北京市海淀區(qū)2024屆中考數(shù)學(xué)仿真試卷含解析

北京市海淀區(qū)名校2024學(xué)年中考數(shù)學(xué)仿真試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.若代數(shù)式/一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

2-x

A.x>2B.x<2C?xw-2D.xw2

2.如圖所示，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，下列條件中能判斷AB〃CD的是（）

A.Z3=ZAB.ZD=ZDCEC.Z1=Z2D.ZD+ZACD=180°

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)N（-l,-2）繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。，得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（1,2）B.（-1,2）

C.（-1,-2）D.（1,-2）

4.用教材中的計(jì)算器依次按鍵如下，顯示的結(jié)果在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置介于（）之間.

____________________ABCDEF

r~nmr^-ii=i-4§』§6ff3>

A.B與CB.C與DC.E與FD.A與B

5.下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（

A.亞B.而

f2（（7--y-4

nI—x

6.如果關(guān)于x的分式方程---3=——有負(fù)數(shù)解，且關(guān)于y的不等式組3y+4無(wú)解，則符合條件的所

x+1x+1—<y+1

有整數(shù)a的和為（）

A.-2B.0C.1D.3

7.若m,n是一元二次方程x2-2x-1=0的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2-m+n的值是（）

A.-1B.3C.-3D.1

8.如圖，數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C,若點(diǎn)A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)，則圖中點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）

ACB

A.-2B.0C.1D.4

9.計(jì)算（-5）-（-3）的結(jié)果等于（）

A.-8B.8C.-2D.2

10.拒絕“餐桌浪費(fèi)”，刻不容緩.節(jié)約一粒米的帳：一個(gè)人一日三餐少浪費(fèi)一粒米，全國(guó)一年就可以節(jié)省32400000斤,

這些糧食可供9萬(wàn)人吃一年32400000”這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.324xlO5B.32.4xl06C.3.24xl07D.0.32xl08.

11.已知空氣的單位體積質(zhì)量是0.001239g/cm3,則用科學(xué)記數(shù)法表示該數(shù)為()

A.1.239x10"8城B.1.239x10-2g/cm3

C.0.1239x102g/cm3D.12.39x104g/cm3

12.如圖，點(diǎn)0(0,3),0(0,0),C(4,0)在。A上，50是。A的一條弦，則cosNOBO=()

3

D.-

5

二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）

13.因式分解：2x-18=.

3Y

14.分式方程一二=1的解為.

x+4

15.如圖，在HfAAOB中，。4=08=4拒.。的半徑為2,點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作。的一條切線PQ（點(diǎn)

。為切點(diǎn)），則線段PQ長(zhǎng)的最小值為

3x-2>x

16.不等式組1的解是

-x<3

12

17.已知函數(shù)y=--1,給出一下結(jié)論：

x

①y的值隨x的增大而減小

②此函數(shù)的圖形與x軸的交點(diǎn)為(1,0)

③當(dāng)x>0時(shí)，y的值隨x的增大而越來(lái)越接近-1

④當(dāng)xS；時(shí)，y的取值范圍是yNl

以上結(jié)論正確的是(填序號(hào))

18.已知某二次函數(shù)圖像的最高點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，請(qǐng)寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)解析式：.

三、解答題：(本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.

19.(6分)如圖，直角坐標(biāo)系中，(DM經(jīng)過原點(diǎn)。(0,0),點(diǎn)A(73.0)與點(diǎn)3(0,-1),點(diǎn)O在劣弧Q4上,

連接50交x軸于點(diǎn)C,且NCOZ>=NCBO.

(1)請(qǐng)直接寫出。”的直徑，并求證平分NA5。；

(2)在線段80的延長(zhǎng)線上尋找一點(diǎn)E,使得直線AE恰好與。M相切，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

20.(6分)如圖，在R3ABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=8,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB-BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),

在AB上以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，在BC上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向

以每秒四個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)求線段AQ的長(zhǎng)；(用含t的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求PQ與△ABC的一邊垂直時(shí)t的值;

(3)設(shè)4APQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(4)當(dāng)△APQ是以PQ為腰的等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值.

21.(6分)如圖，點(diǎn)A,B,C,D在同一條直線上，點(diǎn)E,F分別在直線AD的兩側(cè)，且AE=DF,ZA=ZD,AB=DC.

(1)求證：四邊形BFCE是平行四邊形；

(2)若AD=10,DC=3,NEBD=60。，貝1]BE=時(shí)，四邊形BFCE是菱形.

