浙江省麗水市2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)6月期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

麗水市2022學(xué)年第二學(xué)期普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控

高一數(shù)學(xué)試題卷

本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共6頁，選擇題部分1至3頁，非選擇題部分4至

6頁.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上.

第I卷選擇題部分（共60分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).不能答在試題卷上.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.i為虛數(shù)單位，則1'（1-21）=（）

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

2.已知向量聯(lián)=（1,2）,b=（cos8,sin。），且向量a與方平行，則tan。的值為（）

A--B.-2C.：D.2

22

3.甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.4,乙的中靶概率為0.5,則兩人各射擊一次，恰有一人中

靶的概率是（）

A.0.2B.0.4C.（）.5D.0.9

4.演講比賽共有9位評(píng)委，分別給出某選手的原始評(píng)分9.2,9.5,9.6,9.1,9.3,9.0,8.8,9.3,9.7,

評(píng)定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.這7個(gè)有效評(píng)分

與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是（）

A.極差B.中位數(shù)C.平均數(shù)D.方差

5.某中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行黨史知識(shí)競賽.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前200名學(xué)生分布的扇形圖（如圖）和前

2（）0名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖（如圖），則下列命題錯(cuò)送的是（）

前200名學(xué)生分布的扇形圖前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖

，,頻率

高二0.4

30%高一

0.3

45%

高三0.2

25%0.1

1-5051-100101-150151-200排名

A.成績前2()()名的學(xué)生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多3()人

B.成績前100名的學(xué)生中，高一人數(shù)不超過50人

C.成績前50名的學(xué)生中，高三人數(shù)不超過32人

D.成績第51名到第100名的學(xué)生中，高二人數(shù)比高一人數(shù)多

6.如圖，A、B、C三點(diǎn)在半徑為1的圓。上運(yùn)動(dòng)，且M是圓。外一點(diǎn)，OM=2,則

++的最大值是()

C.10D.12

7.一個(gè)袋中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，則下列

說法正確的是()

A.“恰好摸到1個(gè)紅球”與“至少摸到1個(gè)白球”是互斥事件

B.“恰好沒摸到紅球”與“至多摸到1個(gè)白球”是對(duì)立事件

C.“至少摸到1個(gè)紅球”的概率大于“至少摸到1個(gè)白球”的概率

D.“恰好摸到2個(gè)紅球”與“恰好摸到2個(gè)白球”是相互獨(dú)立事件

8.將函數(shù)/(x)=sinmx(3>0)的圖象向右平移;匚個(gè)單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象，點(diǎn)A,6,C是

y=f(x)與y=g(x)圖象的連續(xù)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，若JU3C是銳角三角形，則①的取值范圍是()

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，錯(cuò)選得0分.

9.已知復(fù)數(shù)2=。+加（aSeR）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.|z|~=a2+b2B.z2=a2+b1

22

C.z.^=a+bD.|0Z|2=/+/

10.已知mn是異面直線，a,/是不同的平面，ml.a,nL（3,直線/滿足/_Lm,lln,則下列關(guān)

系不可熊成立的是（）

A.alI（3B.a工（3

CU/aD.ILa

11.已知。力是單位向量，則下列命題正確的是（）

A.若a=（_￡,f），則

B.若a,〃不共線，則（a+6）_L（a-b）

c.若|a-切26,則a,〃夾角的最小值是」

D.若的夾角是電，則。在“上的投影向量是立a

42

12.如圖，矩形8。所所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，BD=2,DE=\點(diǎn)P是線段E尸

上的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題中正確的是（）

A.不存在點(diǎn)尸，使得直線0P//平面ACF

B.直線OP與8c所成角余弦值的取值范圍是I。半

C.直線OP與平面AC尸所成角的取值范圍是［0,工］

4

D.三棱錐A-CDE的外接球被平面ACF所截得的截面面積是營

8

第II卷非選擇題部分（共90分）

注意事項(xiàng)：

1.用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上.

2.在答題紙上作圖，可先使用2B鉛筆，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑.

