2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚中第二高級中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚中第二高級中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5＝11，S12＝186，則a8＝（）A．18 B．20 C．21 D．222．（5分）某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布N（105，σ2）（σ＞0），試卷滿分150分，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的15，則此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105A．150 B．200 C．300 D．4003．（5分）某快餐店并排有7個座位，甲、乙、丙三位顧客就餐，每人必須選擇且只能選擇一個座位，要求兩端座位不能坐人，并且連續(xù)空座至多有2個，則不同的坐法有（）A．24種 B．36種 C．48種 D．56種4．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過雙曲線C上任意一點P分別作CA．3 B．3或324 C．324 D5．（5分）已知正四棱錐P﹣ABCD的底面邊長為22，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點P，A，B，C，D在球O的球面上，則球OA．16π B．323π C．8π D6．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B為圓C：（x﹣m）2+（y+2）2＝4上兩個動點，且|AB|＝23，若直線l：y＝﹣2x上存在唯一的一個點P，使得OC→=PAA．1+5或1-5 B．﹣1+5或﹣C．5-1或5+1 D．-5+7．（5分）若函數(shù)f（x）＝lnx+ax2﹣2x在區(qū)間（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，38] B．（38，12） C．（12，+∞） D8．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列中的每一項an可取1或2，且an取1和取2的概率均為12，則S11.能被3A．13 B．85256 C．3411024 二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為q＞1，其前n項和為Sn，若a5﹣a1＝15，a2?a4＝16，則下列說法正確的是（）A．Sn+1＝2Sn+1 B．a(chǎn)n＝2n C．?dāng)?shù)列{log3（Sn+1）}是等比數(shù)列 D．對任意的正整數(shù)k（k為常數(shù)），數(shù)列{log2（Sn+k﹣Sn）}是公差為1的等差數(shù)列（多選）10．（5分）已知甲罐中有四個相同的小球，標(biāo)號1，2，3，4；乙罐中有五個相同的小球，標(biāo)號為1，2，3，5，6．現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件A＝“抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于5”，事件B＝“抽取的兩個小球標(biāo)號之積大于8”，則（）A．事件A發(fā)生的概率為12B．事件A∪B發(fā)生的概率為1120C．事件A∩B發(fā)生的概率為25D．從甲罐中抽到標(biāo)號為2的小球的概率為1（多選）11．（5分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在陽馬P﹣ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝1，AD＝1，CD＝2，則下列結(jié)論正確的有（）A．四面體P﹣ACD是鱉臑 B．陽馬P﹣ABCD的體積為23C．若BQ→=2D．D到平面PAC的距離為2（多選）12．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為233，右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓AA．漸近線方程為y＝±3x B．漸近線方程為y＝±33xC．∠MAN＝60° D．∠MAN＝120°三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13．（5分）已知隨機變量滿足P（ξ＝x）＝ax+b（x＝﹣1，0，1），其中a，b∈R．若E(ξ)=13，則D（ξ14．（5分）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下描述：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一．”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍．請問塔頂層有盞燈，塔底層有盞燈．15．（5分）如圖，在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AC＝BC＝2，AC⊥BC，D為線段AB的中點，E為側(cè)棱SB上一動點．若SE＝EB，則異面直線CE與SA所成角的余弦值為；當(dāng)△CDE的面積最小時，DE＝．16．（5分）若ax2+bx﹣lnx﹣1≥0對于x∈（0，+∞）恒成立．當(dāng)a＝0時，b的最小值為；當(dāng)a＞0時，ba的最小值是四、解答題：本大題共6小題，共70分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)下列結(jié)果：（1）4只鞋子沒有成雙的；（2）4只鞋子恰有兩雙；（3）4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙．18．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an+Sn＝1，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足bn＝﹣log2an．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)cn=an+2bn+2bnbn+119．（12分）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°．SD⊥平面ABCD，M是SA的中點，AD＝SD＝CD＝2AB＝2．（Ⅰ）證明：DM⊥平面SAB；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的大??；（Ⅲ）線段SC上是否存在一點E，使得直線SA∥平面BDE．若存在，確定E點的位置；若不存在，說明理由．20．（12分）網(wǎng)上購物就是通過互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息，并通過電子訂購單發(fā)出購物請求，廠商通過郵購的方式發(fā)貨或通過快遞公司送貨上門，貨到后通過銀行轉(zhuǎn)賬、微信或支付寶支付等方式在線匯款．根據(jù)2019年中國消費者信息研究，超過40%的消費者更加頻繁地使用網(wǎng)上購物，使得網(wǎng)上購物和送貨上門的需求量激增，越來越多的消費者也首次通過第三方APP、品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺進行購物．某天貓專營店統(tǒng)計了2020年8月5日至9日這5天到該專營店購物的人數(shù)y和時間第x天間的數(shù)據(jù)，列表如表：xi12345yi75849398100（1）由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與時間x之間的關(guān)系？若可用，估計8月10日到該專營店購物的人數(shù)（人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)；若|r|＞0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合，計算r時精確到0.01）．參考數(shù)據(jù)：4340≈65.88附：相關(guān)系數(shù)r=i=1n(（2）運用分層抽樣的方法從第1天和第5天到該專營店購物的人中隨機抽取7人，再從這7人中任取3人進行獎勵，求這3人取自不同天的概率；（3）該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案：方案一，購物金額每滿100元可減10元；方案二，一次性購物金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率均為13，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8折，中獎三次打6某顧客計劃在此專營店購買1000元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lnx+ax+1．（1）若f（x）在x＝1處有極值，求實數(shù)a的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)f（x）有兩個零點，求實數(shù)a的范圍．22．（12分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，過點P（0，6）且斜率為1的直線l交雙曲線C于（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)Q為雙曲線C右支上的一個動點，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點，在x軸的負半軸上是否存在定點M，使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚中第二高級中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5＝11，S12＝186，則a8＝（）A．18 B．20 C．21 D．22【解答】解：由數(shù)列的性質(zhì)得a1+a12＝a5+a8又因為S12=122×（a1所以a1+a12＝a5+a8＝31因為a5＝11所以a8＝20故選：B．2．（5分）某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布N（105，σ2）（σ＞0），試卷滿分150分，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的15，則此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105A．150 B．200 C．300 D．400【解答】解：∵P（X≤90）＝P（X≥120）＝0.2，∴P（90≤X≤120）＝1﹣0.4＝0.6，∴P（90≤X≤105）=12P（90≤X≤120）＝∴此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為1000×0.3＝300．故選：C．3．（5分）某快餐店并排有7個座位，甲、乙、丙三位顧客就餐，每人必須選擇且只能選擇一個座位，要求兩端座位不能坐人，并且連續(xù)空座至多有2個，則不同的坐法有（）A．24種 B．36種 C．48種 D．56種【解答】解：根據(jù)題意，假設(shè)7個座位依次為1、2、3、4、5、6、7，要求兩端座位不能坐人，則甲乙丙只能在2、3、4、5、6號入座，有A53＝60種排法，其中3個空位相連，有2×A33＝12種排法，則有60﹣12＝48種連續(xù)空座至多有2個的坐法；故選：C．4．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過雙曲線C上任意一點P分別作CA．