）時:

記上述正方體為4G,

首先，正方體八1。2不可能繞著直線作細(xì)微的旋轉(zhuǎn)，否則，正方體4a的上底面的頂點(diǎn)就會“捅破”

正四面體的側(cè)面;

同樣，若將該正方體繞著它的中心作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動后正方體下底面與正四面體底面BCD成一定的角度,

即正方體下底面的四個頂點(diǎn)中至少有一個不在面BCD上，則該正方體的上底面必然會被正四面體“卡

住”.

因此，棱長為1的正四面體內(nèi)置正方體棱長的最大值為

v/6+2v/2+3,

故答案為

?+2e+3?

15.【答案】解：(1)由S5=+20得，5?3=?34~20?故。3=5.

由Sis=〃2"3"卜得15"、=件=6IX/,所以?；?2=3.

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當(dāng)“x=0時，d_-1,此時a="3十（"-3）xd=8—n;

5n

當(dāng)"2=3時，(/=。3-。2=2,此時%="3+(〃-3)Xd=272-1：

綜上，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=8-〃或%=2n-1.

(2)因?yàn)閐>(),所以%=2〃-1,所以￡,=/.

.._4Sn_4-

=4〃2.1+1=1

"(2n-1)-(2n+1)-(2n-l)(2n+l)

,1/11、

…小不n-亞#

所以■=bi+%+%+,?,+%

i1r1、1LII[1/1、1I/11、

…科一尹1+狗力1+狗-尹…+i+fcrr罰)

lz,1111111、

11、n

…5。一罰)…罰，

n111

【解析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題.

(1)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公差，即可得到所求通項(xiàng)公式；

(2)求得兒==1+：?(再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可

得證.

16.【答案】解：(1)因?yàn)閆Z4=0C，E為線段AC的中點(diǎn)，所以0E1AC

因?yàn)镈A=0C,DB=DB,/.ADB=Z.CDB,

所以AADBgACDB,故AB=CB,

又E為線段AC的中點(diǎn)，所以8E14C,

結(jié)合DEDBE=E?DE、BEC平面BED,

所以4cl平面8EO.

又.4Cc平面ACD,因此平面/?ED_L平面ACD；

⑵取DA的中點(diǎn)G,連接EG,BG,

因?yàn)镋G為中位線，所以￡G〃CO,

又ADLCD,所以4D1EG.

因?yàn)?4B=BO,G為DA的中點(diǎn)，所以AD1BG.

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又EGCBG二G,EG.8GU平面BEG,

所以4ZXL平面BEG,

又BEU平面BEG,

所以40_L8E,

因?yàn)?.4=3C,E為AC的中點(diǎn)，所以

又4Cn.4O=4,AC、.4"U平面ACD,所以0E1平面ACD,

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA、EB、ED所在的直線為x、y、z軸.

設(shè)的。0),B(6,0,0),則E(0,0,0),0(0,0,a),B(0,6,0),F=(Ot|,y).

=(0,,Bd=(0,—5,a),

222

MB|=a+&=9(a=/j

由(前.前=_：+竽=(/解得

所以無=(倔東竽).

又平面ABC的法向量討=(0,0.1)

因此直線CF與平面ABC所成角的正弦值sin?=￡卻二=續(xù)^

|由同15

【解析】本題考查了面面垂直的判定和直線與平面所成角的向量求法，是中檔題.

(1)先證明4cl平面BED,由面面垂直的判定即可得證；

(2)建立空間坐標(biāo)系，得出平面ABC的法向量和。戶，利用空間向量求解即可.

17.【答案】解：(1)當(dāng)a=l時,函數(shù)〃工)=解-111(t+1)的定義域?yàn)?—1,+8).

所以/'(工)=小--二，

工+1

而f(t)=I—3在(T,+8)單調(diào)遞增,f(0)=0,

X+1

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所以當(dāng)工>n時，八］）>0,當(dāng)一1《1<0時，f（T）<o.

因此函數(shù)/（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0.+8）,單調(diào)遞減區(qū)間是（—1，0）?

