2025屆玉林市重點中學數(shù)學高一下期末監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆玉林市重點中學數(shù)學高一下期末監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知數(shù)列的通項公式，前項和為，則關于數(shù)列、的極限，下面判斷正確的是（）A．數(shù)列的極限不存在，的極限存在B．數(shù)列的極限存在，的極限不存在C．數(shù)列、的極限均存在，但極限值不相等D．數(shù)列、的極限均存在，且極限值相等2．若樣本的平均數(shù)為10，其方差為2，則對于樣本的下列結論正確的是A．平均數(shù)為20，方差為8 B．平均數(shù)為20，方差為10C．平均數(shù)為21，方差為8 D．平均數(shù)為21，方差為103．設二次函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，且，則實數(shù)的取值范圍是()A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0，2]4．在正方體中為底面的中心，為的中點，則異面直線與所成角的正弦值為（）A． B． C． D．5．從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋里任取兩個球，那么對立的兩個事件是（）A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”6．一組數(shù)平均數(shù)是，方差是，則另一組數(shù)，的平均數(shù)和方差分別是（）A． B．C． D．7．函數(shù)在區(qū)間（，）內的圖象是()A． B． C． D．8．函數(shù)的一個對稱中心是（）A． B． C． D．9．由小到大排列的一組數(shù)據，，，，，其中每個數(shù)據都小于，那么對于樣本，，，，，的中位數(shù)可以表示為（）A． B． C． D．10．在銳角中，內角，，的對邊分別為，，，，，成等差數(shù)列，，則的周長的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．甲船在島的正南處，，甲船以每小時的速度向正北方向航行，同時乙船自出發(fā)以每小時的速度向北偏東的方向駛去，甲、乙兩船相距最近的距離是_____.12．在中，、、所對的邊依次為、、，且，若用含、、，且不含、、的式子表示，則_______.13．已知，，，的等比中項是1，且，，則的最小值是______.14．在平面直角坐標系中，在軸、軸正方向上的投影分別是、，則與同向的單位向量是__________．15．向邊長為的正方形內隨機投粒豆子，其中粒豆子落在到正方形的頂點的距離不大于的區(qū)域內（圖中陰影區(qū)域），由此可估計的近似值為______.（保留四位有效數(shù)字）16．數(shù)列中，若，，則______；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．學生會有共名同學,其中名男生名女生,現(xiàn)從中隨機選出名代表發(fā)言.求：同學被選中的概率；至少有名女同學被選中的概率.18．如圖，在三棱錐中，分別為棱上的中點.（1）求證：平面；（2）若平面，求證：平面平面.19．已知動點到定點的距離與到定點的距離之比為.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點作軌跡的切線，求該切線的方程.20．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)，G分別為線段BC，PB，AD的中點．（1）證明：EF∥平面PAC；（2）證明：平面PCG∥平面AEF；（3）在線段BD上找一點H，使得FH∥平面PCG，并說明理由．21．已知，為第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

分別考慮與的極限，然后作比較.【詳解】因為，又，所以數(shù)列、的極限均存在，且極限值相等，故選D.【點睛】本題考查數(shù)列的極限的是否存在的判斷以及計算，難度一般.注意求解的極限時，若是分段數(shù)列求和的形式，一定要將多段數(shù)列均考慮到.2、A【解析】

利用和差積的平均數(shù)和方差公式解答.【詳解】由題得樣本的平均數(shù)為，方差為.故選A【點睛】本題主要考查平均數(shù)和方差的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.3、D【解析】

求出導函數(shù)，題意說明在上恒成立（不恒等于0），從而得，得開口方向，及函數(shù)單調性，再由函數(shù)性質可解.【詳解】二次函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則，，所以，即函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸是直線．所以f(0)＝f（2），則當時，有．【點睛】實際上對二次函數(shù)，當時，函數(shù)在遞減，在上遞增，當時，函數(shù)在遞增，在上遞減.4、B【解析】

取BC中點為M，連接OM，EM找出異面直線夾角為，在三角形中利用邊角關系得到答案.【詳解】取BC中點為M，連接OM，EM在正方體中為底面的中心，為的中點易知：異面直線與所成角為設正方體邊長為2，在中：故答案選B【點睛】本題考查了立體幾何里異面直線的夾角，通過平行找到對應的角是解題的關鍵.5、D【解析】

寫出所有等可能事件，求出事件“至少有一個黑球”的概率為，事件“都是紅球”的概率為，兩事件的概率和為，從而得到兩事件對立.【詳解】記兩個黑球為，兩個紅球為，則任取兩球的所有等可能結果為：，記事件A為“至少有一個黑球”，事件為：“都是紅球”，則，因為，所以事件與事件互為對立事件.【點睛】本題考查古典概型和對立事件的判斷，利用兩事件的概率和為1是判斷對立事件的常用方法.6、B【解析】

直接利用公式：平均值方差為，則的平均值和方差為：得到答案.【詳解】平均數(shù)是，方差是，的平均數(shù)為：方差為：故答案選B【點睛】本題考查了平均數(shù)和方差的計算：平均數(shù)是，方差是，則的平均值和方差為：.7、D【解析】解：函數(shù)y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=分段畫出函數(shù)圖象如D圖示，故選D．8、A【解析】

