上海市金山區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

上海市金山區(qū)2024屆高三二模試題

-=i=---皿.J憶

高三數(shù)學(xué)

（滿分：150分，完卷時(shí)間：120分鐘）

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在

本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生

應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.

1.已知集合〃={L3,5,7,9},N4|2，=8},則“心.

I

2.已知向量￡=（1，-3）,b=（m,V）!若。,0,則實(shí)數(shù)加的值為.

2+%

/（X）=log2

3.函數(shù)一1-X的定義域?yàn)?/p>

4.已知復(fù)數(shù)z滿足z+2z=3—i,則z的模為

5.設(shè)公比為2的等比數(shù)列伍"}的前九項(xiàng)和為S",若S2024-S2022=6,則“2024=.

6.如圖，長(zhǎng)方體ABC?！狝4Goi的體積是120,￡為cq的中點(diǎn)，則三棱錐的體積是.

7,設(shè)/⑴=三+加+弋詔勺，若y=/（尤）為奇函數(shù)，則曲線＞=/（尤）在點(diǎn)（°，°）處的切線方程為

22

C:二上=1

8.已知雙曲線/b。（a>0,b>0）,給定的四點(diǎn)《（4,-3）、2（3,4）、鳥(niǎo)（-4,3）、2（—2,0）中

恰有三個(gè)點(diǎn)在雙曲線c上，則該雙曲線C的離心率是.

9.為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下圖所示列聯(lián)表:

疾病

藥物合計(jì)

未患病患病

服用m50—m50

未服用80—mm—3050

合計(jì)8020100

取顯著性水平a=0.05,若本次考察結(jié)果支持“藥物對(duì)疾病預(yù)防有顯著效果，，，則加（機(jī)“40,meN）的最

小值為.

2_n（ad-bc）2

（參考公式：Z—（a+?（c+d）（a+c）S+d）；參考值：P（/2>3,841）?0.05）

io.在（1+呼。+城的展開(kāi)式中，記X"?"項(xiàng)的系數(shù)為貝i]/（3，°）+/（2」）=.

11.某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段5C、8是救生棧道的一部分，其中

BC=300/71,CD=800m,B在A的北偏東30°方向，C在A的正北方向，。在A的北偏西80°方

向，且？390?.若救生艇在A處載上遇險(xiǎn)游客需要盡快抵達(dá)救生棧道3-C-0,則最短距離為

__________m.（結(jié)果精確到1m）

一___...2

12.已知平面向量。、b、c滿足：1。1=1切=1,a-c=b-c=l,則a"+c的最小值為

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每

題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

22

%-1

2--------1---------1

13.若拋物線曠=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓164的一個(gè)頂點(diǎn)，則"的值為().

A.2B.3C.4D.8

14.下列說(shuō)法不正確的是().

A.一組數(shù)據(jù)10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位數(shù)為14

B.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,〃)，且P(X<4)=0.7,則尸(3<X<4)=02

C.若線性相關(guān)系數(shù)H越接近1,則兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越高

D.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x、y,且回歸方程為y=0.3x—7%，若樣本點(diǎn)的中心為(根,2.8),則實(shí)數(shù)

m的值是—4

15.如圖，點(diǎn)N為正方形A3CD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD，平面A3CD,M是線段ED

的中點(diǎn)，則以下命題中正確的是().

A.BM=ENB.CD±MN

CA、M、N三點(diǎn)共線D,直線與EN相交

16.設(shè)/(x)=x3—3x,有如下兩個(gè)命題：

①函數(shù)y=/(x)的圖象與圓好+丁=1有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)；

②存在唯一的正方形ABCD,其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)y=/(x)的圖象上.

則下列說(shuō)法正確是().

A.①正確，②正確B.①正確，②不正確

C.①不正確，②正確D.①不正確，②不正確

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要

的步驟.

17已知函數(shù)y=/(x),記/(x)=sin(ox+0),。＞0,。＜。＜兀，xeR.

(1)若函數(shù)y=/(x)的最小正周期為兀，當(dāng)/弓)=1時(shí)，求。和夕的值；

JT

(2)若。=1,(p=-,函數(shù)y=/2(x)—2/(x)—a有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形A3CD(及其內(nèi)部)以A5邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)

120°得到的，點(diǎn)G是￡)尸的中點(diǎn)，點(diǎn)P在CE上，異面直線與AD所成的角是30°.

