2024年北京市昌平區(qū)高三高考二模數(shù)學(xué)試卷含答案

2024年北京市昌平區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷

本試卷共9頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上

作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合

題目要求的一項(xiàng)。

1.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={X|X2-2X>0},則AB=

A.{0,1,2}B.{1}C.{-1,0,1,2}D.{-1,3}

2.已知數(shù)列{〃J滿足4+i=24,w=4,則數(shù)列{2}的前4項(xiàng)和等于

A.16B.24C.30D.62

2

3.已知拋物線丁=2px（p〉0）的焦點(diǎn)和雙曲線％2=1的右頂點(diǎn)重合，則P的值為

A.lB.2C.4D.6

4.在（石-工）6的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為

X

A.-15B.15C.30D.360

5.若c>\,貝!J

bacc

A.c<cB.logca>logcbC.sin—>sin—D.a<b

ab

6.若圓f+8%+y2—6y+加=0與x軸，y軸均有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

A.(-oo,9]B.(-oo,16]C.[9,25)D.[16,25)

1

7.設(shè)九〃是兩條不同的直線，/，是兩個(gè)不同的平面，且mua,aII（3,則是

“〃_Lm”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.己知函數(shù)/（X）.一廠+4x，x'l,若對(duì)任意的了都有|/（x）但辦恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范

[in（x-l）,x>1

圍是

A.（-oo,0]B.[-4,0]C.[-3,0]D.（-oo,2]

9.中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用

90吧的水泡制，再等到茶水溫度降至6（TC時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.在20（室溫下，茶

水溫度從9（TC開(kāi)始，經(jīng)過(guò)/min后的溫度為VC,可選擇函數(shù)y=60x0.9,+20?20）來(lái)近似

地刻畫(huà)茶水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律.則在上述條件下，該種綠茶茶水達(dá)到最佳飲用口感時(shí)，

需要放置的時(shí)間最接近的是

（參考數(shù)據(jù)：1g2?0.30,1g3?0.48）

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

10.已知數(shù)列｛a,J滿足％_3=-1,%T=1，該數(shù)列的前”項(xiàng)和為S”，則下列論

斷中第誤的是

A.%=1

B.%024=T

C3非零常數(shù)T,VneN*,^an+T=an

D.VHGN*,都有S2〃=—2

2

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

1+i-

11.已知復(fù)數(shù)z=5,貝!Jz?z=_______.

i

,3

12.已知△A6C中，〃=4,b=2cjcosA=——,則SAM。=.

13.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸滿足4尸=/MB(2>0).當(dāng)彳=；時(shí)，

ACPD=；當(dāng)力=時(shí)，PC?。尸取得最大值.

14.已知p:設(shè)函數(shù)/⑴在區(qū)間(0,+8)上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,若/⑴"(2)>0,

則于(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)無(wú)零點(diǎn).能說(shuō)明p為假命題的一個(gè)函數(shù)的解析式是.

15.已知曲線G:x|x|+y|y|=4,。為坐標(biāo)原點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線G關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形；

②經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線/與曲線G有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；

③直線/:尤+y=2與曲線G所圍成的圖形的面積為兀-2；

④設(shè)直線/:>=丘+2,當(dāng)左e(-l,0)時(shí)，直線/與曲線G恰有三個(gè)公共點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

3

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

16.(本小題13分)

已知函數(shù)/(x)=cosx(Gsinx+3cosx)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(―,-).

62

(I)求實(shí)數(shù)〃的值，并求/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(II)當(dāng)XE。］］時(shí)，/(%)2機(jī)恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

4

17.(本小題14分)

如圖，在棱長(zhǎng)均為2的四棱柱ABCD-A用GA中，點(diǎn)石是CG的中點(diǎn)，BC交平面AD.E

于點(diǎn)尸.

(I)求證：點(diǎn)下為線段BC的中點(diǎn)；

(II)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為己知，使得四棱柱

ABCD-^C^存在且唯一確定.

(i)求二面角A-AF-8的余弦值;

(ii)求點(diǎn)用到平面ADYEF的距離.

條件①：DD,，平面ABC￡＞；

條件②：四邊形A8CD是正方形；

條件③：平面A41Ao，平面CGA。-

注：如果選擇的條件不符合要求，則第(II)問(wèn)得0分；如果選擇多組符合要求的條

件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

5

18.（本小題13分）

某行業(yè)舉行專業(yè)能力測(cè)試，該測(cè)試由A,B,C三項(xiàng)組成，每項(xiàng)測(cè)試成績(jī)分為合格和不合

格，三項(xiàng)測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立.當(dāng)三項(xiàng)測(cè)試成績(jī)均合格時(shí)，認(rèn)定分為10分；當(dāng)C項(xiàng)測(cè)試成績(jī)

合格，且43兩項(xiàng)中恰有一項(xiàng)成績(jī)合格時(shí)，認(rèn)定分為5分；當(dāng)C項(xiàng)測(cè)試成績(jī)不合格，且A3

兩項(xiàng)測(cè)試成績(jī)都合格時(shí)，認(rèn)定分為2分；其它測(cè)試成績(jī)，認(rèn)定分為0分.