三、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

13.若圓錐的母線長為2,軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的體積是

sina+2cos。

14.若tana=2,則

sina-cosa

15.如圖，平面四邊形ABC。的斜二測(cè)直觀圖是等腰梯形A'3'C'。'，A'iy^D'C'=\,那么原平面四邊

形中的邊BC的長是

16.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)基點(diǎn)C和。進(jìn)行測(cè)量，現(xiàn)測(cè)

得CE>=28米，ZCBD=3Q，在點(diǎn)C和。測(cè)得塔頂A的仰角分別為45,30,則塔高AB=米.

17.如圖，從正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)處截去4個(gè)相同的正四面體，得到一個(gè)由正三角形與正六邊形構(gòu)成的多

面體.若該多面體的表面積是146，則該多面體外接球的表面積是.

18.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，

亦稱“趙爽弦圖''(由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成).類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如

圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)

AD=AAB+/JAC,若AD=54E，則九一〃的值是

四、解答題：本大題共5小題，每小題12分，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

19.杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日舉行.隨著亞運(yùn)會(huì)的臨近，亞運(yùn)會(huì)的熱

度持續(xù)提升.為讓更多的人了解亞運(yùn)會(huì)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目和亞運(yùn)精神，某大學(xué)舉辦了亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競賽，并從中隨機(jī)

抽取了100名學(xué)生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)試根據(jù)頻率分布直方圖求出這10()名學(xué)生中成績低于6()分的人數(shù);

(2)試估計(jì)這100名學(xué)生成績的第75百分位數(shù)；

(3)若采用分層抽樣的方法從成績?cè)冢?0,80),［80,90),［90,100］的學(xué)生中共抽取6人參加志愿者活

動(dòng).現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人分享活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，求抽取的2人成績都在［80,10()］的概率.

7T71

20.已知函數(shù)_/(x)=sin(x+w)+sin(x-：)+cosx+a的最大值為1.

66

(1)求常數(shù)。的值；

⑵求使/(X)>V3-1成立的*的取值集合.

21.在直三棱柱ABC-4與G中，D、E分別是A4、BQ的中點(diǎn)，DC,±BD,AC=BC=\,

A4,=2.

(1)求證：BC上平面MGC；

(2)求點(diǎn)E到平面GBD的距離.

22.在「ABC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,=2DC?BD=2,且(a-c)sin(A+8)=

(。一人)(sinA+sinB).

⑴求8；

(2)當(dāng)2。+c取最大值時(shí)，求ABC的周長.

23.如圖，四棱錐尸一A3CD中，底面A3CO為直角梯形，AB//CD,ZBAD=90\AB=2CD=4,

PA1CD,在銳角中，AD=PD=3五，點(diǎn)E在PO上，PE=2ED.

⑴求證：依//平面47E；

（2）若4c與平面PC0所成角為30，求二面角P-AC—E的正切值.

麗水市2022學(xué)年第二學(xué)期普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控

高一數(shù)學(xué)試題卷

本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共6頁，選擇題部分1至3頁，非選擇題部分4至

6頁.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上.

第I卷選擇題部分（共60分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).不能答在試題卷上.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.i為虛數(shù)單位，則＞（1—Z）=（）

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算律直接求解.

【詳解】i-（l-2i）=i—2i2=2+i,

故選：A.

2.已知向量）=（1,2）,b=（cosasin。），且向量〃與匕平行，則tan。的值為（）

11

A.——B.-2C.-D.2

22

【答案】D

【解析】

【分析】由平行向量的坐標(biāo)表示即可得出答案.

【詳解】向量a=(l,2),b=(cosasin。)，且向量a與b平行，

所以I?sin6-2-cos6=0,即tan6=2.

故選：D.

3.甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.4,乙的中靶概率為0.5,則兩人各射擊一次，恰有一人中

靶的概率是()

A.0.2B.0.4C.().5D.0.9

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率即可求得甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率.