-----------------10

(1)求證：AELBP-,

(2)若AB=3,AD=2,求二面角￡—AG—C大小.

19.有標(biāo)號(hào)依次為1,2,n(n＞2,neN)九個(gè)盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有3個(gè)紅球和3個(gè)白

球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球.現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再?gòu)?號(hào)盒子里取

出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，…，依次進(jìn)行到從n-1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入九號(hào)盒子為止.

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；

(2)設(shè)九號(hào)盒子中紅球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,,求X3的分布及石(乂3),并猜想E(X〃)的值(無(wú)需證明此

猜想).

22

20.己知橢圓「:?+事=1的右焦點(diǎn)為F，直線/與橢圓「交于不同的兩點(diǎn)〃(占,%)、

(1)證明：點(diǎn)M到右焦點(diǎn)尸的距離為2-五；

2

(2)設(shè)點(diǎn)Q(0,5),當(dāng)直線/的斜率為且。歹與QM+QN平行時(shí)，求直線/的方程；

(3)當(dāng)直線/與x軸不垂直，且△肱兩的周長(zhǎng)為4時(shí)，試判斷直線/與圓C:x?+J/=3的位置關(guān)系，并

證明你的結(jié)論.

21.已知函數(shù)y=/(x)與y=g(x)有相同的定義域。.若存在常數(shù)。(aeR),使得對(duì)于任意的占e。，

都存在々e。，滿足/(%)+8(々)=。，則稱函數(shù)y=g(x)是函數(shù)y=/(x)關(guān)于。的“S函數(shù)”.

(1)若/Xx)=Inx,g(x)=e",試判斷函數(shù)y=g(x)是否是y=/(x)關(guān)于0的"S函數(shù)"，并說(shuō)明理由；

(2)若函數(shù)y=/(%)與y=g(x)均存在最大值與最小值，且函數(shù)y=g(x)是y=/(%)關(guān)于。的"S函數(shù)",

丁=/(尤)又是丁=8(%)關(guān)于。的"函數(shù)"，證明："OOLin+IgO)]1mx=4；

(3)已知/(x)=|x—1|,g(x)=?,其定義域均為[0,4.給定正實(shí)數(shù)/,若存在唯一的。，使得

y=g(x)是y=f{x}關(guān)于a的"S函數(shù)"，求t的所有可能值.

參考答案

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)考生

應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.

1.已知集合—{I*，％*,Nf2'=8},則“心.

【答案】{3}

【解析】

【分析】計(jì)算出集合N后，利用交集定義即可得.

【詳解】由N={X2x=8}={3},故McN={3}.

故答案為：{3}.

2.已知向量a=(l,-3),若則實(shí)數(shù)加的值為.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)a，。，可得。力=0,再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可得解.

【詳解】因?yàn)?/p>

所以12=加―3=0,解得m=3.

故答案為：3.

2+x

3.函數(shù)f(x)=log--的定義域?yàn)?

21-X

【答案】(-2,1)

【解析】

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，解分式不等式求定義域即可.

2+x

【詳解】由題設(shè)——>0=>(2+x)(l—x)>0=>(x+2)(x—1)<0=>—2<x<1,

1-X

所以此函數(shù)的定義域?yàn)?-2,1).

故答案為：(-2,1)

4.已知復(fù)數(shù)z滿足z+2l=3-i，則三的模為

【答案】42

【解析】

【分析】設(shè)2=。+歷(a,Z?€R),則』=a-4，由題意建立方程解出mb,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求

解.

【詳解】^z=a+bi(a,b^R),則z=a-歷>

由z+2z-3—i，彳導(dǎo)a+歷+2a—2Z?i—3a—?dú)v—3—i,

3〃=3a=l_

則《,,，解得<b=l,所以

b=l

所以同=jF+(-l)2=V2

故答案為：41

5.設(shè)公比為2的等比數(shù)列｛q｝的前九項(xiàng)和為sn,若52024-%22=6，則a2024

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和的概念計(jì)算即可得解.

【詳解】因?yàn)镾2024-^2022~^2024+〃2023=〃2023?(1+9)=6,

所以。2023=2,故%()24=%023,9=2義2=4.

故答案為：4

6.如圖，長(zhǎng)方體ABC?！狝4GR的體積是120,E為CG的中點(diǎn)，則三棱錐E-BC。的體積是

【答案】10.