甲在參加該專業(yè)能力測(cè)試前進(jìn)行了20次模擬測(cè)試,測(cè)試成績(jī)合格的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：

測(cè)試項(xiàng)ABC

頻數(shù)161510

用頻率估計(jì)概率.

（I）試估計(jì)甲參加該專業(yè)能力A項(xiàng)測(cè)試成績(jī)合格的概率；

（II）設(shè)X表示甲獲得的認(rèn)定分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；

（III）若乙參加該專業(yè)能力測(cè)試，三項(xiàng)測(cè)試成績(jī)合格的概率均為士.試估計(jì)甲、乙兩人獲得

3

認(rèn)定分的大小，并說(shuō)明理由.

6

19.《本小題15分）

已知橢圓￡：4+4=1（?>&>0）的離心率為短軸長(zhǎng)為2也.

a2b22

（I）求橢圓￡的方程；

（II）設(shè)是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，尸是橢圓E的右焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn)尸的直線/與橢圓E相交

于兩點(diǎn)（點(diǎn)M在x軸的上方），直線分別與y軸交于點(diǎn)P,。，試判斷博言是

否為定值？若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，說(shuō)明理由.

7

20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x+—.

ev

(I)求曲線y=，(尤)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程；

(II)求/。)在區(qū)間［0,1］上的最小值；

(III)若。>0,當(dāng)x>0時(shí)，求證：/(Ina-x)>/(Ina+x).

8

21.（本小題15分）

已知。嗎,〃2，MN為有窮正整數(shù)數(shù)列，，且$+。2+?+〃N.從。

中選取第"項(xiàng)，第J項(xiàng)，，第以項(xiàng)。；<，2<<M），稱數(shù)列4,。”為。的長(zhǎng)度為相

的子列.規(guī)定：數(shù)列。的任意一項(xiàng)都是。的長(zhǎng)度為1的子列.

若對(duì)于任意的正整數(shù)E?S,數(shù)列。存在長(zhǎng)度為根的子列%,，以0,

使得%+%++”=小則稱數(shù)列。為全覆蓋數(shù)列.

（I）判斷數(shù)列1,1,1,5和數(shù)列1,2,4,8是否為全覆蓋數(shù)列；

（II）在數(shù)列。中，若s?2N—l,求證：當(dāng)時(shí)，an<n<\+ax+a2+-+an_x；

（III）若數(shù)列。滿足：%=1,且當(dāng)2W〃WN時(shí)，4<〃41+4+七+.+4——

求證：數(shù)列。為全覆蓋數(shù)列.

9

昌平區(qū)2024年高三年級(jí)第二次統(tǒng)一練習(xí)

數(shù)學(xué)試卷參考答案2024.5

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。

題號(hào)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

答案DCBBDAABBc

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)2(12)—(13)--

232

3

20

(14)/(X)=(x--)(答案不唯一)(15)①③④

注：(13)題第一空3分，第二空2分；

(15)題選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得3分，選對(duì)3個(gè)得5分，錯(cuò)選1個(gè)得0分.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

(16)(共13分)

713

解：(I)由題意得，cos—

66I"。2

3

解得1分

2

所以/(x)=cosx(V3sinx+3cosx)--3=V3sinxcosx+3cos2x~~3

1+cos2x3

—sin2x+3x

222

=—sin2x+3COS2%=V3sin(2x+-).......4分.

223

7TJT

由一+2左兀W2x+—W---F2左兀，

232

所以2+左兀WxW—+kn........6分

1212

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為成+杭段+磯%eZ)...........7分

(II)由(I)可知/(x)=Ain(2x+g).

因?yàn)镺WxW^,所以三+”........8分

2333

第1頁(yè)/共9頁(yè)

所以——W也sin(2x+—)^百.

23

所以一gw/(x)W>A................9分

當(dāng)2x+/=手，即x=］時(shí)，“X)取得最小值是-:...........11分

因?yàn)?(無(wú))》加恒成立等價(jià)于mW/(x)^，所以根(.

3

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是(-8,-3................13分

2

(17)(共14分)

解：(D連接BC「

因?yàn)锽C交平面ARE于點(diǎn)尸，BCu平面耳BCG,

所以尸e平面目BCCl.