令，得：，即函數(shù)的對稱中心為，再求解即可.【詳解】解：令，解得：，即函數(shù)的對稱中心為，令，即函數(shù)的一個對稱中心是，故選：A.【點睛】本題考查了正切函數(shù)的對稱中心，屬基礎題.9、C【解析】

根據不等式的基本性質，對樣本數(shù)據按從小到大排列為，取中間的平均數(shù).【詳解】，，則該組樣本的中位數(shù)為中間兩數(shù)的平均數(shù)，即.【點睛】考查基本不等式性質運用和中位數(shù)的定義.10、A【解析】

依題意求出，由正弦定理可得，再根據角的范圍，可求出的范圍，即可求得的周長的取值范圍．【詳解】依題可知，，由，可得，所以，即，而．∴，即．故的周長的取值范圍為．故選：A．【點睛】本題主要考查正弦定理在解三角形中的應用，兩角和與差的正弦公式的應用，以及三角函數(shù)的值域求法的應用，意在考查學生的轉化能力和數(shù)學運算能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據條件畫出示意圖，在三角形中利用余弦定理求解相距的距離，利用二次函數(shù)對稱軸及可求解出最值.【詳解】假設經過小時兩船相距最近，甲、乙分別行至，，如圖所示，可知，，，．當小時時甲、乙兩船相距最近，最近距離為．【點睛】本題考查解三角形的實際應用，難度較易.關鍵是通過題意將示意圖畫出來，然后將待求量用未知數(shù)表示，最后利用函數(shù)思想求最值.12、【解析】

利用誘導公式，二倍角公式，余弦定理化簡即可得解.【詳解】.故答案為.【點睛】本題主要考查了誘導公式，二倍角的三角函數(shù)公式，余弦定理，屬于中檔題.13、4【解析】

，的等比中項是1，再用均值不等式得到答案.【詳解】，的等比中項是1當時等號成立.故答案為4【點睛】本題考查了等比中項，均值不等式，意在考查學生的綜合應用能力.14、【解析】

根據題意得出，再利用單位向量的定義即可求解.【詳解】由在軸、軸正方向上的投影分別是、，可得，所以與同向的單位向量為，故答案為：【點睛】本題考查了向量的坐標表示以及單位向量的定義，屬于基礎題.15、3.1【解析】

根據已知條件求出滿足條件的正方形的面積，及到頂點的距離不大于1的區(qū)域（圖中陰影區(qū)域）的面積比值等于頻率即可求出答案．【詳解】依題意得，正方形的面積，陰影部分的面積，故落在到正方形的頂點的距離不大于1的區(qū)域內（圖中陰影區(qū)域）的概率，隨機投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的頂點的距離不大于1的區(qū)域內（圖中陰影區(qū)域）的頻率為：，即有：，解得：，故答案為3.1．【點睛】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關．解決的步驟均為：求出滿足條件的基本事件對應的“幾何度量”（A），再求出總的基本事件對應的“幾何度量”，最后根據求解．利用頻率約等于概率，即可求解。16、【解析】

先分組求和得，再根據極限定義得結果.【詳解】因為，，……，，所以則.【點睛】本題考查分組求和法、等比數(shù)列求和、以及數(shù)列極限，考查基本求解能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

(1)用列舉法列出所有基本事件,得到基本事件的總數(shù)和同學被選中的,然后用古典概型概率公式可求得;(2)利用對立事件的概率公式即可求得.【詳解】解：選兩名代表發(fā)言一共有,,共種情況,其中.被選中的情況是共種.所以被選中的概本為.不妨設四位同學為男同學,則沒有女同學被選中的情況是:共種,則至少有一名女同學被選中的概率為.【點睛】本題考查了古典概型的概率公式和對立事件的概率公式,屬基礎題.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據線面平行的判定定理，在平面中找的平行線，轉化為線線平行的證明；（2）根據面面垂直的判定定理，轉化為平面.【詳解】（1），分別是，的中點，；又平面，平面，平面.（2），，；平面，；又平面，平面，平面，又平面，平面平面.【點睛】本題考查了面面垂直的證明，難點在于轉化為線面垂直,方法：結合已知條件，選定其中一個面為垂面，在另外一個面中找垂線，不行再換另外一個面.19、（1），（2）或【解析】

（1）首先根據題意列出等式，再化簡即可得到軌跡方程.（2）首先根據題意設出切線方程，再利用圓心到切線的距離等于半徑即可求出切線方程.【詳解】（1）設，有題知，，所以點的軌跡的方程：.（2）當切線斜率不存在時，切線為圓心到的距離，舍去.當切線斜率存在時，設切線方程為.圓心到切線的距離，解得：或.即切線方程為：或.【點睛】本題第一問考查了圓的軌跡方程，第二問考查了直線與圓的位置關系中的切線問題，屬于中檔題.20、（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】

（1）證明，EF∥平面PAC即得證；（2）證明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得證；（3）設AE，GC與BD分別交于M，N兩點，證明N點為所找的H點．【詳解】（1）證明：∵E、F分別是BC，BP中點，∴，∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC．（2）證明：∵E、G分別是BC、AD中點，∴AE∥CG，∵AE?平面PCG，CG?平面PCG，∴AE∥平面PCG，又∵EF∥PC，PC?平面PCG，EF?平面PCG，∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E點，AE，EF?平面AEF，∴平面AEF∥平面PCG．（3）設AE，GC與BD分別交于M，N兩點，易知F，N分別是BP，BM中點，∴，∵PM?平面P