【解析】

【分析】由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積.

【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)方體—的體積為120,

所以AB-BC-CCX=120,

因?yàn)镋為CG的中點(diǎn)，

所以CE=gcG，

由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知CQ±底面ABCD,

所以CE是三棱錐E-3CD的底面5CD上的高，

所以三棱錐E—3co的體積丫='＞＜工434。以=M'XLAB-BC,CG=—X120=10.

3232212

【點(diǎn)睛】本題蘊(yùn)含“整體和局部”的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計(jì)算問(wèn)題中，往往需要注意理清整

體和局部的關(guān)系，靈活利用“割”與“補(bǔ)”的方法解題.

7.設(shè)/(;0=爐+。f+工(。€11),若＞=/(尤)為奇函數(shù)，則曲線丁=/(尤)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為

【答案】丁=%

【解析】

【分析】由奇函數(shù)定義求出。，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即得.

【詳解】函數(shù)/。)=三+以2+x是奇函數(shù)，則

/(-%)+/(%)=(-%)3+a(-x)2-x+x3+ax1+x=2ax2=0恒成立，

而x不恒為0,因此a=0,/(x)=d+x,求導(dǎo)得/(X)=3￡+1,則/'(0)=1,而/(0)=0,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為丁=%.

故答案為：y=x

8.已知雙曲線C：「—4=l(a>0,b>0),給定的四點(diǎn)或(4,—3)、6(3,4)、6(—4,3)、4(-2,0)中

ab

恰有三個(gè)點(diǎn)在雙曲線。上，則該雙曲線。的離心率是.

【答案】旦

2

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得6(4,-3),6(-4,3)兩點(diǎn)一定在雙曲線上，然后再判斷另一個(gè)點(diǎn)，求出

雙曲線方程，再根據(jù)離心率公式即可得解.

【詳解】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得《(4,-3),6(-4,3)兩點(diǎn)一定在雙曲線上，

若巴(3,4)在雙曲線上,

1691

則:，方程組無(wú)解，故6(3,4)不在雙曲線上,

916

則A(—2,0)在雙曲線上,

=1

Za2=4-

則,解得<

169b2=3

二1

所以雙曲線C的離心率6=

故答案為：亙

2

9.為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下圖所示列聯(lián)表:

疾病

藥物合計(jì)

未患病患病

服用m50—m50

未服用80—mm—3050

合計(jì)8020100

取顯著性水平a=0.05,若本次考察結(jié)果支持“藥物對(duì)疾病預(yù)防有顯著效果”，則機(jī)（加之40,meN）最

小值為_(kāi)__________

n{ad-be)2

（參考公式：Z2=；參考值:P(72>3,841)^0.05)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】44

【解析】

【分析】由題意列出不等式，結(jié)合近似計(jì)算求出機(jī)的取值范圍，即可得答案.

［詳解］由題意可知/=10。［加■—30）—（80——）（50一書(shū)］>3841,

80x20x50x50

貝(100加一4000)2>502x42x3.841,

解得m>43.92或m<36.08，而加上40,eN,

故m的最小值為44.

故答案為：44.

10.在（1+力5（1+3；）3的展開(kāi)式中，記項(xiàng)的系數(shù)為/（阿〃），則/（3,0）+/（2,1）=

【答案】40

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得/（，〃,〃）=G'C，即可求解了（3,0）+/（2,1）.

【詳解】（l+x）5（l+y）3展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為C*”.CR=GGx"y,

所以/（九〃）=c;C，

貝lj/（3,0）+/（2,1）=切+知=40.

故答案為：40

11.某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段BC、CD是救生棧道的一部分，其中

BC=300m,CD=800m,B在A的北偏東30°方向，。在A的正北方向，。在A的北偏西80。方

向，且？590?.若救生艇在A處載上遇險(xiǎn)游客需要盡快抵達(dá)救生棧道3-C-。，則最短距離為

m.（結(jié)果精確到1m）

【解析】

【分析】先在中求出AC,再利用正弦定理，在八位）。中求出sin。，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到ZkACE中求解即

可.

【詳解】解：作AELCD交于E,由題意可得如圖：

NB=90,NC43=30,BC=300m,

BC

AB=挈=300Gm

所以tan30V3

3

BC

AC==600m,

sinZCAB

在八位＞。中，由正弦定理可得:

CDAC.3sin80

------------==>sin。=

sinZACDsinD-----------------4

lainRO

所以cosZEAD=x0.735，

4

所以sinNE40yo.68,

cosZCAE=cos(80-ZEAD)?0.17x0.735+0.98x0.68=0.79135,

在直角AACE中，AE=AC-cosZCAEnAE=600x0.79135?475,

故答案為：475.

