臨川一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

臨川一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在等差數(shù)列中，，則的值（）A． B． C． D．2．下列關(guān)于極限的計(jì)算，錯誤的是（）A．B．C．D．已知，則3．同時(shí)擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為()A． B． C． D．4．化簡的結(jié)果是()A． B．C． D．5．已知某地、、三個(gè)村的人口戶數(shù)及貧困情況分別如圖（1）和圖（2）所示，為了解該地三個(gè)村的貧困原因，當(dāng)?shù)卣疀Q定采用分層抽樣的方法抽取的戶數(shù)進(jìn)行調(diào)査，則樣本容量和抽取村貧困戶的戶數(shù)分別是（）A．， B．，C．， D．，6．，，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是A．， B．，C．，，共面 D．，，共點(diǎn)，，共面7．一個(gè)學(xué)校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)之比為2：3：5，若用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，則應(yīng)從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)為：A．100 B．80 C．60 D．408．在等差數(shù)列an中，若a2+A．100 B．90 C．95 D．209．在等差數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．10．某超市收銀臺排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率如下：排隊(duì)人數(shù)01234概率0.10.160.30.30.10.04則至少有兩人排隊(duì)的概率為（）A．0.16 B．0.26 C．0.56 D．0.74二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．12．已知關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的不等式組構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?，若，使得恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是______．13．如圖中，，，，M為AB邊上的動點(diǎn)，，D為垂足，則的最小值為______；14．已知指數(shù)函數(shù)上的最大值與最小值之和為10，則=____________。15．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“”的過程中，由“”變到“”時(shí)，左邊增加了_____項(xiàng)．16．若角的終邊過點(diǎn)，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖1，在中，，，，分別是，，中點(diǎn)，，.現(xiàn)將沿折起，如圖2所示，使二面角為，是的中點(diǎn).（1）求證：面面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.18．已知扇形的半徑為3，面積為9，則該扇形的弧長為___________.19．關(guān)于的不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求的值.20．四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面底面ABCD，已知，為正三角形．（1）證明．（2）若，，求二面角的大小的余弦值．21．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，再由，即可求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，即，則，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

先計(jì)算每個(gè)極限，再判斷，如果是數(shù)列和的極限還需先求和，再求極限．【詳解】，A正確；∵，∴，B錯；，C正確；若，需按奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和后再極限，即，D正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的極限，掌握極限運(yùn)算法則是解題基礎(chǔ)．在求數(shù)列前n項(xiàng)和的極限時(shí)，需先求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，再對和求極限，不能對每一項(xiàng)求極限再相加．3、C【解析】

求出基本事件空間，找到符合條件的基本事件，可求概率.【詳解】同時(shí)擲兩枚骰子,所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：共有36種，點(diǎn)數(shù)之和為5的基本事件有：共4種；所以所求概率為.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概率的求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).4、D【解析】

確定角的象限，結(jié)合三角恒等式，然后確定的符號，即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿牵?，故選D.【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，象限三角函數(shù)的符號，考查計(jì)算能力，?？碱}型．5、B【解析】

將餅圖中的、、三個(gè)村的人口戶數(shù)全部相加，再將所得結(jié)果乘以得出樣本容量，在村人口戶數(shù)乘以，再乘以可得出村貧困戶的抽取的戶數(shù).【詳解】由圖得樣本容量為，抽取貧困戶的戶數(shù)為戶，則抽取村貧困戶的戶數(shù)為戶．故選B.【點(diǎn)睛】本題考查樣本容量的求法，考查分層抽樣、扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算數(shù)據(jù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

解：因?yàn)槿绻粭l直線平行于兩條垂線中的一條，必定垂直于另一條．選項(xiàng)A，可能相交．選項(xiàng)C中，可能不共面，比如三棱柱的三條側(cè)棱，選項(xiàng)D，三線共點(diǎn)，可能是棱錐的三條棱，因此錯誤．選B.7、A【解析】

根據(jù)分層抽樣的方法，得到高三學(xué)生抽取的人數(shù)為，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，學(xué)校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)之比為2：3：5，采用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，所以高三學(xué)生抽取的人數(shù)為人，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用，其中解答中熟記分層抽樣的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)，即下標(biāo)和相等對應(yīng)項(xiàng)的和相等，得到a2【詳解】∵數(shù)列an為等差數(shù)列，a∴a【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等差中項(xiàng)，考查基本量法求數(shù)列問題.9、B【解析】

利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)得出關(guān)于的等式，可解出的值.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，由于，即，即，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)充分利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，可簡化計(jì)算，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