【詳解】記甲中靶為事件4,乙中靶為事件B,

則P(A)=0.4,P(A)=1-0.4=0.6,P(B)=0.5,P(月)=1—0.5=0.5,

甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，分甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，

則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為

P=P(A)?P⑻+P(B)P(A)=0.4x0.5+0.6x0.5=0.5.

故選：C

4.演講比賽共有9位評(píng)委，分別給出某選手的原始評(píng)分9.2,9.5,9.6,9.1，9.3,9.0,8.8,9.3,9.7,

評(píng)定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.這7個(gè)有效評(píng)分

與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是()

A.極差B.中位數(shù)C.平均數(shù)D.方差

【答案】B

【解析】

【分析】分別計(jì)算9個(gè)原始評(píng)分和7個(gè)有效評(píng)分的極差、中位數(shù)、平均數(shù)和方差的，即可得出答案.

【詳解】從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分為：

9.2,9.5,9.6,9.1,9.3,9.0,9.3,

極差：9.6-9.0=0.6,

將7個(gè)有效評(píng)分從小到大排列為：9.0,9.1,9.2,9.3,9.3,9.5,9.6,

所以中位數(shù)為:9.3；

9.0+9.1+9.2+9.3+9.3+9.5+9.6…

平均數(shù)：%=

7

2_（9.0-9.29）2+（9.1-9.29『+（9.2-9.29）2+（9.3-9.29）2+（9.3-9.29）2+（9.5-9.29）2+（9.6-9.29）2

S,=

17

?0.0431

9個(gè)原始評(píng)分的極差為：9.6-8.8=0.8,

將9個(gè)有效評(píng)分從小到大排列沏8.8,9.0,9.1,9.2,9.3,9.3,9.5,9.6,9.7,

所以中位數(shù)為：9.3；

平均數(shù)為：x,=---------------------------------------------------?9.27,

22222

2_（8.8-9.27）2+（9Q_9.27）2+（9.1-9.27）+（9.2-9.27）+（9.3-9.27）+（9.3-9.27）+（9.5-9.27）+（9.6-

G=9

?0.073

所以不變的數(shù)字特征是中位數(shù).

故選：B.

5.某中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行黨史知識(shí)競賽.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前200名學(xué)生分布的扇形圖（如圖）和前

200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖（如圖），則下列命題錯(cuò)送的是（）

A.成績前200名的學(xué)生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30人

B.成績前100名的學(xué)生中，高一人數(shù)不超過50人

C.成績前5（）名的學(xué)生中，高三人數(shù)不超過32人

D.成績第51名到第1（）0名的學(xué)生中，高二人數(shù)比高一人數(shù)多

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)餅狀圖和條形圖提供的數(shù)據(jù)判斷.

【詳解】由餅狀圖，成績前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多200x（45%-30%）=30,A正

確；

由條形圖知高一學(xué)生在前200名中，前100和后100人數(shù)相等，因此高一人數(shù)為200x45%xg=45<50,B

正確；

成績前50名的50人中，高一人數(shù)為200x45%x0.2=18,因此高三最多有32人，C正確；

第51至IJ100名的50人中，高一人數(shù)為200x45%x0.3=27,故高二最多有23人，因此高二人數(shù)比高一

少，D錯(cuò)誤.

故選：D.

6.如圖，A、B、C三點(diǎn)在半徑為1的圓。上運(yùn)動(dòng)，且M是圓。外一點(diǎn)，OM=2,則

++2Mq的最大值是（）

【答案】C

【解析】

【分析】連接A3,可知。為A8的中點(diǎn)，計(jì)算得出〔M4+MB+2Mqm4MO+2OC],利用向量模的三

角不等式可求得\MA+MB+2M《J的最大值.

【詳解】連接AB，如下圖所示：

因?yàn)?C1BC,則4B為圓。的一條直徑，故。為AB的中點(diǎn)，

所以，MA+MB=（MO+OA^+（MO+OB^=2MO,

所以，|蛇+加8+2Mq=|2MO+2（MO+OC）=^4MO+2OC\<4|MC>|+2|（7c|

=4x2+2x1=10,

當(dāng)且僅當(dāng)〃、0、。共線且例0、OC同向時(shí)，等號(hào)成立，

因此，|KA+M8+2M4的最大值為10.