所以平面耳BCG「平面DAEE=EF................1分

因?yàn)槠矫娑鶥Cq//平面,平面DQAAI平面2APE=ADt,

所以4〃//EF.

因?yàn)锳G//AB，且。q=A8,

所以四邊形ABC，是平行四邊形.

所以AR//BG.

所以EF//BQ...........................3分

因?yàn)辄c(diǎn)E是CG的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)尸為線段BC的中點(diǎn).

(II)選擇條件①②：

因?yàn)镈R_L平面ABC。，

所以。A_L,DD,1DC.

因?yàn)樗倪呅蜛8CD是正方形，

所以。A1OC.5分

(i)如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

則0(0,0,0),0,(0,0,2),A(2,0,0)2(2,2,0),C(0,2,0)..................6分

第2頁(yè)/共9頁(yè)

所以尸(1,2,0),AD,=(-2,0,2),AF=(-1,2,0)................7分

設(shè)平面DtAFE的法向量為m=(x,y,z),貝lj

AD.m-0,\-2x+2z=0,

<即an｛

AFm=Q.x+2y=0.

令x=2,則y=l,z=2,于是機(jī)=(2,1,2).

...............8分

因?yàn)镺'_L平面ABC。,

所以平面ABC。的法向量為“=（0,0,1）................9分

^fftZcos<m,n>=WM................10分

|m||n|3

由題知，二面角A-A尸-B為鈍角，........11分

2

所以二面角2-A歹的余弦值為一耳.............12分

（ii）因?yàn)?（2,0,0因男（2,2,2）,所以A耳=（0,2,2）.

\1AB.-ml1

所以點(diǎn)一到平面AD.EF的距離為d=,，=2............................14分

\m\

選擇條件①③：

因?yàn)镴_平面ABCD,所以。AJ_D4,DDt1DC.....................2分

因?yàn)槠矫鍹DQ±平面CGR。，平面A4tR￡）|平面CCQ。=Dp,

所以ZM_L平面CGRD................3分

所以D41OC.........................4分

以下同選條件①②.

選擇條件②③不合題意，此時(shí)幾何體不能唯一確定.

（18）（共13分）

164

解：（I）因?yàn)榧讌⒓訉I(yè)能力/項(xiàng)測(cè)試成績(jī)合格的頻率為一=—,……2分

205

4

由頻率估計(jì)概率，估計(jì)甲參加專業(yè)能力/項(xiàng)測(cè)試成績(jī)合格的概率為P（A）=—................3分

5

（II）設(shè)甲參加專業(yè)能力4B,C三項(xiàng)測(cè)試成績(jī)合格分別為事件4,耳,G，由頻率估計(jì)概率，估計(jì)

431

p（A）=j-估計(jì)尸（心）=1，估計(jì)P（G）=]....................4分

根據(jù)題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值為10,5,2,0,且

4313八

尸（X=io）=尸（ABG）=尸（A）尸（即尸（4）=[><7乂3=而;.......5分

第3頁(yè)/共9頁(yè)

——1314117

P(X=5)=P(AB1C1)+P(AB1C1)=-x-x-+-x-x-=—；................6分

54254240

——4313

P(X=2)=P(ARC1)=-x-x-=—;...............7分

54210

9八

P(X=0)=1-P(X=10)-P(X=5)-P(X=2)=—...................8分

40

所以X的分布列為

X02510

P9373

40104010

9373179

所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x—+2x—+5x—+10x—=—=4.475..............10分

4010401040

(III)乙獲得的認(rèn)定分大........11分

理由如下：

設(shè)乙參加專業(yè)能力4B,。三項(xiàng)測(cè)試成績(jī)合格分別為事件。2，由頻率估計(jì)概率，估計(jì)

2

P(A2)=P(B2)=P(C2)=-.

設(shè)y表示乙獲得的認(rèn)定分，隨機(jī)變量y的所有可能取值為io,5,2,o,且

2

2I18

尸（丫=5）=x—x2=——

327

7

；p(y=o)=i-p(y=io)-p(y=5)-p(y=2)=—

27

7488128

所以E(y)=0x——+2x——+5x—+10x——二——?4.74>4.475.

2727272727

所以E(X)<E("所以乙獲得的認(rèn)定分大..............13分

(19)(共15分)

cl

a2,

解：(I)由題設(shè)，<2b=273,...............2分

a2=b2+c2.

解得〃=2,。=石,0=1................4分

22

所以橢圓E的方程為上+2=1.........................5分

43

OP_1

分

(II)~OQ=3........................6

第4頁(yè)/共9頁(yè)

由題意可知A(-2,0),8(2,0),尸(1,0).

