四川省宜賓市敘州區(qū)2021屆高三數(shù)學(xué)一模理試題含解析

2021級(jí)高三一診模擬考試

數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）

本試卷共4頁(yè)，23小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

第I卷選擇題（60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

L設(shè)集合4={0,2,4,6,8/。},6={4,8},貝心初二

A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析:由補(bǔ)集的概念，得。6={0,2,6,10},故選C.

【考點(diǎn)】集合的補(bǔ)集運(yùn)算

【名師點(diǎn)睛】研究集合的關(guān)系，處理集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算問(wèn)題，常用韋恩圖、數(shù)軸等幾何工具輔助解

題.一般地，對(duì)離散的數(shù)集、抽象的集合間的關(guān)系及運(yùn)算，可借助韋恩圖，而對(duì)連續(xù)的集合間的運(yùn)算及關(guān)

系，可借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化.

2.下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在（-?,0）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=±B.y^l-x2C.y=l-2xD.y=|x|

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)各選項(xiàng)對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式，結(jié)合幕函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)及含絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)判斷是

否符合題設(shè)要求即可.

【詳解】A：y為奇函數(shù)，不合題設(shè)，排除；

X

B：y=l-必為偶函數(shù)，在卜？，0）上遞增，符合題設(shè)；

c：y=l-2%為非奇非偶函數(shù)，且定義域上遞減，不合題設(shè)，排除；

D：y=國(guó)為偶函數(shù)，在（-？，0）上遞減，不合題設(shè)，排除；

故選：B

1

3

3.函數(shù)/（x）=k）g2X—-的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是

X

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】C

【解析】

【分析】分別求出/（2）,/（3）的值，從而求出函數(shù)的零點(diǎn)所在的范圍.

31

【詳解】由題意，/（2）=1-|=--<0,/（3）=Zog23-l>0,所以/（3）"Q）<,所以函數(shù)

=/og2x—巳的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（2,3）,故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)零點(diǎn)定理求出即可，本題是一道基礎(chǔ)題.

4.已知集合/中元素（X,y）在映射f下對(duì)應(yīng)8中元素（x+y,x—y）,則8中元素（4,一2）在/中對(duì)應(yīng)的元素

為O

A.（1,3）B.（1,6）C.（2,4）D.（2,6）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合映射的概念列式求解.

【詳解】設(shè)6中元素（4,-2）在/中對(duì)應(yīng)的元素為（x,y）,

x+y=4fx=l

則"c，解得：\，

所以6中元素（4,—2）在/中對(duì)應(yīng)元素為（1,3）.

故選：A.

5.設(shè)平面a_L平面￡,在平面a內(nèi)的一條直線a垂直于平面￡內(nèi)的一條直線則（）

A.直線。必垂直于平面￡B.直線6必垂直于平面a

C.直線“不一定垂直于平面夕D.過(guò)。的平面與過(guò)〃的平面垂直

【答案】C

【解析】

【分析】

由面面垂直，結(jié)合空間直線與平面，平面與平面的關(guān)系對(duì)四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，得到答案.

2

【詳解】因?yàn)槠矫鎍，平面￡,在平面a內(nèi)的一條直線。垂直于平面￡內(nèi)的一條直線6

選項(xiàng)A中，只有直線^是a與夕的交線時(shí)，才能得到〃與平面夕垂直，所以錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B中，只有直線。是a與夕的交線時(shí)，才能得到6與平面1垂直，所以錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C中，當(dāng)直線b是a與0的交線時(shí)，可以得到當(dāng)直線萬(wàn)不是a與夕的交線時(shí),不能得到aVp,

所以正確.

選項(xiàng)D中，當(dāng)直線萬(wàn)不是a與￡的交線時(shí)，不能得到所以不能得到過(guò)。的平面與過(guò)b的平面垂直,

所以錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷，面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷，屬于簡(jiǎn)單題.