故選：C.

7.一個(gè)袋中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，則下列

說法正確的是（）

A.“恰好摸到1個(gè)紅球”與“至少摸到1個(gè)白球”是互斥事件

B.“恰好沒摸到紅球”與“至多摸到1個(gè)白球”是對(duì)立事件

C.“至少摸到1個(gè)紅球”的概率大于“至少摸到1個(gè)白球”的概率

D.“恰好摸到2個(gè)紅球”與“恰好摸到2個(gè)白球”是相互獨(dú)立事件

【答案】B

【解析】

【分析】利用互斥事件的定義可判斷A選項(xiàng)；利用對(duì)立事件的定義可判斷B選項(xiàng)；利用古典概型的概率公

式可判斷C選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的定義可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，“恰好摸到1個(gè)紅球”為1紅1白，“至少摸到1個(gè)白球”包含：1紅1白、2白，

所以，“恰好摸到1個(gè)紅球”與“至少摸到1個(gè)白球”不是互斥事件，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，“恰好沒摸到紅球”為2白，“至多摸到1個(gè)白球”包含：2紅、1紅1白，

所以，“恰好沒摸到紅球"與''至多摸到1個(gè)白球”是對(duì)立事件，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，2個(gè)紅球分別記為。、b,2個(gè)白球分別記為A、B,

從2個(gè)紅球和2個(gè)白球中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，所有的基本事件有：ab、ciA.aB、hA.bB、

AB，

其中，事件“至少摸到1個(gè)紅球”包含的基本事件有：ab、aA,aB、bA,bB,其概率為

6

事件“至少摸到1個(gè)白球”包含的基本事件有：aA,aB、bA,bB、AB，其概率為*，

6

所以，“至少摸到1個(gè)紅球”的概率等于“至少摸到1個(gè)白球”的概率，c錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，記事件E:恰好摸到2個(gè)紅球，事件恰好摸到2個(gè)白球，

則P（E）=P（尸）=LP（EF）=O,則P（M）HP（￡），（E）,

所以，“恰好摸到2個(gè)紅球”與“恰好摸到2個(gè)白球”不是相互獨(dú)立事件，D錯(cuò).

故選：B.

-TT

8.將函數(shù)/（x）=sinox（3>0）的圖象向右平移;上個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，點(diǎn)是

3co

y=f（x）與y=g（x）圖象的連續(xù)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，若..ABC是銳角三角形，則。的取值范圍是（）

A.（0,弓兀）B.（0,孝兀）

C.71,+00)D.(----7t,+oo)

【答案】c

【解析】

TT

【分析】由條件，可得g(x)=sin(ox-§),作出函數(shù)的圖象，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及已知條件列

出不等式求解即可.

JIjIji

【詳解】依題意，g(x)=f(x----)=sin[69(x----)]=sin(5——),函數(shù)》=/0),丁=雙幻周期

3G3a)3

T3

co

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)丁=/(工),丫=8。)的圖象，如圖,

￡＞為AC的中點(diǎn),

2兀

2AD=AC=T=—

co

由sincox=sin(69x—,整理得sin^x=-GCOSGX，

?zG

又sin26yx+cos?cox=1，解得sincox=±—，

2

于是點(diǎn)A,8的縱坐標(biāo)力，力有力=-%，即8。=2|詞=6,

7TTT

要使一ABC為銳角三角形，當(dāng)且僅當(dāng)一＜/B4C＜一,

42

即tanNBAC=g^=32＞l，解得。＞立兀，

AD713

所以①的取值范圍是兀,+8).

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化條件，得到關(guān)于①的不

等式.

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，錯(cuò)選得0分.

9.已知復(fù)數(shù)2=。+萬（a,0eR）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.|z|2-a2+h2B.z2=a2+b1

22

C.z.^=a+hD.|。2?=/+/

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)模的計(jì)算公式和復(fù)數(shù)的乘法可判斷ACD的正誤，取特例根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算后可判斷B的正

誤.