E

22.（8分）如圖（1）,P為ZkABC所在平面上一點(diǎn)，MZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬

點(diǎn).

（1）如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且NABC=60。.

①求證：AABP^ABCP；

②若PA=3,PC=4,貝!]PB=.

（2）已知銳角△ABC,分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于P點(diǎn).如圖（2）

①求NCPD的度數(shù)；

23.（8分）石獅泰禾某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進(jìn)價(jià)為80元，銷售價(jià)為120元時(shí)，每天可售出20件,

為了迎接“十一”國(guó)慶節(jié)，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，以擴(kuò)大銷售量，增加利潤(rùn)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝

降價(jià)1元，那么平均可多售出2件.設(shè)每件童裝降價(jià)x元時(shí)，每天可銷售件，每件盈利元；（用x的代

數(shù)式表示）每件童裝降價(jià)多少元時(shí)，平均每天贏利1200元.要想平均每天贏利2000元，可能嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.（10分）計(jì)算：（-1）2018-279+|1-A/3|+3tan30°.

25.（10分）如圖，直線1是線段MN的垂直平分線，交線段MN于點(diǎn)O,在MN下方的直線1上取一點(diǎn)P,連接PN,

以線段PN為邊，在PN上方作正方形NPAB,射線MA交直線1于點(diǎn)C,連接BC.

（1）設(shè)/ONP=a,求NAMN的度數(shù)；

（2）寫出線段AM、BC之間的等量關(guān)系，并證明.

26.（12分）某初中學(xué)校舉行毛筆書法大賽,對(duì)各年級(jí)同學(xué)的獲獎(jiǎng)情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)

圖，請(qǐng)結(jié)合圖中相關(guān)數(shù)據(jù)解答下列問題:

請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)全；獲得一等獎(jiǎng)的同學(xué)中

獲獎(jiǎng)人數(shù)扇形統(tǒng)計(jì)圖

圖1圖2

有:來(lái)自七年級(jí)，有次自八年級(jí)，其他同學(xué)均來(lái)自九年級(jí)，現(xiàn)準(zhǔn)備從獲得一等獎(jiǎng)的同學(xué)中任選兩人參加市內(nèi)毛筆書

法大賽，請(qǐng)通過列表或畫樹狀圖求所選出的兩人中既有七年級(jí)又有九年級(jí)同學(xué)的概率.

27.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)丫=履+1?的圖象與丫軸交于點(diǎn)8（0,1）,與反比例函數(shù)y=1的

圖象交于點(diǎn)A（3,-2）.

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式和一次函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn)，且BC=BA,直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo).

5-

4-

3-

2-

1-

i???1?1??

-5-4-3-2-1012345x

-4-

-5-

參考答案

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1、D

【解題分析】

試題解析：要使分式」一有意義，

則Lx邦,

解得：x#L

故選D.

2、C

【解題分析】

由平行線的判定定理可證得，選項(xiàng)A,B,D能證得AC〃BD,只有選項(xiàng)C能證得AB〃CD.注意掌握排除法在選擇

題中的應(yīng)用.

【題目詳解】

A.VZ3=ZA,

本選項(xiàng)不能判斷A5〃。，故A錯(cuò)誤；

B.VZD=ZDCE,

J.AC//BD.

本選項(xiàng)不能判斷A5〃。，故5錯(cuò)誤；

C.,：Z1=Z2,

：.AB//CD.

本選項(xiàng)能判斷AB〃C。，故C正確；

D.；NO+NACZ)=180°,

J.AC//BD.

故本選項(xiàng)不能判斷AB〃a>,故。錯(cuò)誤.

故選：c.

【題目點(diǎn)撥】

考查平行線的判定，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

3、A

【解題分析】

根據(jù)點(diǎn)N(-L-2)繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。，所得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱求解即可.

【題目詳解】

:將點(diǎn)N(-1,-2)繞點(diǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。,

二得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，

?.,點(diǎn)N(-1,-2),

.?.得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2).

故選A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱是解答本題的關(guān)鍵.

4、A

【解題分析】

試題分析：在計(jì)算器上依次按鍵轉(zhuǎn)化為算式為-￡=-1.414…；計(jì)算可得結(jié)果介于-2與-1之間.

故選A.

考點(diǎn)：1、計(jì)算器一數(shù)的開方；2、實(shí)數(shù)與數(shù)軸

5、C

【解題分析】

檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是.