6.已知某物種經(jīng)過(guò)x年后的種群數(shù)量y近似滿足岡珀茨模型：y=（左>0），當(dāng)X=0時(shí)，y的值表

示2021年年初的種群數(shù)量.若年后，該物種的種群數(shù)量不超過(guò)2021年初種群數(shù)量的;，則力的

最小值為（參考值：In3七1.09）（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意先求出2021年年初的種群數(shù)量，再列出不等式，根據(jù)取對(duì)數(shù)法進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，y的值表示2021年年初的種群數(shù)量，

所以有y=8左，即2021年年初的種群數(shù)量為我，

當(dāng)/（/eN*）年后，該物種的種群數(shù)量不超過(guò)2021年初種群數(shù)量的;，

01>A,

所以有H?8左n8/“<2=e~log28<log22=e^<|

=>-0.k<In-=-In3=>-0.U<-1.09=>r>10.9,所以t的最小值為11,

3

故選：c.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)題意得到指數(shù)不等式，通過(guò)取二次對(duì)數(shù)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.

7.如圖所示的網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)均為1,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）

3

A.9B.18C.27D.54

【答案】C

【解析】

【分析】首先由三視圖還原幾何體，再求表面積.

【詳解】由三視圖可知，AB工平面BCD,且/BZ)C=90，AB=3,BD=4,CD=3,

因?yàn)槠矫鍭BD，平面BCD,平面ABDc平面5CD=5￡>,CD±BD,

所以CD_L平面ABD,ADu平面ABD，所以CD_LAD,

AD=BC=y/32+42=5>

所以該幾何體的表面積

S=SABD+SBCD+SABC+S

=—x3x4+—x3x4+—x5x3+—x5x3=27.

2222

故選：C

1

8.設(shè)3工=2,y=ln2,z=5-—?jiǎng)t

A.x<y<zB.y<z<xC.Z<x<yD.z<y<龍

【答案】C

【解析】

【詳解】分析：由3工=2求出x的表達(dá)式，先比較羽V的大小和范圍，再求出z的范圍，根據(jù)它們不同的范

圍，得出它們的大小.

4

詳解：由3*=2有x=log32,-=log3,—=loge,因?yàn)?>log23>log?e>1,所以

x2y9-.

iii1_11

2>->—>l,-<%<y<l,而z=5-=1=力<彳，所以z<x<y,選c.

xy2552

點(diǎn)睛：本題主要考查比較實(shí)數(shù)大小，屬于中檔題.比較大小通常采用的方法有：

(1)同底的指數(shù)或?qū)?shù)采用單調(diào)性比較；(2)不同底的指數(shù)或?qū)?shù)采用中間量進(jìn)行比較，中間量通

常有0,1，1等.

9.己知%是函數(shù)/(無(wú))=sinx+2cosx的最大值點(diǎn)，貝i|sinxo=()

A出R2年2y[51

A.--D.-----U.---Un.

51555

【答案】A

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)/(X)=占sin(x+°),根據(jù)最值得到Xo=^—夕+2左乃，代入計(jì)算得到答案.

【詳解】/(x)=sinx+2cos龍=&sin(x+o),其中sin°=^^，cos9=與,

jrjr

當(dāng)天)+0=萬(wàn)+,keZ,即入0=萬(wàn)—0+2左々EZ時(shí)，函數(shù)有最大值，

此時(shí)sinx0=sin~(p+2左；r)=cos(p=-.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)最值，輔助角公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

10.函數(shù)/(x)=2sin]2x+。]的圖象向左平移專個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g(x)的

圖象，若ga)g(%2)=9，且毛，/?-2肛2句，貝!|2占一々的最大值為()

17兀35萬(wàn)25乃49萬(wàn)

A.---B.---C.---D.---

46612

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)y=Asin(s+°)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函數(shù)的最大值，判斷

當(dāng)2%+\TT=色57r，2%+；TC=—777時(shí)，2%一々的取得最大值，從而求得2百一9的最大值.

5

7TTT

【詳解】解：將函數(shù)/(%)=2sin(2%+：)圖象向左平移三個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到

612

g(x)=2sin(2x+§)+l的圖象.

若gOJgfX)=9,則g(xj和g(%2)都取得最大值3,故g(xj和g(%)相差一個(gè)周期的整數(shù)倍.

ITSyrTC77r

故當(dāng)2%+耳=飛-，2X2+—=—1時(shí)，2百一々的取得最大值.