【詳解】因?yàn)閦=a+〃，故目=|OZ卜J/+/,故|OZ『="+/,⑸2=/+〃

而z?z=（“+歷）（“一歷）=a?+h2,故ACD正確.

取。=11=1,故z=l+i,則z2=2i,/+從=2*2#〃+從，故B錯(cuò)誤.

故選：ACD.

10.已知北，是異面直線，a,/是不同的平面，mla,n±/3,直線/滿足/_Lm,lln,則下列關(guān)

系不可熊成立的是（）

A.?///?B.a_L￡

C.IllaD.IA,a

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可判斷A,由題目所給條件及兩平面垂直的性質(zhì)判斷B,根

據(jù)特殊情況判斷C,由線面垂直的性質(zhì)判斷D.

【詳解】若。//4，可得加，尸，又〃，尸，可得m〃n,與加，〃是異面直線矛盾，故A不能成

立；

若a，/?,nL/3,則也〃可能異面或相交，故B可能成立；

當(dāng)加，e,nLp,直線/滿足/_Lm,/In,當(dāng)直線與兩個(gè)平面的交線平行且在平面外時(shí)，滿足

Ula,如圖,

故C可能成立;

當(dāng)/_La時(shí)，由"_La知〃2〃/,這與/_L〃z矛盾，故D不可能成立.

故選：AD

11.已知。力是單位向量，則下列命題正確是（）

A.若a=，則？=g

B.若a,〃不共線,則（a+加_L（〃-匕）

C.若|a-加2#,則a,6夾角的最小值是j

D.若的夾角是空，則6在a上的投影向量是也a

42

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)向量a,6是單位向量，結(jié)合向量模，數(shù)量積和投影向量公式，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】A.因?yàn)橄蛄?。是單位向量?/p>

所以同=J一曰+*=i，得r=±g，故A錯(cuò)誤；

B.（a+力）?（Q—b）=Q~-=1—1=0,所以（a+b）_L（〃—Z?）,故B正確；

C.\a-b\-J（a-b）-y]a2-2a-b+h2-不2_2cos（a,b）>也>

得cosRMw-g,則心出卜y,7T,所以a,。夾角的最小值是與，故C正確；

上的投影向量是Wcos(a,/?)a=~~^~a,

D.A在a故D錯(cuò)誤.

故選：BC

12.如圖，矩形8。萬戶所在平面與正方形ABC。所在平面互相垂直，BD=2,DE=1，點(diǎn)P是線段E尸

上的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題中正確的是（）

E

A.不存在點(diǎn)尸，使得直線OP//平面ACF

B.直線。尸與8c所成角余弦值的取值范圍是［0,孚］

C.直線OP與平面AC產(chǎn)所成角的取值范圍是［0,四］

4

9兀

D.三棱錐A-CDE的外接球被平面AC產(chǎn)所截得的截面面積是一

【答案】BCD

【解析】

【分析】當(dāng)點(diǎn)尸是線段EF中點(diǎn)時(shí)判斷A,利用向量法求出異面直線夾角的余弦的范圍判斷B,利用線面

角的定義轉(zhuǎn)化為正弦值計(jì)算判斷C,求出AAC戶外接圓面積判斷D.