【題目詳解】

A.被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，故A不符合題意，

B.被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，故B不符合題意，

C.被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故C符合題意，

D.被開方數(shù)含分母，故D不符合題意.

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因

數(shù)或因式.

6、B

【解題分析】

2(?-y)?-y-4

nI—x

解關(guān)于y的不等式組3y+4,，結(jié)合解集無(wú)解，確定”的范圍，再由分式方程一--3=—；有負(fù)數(shù)解，

—<y+1x+1x+1

且。為整數(shù)，即可確定符合條件的所有整數(shù)a的值，最后求所有符合條件的值之和即可.

【題目詳解】

2(tz-y)?-y-4

V.2〃+4

由關(guān)于y的不等式組3y+4可整理得4

1丁<，+1b<-2

?.?該不等式組解集無(wú)解,

/?2。+42-2

即生-3

XV—--3=三得*=a-4

x+lX+12

而關(guān)于X的分式方程含-3=￡有負(fù)數(shù)解

：.a-4<l

/.a<4

于是-3<a<4,且a為整數(shù)

?*??=-3、-2、-1、1、1、2、3

則符合條件的所有整數(shù)?的和為1.

故選瓦

【題目點(diǎn)撥】

本題考查的是解分式方程與解不等式組，求各種特殊解的前提都是先求出整個(gè)解集，再在解集中求特殊解，了解求特

殊解的方法是解決本題的關(guān)鍵.

7、B

【解題分析】

把機(jī)代入一元二次方程f-2x-1=0,可得加-2〃-1=0,再利用兩根之和利+〃=2,將式子變形后，整理代

入，即可求值.

【題目詳解】

解：?.?若機(jī)，〃是一元二次方程d—2x-1=0的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，

m2—2m—1=0,m+n=2，

m2—m=l+m

m2—m+n=1+m+n=3

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，及一元二次方程的解，熟記根與系數(shù)關(guān)系的公式.

8、C

【解題分析】

【分析】首先確定原點(diǎn)位置，進(jìn)而可得C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù).

【題目詳解】???點(diǎn)A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)，AB=6

原點(diǎn)在線段AB的中點(diǎn)處，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為3,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為-3,

XVBC=2,點(diǎn)C在點(diǎn)B的左邊，

...點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是1,

故選C.

【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)軸，關(guān)鍵是正確確定原點(diǎn)位置.

9、C

【解題分析】分析：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).依此計(jì)算即可求解.

詳解：(-5)-(-3)=1.

故選：C.

點(diǎn)睛：考查了有理數(shù)的減法，方法指引：①在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，首先弄清減數(shù)的符號(hào)；②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，要

同時(shí)改變兩個(gè)符號(hào)：一是運(yùn)算符號(hào)(減號(hào)變加號(hào))；二是減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)(減數(shù)變相反數(shù)).

10、C

【解題分析】

用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為axion,其中l(wèi)w|a|V10,n為整數(shù)，據(jù)此判斷即可.

【題目詳解】

32400000=3.24x107元.

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為axlOl其中iw|a|<10,確定a與n的值是解題的關(guān)鍵.

11、A

【解題分析】

試題分析：0.001219=1.219x101.故選A.

考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法一表示較小的數(shù).

12、C

【解題分析】

根據(jù)圓的弦的性質(zhì)，連接DC,計(jì)算CD的長(zhǎng),再根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)計(jì)算即可.

【題目詳解】

y.

VD(O,3),C(4,0),

：.OD=3,OC=4,

VZCOP=90°,

CD=^32+42=5,

連接CD,如圖所示：

ZOBD=ZOCDf

?//OC4

..cosXOBD=cosXOCD=-----=—.

CD5

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要三角函數(shù)的計(jì)算，結(jié)合考查圓性質(zhì)的計(jì)算，關(guān)鍵在于利用等量替代原則.

二、填空題：(本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.)

13、2(x+3)(x-3).

【解題分析】

試題分析：先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即2/_/8=2(x2-9)=2(x+3)(x-3).

考點(diǎn)：因式分解.

14、x=l

【解題分析】

分析：分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.

詳解：兩邊都乘以x+4,得：3x=x+4,

解得：x=L

檢驗(yàn)：x=l時(shí)，x+4=6#0,

所以分式方程的解為x=l,

故答案為：x=l.

點(diǎn)睛：此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn).

15、2石

【解題分析】

連接OQ,根據(jù)勾股定理知「。2=。尸-0。2,可得當(dāng)OPLAB時(shí)，即線段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案.