(2)函數(shù)f(x)=-ln(x+a)的定義域龍(-a,+oo),

由題意得h】（￡+a）-a2。在（-%+oo）恒成立,

設(shè)g(』)=/-ln("+G-%則*)=-+，

則闞…蹋

設(shè)加/)—/(/),>0恒成立,

所以力（工）在?+8）上單調(diào)遞增,

即g"）在（一。?十8）上單調(diào)遞增,

當(dāng)NT-a,gr（x）t-OC,當(dāng)1T+8,g^x）—+0C,

所以女（）w（-%+8）,使得g'Cr（））=O,即?？?：7工，所以。=±-g,

當(dāng)工€（一①窈）時，y（x）<0,所以g（i）單調(diào)遞減，

當(dāng)nW（叫,+8）時，y（x）>0,所以g（z）單調(diào)遞增，

所以ftninS）=g（T。）=-lll（2T0+。）一。=小。一二+2打》（），

設(shè)。（工）=M-5+2才，則雙。）=0,而p'（N）=e'+［+2>0恒成立，

所以「（工）=片-5+2］為增函數(shù)，

由p（如）20=以0）,所以期20.

因?yàn)?=一"均為減函數(shù)，

er

所以"=5—￡o在［0,+8）上為減函數(shù)，

所以，當(dāng)知》。時，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-8.1］.

【解析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題，是較難題.

（1）當(dāng)"=1時，函數(shù)/（?。?/-1113+1）,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可；

（2）由題意得十-h】Cr+Q）-d20在（-%+8）恒成立,設(shè)。工）=ex-ln（x4-a）-a,利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性,

可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.【答案】解：（1）設(shè)直線AB為c=m“+￡（m>0）,4%譏），以小加,

則。（孫.一協(xié)），A/（tO）,

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x=my+t!A+出=4m

由/=如得/一4t=0,則

ViV2=-4t

直線BC方程為y+加=?+?（工一叫）,

……4N協(xié)加

化簡得y=--------------

U2-y\y^-y\

令!/=o,得%=華=-，?

q

\OM\,

因此兩=】?

（2）因?yàn)辄c(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為一1,由（1）可知Q（-1.0）,A/（l,0）.

設(shè)QA交拋物線于D,，4（為,譏），B（工小加）,C（ri，-yi）f。（叫,以），

又由⑴知他的=-4,同理可得!/1為=4,得以=一。2,

2

又?+及=〃必+1+my2+1=m（yi+故）+2=4m+2,

2

i/iyj（2/I!/2）

=V--

16

又A/d=（12-1，如）,A/d=（zi—i,-j/i）,

則A//1?A/d=（12-1）（^1-1）-Uil/2=/盧2-（處+的）+1+J=4-4m2,

故』一4〃/=］結(jié)合小>。得》=

y3

所以直線AB方程為3工一匕“一3=0,

又協(xié)一防=，（加+仍）2-4協(xié)的=/16濟(jì)+16=—,

k_lh__協(xié)一刃_4_4_3

則一勺一以一@_五一劭+以一加一出一彳，

7-T

所以直線AD方程為31-也+3=0.

設(shè)圓心T?0）（-1<?<1）,

因?yàn)镼M為乙4Q8的平分線，故點(diǎn)T到直線AB和到直線AD的距離相等,

所以與劣=等圖，因?yàn)橐?<S<1,解得s=J

54J

故圓T的半徑r=3S：3=:

53

因此圓T的方程為（x-/=_

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【解析】本題考查了直線,與拋物線,位置關(guān)系及拋物線中的定值問題，是較難題.

(1)設(shè)直線AB為工=>0),4(?,助)，。(3,次)，則。(小,-1/1),M億0),與拋物線聯(lián)立，得

cIOA/I

出直線BC方程，令"=0,得NQ,可得舐力為定值；

(2)設(shè)QA交拋物線于D,4(打,劭)，。(必,如)，C(xh-i/!),。(力,力),由,?訛=；,可得小=等.

再得出直線AB和AD方程，設(shè)圓心T?0)(-1<8<1),由QM為41QO的平分線，則點(diǎn)T到直線AB和

到直線AD的距離相等，得出s,再得出圓T的半徑，進(jìn)而得出AAQB的內(nèi)切圓的方程.

19.【答案】解：記事件A為“檢測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動”，

事件B為“監(jiān)測區(qū)域?qū)嶋H上有珍稀動物活動”，

⑴(如田)=需=吆唔皿。的

因此在該區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，該監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率是。-96:

(正)由題意得P(A)=

=P(AB)+P(AB)=P(B)P(A\B)+P(B)P(A\B)

22

=0.2(1-(1-Pl))+0.8(1-(1-P2))

=0.2(1-(1-0.8)2)+0.8(1-(1-0.02)2)=0.22368,

P(AB)P(4田)?P(B)

則P(B\A)=

=_