【詳解】取E尸中點(diǎn)G,連OG,令A(yù)CnBO=0,連尸O,如圖，

在正方形ABCQ中，。為8。中點(diǎn)，而8DEF是矩形，

則DO//GF且DO=GF,即四邊形DGFO是平行四邊形，

即有OG"FO,而FOu平面AC凡￡>Gz平面ACF,

于是得QG〃平面ACF,當(dāng)點(diǎn)尸與G重合時(shí)，直線。P〃平面ACF,故A錯(cuò)誤；

因平面8￡>￡尸_1_平面月BCD,平面BDEFc平面ABCD=8D,ED工BD，EDu平面BDEF，

所以即，平面ABC。，因?yàn)锽F/IED,所以3尸_L平面A8CQ,

因?yàn)锳D,AB,BC,BDu平面ABCD,所EOJ_AD,E。_LBD,BF1AB,BFA.BC,

因?yàn)?D=2,DE=1，所以AD=五,EA=6,DF=也,AF=CF=y5,

又8C〃AQ,所以直線與8C所成角為（或其補(bǔ)角），

因?yàn)?￡>P=ZM?（QE+EP）=ZM?（OE+XEfj=XZM.OB

=2V22COS45°=22（0<2<1）,

3

而|。/『=（。￡+/1石/）2=1+4丸2,10Al=正，所以|。尸|=JI+4^2，

DA-DP22八

當(dāng)；1=0時(shí)，cosZADP

\DA\-\DP\V2V1+4A2

,…DADP2222_VIo

當(dāng)0<%Wl時(shí)，’_\DA\-\DP\V2V1+4A2上IK5

綜上，0<cosZADP<—,故B正確；

5

設(shè)短到平面AC戶的距離為d，因?yàn)锳F=FC=6，AC=BD=2,

所以K"C=；AC.OF=；X2XV5=0,又S4ABC=；ABBC=；X立x且=1,

IIF)

由等體積法，VB.AFC=VF_ABC=-dS?AFC=-FB-S^ABC,即、&=1，解得d=注，

332

設(shè)直線OP與平面ACF所成角為e,

當(dāng)尸與G重合時(shí)，直線0P〃平面ACF,直線DP與平面ACE所成角8=0,

當(dāng)P點(diǎn)由G向旦尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，。變大，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到￡時(shí)，因?yàn)镈E〃BF，

所以sine=」-=4l,由ovewZ知，0=-,

BF224

%一辦不II179?ndV2V10\[2

當(dāng)坦動(dòng)到F時(shí)，sin0—=—尸=----<—，

DF2y/5102

7T

綜上知，0e[O-]故C正確；

4t

在△ACF中，AF=CF7BC、BF2=5顯然有FO_LAC，sinZFAC=—=^B°2±BF~=

AFAFJ3

CF33

由正弦定理得△Ab外接圓直徑27?=-^^=-^,八不,

sinNE4c，22,2

以ZM,OC,￡>￡為長寬高作長方體，如圖,

則三棱錐A—CDE的外接球即為長方體的外接球,

97r

三棱錐A-CDE的外接球被平面ACF所截得的截面是△人，戶的外接圓，其面積為兀代=一，故D正

8

確.

故選：BCD.

TT

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：線面角的范圍為0<64一，求點(diǎn)到平面的距離可以利用等體積法，當(dāng)兩條直線平

2

行時(shí)，直線與同一平面所成角相等，當(dāng)直線與平面不平行線時(shí)，直線上一點(diǎn)到平面的距離與斜線長的比為

線面角的正弦值.

第n卷非選擇題部分（共90分）

注意事項(xiàng)：

i.用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上.

2.在答題紙上作圖，可先使用2B鉛筆，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑.

三、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

13.若圓錐的母線長為2,軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的體積是.

【答案】述兀##2/生

33

【解析】

【分析】根據(jù)軸截面可求圓錐的高和底面半徑，故可求圓錐的體積.

【詳解】因?yàn)閳A錐的母線長為2,軸截面是等腰直角三角形，

故圓錐的高為血且底面半徑為血，

故體積為gx兀*（血）XV2=71,

故答案為：述7t.

3

,,八rtsma+2cosa

14.若tana=2,貝ij-----------------=.

sina-cosa

【答案】4

【解析】

【分析】求值式分子分母同除以cosa,化為tan。后代入tana的值計(jì)算.

【詳解】丁tana=2,

?sina+2cos。tana+2-2+2一

??一——r.

sina-cosatanez-12-1

故答案為：4.

15.如圖，平面四邊形ABC。的斜二測(cè)直觀圖是等腰梯形A‘3'C'。'，A'iy^D'C'=\,那么原平面四邊

【答案】76.