【題目詳解】

連接OQ.

；PQ是。的切線，

：.OQ±PQ;

：.PQ2=OP2-0Q2,

.?.當(dāng)時(shí)，線段OP最短，

/.PQ的長(zhǎng)最短，

?.,在HfAAOB中，OA=OB=472?

AB=y[2OA=8>

產(chǎn)

:.PQ=Jo_OQ2=2上.

故答案為：26.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法,得到PO1AB

時(shí)，線段PQ最短是關(guān)鍵.

16、l<x<6

【解題分析】

分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

【題目詳解】

3x-2>x①

<1?

—x<3②

12

解不等式①，得x>l,

解不等式②，得爛1,

所以不等式組的解集是IVxSl,

故答案是：l<xWL

【題目點(diǎn)撥】

考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不

到(無(wú)解).

17、②③

【解題分析】

(1)因?yàn)楹瘮?shù)丫=!-1的圖象有兩個(gè)分支，在每個(gè)分支上y隨x的增大而減小，所以結(jié)論①錯(cuò)誤；

X

(2)由工一1=0解得：x=l,

X

y=1的圖象與x軸的交點(diǎn)為(1,0),故②中結(jié)論正確；

X

(3)由'=1可知當(dāng)x>0時(shí)，y的值隨x的增大而越來(lái)越接近-1,故③中結(jié)論正確；

X

(4)因?yàn)樵诙?L—1中，當(dāng)尤=-1時(shí)，y=-2,故④中結(jié)論錯(cuò)誤；

x

綜上所述，正確的結(jié)論是②③.

故答案為：②③.

18、>=一%2等

【解題分析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖象最高點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，可以得到aVO,b=0,c=0,所以解析式滿足aVO,b=0,c=0即可.

【題目詳解】

解：根據(jù)二次函數(shù)的圖象最高點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，可以得到aVO,b=0,c=0,

例如：y--x2.

【題目點(diǎn)撥】

此題是開放性試題，考查函數(shù)圖象及性質(zhì)的綜合運(yùn)用，對(duì)考查學(xué)生所學(xué)函數(shù)的深入理解、掌握程度具有積極的意義.

三、解答題：(本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.

19、(1)詳見解析；(2)(2叵，1).

3

【解題分析】

(1)根據(jù)勾股定理可得AB的長(zhǎng)，即。M的直徑，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角可得BD平分NABO；

(2)作輔助構(gòu)建切線AE,根據(jù)特殊的三角函數(shù)值可得NOAB=30。，分別計(jì)算EF和AF的長(zhǎng)，可得點(diǎn)E的坐標(biāo).

【題目詳解】

(1),??點(diǎn)A(若，0)與點(diǎn)B(0,-1),

/.OA=73>OB=1,

AB=+F=2,

；AB是。M的直徑，

.?.(DM的直徑為2,

VZCOD=ZCBO,ZCOD=ZCBA,

.,.ZCBO=ZCBA,

即BD平分/ABO；

(2)如圖，過點(diǎn)A作AEJ_AB于E,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過E作EF^OA于F,即AE是切線,

,在RtAACB中，tanZOAB=,

OA63

：.ZOAB=30°,

,:ZABO=90°,

NOBA=60。，

:.ZABC=ZOBC=-NABO=30°,

2

:.OC=OB?tan30°=lx且=@,

33

2Ji

.\AC=OA-OC=^-

3

:.ZACE=ZABC+ZOAB=60°,

/.ZEAC=60°,

.,.△ACE是等邊三角形，

.,.AE=AC=^^,

3

.?.AF」AE=走，EF=^AE=L

232

7J3

,\OF=OA-AF=^-,

3

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2叵，1).

3

【題目點(diǎn)撥】

此題屬于圓的綜合題，考查了勾股定理、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí).注意準(zhǔn)確作出

輔助線是解此題的關(guān)鍵.

