2025屆遼寧大連市數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆遼寧大連市數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的前項和等于（）A． B． C． D．2．如圖，向量，，，則向量可以表示為（）A．B．C．D．3．若a＜b，則下列不等式中正確的是（）A．a(chǎn)2＜b2 B． C．a(chǎn)2+b2＞2ab D．a(chǎn)c2＜bc24．已知的三邊滿足，則的內(nèi)角C為（）A． B． C． D．5．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為()A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．菱形6．已知與之間的幾組數(shù)據(jù)如下表則與的線性回歸方程必過()A．點 B．點C．點 D．點7．已知平面向量，，，，且，則向量與向量的夾角為（）A． B． C． D．8．已知兩個單位向量的夾角為，則下列結(jié)論不正確的是（）A．方向上的投影為 B．C． D．9．在△ABC中角ABC的對邊分別為A．B．c，cosC＝，且acosB+bcosA＝2，則△ABC面積的最大值為（）A． B． C． D．10．設(shè)，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知樣本數(shù)據(jù)的方差是1，如果有，那么數(shù)據(jù)，的方差為______.12．P是棱長為4的正方體的棱的中點，沿正方體表面從點A到點P的最短路程是_______.13．如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長度構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的通項公式為_____．14．（理）已知函數(shù)，若對恒成立，則的取值范圍為．15．不等式的解集是______．16．一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)要從這10000人中再用分層抽樣的方法抽出100人作進一步調(diào)查，則月收入在（元）內(nèi)的應(yīng)抽出___人.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）．（1）求f（x）的周期和最大值；（2）已知△ABC中，角A．B．C的對邊分別為A，B，C，若f（π﹣A）＝，b+c＝2，求a的最小值．18．已知數(shù)列滿足，（）；（1）求、、；（2）猜想數(shù)列的通項公式；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想；19．如圖1所示，在四邊形中，，且，，．（1）求的面積；（2）若，求的長．圖1圖220．2019年4月23日“世界讀書日”來臨之際，某校為了了解中學(xué)生課外閱讀情況，隨機抽取了100名學(xué)生，并獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，按閱讀時間分組：第一組[0,5),第二組[5,10)，第三組[10,15)，第四組[15,20)，第五組[20,25]，繪制了頻率分布直方圖如下圖所示．已知第三組的頻數(shù)是第五組頻數(shù)的3倍．（1）求的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計該校學(xué)生一周課外閱讀時間的平均值；（2）現(xiàn)從第三、四、五這3組中用分層抽樣的方法抽取6人參加?！爸腥A詩詞比賽”．經(jīng)過比賽后，從這6人中隨機挑選2人組成該校代表隊，求這2人來自不同組別的概率．21．制訂投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目.根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能的最大盈利分別為和，可能的最大虧損率分別為和.投資人計劃投資金額不超過億元，要求確保可能的資金虧損不超過億元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少億元，才能使可能的盈利最大？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

當(dāng)為正奇數(shù)時，可推出，當(dāng)為正偶數(shù)時，可推出，將該數(shù)列的前項和表示為，結(jié)合前面的規(guī)律可計算出數(shù)列的前項和.【詳解】當(dāng)為正奇數(shù)時，由題意可得，，兩式相減得；當(dāng)為正偶數(shù)時，由題意可得，，兩式相加得.因此，數(shù)列的前項和為.故選:A.【點睛】本題考查數(shù)列求和，找出數(shù)列的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.2、C【解析】

利用平面向量加法和減法的運算，求得的線性表示.【詳解】依題意，即，故選C.【點睛】本小題主要考查平面向量加法和減法的運算，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

利用特殊值對錯誤選項進行排除，然后證明正確的不等式.【詳解】取代入驗證可知，A、D選項錯誤；取代入驗證可知，B選項錯誤.對于C選項，由于，所以，即成立.故選：C【點睛】本小題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】原式可化為,又,則C=,故選C.5、C【解析】∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，與不平行，∴四邊形ABCD為梯形．6、C【解析】

根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點，即可得到結(jié)論．【詳解】，，8根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點，可得與的線性回歸方程必過．故選：C．【點睛】本題考查線性回歸方程，解題的關(guān)鍵是利用線性回歸方程必過樣本中心點，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

根據(jù)可得到：，由此求得；利用向量夾角的求解方法可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，則設(shè)向量與向量的夾角為則本題正確選項：【點睛】本題考查向量夾角的求解，關(guān)鍵是能夠通過平方運算將模長轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄康臄?shù)量積，從而得到向量的位置關(guān)系.8、B【解析】試題分析：A．方向上的投影為，即，所以A正確；B．，所以B錯誤；C．，所以，所以C正確；D．，所以．D正確．考點：向量的數(shù)量積；向量的投影；向量的夾角．點評：熟練掌握數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”這條性質(zhì)．9、D【解析】

首先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式求出sinC的值，進一步利用余弦定理和三角形的面積公式及基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】△ABC中角ABC的對邊分別為a、b、c，cosC，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式sin1C+cos1C＝1，解得sinC，由于acosB+bcosA＝1，利用余弦定理，解得c＝1．所以c1＝a1+b1﹣1abcosC，整理得4，由于a1+b1≥1ab，故，所以．則，△ABC面積的最大值為，故選D．【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理余弦定理和三角形面積的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題．10、C【解析】