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合斜二測(cè)畫法規(guī)則還原平面四邊形A5CD,再計(jì)算邊長作答.

【詳解】在等腰梯形A'3'C'。'中，NO'A8'=45，A'O'=O'C'=1,

則A'B'=2-A'。'cosZD'A'B'+O'C'=夜+1，

由斜二測(cè)畫法規(guī)則知，四邊形ABCZ）的頂點(diǎn)A與原點(diǎn)。重合，點(diǎn)B,力分別在x軸、y軸上，DC//AB,

且4。=24。'=2,0。=。'。'=1,45=48'=&+1,如圖，

顯然四邊形ABCD為直角梯形，于是得=Off=瓜.

故答案為：y/6

16.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，可以選取與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)基點(diǎn)C和。進(jìn)行測(cè)量，現(xiàn)測(cè)

得C￡>=28米，ZCBD=30，在點(diǎn)C和。測(cè)得塔頂A的仰角分別為45,30,則塔高4?=米.

A

【答案】28

【解析】

【分析】設(shè)A3=〃米，進(jìn)而可得BC,BD,然后利用余弦定理求解.

【詳解】設(shè)AB=力米，

AD

在,ABC中，BC=---------=h,

tan45

AQL

△A3。中，BD=------=V3/i,

tan30

在△BCO中，CD?=CB?+DB?-2CB?DB?CGS30，

即28?=/+（商『一2/z.岑，

所以力2=28?，

解得〃=28（米）.

故答案為：28.

17.如圖，從正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)處截去4個(gè)相同的正四面體，得到一個(gè)由正三角形與正六邊形構(gòu)成的多

面體.若該多面體的表面積是146，則該多面體外接球的表面積是.

【答案】11無

【解析】

【分析】求出原正四面體外接球的半徑，從而可求出多面體外接球的球心到底面的距離，求出多面面體的棱

長，即可求出其外接球的半徑，從而可求出外接球的表面積.

【詳解】由題意可得多面體的棱長為原正四面體棱長的一，設(shè)原正四面體的棱長為。，

3

則其表面積為4*走乂/=百",由圖易知該多面體與原正四面體相比較,

4

表面積少了8個(gè)邊長為的正三角形的面積,

3

所以該多面體的表面積為6/一8乂岑乂@4=當(dāng)且=14出,

所以a=3V2■

如圖，。1是下底面正六邊形A3CD上廠的中心，。2是上底面正三角形MNG的中心,

由正四面體的對(duì)稱性可知截角四面體的外接球的球心。在原正四面體的高產(chǎn)。上，

<9,G=V2x^x-=—,QQ,二'歷小丘立二］=迪.

22331233^23）3

設(shè)球。的半徑為R，在Rtz^OQA中，0A2=0/2+。。：，所以收=2+。0；,

在Rt^O^G中，0G2=00；+。2G2,所以火2=O2G2+竽一001=g+［華一，

所以O(shè)Q：+2=1+［孚-oq,解得0。=母，所以R=,00：+2=當(dāng)，

所以該多面體外接球的表面積5=4兀/?2=1E.

故答案為：IE.

18.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，

亦稱“趙爽弦圖''（由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如

圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間?個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)

AD=AAB+^iAC,若A￡>=5AF，則義一〃的值是.

c

【答案】—

31

【解析】

【分析】先設(shè)。尸=4A尸=4,根據(jù)題意可知NA￡>8=120°,求出A8=JJ1，延長A￡）交8c于〃，求

出DM的長，再由平面向量基本定理即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳Q=5AF，

不妨設(shè)。尸=4AF=4，

因此BD=AF=1,AD=5,

由題意得NADB=120°,

所以AB?=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB

25+l-2x5xlx31,

所以AB=JJT，

延長AO交BC于M,

記/DAB=8,Z.AMB=cc,

心十介-必

則cos0=

2ADAB

25+31-111^1

-2x5xV31-62

所以sin。=叵，

62

又由題意易知ZDAB=ZDBM，

則a=120°—6,

在三角形DBM中，

由正弦定理得.以DMBD

sinZMDBsinZDBMsinZDMB

BMDM1

BII----------------=-------------=----------------------------------

1sin60°sin。sin(1200-6>),

sin60°

因此=sin(120。叫

Li一=叵，BC,

旦。*266

22

sin。

DM=

sin(120°-^)

sin。

6,

——cos61+—sint/

22

31

所以AM=AO+OM

~~6

AD=—AM,

31

因?yàn)锽M=LBC,

6

即AM-AB=-\AC-AB\,

6')