%=9，%=一答,2西一馬的取得最大值為管，

故選：D.

11.已知點(diǎn)A5C,。都在球。的球面上，AB^AC,△BCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，A。與平面

3CD所成角的正弦值為逅，若AD=2,則球。的表面積為()

3

A.JrB.4兀C.8兀D.16K

【答案】B

【解析】

【分析】若E是3c的中點(diǎn)，則。'是△3。的中心，連接。石，由線面垂直、面面垂直的判定可得面

BCD上面AED，過(guò)A作面BCD,由面面垂直的性質(zhì)知R必在直線。石上，即NA。9為AD與面

3C。所成角，再過(guò)O'作OO'LOE交A。于。，結(jié)合已知可知。'是。尸中點(diǎn)，。為A。的中點(diǎn)，即可

確定球心的位置，進(jìn)而求表面積.

【詳解】由題設(shè)，若E是3c的中點(diǎn)，則。'是△3CD的中心，連接。石，如下圖示：

由題設(shè)知：DELBC,AELBC,又AEDE=E,則3cl面AED,

而3Cu面3cZ),即面3?！?gt;_1_面AED,

過(guò)A作面BCD,則尸必在直線OE上，易知：NAD9為A。與平面3CZ)所成角的平面角，又

與平面BCD所成角的正弦值為亞，AD=2,可得。尸=2叵.

33

過(guò)。作OO'LOE交A。于。，易知：OD=OB=OC,

6

而。'。=軍，即。'。=—DF,又AF//OO',故。為A。的中點(diǎn)，OD=OA,

32

OD—OB-OC-OA，即。是球心，故球。的半徑為1,...球。的表面積為4兀.

故選：B.

12.設(shè)函數(shù)=(lnx+x+彳]恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是O

(11B.3]

A-oo,-

12j

。MITD..t”

【答案】C

【解析】

【分析】

/(九)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則/?%)=0恰有兩個(gè)不同的解，求出/?%)可確定為=1是它的一個(gè)解，另一個(gè)

x

解由方程二一-1=0確定,令g(力=」e(%〉。)通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個(gè)不是1的解時(shí)

x+2x+2

￡應(yīng)滿足的條件.

【詳解】由題意知函數(shù)“X)的定義域?yàn)?0,+?),r(x)=("-?e_

1％XJ

(x、

(xl)[e《X+2)](xl)(x+2)t

_r2=____________I*_2

x%2

因?yàn)?(無(wú))恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以/?x)=o恰有兩個(gè)不同的解，顯然x=二1是它的一個(gè)解，另一個(gè)解由方

程/一-7=0確定，且這個(gè)解不等于1.

x+2

令g(x)_則g(x)/9A2>0,所以函數(shù)g(x)在(0,+?)上單調(diào)遞增，從而

x+2(x+2)

g(x)〉g⑼=g，且g⑴=：.所以，當(dāng)月//￡時(shí)，/(x)=±-jlnx+x+2]恰有兩個(gè)極值點(diǎn),

3%卜xj

7

1ee

即實(shí)數(shù)，的取值范圍是—,+co

2533

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)與方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

第II卷非選擇題(90分)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.計(jì)算:J（后-2『-（0.25）；x[J]+舟*=

【答案】-2#)

【解析】

【分析】根據(jù)根式、指數(shù)幕運(yùn)算以及對(duì)數(shù)的定義運(yùn)算求解.

2

【詳解】由題意可得：^（V3-2）-（0.25）1xfXT+^xig_l=|V3-2|-Qj）⑹、氐㈠）

=2-^--X4-A/3=-2^,

2

艮（若一2）一（0?25）2>［擊）+6xlg&=-2A/3.

故答案為：—2A/3?

14.若tan(2x-則x的取值范圍是

7ikn5乃k兀

【答案】---1---,---1---（kez）

62242

【解析】

7/'))7/

【分析】先換元令z=2x——，在一個(gè)周期上解tanzWl,再擴(kuò)展到定義域上解得-----Hkm<zWFkJi,

624

即可求解.