33

⑴當(dāng)MNLx軸時(shí)，直線/的方程為x=l,易知"(I,]),N(l,-5).

直線AM的方程為y=g(x+2),所以P(0,l),|OP|=1.

直線的方程為37=5(尤一2),所以。(0,-3),\OQ\=3.

所以禺

........................7分

(ii)當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=七x-l)(AwO).

了十5一

由，得(3+4嚴(yán))/_8左2%+4〃-12=0.

y=k(x-1)

則A=144(%2+1)>0

...............8分

4P-1?

設(shè)加(%，%)，N(x,y),則再+々=々44，&尤2=；/14..................9分

22DI/1/CI'I/v

直線AM的方程為y=U^(x+2),令x=0,則%所以尸(0,2V).

石+2再+2%+2

...............10分

直線BN的方程為y=3^(x-2),令x=0,則〉=二工，所以。?二期之).

入2—2%—2%—2

...............11分

所以|0尸|=鼻，［00=弋.

七十，%一，

所嗯-2)

y2a+2)

%(%—1)(%2—2)玉入22玉入2+2

...............12分

k(x2一1)(石+2)匹入2_%+2%2—2

4k2-nc,8/4k2-6

—X])+2

3+4r-XTjTZF3+4公一、1

可得㈣14分

4fe2-128左212^2-18°3

如_&+2(-x()-2---------5——3x,

3+4423+4k23+4左21

OP1

綜上,........................15分

OQ3

(20)(共15分)

第5頁(yè)/共9頁(yè)

解：⑴因?yàn)?(彳)=尤+￡,

所以尸(尤)=1-二........2分

e

所以尸(0)=1-。，/(0)=a...........................3分

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為y=(1-a)x+。....4分

(II)由題知，/<X)=1-三=三3.

(1)當(dāng)。WO時(shí)，/'(x)>0在區(qū)間［0,1］上恒成立，

所以函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,1］上是增函數(shù).

所以當(dāng)％=0時(shí)，/(X)min=Q?...............6分

(2)當(dāng)〃>0時(shí)，令/(x)=0,即e*-a=O,

所以x=Ina.

①當(dāng)InaWO,即0<aWl時(shí)，尸⑺〉0在區(qū)間(0,1)上恒成立，

所以函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,1］上是增函數(shù).

所以當(dāng)尤=0時(shí)，/(X)min=a?................7分

②當(dāng)Ovlnavl,即l<a<e時(shí)，/(%)與/(x)的情況如下：

X(0,Intz)Ina(Intz,1)

f'M-0+

極小值/

所以當(dāng)x=Ina時(shí)，/(x)min=lna+L...............9分

③當(dāng)Ina?1,即aee時(shí)，f\x)<0在區(qū)間(0,1)上恒成立,

所以函數(shù)/(乃在區(qū)間［0』］上是減函數(shù).

所以當(dāng)x=l時(shí)，/(x)min=1+-.

e

a,QW1,

綜上，/(^min=SIn〃+1,1<^<e,........................11分

a

1H—,a2e.

、e

(III)解法1：設(shè)g(x)=/(ln〃_x)_/(lnq+X)

aa

=lna-x+-..........(InQ+%+--------)

eIna-%'ema+x/

第6頁(yè)/共9頁(yè)

%1

=-2x+e---X-,

所以g")=—2+e，+」.........12分

令//(兀)=-2+e'+^y,貝Uh'(x)=e"--^.

exe'

因?yàn)槿?gt;。，所以e">l,0<丁<1.

e%

所以h\x)>0,即h(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增........13分

又因?yàn)橐怨?>"(0)=0,

所以屋⑴>0.

所以g(x)在(0,+oo)上是單調(diào)遞增.........14分

所以g(%)>g(0)=0.

所以g(x)=/(Ina-x)-/(In〃+%)>0.

所以/(Ina-x)>/(Ina+x).............15分

【解法21g(x)=/(Ina-x)-/(Ina+x)

aa

=\na—x+------(InQ+%+--------)

eIna—%'elna+x/

%1

=-2x+e----,

e%

所以g(x)=-2+e"+4.........12分

e

因?yàn)閤>。，所以e">0,—>0,且e'w--,

e%ex

所以一2+e*+4>2je*」-2=0.........13分

e'Ve"

所以屋(x)>0.

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+℃)上是增函數(shù).........14分

所以g(x)而n>g(0)=0.

所以g(x)=/(Ina-x)-/(Ina+x)>0.

所以/(Ina-x)>/(Ina+x).........15分

(21)(共15分)

解：