整理得AM=3A6+』AC,

66

所以AO=型AM

3131(66)

255

—AB+—AC

3131

又因?yàn)锳O=/148+〃4C,

…255

則A=—,〃=—

3131

所以義_〃=疝20.

…—20

故答案為：—

31

四、解答題：本大題共5小題，每小題12分，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

19.杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日舉行.隨著亞運(yùn)會(huì)的臨近，亞運(yùn)會(huì)的熱

度持續(xù)提升.為讓更多的人了解亞運(yùn)會(huì)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目和亞運(yùn)精神，某大學(xué)舉辦了亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競賽，并從中隨機(jī)

抽取了100名學(xué)生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)試根據(jù)頻率分布直方圖求出這10()名學(xué)生中成績低于6()分的人數(shù);

(2)試估計(jì)這1()0名學(xué)生成績的第75百分位數(shù);

(3)若采用分層抽樣的方法從成績?cè)冢?0,80),［80,90),［90,100］的學(xué)生中共抽取6人參加志愿者活

動(dòng).現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人分享活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，求抽取的2人成績都在［80,1()()］的概率.

【答案】(1)18人(2)82.5

1

(3)?

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖直接計(jì)算即可得解；

⑵由百分位數(shù)的定義直接計(jì)算即可；

(3)根據(jù)分層抽樣，列出基本事件，由古典概型的概率公式求解.

小問1詳解】

由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)可知：(0.002+0.016)xl0xl00=18(人)

【小問2詳解】

成績小于80的頻率為10x(0.()()2+0.016+0.()22+().()30)=0.7,成績?cè)冢?0,90)的頻率為

10x0.020=0.2,因?yàn)?.7<0.75<0.9,

所以這100名學(xué)生成績的第75百分位數(shù)在［80,90)內(nèi)，

所以隨機(jī)抽取的100名學(xué)生成績的第75百分位數(shù)為80+lOx上七一」=82.5.

0.9-0.7

【小問3詳解】

因?yàn)槌煽冊(cè)冢?0,80),［80,90),［90,100］的學(xué)生人數(shù)所占比例為3:2:1,

所以從成績?cè)冢?0,80),［80,90),［90,100］所抽取人數(shù)分別應(yīng)抽取3人，2人，1人.

記抽取成績?cè)冢?0,80)的3人為a,4c,成績?cè)冢?0,100］為。,E,尸.

從這6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能為：(a,圾(a,c),(。,。),(a,￡),(?,F),S,c),S,D),也E),

(b,F),(c,D),(c,E)，(c,尸)(D,￡),(￡>*),(E,尸),共15種，

抽取的2人成績都在^。/。。］的是⑷,^),。/7),3，)，共3種,

抽取的2人成績都在［80,100］的概率為百a三1.

TTTT

20.已知函數(shù)/(x)=sin(x+—)+sin*-二)+8§工+。的最大值為1.

66

(1)求常數(shù)〃的值；

⑵求使f(x)>V3-1成立的X的取值集合.

【答案】(1)-1

(2)sx|—+2ki<x<—+2k7r,Z:eZ>

【分析】(1)對(duì)/(x)進(jìn)行整理化簡，然后根據(jù)最大值得到〃的值;

(2)根據(jù)(1)將不等式轉(zhuǎn)化為sinx+-\>—,從而解得解集.

I6j2

【小問1詳解】

f(x)=sinx+-+sin+COSX+。

6

區(qū)inx+、°sx+且sinx——cosx+cosx+a

2222

=A/3sinX+COSX+Q

=2sinx+—\+