TTITT7T|TTTTTC

【詳解】令z=2x—巴，在-"，式上滿足tanzWl的z的值是-2〈zW生，在整個(gè)定義域上有-2+

6I22J242

k“〈zWX+kn,解不等式—工+kn〈2x—得一工十紅〈xW^+紅，kEZ.

426462242

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切型函數(shù)的單調(diào)性，換元法解不等式，屬于中檔題.

15.函數(shù)/(x)=Lx2+x-21nx在區(qū)間上的最小值為_(kāi)___.

22

8

3

【答案】一

2

【解析】

分析】

首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令，<吊>0、/'(x)<0得到函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最值；

【詳解】解：因?yàn)?(x)=gx2+x—21nx,則定義域?yàn)?0,+8)

所以廣⑺“-x-2=(x+2)(x-l)

XXX

令第x)>0解得4>1,即“X)在(1,+00)上單調(diào)遞增,令/'(x)<0解得0cx<1,即/(x)在(0,1)上單

調(diào)減，

所以/(%)在X=1處取得極小值，也就是最小值且

又因?yàn)楣ぁ陓—,/(e)=—/+e—2

_2」<2；82

i「113

所以函數(shù)/(耳=5/+.”21nx在區(qū)間5，e上的最小值為不，

3

故答案為：一

2

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.

16.銳角AABC中,角A,8,?所對(duì)邊分別為a,b,C,有cos?A+cosAcos(C-B)=sinBsinC,且c=4,

則a+Z?的取值范圍為.

【答案】?jī)H石+2,4石+8)

【解析】

【分析】先利用三角函數(shù)恒等變形求出A=[，利用正弦定理表示出。+人=+主—

3sinCsinC(3)

用三角函數(shù)求出a+b的取值范圍.

【詳解】因?yàn)閏os?A+cosAcos(C-B)=sinBsinC,

所以cosA[cosA+cos(C-B)]=sinBsinC.

因?yàn)锳+5+C=〃，所以B+C=TU—A,所以COS(5+0=COS(萬(wàn)一A)=—COSA.

所以2cosAsinBsinC=sinBsinC.

9

1TC

因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以sin6>0,sinC>0,所以cosA=—，所以A=二.

23

27r2?

所以B+C=——，即5=——C.

33

0<C<-

97TTT

因?yàn)闉殇J角三角形，所以〈c,解得：一<c<—

c2%62

abc.“2百,_c.4.(in

由正弦定理得:------sinA=------,b=-------sinB=-------sin------C

sinAsinBsinCsinCsinCsinCsinC13

=2A/3^-+2

而z,2734.(17iy2A/326cosc。

所以a+b=------+-------sm------C+—.............+2

sinCsinC(3)sinCsinCtan—

2

71c兀nC兀-71C71

因?yàn)橐?lt;C<一,所以—<—<一，所以tan—<tan—<tan—.

6212241224

——-------&=2—6,所以2—也<tan￡<l,

、兀冗2

1+tan—tan一

46

1<-^T7<2+V3273+2<2A^^—+2<4^+8

所以c,所以，c

tan—tan—

22

即2逐+2<a+b<4G+8

在一A3C中，由兩邊之和大于第三邊，所以〃+6>c=4.

綜上所述：2石+2<a+/?<46+8.

故答案為：(2^/3+2,473+8)

【點(diǎn)睛】解三角形的最值問(wèn)題包括兩類(lèi)：

(1)利用正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值；

(2)利用余弦定理轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.

17.已知函數(shù)/(x)=2\/3sinxcosx-2cos2%+1.

(1)求函數(shù)/(X)的最小正周期；

717萬(wàn)8

(2)若五)，且/(a)=y,求cos2a的值.

10

【答案】(1)TC.(2)—4+36

10

【解析】

Q7F

【分析】⑴利用輔助角公式化簡(jiǎn)〃龍)，求出最小正周期；⑵將/(。)=小弋入可求出sin(2c-10,結(jié)

77"JTTTTT

合2a——的范圍，求出cos(2。—一),因?yàn)?。=(2?！?+-,由兩角和的余弦公式求出結(jié)果.

6666

TT

【詳解】f(x)=2sin(2x——).

