2024年新高考數(shù)學一輪復習-數(shù)列求和（學生版）

專題39數(shù)列求和

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前〃項和公式.

2.掌握非等差數(shù)列，非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.

【考點預測】

數(shù)列求和的幾種常用方法

1.公式法

直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前〃項和公式求和.

(1)等差數(shù)列的前〃項和公式：

⑵等比數(shù)列的前〃項和公式：

H31,Q—1,

SLa—aqai(l—<7")

-；----n=-：----q手1.

1—<71—<7

2.分組求和法與并項求和法

(1)若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和

后相加減.

(2)形如&=(一□"?f5)類型,常采用兩項合并求解.

3.錯位相減法

如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前n項和即

可用此法來求，如等比數(shù)列的前〃項和公式就是用此法推導的.

4.裂項相消法

(1)把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.

(2)常見的裂項技巧

1)-----——-----

/7(77+1)nn-\-V

11>

2z?(72+2)21Az?+2y'

c11____1

@(2L1)(2〃+1廠式2〃-l~2/i+1

【常用結論】

n(〃+l)

1.1+2+3+4H——Vn2~~

n(〃+l)(2〃+l)

2.12+22H——\-n

6

3.裂項求和常用的三種變形

a)〃(〃+i)

_________1__________1(11)

⑵(2〃—1)(2刀+1)=入2〃-1—2，+1)

⑶5+*=巾-亞

4.在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.

【方法技巧】

1.分組轉化法求和的常見類型

(1)若&=4±&,且｛4｝,｛以為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求｛aj的前〃項和.

\bn,〃為奇數(shù)，

⑵通項公式為a〃=生,由*的數(shù)列，其中數(shù)列｛4｝,｛&｝是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉化法

［C?,A為偶數(shù)

求和.

2.用錯位相減法求和的策略和技巧

⑴掌握解題“3步驟”

(而A.u’M藪利威窟場欣耳拳一套薪司I一摹記藪司扇

丹”L項的積，并求出等比數(shù)列的公比

「加上才U先列出前"項和的表達式，然后乘以等比數(shù)

列的公比得到一個新的表達式，兩式作差;

［得］論H-即索瓦至無而語后曲%,碗翥而：

(2)注意解題“3關鍵”

①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形.

②在寫出"S”與“宓,”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出"S一妁”的表

達式.

③在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比g=l和gWl兩種情況求解.

3.裂項相消法求和的實質和解題關鍵

裂項相消法求和的實質是先將數(shù)列中的通項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目

的，其解題的關鍵就是準確裂項和消項.

①裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.

②消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項.

［注意］利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗通項公式裂項前后是否等價，又要注意求和時，正負項相

消消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項.

二、【題型歸類】

【題型一】分組轉化求和

【典例1］已知等差數(shù)列｛2｝的前〃項和為S,且關于x的不等式aN—Wx+2<0的解集為(1,2).

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

⑵若數(shù)列伍｝滿足6〃=a2〃+2al—1,求數(shù)列｛&｝的前n項和T?.

【典例2］已知數(shù)列｛a.｝的通項公式是&=2?31+(—l)"(ln2—In3)+(-1)"血n3,求其前〃項和S.

【典例3］已知各項都不相等的等差數(shù)列｛aj,a=6,又出，az,&成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

(2)設bn=2%+(-1)&求數(shù)列出｝的前2n項和%.

【題型二】錯位相減法求和

【典例1］設｛aj是公比不為1的等比數(shù)列，國為念，as的等差中項.

⑴求｛a｝的公比；

(2)若&=1,求數(shù)列｛〃aj的前〃項和.

9

【典例2］已知數(shù)列｛aj的前〃項和為S,且4S+i=3S—9(〃GN*).

⑴求數(shù)列｛a.｝的通項公式；

⑵設數(shù)列伉｝滿足屹+(〃-4)a〃=0(“GN*),記伉｝的前〃項和為方.若北W兒4,對任意“GN*恒成立，求

實數(shù)4的取值范圍.

【典例3】在①$=2&+1；②國=—1,1；?a?+i—a?a?+2,S=—3,a3=-4這三個條件

中任選一個，補充在下面問題的橫線上，并解答.

問題：已知單調數(shù)列｛aj的前〃項和為S,且滿足.

⑴求｛&｝的通項公式；

⑵求數(shù)歹U｛—〃aj的前A項和T?.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【題型三】裂項相消法求和

【典例1】數(shù)列｛aj的前n項和為S?,ai—1.現(xiàn)在給你三個條件.@an+i—2a?.②S=2a〃+t.③S=2"+A.從

上述三個條件中.選一個填在下面問題的橫線上，并完成后面問題的解答.

已知,若4=log2a〃+i,｛4｝的前〃項和為北.

⑴求北；

(2)求證：數(shù)歹“詈的前n項和A<2.

【典例2】數(shù)列｛aj滿足a=1,yj^+2,=a?+1(neN*).

(1)求證：數(shù)列｛a"是等差數(shù)列，并求出｛a〃｝的通項公式;

9

(2)若4=1—,求數(shù)列｛4｝的前〃項和.

4〃十cin+l

15

【典例3】在①數(shù)列｛aj的前〃項和SugA’+'A；②a：—a〃一a：-i—a0-i=0(A》2,〃GN*),a?>Q,且ai=Z%

這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的〃存在，求出〃的最小值；若〃不存在，說明

理由.

數(shù)列｛4｝是首項為1的等比數(shù)列，b>0,友+弱=12,且____________,設數(shù)列|—的前〃項和為

｛a?logsbn+i]

T?,是否存在〃GN*,使得對任意的〃GN*,T?<M?