124

20、(1)473-V3t；(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與△ABC的一邊垂直時(shí)t的值是t=0或歷或不；(3)S與

-2舟+8瘋(0W1)

(4)t的值為|■或

t的函數(shù)關(guān)系式為：S=<

V3?2-7^Z+12^(l<r<3)

【解題分析】

分析：(1)根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，然后由AQ=ACCQ求解即可；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與△ABC的一邊垂直，有三種情況：當(dāng)Q在C處，P在A處時(shí)，PQ1BC；當(dāng)

PQ_LAB時(shí)；當(dāng)PQJ_AC時(shí)；分別求解即可；

(3)當(dāng)P在AB邊上時(shí)，即OWtSl,作PGLAC于G,或當(dāng)P在邊BC上時(shí)，即1<乜3,分別根據(jù)三角形的面積求

函數(shù)的解析式即可；

(4)當(dāng)AAPQ是以PQ為腰的等腰三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)P在邊AB上時(shí)，作PGJ_AC于G,貝！|AG=GQ,

列方程求解；②當(dāng)P在邊AC上時(shí)，AQ=PQ,根據(jù)勾股定理求解.

詳解：(1)如圖1,

B

R3ABC中，ZA=30°,AB=8,

1

；.BC=-AB=4,

2

?*-AC=[g—42=764-16=473，

由題意得：CQ=6t，

?,AQ=4-^3-t；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與4ABC的一邊垂直，有三種情況:

①當(dāng)Q在C處，P在A處時(shí)，PQ1BC,此時(shí)t=0；

②當(dāng)PQLAB時(shí)，如圖2,

；AQ=4逝-用，AP=8t,ZA=30°,

，/30。=廿=目

AQ2

Sty/3

,?40-也J2'

12

19

③當(dāng)PQ,AC時(shí)，如圖3,

VAQ=4V3-V3t,AP=8t,ZA=30°,

.,.cos30°=^=—,

AP2

.4百-四6

??---------------------

8/2

4

f=—?

5，

124

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與△ABC的一邊垂直時(shí)t的值是t=0或歷或《；

(3)分兩種情況：

①當(dāng)P在AB邊上時(shí)，即0MW1,如圖4,作PGLAC于G,

VZA=30°,AP=8t,NAGP=90°,

，PG=4t,

?,.SAAPQ=-AQ?PG=-(473-t)?4t=-2逐t?+8也t；

②當(dāng)P在邊BC上時(shí)，即1<好3,如圖5,

,\PC=4-2(t-1)=-2t+6,

，SAAPQ=：AQ?PC=；(473-石t)(-2t+6)t2-7^+1273;

-2^2+8A/3/(O<?<1)

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=

封2-74+12G(1</V3)

(4)當(dāng)AAPQ是以PQ為腰的等腰三角形時(shí)，有兩種情況:

①當(dāng)P在邊AB上時(shí)，如圖6,

B

p

AGQC

圖6

AP=PQ,作PG_LAC于G,貝1]AG=GQ,

VZA=30°,AP=8t,ZAGP=90°,

；.PG=4t,

/.AG=4V3t,

由AQ=2AG得：473-gt=86t,t=1,

②當(dāng)P在邊AC上時(shí)，如圖7,AQ=PQ,

t=G或-G(舍)，

綜上所述，t的值為，或

點(diǎn)睛：此題主要考查了三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題，用到勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)等知

識(shí)，是一道比較困難的綜合題，關(guān)鍵是合理添加輔助線，構(gòu)造合適的方程求解.

21、(1)證明見試題解析；(2)1.

【解題分析】

試題分析：(1)由AE=DF,ZA=ZD,AB=DC,易證得△AEC^ADFB,即可得BF=EC,ZACE=ZDBF,且EC〃BF,

即可判定四邊形BFCE是平行四邊形；

(2)當(dāng)四邊形BFCE是菱形時(shí)，BE=CE,根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

試題解析：(1)：AB=DC,.*.AC=DB,

AC=DB

在△AEC和ADFB中｛NA=ZD,r.△AEC絲△DFB(SAS),

AE=DF

/.BF=EC,ZACE=ZDBF,.*.EC#BF,二四邊形BFCE是平行四邊形;

(2)當(dāng)四邊形BFCE是菱形時(shí)，BE=CE,VAD=10,DC=3,AB=CD=3,

/.BC=10-3-3=1,；NEBD=60°,/.BE=BC=1,

.?.當(dāng)BE=1時(shí)，四邊形BFCE是菱形，

故答案為1.

【考點(diǎn)】

平行四邊形的判定；菱形的判定.