6

27r

(1)函數(shù)/(無(wú))的最小正周期T=—=n.

2

(2)由/(0)=§,得2sin(2a—生)=§,即sin(2a—2)=3.

56565

由?！?工,衛(wèi))，得21一工￡(匹,；T),

31262

cos(2a-看)=-^1-sin2(2(7-^)=，

,?！?。兀、、兀、兀兀,兀冗3百414+36

??cosLOL—cos[(2cif----)H—J=cos(2cif----)cos-----sin(2cif----)sin—=—x-------x—=---------

666666525210

18.記:ABC是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.已知/二。。，點(diǎn)。在邊AC上,

BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC,求cos/ABC.

7

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)cosZ4BC=—.

12

【解析】

ac

【分析】(1)根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有3。=一，結(jié)合己知即可證結(jié)論.

b

(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊。與c的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得cosNABC的值.

【詳解】(1)設(shè)A3C的外接圓半徑為兄由正弦定理，

hr

得sin/ABC=——,sinC=—,

2R2R

hr

因?yàn)?Dsin/ABC=asinC,所以8。?——=a?—,即2=ac.

2R2R

又因?yàn)椤?=呢，所以6

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理

11

〃22

因?yàn)锳D=2DC,如圖，在一ABC中，cosC二幺二一-,①

2ab

在△BCD中，cosC=----三——.②

2-

3

「Z?111

由①②得/+/―02=3/+（_）2—/，整理得2a2一一/+02=0.

L3J3

又因?yàn)?2=ac，所以6a2—1lac+3c2=0，解得a==或a=—，

32

當(dāng)a=￡,"=ac='-時(shí)，a+b=--\——<c（舍去）.

3333

Z3C\223c2

3r3r2k+^7

當(dāng)a=3,/=ac='時(shí)，cosZABC=^-------^-=—.

2203cl2

z,—,c

2

7

所以cos/ABC--.

12

［方法二］:等面積法和三角形相似

2

如圖，已知AD=2QC,則S/^\r5\DJ=-3S-/\/5C，

BP—x—/?2sinZADB=—x—tzcxsinZABC,

2332

而〃=ac,即sinZADB=sinZABC,

故有NAD5=NABC,從而NABD=NC.

Acr\BA

由從二a。，即—=—,即---=----,即ACB0°zABD，

abCBBD

12

lb

uADAB口口

故——=——，即3c,

ABAC—

cb7

2

又I}1=ac‘所以c=

7

則cosNABC=C-"

2ac12

［方法三］:正弦定理、余弦定理相結(jié)合

21

由（1）知=〃=再由AD=2。。得AD=一七CD=—人.

33

在，ADB中，由正弦定理得———=圖乙.

sinZABDsinA

2,c

——b2

又NABD=NC,所以3b,化簡(jiǎn)得sinC=-sinA.

二3

sinCsinA

22

在，ABC中，由正弦定理知c=-a,又由。2=呢，所以/=-/.

33

22_72aH---Q--

:7

在（ABC中，由余弦定理，得cosZABC=------------=------J

212

2訛2x-a

3

7

故cosZABC=——.

12

［方法四］:構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)

如圖，作OE〃A5,交于點(diǎn)￡,則△DECsA45c.

2a

T

（?）2+（J—/

在，BED中，cosZBED=3——g--------

33

22_72

在,ABC中cosZABC="

lac

因?yàn)閏osZABC=—cosABED,

13

整理得6/—n/+3/=0.

又因?yàn)閆?2=〃c，所以6〃2=0，

C、3

即a=—或a=—c.

32

下同解法1.

［方法五］:平面向量基本定理

uuiuuum

因?yàn)锳Z）=2DC，所以AD=2DC.

一21

以向量BA,BC為基底，有8。=§5。+3區(qū)4.

?24-24-1-2

所以8。=-BC+-BABC+-BA,

999

441

即b~=-ct~—uccos^.ABCH—c?,

999

又因?yàn)閆?2=〃c，所以9。。=4片+4ac?cosNABC+，.③

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosNABC，

所以=/+02一2〃ccosZABC④

聯(lián)立③④，得6〃2—n〃c+3c2=0.