三、【培優(yōu)訓練】

【訓練一】某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20

dmX12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dmX12dm,20dmX6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之

和S=240dm2,對折2次共可以得到5dmX12dm,10dmX6dm,20dmX3dm三種規(guī)格的圖形，它們的

面積之和￡=180dm,以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折〃次,

n

那么￡￡=dm2.

k=l

【訓練二】已知數(shù)列｛a｝：^2,W，J,?，73,74,京…(其中第一項是接下來

乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙

的吸一1項是京，I),再接下來的2―1項是依此類推)，其前〃項和為S,

乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙

則下列判斷正確的是()

210—1

A-y^是匕/的第？036項

B.存在常數(shù)〃，使得〃恒成立

C.S036=1018

D.滿足不等式S>1019的正整數(shù)〃的最小值是2100

【訓練三】已知等差數(shù)列｛aj中，為一a3=4,前〃項和為S,且星，&-1,S成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

4/7

(2)令4=(—1)"——，求數(shù)列｛4｝的前〃項和。

a7a?+1

【訓練四】在等差數(shù)歹!J｛aj中，已知a=12,ais=36.

⑴求數(shù)列｛aj的通項公式為；

⑵若，求數(shù)列｛%的前〃項和S?,

4

在①4=——，②4=(一l)Ja“，③4=2?！?a”這三個條件中任選一個補充在第(2)問中，并對其求解.

Hndn+l

【訓練五】已知數(shù)列｛a｝是正項等比數(shù)列，滿足as是2徹3a的等差中項，&=16.

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

(2)若4=(―l)"log2a2〃+1,求數(shù)列間的前〃項和Tn.

【訓練六】已知｛aj為等差數(shù)列，｛&J為等比數(shù)列，ai—bi—X,a5=5(a-as),&=4(&—&).

⑴求｛4｝和｛4｝的通項公式；

⑵記｛a』的前〃項和為S,求證:SS+2〈樓+i(〃eN*)；

⑶對任意的正整數(shù)〃，設◎=

’（3劣一2）bn

〃為奇數(shù),

國?8?+2

dn-1

〃為偶數(shù),

、bn+\

求數(shù)列｛以｝的前2〃項和.

四、【強化測試】

【單選題】

1.數(shù)列｛aj的通項公式是4=(-1)〃(2”-1),則該數(shù)列的前100項之和為()

A.-200B.-100C.200D.100

2.己知數(shù)歹!J｛aj滿足a0+i—a”=2,ai=-5,則|aj+|a21H-F|ae|=()

A.9B.15C.18D.30

3.我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏.次第每人多十七，要將第

八數(shù)來言.務要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第1

個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止.分配時一定要按照次序分，要順從父母，兄弟

間和氣，不要引得外人說閑話.”在這個問題中，第8個孩子分到的棉花為()

A.184斤B.176斤

C.65斤D.60fr

4.在數(shù)列｛a｝中，若包=1,a2=3,a+2=a〃+i—，則該數(shù)列的前100項之和是（）

A.18B.8C.5D.2

刀）_1

5.已知函數(shù)F（x）=a"+6（a>0,且aWl）的圖象經過點尸（1,3）,。（2,5）.當〃￡N*時，劣=〃、".

f\n）?f｛n+l）

記數(shù)列｛a｝的前刀項和為S,當■時，〃的值為（）

A.7B.6

C.5D.4

6.在數(shù)列｛4｝中，若句=1,a=3,a+2=a+1—）,則該數(shù)列的刖100項之和是（）

A.18B.8

C.5D.2

7.已知數(shù)列｛a｝滿足&=2,4a：尸斑，篇是等差數(shù)歹U，則數(shù)列｛（—1）”&）的前10項的和5。是（）

A.220B.110

C.99D.55

8.數(shù)列｛a｝滿足a+1=(-1嚴3+2〃一1,則數(shù)列｛a｝的前48項和為()

A.1006B.1176

C.1228D.2368

【多選題】

9.設S是數(shù)列｛a｝的前〃項和，且為=—1,a+i=SS+i,貝！1（）

A.數(shù)列］號為等差數(shù)列

1

B.Sn=--

n

—Ln=\,

C.a=\11

n-2,”GN+

1_77—1

D，曲+蕊4'

S-iS?n

10.已知數(shù)列｛a｝為等差數(shù)列，首項為1,公差為2.數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，首項為1,公比為2.設a=a歷,

北為數(shù)列｛々｝的前刀項和，則當北<2019時，〃的取值可能是（）

A.8B.9

C.10D.11

1212323-C

++-十+

ii.已知數(shù)列｛a｝：5,3-4-4-W1-…,若4=工,設數(shù)列間的前〃

10?+

--

項和S,貝|」（)34

n

=

A.2=5B.an'n

4/7577

D

C.Sn—^+1-$=市

12.已知數(shù)歹!J｛2｝的前刀項和為S,且有(H1+&+…+a)&=(團+&+…+&-1)&+i(刀22,〃￡N*),ai=&

=1.數(shù)列jicoQLCOQ1的前〃項和為北,則以下結論正確的是()

1_LOg2)+l*10g2D/?+2j

A.Hn=lB.Sn=2n~l

c.北=勺ID.｛北｝為增數(shù)列

〃+3

【填空題】

13.已知數(shù)列｛aj的首項為-1,anan+1=-2",則數(shù)列｛&｝的前10項之和等于.

14.已知數(shù)列｛aj滿足國=1,且4+1+@〃=〃-1009(〃eN*),則其前2021項之和S必=.

15.已知數(shù)列Saj的前〃項和為S,且a=2",且使得S—〃a〃+i+50〈0的最小正整數(shù)〃的值為.

16.設數(shù)列｛aj的前〃項和為S,且團=1