12.己知平面向量a、b、c滿足：|a1=161=1，a-c=b-c=l>則a.6+c”的最小值為-

【答案】272-1

【解析】

【分析】根據(jù)條件推理得到c在a方向上的投影數(shù)量等于c在6方向上的投影數(shù)量，且等于|。|=|切=1,

〈a,c〉=S,c〉，故可以作出圖形，設(shè)出〈a,c〉=6,將所求轉(zhuǎn)化成關(guān)于。的函數(shù)形式，利用基本不等式即可

求得.

【詳解】因由a.c=1,c=l可得|c|COS〈Q,c〉=1cIcos（Z?,c〉=1,

即c在〃方向上的投影數(shù)量等于C在〃方向上的投影數(shù)量，且等于\a\=\b\=l,

又由cos〈a,c〉=cos〈Z?,c〉可得〈〃,c〉=〈仇?！?，不妨設(shè)〈a,c〉=0，

1———2191

則Q?Z?=COS20'IC|=---—，于是。?/?+C=COS20H---y—=2COS6H----7——1,

cos，cos0cos0

因0e[0,7i],則0<cos2e〈l，因2cos+當(dāng)且僅當(dāng)cos2g=走時(shí)，等號(hào)成立，

cos-02

即當(dāng)cos2，=等時(shí)，a-b+c取得最小值2J5—1.

故答案為：2后-L

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用向量數(shù)量積的定義和投影向量的數(shù)量理解a,仇。的相互關(guān)系，設(shè)

出夾角9,將所求化成關(guān)于8的函數(shù)形式.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每

題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

22

13.若拋物線J=2px（p〉0）的焦點(diǎn)是橢圓土+匕=1的一個(gè)頂點(diǎn)，則P的值為（）.

164

A.2B.3C.4D.8

【答案】D

【解析】

【分析】分別求出拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)，得￡=4,即可求解.

2

【詳解】由題意知，y1=2px（p>0）的焦點(diǎn)為g,0）,

22

—+^=1的右頂點(diǎn)為（4,0）即為拋物線的焦點(diǎn)，

162

所以究=4,解得"=8.

故選：D

14.下列說(shuō)法不正確的是（）.

A.一組數(shù)據(jù)10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位數(shù)為14

B.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N⑶〃），且尸（X<4）=0.7,則尸（3<X<4）=02

C.若線性相關(guān)系數(shù)N越接近1,則兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越高

D.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x、>,且回歸方程為y=0.3x-m,若樣本點(diǎn)的中心為（加,2.8）,則實(shí)數(shù)

m的值是—4

【答案】A

【解析】

【分析】利用百分位數(shù)的定義即可判斷選項(xiàng)A,利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)B,根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)

的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)C,利用線性回歸方程中的基本量即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)A：因?yàn)?0x60%=6,所以第60百分位數(shù)為生土竺=15,A錯(cuò)誤；

2

對(duì)B：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X（3,b?）,且P（XW4）=0.7,

則P（X>4）=1—P（XW4）=0.3,

則P（3<X<4）=0.5—P（X>4）=0.2,B正確；

對(duì)C：若線性相關(guān)系數(shù)N越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C正確；

對(duì)于D,樣本點(diǎn)的中心為（元亨），所以元=加，7=2.8,

因?yàn)椋o(wú)，》）滿足線性回歸方程，所以2.8=0.3加一機(jī)，所以加=T,D正確.

故選：A

15.如圖，點(diǎn)N為正方形A3CD的中心，△ECD為正三角形，平面或刀，平面A3CD,M是線段ED

的中點(diǎn)，則以下命題中正確的是（）.

A.BM=ENB.CD±MN

C.A、M、N三點(diǎn)共線D.直線與EN相交

【答案】D

【解析】

【分析】分別求得的長(zhǎng)度判斷選項(xiàng)A；利用反證法否定選項(xiàng)B和選項(xiàng)C；求得直線則與EN的

位置關(guān)系判斷選項(xiàng)D.

【詳解】取CD中點(diǎn)E連接跖,網(wǎng),取陽(yáng)中點(diǎn)H,連接MH,HB,MN.