3、1

所以a=-c或a=—c.

23

下同解法1.

［方法六］:建系求解

以，為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)，垂直于AC的直線為y軸,

DC長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，

如圖所示，則D（0,0）,A（—2,0）,C（l,0）.

14

dcJT

由(1)知，BD=b=AC=3,所以點(diǎn)6在以。為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

設(shè)3(x,y)(-3<x<3),則/+/=9.⑤

由。2=呢知，忸從忸。|=|人。「，

即"(x+2)2+y2.J(%—1)2+產(chǎn)=9.⑥

7795

聯(lián)立⑤⑥解得x=——或x=—23(舍去)，/=—,

4216

代入⑥式得a=|BC|=植,c=\BA\=V6,Z?=3>

2

〃242_序7

由余弦定理得cos/ABC=巴士~.

lac12

【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的

性質(zhì)解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似

是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；

方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將

其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直

觀化.

19.設(shè)函數(shù)F(x)=gx3—■|x2+"+c,其中a>0.曲線y=/(x)在點(diǎn)。(o,/(o))處的切線方程為y=l.

(1)確定Z?，c的值；

(2)若a=4,過(guò)點(diǎn)(0,2)可作曲線y=/(x)的幾條不同的切線？

【答案】(1)b=0,c=l；(2)3條.

15

【解析】

【分析】（1）求r（x）,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得了'（。）=d/（o）=i,即可求得辦，。的值；

（2）求出以及/'（九），設(shè)切點(diǎn)為（5，%），利用切點(diǎn)與點(diǎn)（0,2）所在直線的斜率等于/'（尤0）以及切

點(diǎn)滿足了（%）的解析式列方程，利用導(dǎo)數(shù)判斷對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可求解.

【詳解】（1）由/"（x）=gx3-■|■x2+匕x+c得/（o）=c,/f（%）=x2-ax+b,

因?yàn)榍€>=/（尤）在點(diǎn)尸（0,/（0））處的切線方程為y=l,

所以切線的斜率為/'（0）=6=0,且/（O）=l=c

故〃=0,c=l.

（2）a=4時(shí)，/（x）=-2x2+1,/f（x）=x2-4%,

點(diǎn)（0,2）不在/（X）的圖象上，

設(shè)切點(diǎn)為（％，%），則切線斜率左=其-4x0,

——-=%o_4%

所以「。一°，即2X；_2X；+1=0

,+13

上式有幾個(gè)解，過(guò)（0,2）就能作出了⑴的幾條切線.

2

令g（x）=§丁一2爐+1,貝I]=2x2-4x=2x（x-2）,

由g'（x）>0可得x>2或x<0；由g'（x）<0,可得0<x<2,

所以g（x）在（-8,0）單調(diào)遞增，在（0,2）單調(diào)遞減，在（2,+8）單調(diào)遞增，

所以g（x）極大值為g（0）=l>0,g（尤）極小值為g（2）=§x23—2x22+1=—耳<0,

所以g（x）有三個(gè)零點(diǎn)，

即過(guò)（0,2）可作出了（X）的3條不同的切線.

20.如圖，在三棱柱A3C-4與￡中，四邊形4GCA為菱形，A=ZC^A=60°,AC=4,AB=2,

平面ACC】A，平面ABB14,0在線段力。上移動(dòng)，戶為棱A4的中點(diǎn).

16

(1)若〃為60中點(diǎn)，延長(zhǎng)/〃交于〃求證：AD〃平面用PQ；

(2)若二面角4-PQ-G的平面角的余弦值為巫，求點(diǎn)尸到平面的距離.

13

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

⑵當(dāng)

【解析】

【分析】(1)取圈中點(diǎn)￡,連接/￡,EH,結(jié)合已知條件易得的〃合。AE//PB,,根據(jù)線面平行的判定可證

用。〃面石的，PB"/面EHA,再由面面平行的判定及性質(zhì)即可證結(jié)論.