利用互斥事件概率計(jì)算公式直接求解．【詳解】由某超市收銀臺排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率表，得：至少有兩人排隊(duì)的概率為：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法、互斥事件概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（-4，2）【解析】試題分析：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以考點(diǎn)：基本不等式求最值12、【解析】

由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可，再由表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的平方，因此結(jié)合平面區(qū)域即可求出結(jié)果.【詳解】作出約束條件所表示的可行域如下：由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可；令目標(biāo)函數(shù)，則目標(biāo)函數(shù)表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的平方，由圖像易知，點(diǎn)到的距離最大.由得，所以.因此，即的最小值為37.故答案為37【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，只需分析清楚目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可結(jié)合可行域來求解，屬于?？碱}型.13、【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出的值，然后利用換元法求解出對應(yīng)的最小值即可.【詳解】如圖所示，設(shè)，所以，根據(jù)條件可知：，所以，設(shè)，，，所以，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用坐標(biāo)法以及換元法求解最值，著重考查邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于較難題(1)利用換元法求解最值時(shí)注意，換元后新元的取值范圍；(2)三角函數(shù)中的一組“萬能公式”：，.14、【解析】

根據(jù)和時(shí)的單調(diào)性可確定最大值和最小值，進(jìn)而構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得：或（舍）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得：（舍）或（舍）綜上所述：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)最值求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)指數(shù)函數(shù)得單調(diào)性確定最值點(diǎn).15、.【解析】

分析題意，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明方法得到時(shí)，不等式左邊的表示式是解答該題的突破口，當(dāng)時(shí)，左邊，由此將其對時(shí)的式子進(jìn)行對比，得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，觀察可知，增加的項(xiàng)數(shù)是，故答案是.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)學(xué)歸納法的問題，在解題的過程中，需要明確式子的形式，正確理解對應(yīng)式子中的量，認(rèn)真分析，明確哪些項(xiàng)是添的，得到結(jié)果.16、-2【解析】

由正切函數(shù)定義計(jì)算.【詳解】根據(jù)正切函數(shù)定義：.故答案為－2.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，掌握三角函數(shù)定義是解題基礎(chǔ).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）證明面得到面面.（2）先判斷為直線與平面所成的角，再計(jì)算其正弦值.【詳解】（1）證明：法一：由已知得：且，，∴面.∵，∴面.∵面，∴，又∵，∴，∵，，∴面.面，∴.又∵且是中點(diǎn)，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.法二：同法一得面.又∵，面，面，∴面.同理面，，面，面.∴面面.∴面，面，∴.又∵且是中點(diǎn)，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.（2）由（1）知面，∴為直線在平面上的射影.∴為直線與平面所成的角，∵且，∴二面角的平面角是.∵，∴，∴.又∵面，∴.在中，.在中，.∴在中，.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.18、6【解析】

直接利用扇形的面積公式，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)樯刃蔚陌霃?，扇形的面積，由，得，所以該扇形的弧長為6.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的面積公式的應(yīng)用.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由行列式的運(yùn)算法則，得原不等式即，而不等式的解集為，采用比較系數(shù)法，即可得到實(shí)數(shù)的值；（2）把代入，求得，進(jìn)一步得到，再由兩角差的正切公式即可求解.【詳解】（1）原不等式等價(jià)于，由題意得不等式的解集為，故是方程的兩個(gè)根，代入解得，所以實(shí)數(shù)的值為.（2）由，得，即.，【點(diǎn)睛】本題考查了行列式的運(yùn)算法則、由一元二次不等式的解集求參數(shù)值、二倍角的正切公式以及兩角差的正切公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）證明見解析．（2）二面角的余弦值為．【解析】

（1）作于點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直性質(zhì)可得底面ABCD，由三角形全等性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，即可證明.（2）根據(jù)所給角度和線段關(guān)系，可證明以均為等邊三角形，從而取中點(diǎn)，連接，即可由線段長結(jié)合余弦定理求得二面角的大小.【詳解】（1）證明：作于點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)閭?cè)面底面ABCD，則底面ABCD，因?yàn)闉檎切?，則,所以，即，又因?yàn)椋?，?所以平面，所以.（2）由（1）可知，，，所以，又因?yàn)?，所以，即為中點(diǎn).由等腰三角形三線合一可知，在中，由等腰三角形三線合一可得，所以均為邊長為2的等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，如下圖所示：由題意可知，即為二面角的平面角，所以在中由余弦定理可得，即二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