又△ECO為正三角形，則上F1CD,MHLCD,

又平面ECDL平面ABCD,平面ECD〕平面ABCD=CD,

則ER工平面ABC。，MH,平面ABCD,

又TWu平面ABC。，HBu平面ABCD,

則歷，MV,MHLHB，

設(shè)AB=a，則EF=2MH=?a,FN==a,BH='a,

224

則BM=y/MH2+BH2=—a,EN=y/EF2+NF2=a，

2

則BM#EN.故選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；

假設(shè)CDLACV,

又MH上CD,MHIMN=M,平面初VH,

則CD,平面上WH,又NHu平面MNH,則CDLNH,

這與COLNE矛盾，故假設(shè)不成立，CD,MN不互相垂直.

故選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；

由A,Ne平面A3CZ),可得直線ANu平面A3CD,

假設(shè)A、M,N三點(diǎn)共線，則VeAN,則Me平面A3CD,

這與“正平面A3CD矛盾，故假設(shè)不成立.

故選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤；

由DM=ME,DN=NB,可得MN"BE,MN=-BE,

2

則四邊形肱VBE為梯形，則直線8M與EN相交.故選項(xiàng)D判斷正確.

故選：D

16.設(shè)/(X)=X3-3X,有如下兩個(gè)命題：

①函數(shù)y=/(x)的圖象與圓/=i有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)；

②存在唯一的正方形ABCD,其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)y=fM的圖象上.

則下列說(shuō)法正確的是().

A.①正確，②正確B.①正確，②不正確

C.①不正確，②正確D.①不正確，②不正確

【答案】B

【解析】

【分析】對(duì)①：結(jié)合函數(shù)性質(zhì)與圖象判斷即可得；對(duì)②：由曲線的對(duì)稱性，可得要使得正方形存在，則

為等腰直角三角形，利用極限思想可得至少存在兩個(gè)正方形.

【詳解】對(duì)①：令/'(x)=3%2—3=3(x+l)(x—1),

當(dāng)XG(-OO,—1)D(L+8)時(shí)，ff(x)>0,當(dāng)時(shí)，ff(x)<0,

則/(x)在1)、(1,+“)上單調(diào)遞增，在(—1,1)上單調(diào)遞減，

又=-1+3=2,/(1)=1-3=-2,

函數(shù)y=的圖象與圓V+/=1的圖象如圖所示：

故函數(shù)y=/(x)的圖象與圓好+/=1有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，故①正確;

對(duì)②：由/(-%)=-x3+3x=-/(%),

故要使得正方形存在，則JL03為等腰直角三角形，

顯然，當(dāng)5(—1,2)時(shí)，03=百，

點(diǎn)(2,1)在函數(shù)圖像外側(cè)，則。4<百，此時(shí)

利用極限思想，f0時(shí)，OAf出,此時(shí)O5<OA；

05一百時(shí)，OA-^+oo,止匕時(shí)Ofi<Q4,如圖所示,

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)論②需注意使用極限思想，從而得到至少兩個(gè)正方形.

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要

的步驟.

17.已知函數(shù)y=/(x),記/(x)=sin(ox+0),?>0-<兀，xeR.

(1)若函數(shù)y=/(x)的最小正周期為兀，當(dāng)/弓)=1時(shí)，求⑷和9的值;

JT

(2)若。=1,(p=-,函數(shù)丁=/2(刈—2/(x)—a有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

6

JT

【答案】(1)G)=2,(p=-

6

(2)ciG[—1,3]

【解析】

【分析】（1）利用三角函數(shù)的周期公式求得。，再利用三角函數(shù)的值域與周期性求得。，從而得解；

（2）根據(jù)題意，利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為r-2c-a=0在1』]有解，從而利用參變分離法或二次函

數(shù)根的布分即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)y=/（x）的最小正周期空=兀，所以。=2,

（D

TTTTJT

所以一十0=2左兀+—（左EZ）,得O=2左兀+—（左eZ）,

326

7T

因?yàn)?。＜。＜兀，所以取?0得°=一，

6

【小問(wèn)2詳解】

解法一：

當(dāng)0=1,°=弓時(shí)，/（X）=sin[x+《],%eR,

設(shè)f=〃x）=sin[x+'e[-l,l],

由題意得，2/一。=0在有解，化簡(jiǎn)得”=產(chǎn)—2/，

又g（。=/—2/=。一I7一1在。e[―1,1]上單調(diào)遞減，

所以則ae[—1,3].