(2)連接戶G,陽(yáng)有戶GU4,由面面垂直的性質(zhì)可得陽(yáng)，面/圈4,過(guò)戶作以L/4交能于點(diǎn)必進(jìn)而

構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AQ=2AC=A(0,-2,2括)，le[0,1],確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求面產(chǎn)的、面A4KC

的法向量，根據(jù)已知二面角的余弦值求參數(shù)4，進(jìn)而可得。B,連接如，應(yīng)用等體積法求產(chǎn)到平面8的的

距離.

【小問(wèn)1詳解】

取8月中點(diǎn)石，連接AE,EH,如圖，

H為BQ中點(diǎn)，：.EH〃BQ

在平行四邊形田中，己石分別為.出片的中點(diǎn)，，？^〃/^

17

由掰n/￡=￡且EW,AEu面EH4，B]Q,PBe面EHA，

所以用?！妗闔4，PB[〃面EHA,又PB1cBiQ=&,

所以面幽1〃面區(qū)的：ADu平面石H4，；.40〃平面B/Q.

【小問(wèn)2詳解】

連接PG，AG，

:四邊形AGca為菱形，

又NGAA=60°,.??—AC1A為正三角形，為AA的中點(diǎn)，???PG^AA，

平面ACQA±平面ABB.A,,平面ACGA「平面ABBX\=⑨，PQu平面ACC^,/.PQ1平

面ABBX\,在平面ABB^內(nèi)過(guò)點(diǎn)尸作PR，A&交BB1于點(diǎn)R,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P-xyz,

則P（0,0,0）,4（0,2,0）,A（0,-2,0）,￡（0,0,2@,C（0,—4,2月,

設(shè)彩=2/=2（0,—2,26），2w[0,1]，；?2（0,-2（2+1）,2后），

pQ-（0,-2（2+1）,2^/^2）,

?.?4g=43=2,ZB|AA=60°，.??丹（百/刀），.??麗|=（6,1,0），

設(shè)平面PQB｝的法向量為m=（x,y,z），

ITI?PQ-0—2（A+1）y2^/3Ax=0「2+]

則得I/",令x=l,則y=_JIz=_J,

m-PB1=0[J3x+y=02

2+1

???平面PQB,的一個(gè)法向量為m=1,-73,-

2

18

設(shè)平面441GC的法向量為n=(1,0,0)，二面角BrPQ-Q的平面角為。,

2=g或2=—；(舍)，；.北=3就，Q(0,—3,有).

又3,0),；.QB=(6,0,一6',|QB|=A/3+3=\/6,

連接5P，設(shè)點(diǎn)尸至U平面3。用的距離為〃，則‘義」義4義6義百=’><LX4XC></Z,

3232

A=—.即點(diǎn)P到平面BQBy的距離為限.

22

21.已知函數(shù)/(x)=與必-x(lnx-b-l),a,beR.

(1)當(dāng)b=-l時(shí)，討論函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若/(尤)在(0,+e)上單調(diào)遞增，且ewe?"求c的最大值.

【答案】⑴當(dāng)0<“<2時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)色=」或040時(shí)，即。=2或qWO時(shí)，函數(shù)

e2e2e

有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)3>1即。>2時(shí)，函數(shù)/(%)無(wú)零點(diǎn)；(2)C的最大值為2.

2ee

【解析】

【分析】⑴整理得小)=嗚1叼，故函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于y\x-加的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化

/7

為y=2與y=I上nx±的值域之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求解即可求得結(jié)果；

2x

(2)根據(jù)題意，/'(九)20恒成立，據(jù)此求得。力范圍；再構(gòu)造函數(shù)求得2a+6的最小值，即可求得c的

最大值.

【詳解】(1)當(dāng)b=—1時(shí)，/(%)=x^x-lnx\,

故/(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，取決于y=/以的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

八一公皿一T/RQ如人7/\1nxEi?，/\1-lnx

分禺參數(shù)可得一=——，令〃(力=——，貝!J/z(x)=———,

2xxx

令解得］￡(0,e)；令〃(x)<0,解得%￡(%+8)；

故故x)在(O,e)單調(diào)遞增，在(e,+8)單調(diào)遞減.

19

故Mx),u=/z(e)=L又砍1)=0,當(dāng)尤>1時(shí),〃(尤)>0恒成