3 B．3或324 C．324 D【解答】解：(2x2由6﹣3r＝0，可得r＝2，則(2x2設(shè)雙曲線的半焦距為c，則c＝3．設(shè)P（x0，y0），則x02aP到兩條漸近線的距離分別為|PA|=|bx0-a∴|PA|?|PB|=|bx∴a2b2＝8，又a2+b2＝c2＝9，解得a=1b=2∴e=ca=3故選：B．5．（5分）已知正四棱錐P﹣ABCD的底面邊長為22，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點P，A，B，C，D在球O的球面上，則球OA．16π B．323π C．8π D【解答】解：在正四棱錐P﹣ABCD中，連接AC，BD，AC∩BD＝O'，連PO'，如圖，易知PO'⊥平面ABCD，∴∠PAO'為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，∴∠PAO'＝45°，∴O'∴頂點P，A，B，C，D在以O(shè)'為球心，2為半徑的球面上，即點O與O'重合，∴球O的體積是V=故選：B．6．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B為圓C：（x﹣m）2+（y+2）2＝4上兩個動點，且|AB|＝23，若直線l：y＝﹣2x上存在唯一的一個點P，使得OC→=PAA．1+5或1-5 B．﹣1+5或﹣C．5-1或5+1 D．-5+【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點M（x1+x圓C：（x﹣m）2+（y+2）2＝4的圓心C（m，﹣2），半徑r＝2，圓心C到AB的距離|CM|=22直線l：y＝﹣2x上存在唯一的一個點P，使得OC→設(shè)P（x，﹣2x），則（x1﹣x，y1+2x）+（x2﹣x，y2+2x）＝（m，﹣2），∴x1+x2﹣2x＝m；y1+y2+4x＝﹣2；∴x1+x22=x+m∴M（x+m2，﹣1﹣2∴|CM|=(x整理，得5x2﹣（4+m）x+m2∵直線l：y＝﹣2x上存在唯一的一個點P，使得OC→∴Δ＝[（4+m）]2﹣4×5×m2整理，得m2﹣2m﹣4＝0，解得m＝1+5或m＝1-故選：A．7．（5分）若函數(shù)f（x）＝lnx+ax2﹣2x在區(qū)間（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，38] B．（38，12） C．（12，+∞） D【解答】解：由函數(shù)f（x）＝lnx+ax2﹣2x可得f′（x）=1x+2ax若f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在x∈（1，2）恒成立，即a≥1x-12x2在令g（x）=1x-12x2由1x∈（12，∴g（x）＜g（1）=1故a≥1即實數(shù)a的取值范圍是[12，+故選：D．8．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列中的每一項an可取1或2，且an取1和取2的概率均為12，則S11.能被3A．13 B．85256 C．3411024 【解答】解：由古典概型可知，數(shù)列{an}（1≤n≤11）共有211種情況，Sn能被3整除，有以下4種情況：①{an}中有10個1，1個2，有C1110②{an}中有7個1，4個2，有C117③{an}中有4個1，7個2，有C114④{an}中有1個1，10個2，有C111所以，Sn被3整除的概率為11+330+330+112故選：C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為q＞1，其前n項和為Sn，若a5﹣a1＝15，a2?a4＝16，則下列說法正確的是（）A．Sn+1＝2Sn+1 B．a(chǎn)n＝2n C．?dāng)?shù)列{log3（Sn+1）}是等比數(shù)列 D．對任意的正整數(shù)k（k為常數(shù)），數(shù)列{log2（Sn+k﹣Sn）}是公差為1的等差數(shù)列【解答】解：因為公比為q＞1，由a可得a1q4所以4q4﹣15q2﹣4＝0，解得q2＝4，所以a1=1q=2，所以an＝2n﹣1，Sn＝2所以Sn+1＝2n+1﹣1＝2Sn+1，Sn+1＝2n，所以log3（Sn+1）＝nlog32，所以數(shù)列{log3（Sn+1）}是等差數(shù)列，對任意的正整數(shù)n，k，Sn+k﹣Sn＝2n+k﹣2n＝（2k﹣1）2n，所以數(shù)列l(wèi)og2（Sn+k﹣Sn）＝n+log2（2k﹣1），所以數(shù)列{log2（Sn+k﹣Sn）}是公差為1的等差數(shù)列，故正確的為AD．故選：AD．（多選）10．（5分）已知甲罐中有四個相同的小球，標(biāo)號1，2，3，4；乙罐中有五個相同的小球，標(biāo)號為1，2，3，5，6．現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件A＝“抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于5”，事件B＝“抽取的兩個小球標(biāo)號之積大于8”，則（）A．事件A發(fā)生的概率為12B．事件A∪B發(fā)生的概率為1120C．事件A∩B發(fā)生的概率為25D．從甲罐中抽到標(biāo)號為2的小球的概率為1【解答】解：甲罐中在四個相同的小球，標(biāo)號1，2，3，4；乙罐中有五個相同的小球，標(biāo)號為1，2，3，5，6．