首先解兩個不等式，再根據(jù)充分、必要條件的知識選出正確選項.【詳解】由解得.由得.所以“”是“”的必要而不充分條件故選：C【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

利用方差的性質(zhì)直接求解．【詳解】根據(jù)題意，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是1，則有，對于數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，其方差為，故答案為1.【點睛】本題考查方差的求法，考查方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．12、【解析】

從圖形可以看出圖形的展開方式有二，一是以底棱BC，CD為軸，可以看到此兩種方式是對稱的，所得結(jié)果一樣，另外一種是以側(cè)棱為軸展開，即以BB1，DD1為軸展開，此兩種方式對稱，求得結(jié)果一樣，故解題時選擇以BC為軸展開與BB1為軸展開兩種方式驗證即可【詳解】由題意，若以BC為軸展開，則AP兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為4，6，故兩點之間的距離是若以BB1為軸展開，則AP兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2，8，故兩點之間的距離是故沿正方體表面從點A到點P的最短路程是cm故答案為【點睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，求解的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意把求幾何體表面上兩點距離問題轉(zhuǎn)移到平面中來求13、【解析】

由圖可知，由勾股定理可得,利用等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】根據(jù)圖形，因為都是直角三角形，,是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，，，故答案為.【點睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，等差數(shù)列的定義與通項公式，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于與中檔題.14、【解析】試題分析：函數(shù)要使對恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需滿足，解得.考點：恒成立問題.15、【解析】

由題可得，分式化乘積得，進而求得解集．【詳解】由移項通分可得，即，解得，故解集為【點睛】本題考查分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．16、25【解析】由直方圖可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分層抽樣應(yīng)抽出人．故答案為25.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）周期為π，最大值為2.（2）【解析】

（1）利用倍角公式降冪，展開兩角差的余弦，將函數(shù)的關(guān)系式化簡余弦型函數(shù)，可求出函數(shù)的周期及最值；（2）由f（π﹣A），求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值．【詳解】（1）函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣cos（2x）＝1+cos2x＝cos（2x）+1，∵﹣1≤cos（2x）≤1，∴T，f（x）的最大值為2；（2）由題意，f（π﹣A）＝f（﹣A）＝cos（﹣2A）+1，即：cos（﹣2A），又∵0＜A＜π，∴2A，∴﹣2A，即A．在△ABC中，b+c＝2，cosA，由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣bc，由于：bc，當(dāng)b＝c＝1時，等號成立．∴a2≥4﹣1＝3，即a．則a的最小值為．【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，余弦形函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，余弦定理和基本不等式的應(yīng)用，是中檔題．18、（1），，；（2）；（3）證明見解析；【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，代入運算，即可求解、、；（2）由（1）可猜想得；（3）利用數(shù)學(xué)歸納法，即可證得猜想是正確的.【詳解】（1）由題意，數(shù)列滿足，（）；所以，，；（2）由（1）可猜想得；（3）①當(dāng)時，，上式成立；②假設(shè)當(dāng)時，成立，則當(dāng)時，由①②可得，當(dāng)時，成立，即數(shù)列的通項公式為.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)歸納法的證明，其中解答中根據(jù)數(shù)列的遞推公式，準(zhǔn)確計算，同時熟記數(shù)學(xué)歸納法的證明方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）．【解析】

（1）利用已知條件求出D角的正弦函數(shù)值，然后求△ACD的面積；

（2）利用余弦定理求出AC，通過，利用余弦定理求解AB的長．【詳解】（1）因為，，所以，又，所以，所以．（2）由余弦定理可得，因為，所以，解得．【點睛】本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，基本知識的考查，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20、（1）a=0.06，平均值為12.25小時（2）【解析】

（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和，第三組的頻率，由此能求出a和該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從而可估計該校學(xué)生一周課外閱讀時間的平均值；（2）從第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為3、2、1，設(shè)為A，B，C，D，E，F(xiàn)，利用列舉法能求出從該6人中選拔2人，從而得到這2人來自不同組別的概率．【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和為，第三組的頻率為∴該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)所以可估計該校學(xué)生一周課外閱讀時間的平均值為小時．（2）易得從第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為3、2、1，設(shè)為，則從該6人中選拔2人的基本事件有：共15種，其中來自不同的組別的基本事件有：，共11種，∴這2人來自不同組別的概率為.【點睛】本題考查平均數(shù)、概率的求法，考查古典概型、頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．21、投資人用億元投資甲項目，億元投資乙項目，才能在確保虧損不超過億元的前提下，使可能的盈利最大.【解析】

設(shè)投資人分別用億元、億元投資甲、乙兩個項目，根據(jù)題意列出變量、所滿足的約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)，利用平移直線的方法得出線性目標(biāo)函數(shù)取得最大值時的最優(yōu)解，并將最優(yōu)解代入線性目標(biāo)函數(shù)可得出盈利的最大值