22、(1)①證明見解析；②2書;(2)①60。；②證明見解析；

【解題分析】

試題分析：(1)①根據(jù)題意，利用內(nèi)角和定理及等式性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；

②由三角形ABP與三角形BCP相似，得比例，將PA與PC的長(zhǎng)代入求出PB的長(zhǎng)即可；

(2)①根據(jù)三角形ABE與三角形ACD為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，兩個(gè)角為60。，利用

等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACE與三角形ABD全等,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到N1=N2,

再由對(duì)頂角相等，得到N5=N6,即可求出所求角度數(shù)；

②由三角形ADF與三角形CPF相似，得到比例式，變形得到積的恒等式，再由對(duì)頂角相等，利用兩邊成比例，且夾

角相等的三角形相似得到三角形AFP與三角形CFD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到NAPF為60。，由

ZAPD+ZDPC,求出NAPC為120。，進(jìn)而確定出NAPB與NBPC都為120。，即可得證.

試題解析：(1)證明：@VZPAB+ZPBA=180°-ZAPB=60°,ZPBC+ZPBA=ZABC=60°,

:.NPAB=NPBC,

又；ZAPB=ZBPC=120°,

/.△ABP^ABCP,

②解：VAABP^ABCP,

.絲_竺

PB—PC9

.*.PB2=PA?PC=12,

，PB=2'

(2)解：①?.'△ABE與AACD都為等邊三角形，

.\ZBAE=ZCAD=60°,AE=AB,AC=AD,

:.ZBAE+ZBAC=ZCAD+ZBAC,即ZEAC=ZBAD,

在小ACE^DAABD中，

IAC=AD

NEAC=々BAD

lEA=AB，

/.△ACE^AABD(SAS),

/.Z1=Z2,

?/N3=N4,

/.ZCPD=Z6=Z5=60°；

②證明：,/△ADF^ACFP,

.,.AF?PF=DF?CF,

；NAFP=NCFD,

/.△AFP^ACDF.

/.ZAPF=ZACD=60°,

，ZAPC=ZCPD+ZAPF=120°,

.,.ZBPC=120°,

，NAPB=360。-ZBPC-ZAPC=120°,

.??P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

考點(diǎn)：相似形綜合題

23、(1)(20+2x),(40-x)；(2)每件童裝降價(jià)20元或10元，平均每天贏利1200元；(3)不可能做到平均每天盈利

2000元.

【解題分析】

(1)、根據(jù)銷售量=原銷售量+因價(jià)格下降而增加的數(shù)量；每件利潤(rùn)=原售價(jià)一進(jìn)價(jià)一降價(jià)，列式即可；

(2),根據(jù)總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)x數(shù)量，列出方程即可；(3)、根據(jù)⑵中的相關(guān)關(guān)系方程，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根即可.

【題目詳解】

(1),設(shè)每件童裝降價(jià)x元時(shí)，每天可銷售20+2x件，每件盈利40-x元，

故答案為(20+2x),(40-x)；

(2)、根據(jù)題意可得：(20+2x)(40-x)=1200,

解得：占=10,x2=20,

即每件童裝降價(jià)10元或20元時(shí)，平均每天盈利1200元;

2

(3)、(2O+2X)(4O-x)=2000,x-30x+600=0,

?.?此方程無(wú)解,

，不可能盈利2000元.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查的是一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用問題，屬于中等難度題型.解決這個(gè)問題的關(guān)鍵就是要根據(jù)題意列出方程.

24、-6+2g"

【解題分析】

分析：直接利用二次根式的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值分別化簡(jiǎn)求出答案.

詳解：原式=1-6+6-1+3x1

3

=-5+73-1+73

=-6+273.

點(diǎn)睛：此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

25、(1)45°(2)AM=?BC，理由見解析

【解題分析】

(1)由線段的垂直平分線的性質(zhì)可得PM=PN,PO±MN,由等腰三角形的性質(zhì)可得NPMN=NPNM=a,由正方

形的性質(zhì)可得AP=PN,ZAPN=90°,可得NAPO=a,由三角形內(nèi)角和定理可求NAMN的度數(shù)；

(2)由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得“N=AN=y/2BN>ZMNC=ZANB=45°,可證

△CBN^AMAN,可得4河=同。.

【題目詳解】

解：(1)如圖，連接MP,

?.?直線1是線段MN的垂直平分線,

.\PM=PN,PO±MN

.?.NPMN=NPNM=a

.\ZMPO=ZNPO=90o-a,

四邊形ABNP是正方形

，AP=PN,ZAPN=90°

；.AP=MP,NAPO=90。一(90°-a)=a

/.ZAPM=ZMPO-ZAPO=(90°-a)-a=90°-2a,

；AP=PM

180°—(90°-2a)

ZPMA^ZPAM=-------------------=45°+a,

2

.,.ZAMN=ZAMP-ZPMN=45°+a-a=