現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件A＝“抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于5”，事件B＝“抽取的兩個小球標(biāo)號之積大于8”，對于A，從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，基本事件總數(shù)n＝4×5＝20，事件A包含的基本事件有：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，3），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6），共11個，∴P（A）=1120，故對于B，事件A∪B包含的基本事件有：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，3），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6），共11個，∴P（B）=1120，故對于C，事件A∩B包含的基本事件有（2，5），（2，6），（3，3），（3，5），（3，6），（4，3），（4，5），（4，6），共8個，∴P（C）=8對于D，從甲罐中抽到標(biāo)號為2的小球的概率為p=1×520=故選：BC．（多選）11．（5分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在陽馬P﹣ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝1，AD＝1，CD＝2，則下列結(jié)論正確的有（）A．四面體P﹣ACD是鱉臑 B．陽馬P﹣ABCD的體積為23C．若BQ→=2D．D到平面PAC的距離為2【解答】解：連接AC，∵△PAC中，PA=∴△PAC不是直角三角形，∴四面體P﹣ACD不是鱉臑，∴A錯；∵VP-ABCD∵DQ→=2設(shè)D到平面PAC的距離為d，∴S△由13?32?d=13×1×2故選：BCD．（多選）12．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為233，右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓AA．漸近線方程為y＝±3x B．漸近線方程為y＝±33xC．∠MAN＝60° D．∠MAN＝120°【解答】解：由題意可得e=ca=233，可設(shè)c＝2t，a=則b=c2-a2=t，A圓A的圓心為（3t，0），半徑r為t，雙曲線的漸近線方程為y＝±bax，即y＝±33圓心A到漸近線的距離為d=|3弦長|MN|＝2r2-d2=2可得三角形MNA為等邊三角形，即有∠MAN＝60°．故選：BC．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13．（5分）已知隨機變量滿足P（ξ＝x）＝ax+b（x＝﹣1，0，1），其中a，b∈R．若E(ξ)=13，則D（ξ【解答】解：由已知可得：P（ξ＝﹣1）＝﹣a+b，P（ξ＝0）＝b，P（ξ＝1）＝a+b，則﹣a+b+b+a+b＝1，即b=1又E（ξ）＝﹣1×（﹣a+b）+0×b+1×（a+b）=13，所以a所以ξ的分布列如下：ξ﹣101P161312所以D（ξ）=16（﹣1-13）2+13（0-13）2故答案為：5914．（5分）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下描述：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一．”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍．請問塔頂層有3盞燈，塔底層有192盞燈．【解答】解：設(shè)從上向下的燈的數(shù)記為{an}，則數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列且S7=a1解可得，a1＝3，所以a7＝3×26＝192．故答案為：3，19215．（5分）如圖，在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AC＝BC＝2，AC⊥BC，D為線段AB的中點，E為側(cè)棱SB上一動點．若SE＝EB，則異面直線CE與SA所成角的余弦值為33；當(dāng)△CDE的面積最小時，DE＝63【解答】解：∵D、E分別為AB、SB的中點，∴DE∥SA，∴∠CED或其補角為異面直線CE與SA所成的角，∵SA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥CD，∵DE=12SA＝1，CD=12AB=在Rt△CDE中，cos∠CED=DE∴異面直線CE與SA所成角的余弦值為33∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥CD，在等腰Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點，∴CD⊥AB，∵SA∩AB＝A，SA、AB?平面SAB，∴CD⊥平面SAB，∵DE?平面SAB，∴CD⊥DE，∴S△CDE=12CD?DE=要使△CDE的面積最小，則DE最小，此時DE⊥SB，在Rt△SAB中，SB=SA2+AB在Rt△DEB中，DE＝BD?sin∠SBA=2故答案為：33；616．（5分）若ax2+bx﹣lnx﹣1≥0對于x∈（0，+∞）恒成立．當(dāng)a＝0時，b的最小值為1；當(dāng)a＞0時，ba的最小值是-1【解答】解：ax2+bx﹣lnx﹣1≥0對于x∈（0，+∞）恒成立，等價于lnx+1x≤ax+b對于x∈（0令f（x）=lnx+1x，則f′（x令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得x＞1，故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，故f（x）max＝f（1）＝1，因為lnx+1x≤ax+b對于x∈（0只需y＝ax+b≥1在（0，+∞）恒成立即可，①a＝0時，y＝b≥1，故b的最小值是1，②a＞0時，令ax+b＝0，解得x=-ba取最小值時，直線y＝ax+b在x令f（x）＝0，解得：x=1e，故即ba的最小值是-故答案為：1；-1四、解答題：本大題共6小題，共70分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)下列結(jié)果：（1）4只鞋子沒有成雙的；（2）4只鞋子恰有兩雙；（3）4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙．【解答】解：（1）從10雙鞋子中選取4雙，有C10每雙鞋子中各取一只，分別有2種取法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，選取種數(shù)為N=C104×2（2）從10雙鞋子中選2雙有C102種取法，即有（3）先選取一雙有C101種選法，再從9雙鞋中選取2雙有C每雙鞋只取一只各有2種取法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法為N=C101C918．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an+Sn＝1，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足bn＝﹣log2an．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)cn=an+2bn+2bnbn+1【解答】解：（1）由an+Sn＝1，n∈N*，可得a1+S1＝a1+a1＝1，解得a1=1n≥2時，an﹣1+Sn﹣1＝1，又an+Sn＝1，兩式相減可得an﹣an﹣1+Sn﹣Sn﹣1＝0，即為an﹣an﹣1+an＝0，即an=12an﹣可得an=12?（12）n﹣1＝（1數(shù)列{bn}滿足bn＝﹣log2an＝﹣log2（12）n＝n（2）證明：cn=an所以Tn=12[12=12[1219．（12分）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°．SD⊥平面ABCD，M是SA的中點，AD＝SD＝CD＝2AB＝2．（Ⅰ）證明：DM⊥平面SAB；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的大??；（Ⅲ）線段SC上是否存在一點E，使得直線SA∥平面BDE．若存在，確定E點的位置；若不存在，說明理由．【解答】（本小題滿分14分）證明：（Ⅰ）因為SD⊥平面ABCDDA，DC?平面ABCD．所以SD⊥DA，SD⊥DC，又DA⊥DC．如圖，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系．由題意得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2），M（1，0，1），所以DM→=(1，0，所以DM→?SA所以DM⊥SA，DM⊥AB，所以DM⊥平面SAB．解：（Ⅱ）設(shè)平面SBC的法向量為n→=（x，y，因為SC→所以SC→?n令x＝1，則y＝2，z＝2．于是n→=（1，2，因為DM⊥平面SAB，所以DM→為平面SAB又DM→所以cos＜n因為所求二面角為鈍角，所以二面角A﹣SB﹣C大小為135o．（Ⅲ）設(shè)SE→DE→DB→=(2，設(shè)平面BDE的法向量n2→=（x0，y0，則DE→?n令x0＝1﹣λ，y0＝﹣2+2λ，z0＝2λ．于是m→=（1﹣λ，﹣2+2λ，2如果直線SA∥平面BDE，那么SA→?m→=所以，存在點E為線段SC靠近S點的三等分點，使得直線SA∥平面BDE．20．（12分）網(wǎng)上購物就是通過互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息，并通過電子訂購單發(fā)出購物請求，廠商通過郵購的方式發(fā)貨或通過快遞公司送貨上門，貨到后通過銀行轉(zhuǎn)賬、微信或支付寶支付等方式在線匯款．根據(jù)2019年中國消費者信息研究，超過40%的消費者更加頻繁地使用網(wǎng)上購物，使得網(wǎng)上購物和送貨上門的需求量激增，越來越多的消費者也首次通過第三方APP、品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺進行購物．某天貓專營店統(tǒng)計了2020年8月5日至9日這5天到該專營店購物的人數(shù)y和時間第x天間的數(shù)據(jù)，列表如表：xi12345yi75849398100（1）由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與時間x之間的關(guān)系？若可用，估計8月10日到該專營店購物的人數(shù)（人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)；若|r|＞0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合，計算r時精確到0.01）．參考數(shù)據(jù)：4340≈65.88附：相關(guān)系數(shù)r=i=1n(（2）運用分層抽樣的方法從第1天和第5天到該專營店購物的人中隨機抽取7人，再從這7人中任取3人進行獎勵，求這3人取自不同天的概率；（3）該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案：方案一，購物金額每滿100元可減10元；方案二，一次性購物金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率均為13，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8折，中獎三次打6某顧客計劃在此專營店購買1000元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠．【解答】解：（1）由表中的數(shù)據(jù)可得，x=3i=15(x故r=i所以變量y與x具有很強的線性相關(guān)性，故可以用線性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)x之間的關(guān)系，所以b?a?=y-b?x=所以y?=6.4x令x＝6，則有y?=故8月10日到該專營店購物的人數(shù)為109人；（2）因為75：100＝3：4，所以第1天和第5天取的人數(shù)分別為3人和4