解法二：

當(dāng)°=1,9=t時(shí)，f（x）=sin^x+^,xeR,

設(shè),=〃司=51!1，+?€|-1,1],

由題意得，/—2f—a=0在xe[-U]有解,

記丸?)=/—2f—a,對(duì)稱軸為/=1,

A>04+4a>0

則由根的分布可得《咐)20'即'/、2/、，解得—lWaW3,

(-1)-2-(-l)-a>0

所以ae[—1,3].

18.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形A3CZ）（及其內(nèi)部）以A3邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)

120°得到的，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在CE上，異面直線6P與A。所成的角是30°.

(1)求證：AELBP-,

(2)若AB=3,AD=2,求二面角￡—AG—C的大小.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）60°

【解析】

【分析】（1）由題意易得結(jié)合可證平面進(jìn)而可證結(jié)論;

（2）法一：取EC的中點(diǎn)〃，連接EH，GH,CH,取AG中點(diǎn)M,連接EM,CM,EC,可得N￡MC

為所求二面角的平面角，進(jìn)而求解可得二面角E-AG-C的大小.

法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE、BP、5A的方向?yàn)閤、丁、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求

得平面ACG的一個(gè)法向量和平面AEG的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式可求得二面角E-A量C的大小.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锳￡>〃3C,所以/CfiP是直線跳與A。所成角，為30°,

所以/EBP=120?！?0。=90°,得BP上BE,

又因?yàn)锳3_L5P,且3EIAB=B,BEu平面ABEF,ABu平面AB跖，

所以平面ABEF,

由AEu平面得AEL5P.

【小問(wèn)2詳解】

解法一：取EC的中點(diǎn)"，連接EH,GH,CH.

因?yàn)镹EBC=120°,

所以四邊形為菱形，

所以AE=G￡=AC=GC=j32+22=岳.

取AG中點(diǎn)M,連接EM,CM,EC.

則EM，AG,CMLAG,

所以ZEMC為所求二面角的平面角.

又AM=1,所以EN=CM=J13-1=2百.

在.BEC中,由于NEBC=120°,

由余弦定理得EC?=2?+22-2X2X2XCOS1200=12，

所以EC=26，因此_￡MC為等邊三角形，

因此二面角E-AG-C的大小為60°.

解法二：以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE、BP、54的方向?yàn)閤、V、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系.

由題意得A(0,0,3),￡(2,0,0),G(l,石,3),C(—1,省,0),

故AE=(2,0,-3),AG=(1,A/3,0)，CG=(2,0,3),

設(shè)勺=（%,/,叱）是平面ACG的一個(gè)法向量.

n,-AG=0u+=0

由<，可得《x

2%+3%=0

n1cG=0

取“=—2,可得平面ACG的一個(gè)法向量&=（3,-A-2）.

設(shè)巧=（〃2，彩,卬2）是平面加6一個(gè)法向量.

n2-AE=02〃2—3W2=0

由<..，可得<[—，

n2-AG-0w2V3W2=0

取叱=2,可得平面AEG的一個(gè)法向量%=（3,—百,2）.

%1

所以cos%,%=^^=不.

I因如2

因此二面角E-AG-C的大小為60°.

19.有標(biāo)號(hào)依次為1,2,n（n>2,〃wN）的〃個(gè)盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有3個(gè)紅球和3個(gè)白

球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球.現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再?gòu)?號(hào)盒子里取

出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，…，依次進(jìn)行到從n-1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入九號(hào)盒子為止.

（1）當(dāng)〃=2時(shí)，求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；

（2）設(shè)九號(hào)盒子中紅球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,,求X3的分布及E（X3）,并猜想E（X"）的值（無(wú)需證明此

猜想）.

3

【答案】（1）-

（2）分布列見(jiàn)解析，E（X3）=2.猜想E（X,,）=2

【解析】

【分析】（1）結(jié)合排列組合與概率公式計(jì)算即可得;

（2）得出X3的所有取值及其概率，求得其概率分布，即可得其期望，列出〃號(hào)盒子與n-1號(hào)盒子中的紅

球個(gè)數(shù)的關(guān)系，即可得E（X〃），

【小問(wèn)1詳解】

xC13

由題可知2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率為P=33=_

或5

【小問(wèn)2詳解】

由題可知X3可取1,2,3,

「2「21

P（X3=1）=號(hào)X號(hào)+^y^X—!■=一

13yc或c5

「2「2r1r1「21

P（x=3）=*x*+^^xT=一

I3Jc；C：C；C：5

3

P（X3=2）=1-P（X3=1）-P（X3=3）=-.

所以3號(hào)盒子里紅球的個(gè)數(shù)X3的分布列為:

X3123

131

p

555

猜想E（X,,）=2,理由如下:

當(dāng)〃23時(shí)，設(shè)九號(hào)盒子里有3個(gè)紅球的概率為緇，有2個(gè)紅球的概率為以，

則n號(hào)盒子里有1個(gè)紅球的概率為1-4-包,

C2C211

a=a

則n=著。"-1+言包-1^n-\+二""-「

c4c426

cd+胃2t+胃（J「a—2T）=g"T+1’

°n—02an-\

5

則E（X.）=lx1W%+2x+3x；%+：%

_111,1,131,_3f1,)

=5_5*_3't+3b"T+1+]a,I+-b,i=-+l%+-bn_xI,

由每個(gè)盒子中原本的紅球與白球個(gè)數(shù)相等，

故n-1號(hào)盒子中紅球個(gè)數(shù)為1與白球個(gè)數(shù)為1的概率相等，

即%T=(1—??-1-么-1)，即有??_1+g2_1=J'

故E(X“)=!■+，“_]+；如[=；+；=2,

乙\乙J乙乙

當(dāng)〃=2時(shí),

c21be44C21

有夕區(qū)=1）=涓=,P（X2=2）=-^-=-,P（X2=3）=^|-=-,

131

E（X2）=1X-+2X-+3X-=2,

故可得E（X"）=2

22

20.已知橢圓「匕+匕=1的右焦點(diǎn)為p，直線/與橢圓「交于不同的兩點(diǎn)/0,%)、N%,%).

43

(1)證明：點(diǎn)/到右焦點(diǎn)尸的距離為2-五；

2

(2)設(shè)點(diǎn)Q(0,2)，當(dāng)直線/的斜率為;，且。/與QM+QN平行時(shí)，求直線/的方程；

(3)當(dāng)直線/與X軸不垂直，且的周長(zhǎng)為4時(shí)，試判斷直線/與圓C：r+y2=3的位置關(guān)系，并

證明你的結(jié)論.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)y=—x+1

2

(3)直線/與圓。相切，證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合橢圓的方程與配方法，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得證;

(2)設(shè)直線/的方程為y=gx+m,將其與橢圓的方程聯(lián)立，由Qb與QM+QN平行,

根據(jù)向量共線

的坐標(biāo)表示，可得關(guān)于根的方程，解之即可；

(3)設(shè)直線/的方程為、=履+加，將其與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式,點(diǎn)到直線的距

離公式，進(jìn)行求解即可得出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

(2A

由b(1,0),得網(wǎng)刊={4_1)2+%2=鏟2%+1+31-y^--2x+4=

2

【小問(wèn)2詳解】

根據(jù)題意畫(huà)出圖象，如圖，

聯(lián)立<],消去得％之+加；+根2-3=0,

y--x+m

[2

由A=加？一4(m2-3)>0,得—2<m<2,

rr.1、仁3m

從而玉十%=~m，X+%=5(z玉+%)+2m~，

13tn

又QE=(L—3)，QM+QN=+%2,yi+y2-1)=(-m,--1),

3m1

由Qb與QM+QN平行，得1、(《--1)=一]乂(一根)，解得根=1,

故直線/的方程為y=gx+l；

【小問(wèn)3詳解】

直線/與圓。：爐+丁2=3相切，證明過(guò)程如下:

設(shè)直線/的方程為》=履+相,

f22

土+上=1

聯(lián)立43'消去丁，得（3+4左2）/+8k加+4根2—12=0,

y=kx+m,

8km

從而＜

4m2-12

由|MF|+|NF|+|M2Vl=4,得2-^|+|W|=4,即|MN|="^

8kmj“4療-12

?.3+4:2

3+442

2

即J1+/.8km4m-12_18km

3+4公3+4/—53+442

化簡(jiǎn)，整理得12/+2+9—3m2—442m2=o,

即（3+4左2）（3左2+3—相2）=o,從而療=